Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
współrzędne izometryczne
twierdzenie o odwzorowaniach konforemnych
elementarna skala długości w
odwzorowaniach konforemnych
zbieżność południków w odwzorowaniach
konforemnych
1/26
równanie powierzchni: r r u,v
r X x(u,v),Y y(u,v),Z z(u,v)
długość elementarnego łuku na powierzchni:
ds2 Edu2 Fdudv Gdv2 I forma kwadratowa powierzchni
współrzędne krzywoliniowe u, v są
izometryczne, jeżeli długość elementarnego łuku
na danej powierzchni można wyrazić wzorem:
2
ds2 (du2 dv2)
gdzie: Ã2 ­ dowolna funkcja parametrów u i v
2/26
1
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
warunki izometryczności współrzędnych:
2
F 0
E G
właściwości współrzędnych izometrycznych:
siatka współrzędnych jest siatką ortogonalną,
przesunięcie dsv wywołane zmianą współrzędnej u o
wartość du = jest równe przesunięciu dsu
wywołanemu zmiana współrzędnej v o dv = (gdzie
to nieskończenie mała, dowolnie obrana liczba)
3/26
długość elementarnego łuku południka:
dv 0 dsu Edu
długość elementarnego łuku równoleżnika:
du 0 dsv Gdv
ponieważ E = G  z warunku izometryczności
współrzędnych, to
du dv dsu dsv
jednakowe przesunięcia powodują jednakowe
przyrosty parametrów
4/26
2
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
współrzędne w układzie współrzędnych
prostokątnych płaskich są izometryczne, gdy
jednostki długości w kierunku osi x i y są takie
same
2 2 2
5/26
czy współrzędne geograficzne na powierzchni
kuli sÄ… izometryczne?
równanie powierzchni kuli
r X Rcos cos ,Y Rcos sin , Z Rsin
, , )
2 2
współczynniki pierwszej formy kwadratowej
E R2 F 0
G R2 cos2 H R2 cos2
6/26
3
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
kwadrat elementarnego Å‚uku na sferze
2
ds2 R2d R2 cos2 d 2
długość elementarnego łuku południka
ds Rd
długość elementarnego łuku równoleżnika
ds Rcos d
sprawdzenie warunków izometryczności:
F = 0
d d ds ds
współrzędne geograficzne na kuli nie są izometryczne
7/26
układ współrzędnych izometrycznych na
powierzchni kuli
d 2
2 2
ds2 R2d R2 cos2 d ds2 R2 cos2 d 2
cos2
wprowadzono zmiennÄ… q (izometryczna
szerokość geograficzna), taką, że
d 2
dq2
cos2
po scałkowaniu
q ln tg
4 2
zatem elementarna długość łuku wynosi
2
ds2 R2 cos2 dq2 d
8/26
4
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
izometryczna szerokość geograficzna
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
­5 ­4,5 ­4 ­3,5 ­3 ­2,5 ­2 ­1,5 ­1 ­0,5 0
q
9/26
czy współrzędne geodezyjne na powierzchni
elispoidy sÄ… izometryczne?
równanie powierzchni elispoidy
acos B cos L a cos Bsin L a(1 e2)sin B
r X ,Y , Z
1 e2 sin2 B 1 e2 sin2 B 1 e2 sin2 B
B , , )
2 2
współczynniki pierwszej formy kwadratowej
2
E M F 0
2
G N cos2 B H MN cos B
10/26
5
s z e r o k o ś ć g e o g r a f i c z n a
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
kwadrat elementarnego Å‚uku na sferze
2
ds2 M dB2 N2 cos2 BdL2
długość elementarnego łuku południka
dsB MdB
długość elementarnego łuku równoleżnika
dsL N cos BdL
sprawdzenie warunków izometryczności:
F = 0
dB dL dsB dsL
współrzędne geodezyjnenie są izometryczne
11/26
układ współrzędnych izometrycznych na
powierzchni elipsoidy
2
M
2 2 2
ds2 M dB2 N cos2 BdL2 ds2 N cos2 B 2 dB2 dL2
N cos2 B
wprowadzono zmiennÄ… q (izometryczna
szerokość geodezyjna), taką, że
M
dq dB
N cos B
po scałkowaniu
e/ 2
B 1 esin B
q ln tg
4 2 1 esin B
zatem elementarna długość łuku wynosi
2
ds2 N cos2 B dq2 dL2
12/26
6
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
izometryczna szerokość geodezyjna
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
­5 ­4,5 ­4 ­3,5 ­3 ­2,5 ­2 ­1,5 ­1 ­0,5 0
q
13/26
warunki równokątności odwzorowania:
x x y y
F 0 0
B L B L
2 2
x y
E G E r B B r
1 1
B L
x y x y
M r H M M
B L L B
z pierwszego warunku:
y y x x
x y
B L B L
x y
B B
L L
po podstawieniu do drugiego i
przekształceniach: x r y y r x
L M B L M B
14/26
7
s z e r o k o ś ć g e o g r a f i c z n a
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
po wprowadzeniu współrzędnych
izometrycznych:
x r y dq y r x dq
l L L0
l M q dB l M q dB
dq M
ponieważ r = NcosB oraz
dB N cos B
warunki równokątności dla współrzędnych
izometrycznych maja postać:
x r y dq N cos B y M y
l M q dB M q N cos B q
y r x dq N cos B x M x
l M q dB M q N cos B q
15/26
warunki równokątności współrzędnych
x y y x
izometrycznych w postaci
l q l q
sÄ… jednoczeÅ›nie równaniami Cauchy'ego­
Riemanna, które są warunkiem koniecznym i
dostatecznym na to, aby funkcja ciągła f(z)
zmiennej zespolonej z = q + il była funkcją
analitycznÄ…
x iy f (z) f (q il)
funkcja analityczna ­ funkcja (w ogólnoÅ›ci:
zespolona) różniczkowalna, której pochodne są
również różniczkowalne
16/26
8
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
Twierdzenie o odwzorowaniach konforemnych
Jeżeli na powierzchni oryginału wprowadzono współrzędne
izometryczne q i l oraz na powierzchni obrazu
współrzędne izometryczne x i y to dowolne
odwzorowanie konforemne jest określone związkiem
x iy f (z) f (q il)
gdzie f (q + il) jest funkcjÄ… analitycznÄ… zmiennej zespolonej
o pochodnej różnej od zera
odwzorowanie konforemne  odwzorowanie w
którym zachowane są kąty i nie jest zmieniona
orientacja
17/26
właściwością funkcji analitycznych jest, że każda
funkcja analityczna może być rozwinięta w
szereg potęgowy
n
an z z0
i odwrotnie: każdy szereg potęgowy
n 0
jest funkcją analityczną wewnątrz swego koła
zbieżności
2
x iy a0 ib0 a1 ib1 z z0 a2 ib2 z z0
gdzie z = q + il
n
an z
gdy z0 = 0
n 0
2
18/26
x iy a0 ib0 a1 ib1 q il a2 ib2 q il
9
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
część rzeczywista zmiennej zespolonej reprezentuje
zmienną x, zaś część urojona reprezentuje zmienną
y Re f (z) x(q,l) Im f (z) y(q,l)
odwzorowania używane w polskich układach
kartograficznych sÄ… odwzorowaniami konforemnymi
odwzorowanie quasi­stereograficzne
odwzorowanie Gaussa­Krugera
odwzorowanie UTM
odwzorowanie Merkatora
zachowują one wierność kątów przy stosunkowo
niewielkich zniekształceniach powierzchni i
odległości
19/26
budowa odwzorowania konforemnego przebiega
w 4 etapach:
zdefiniowanie współrzędnych izometrycznych na
powierzchni oryginału (B,L) (q,l)
zdefiniowanie współrzędnych izometrycznych na
powierzchni obrazu (x,y)
określenie funkcji analitycznej zmiennej zespolonej,
takiej że x iy f (q il)
wyznaczenie współrzędnych w odwzorowaniu,
poprzez rozdzielenie części urojonej i rzeczywistej
(q,l) (x,y)
20/26
10
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
Elementarna skala zniekształceń długości:
ds'
ds
ds ­ element Å‚uku na powierzchni oryginaÅ‚u
ds ­ element odpowiadajÄ…cego Å‚uku na powierzchni
obrazu
w odwzorowaniu konforemnym, z definicji
współrzędnych izometrycznych
'(x, y) dx2 dy2
ds'
ds
(q,l) dq2 dl2
21/26
po wprowadzeniu modułu w miejsce pierwiastka
ds' '(x, y) dx2 dy2 '(x, y) dx2 dy2
ds
(q,l) dq2 dl2 (q,l) dq2 dl2
i zmiennej urojonej z = q + il
'(x, y) dx2 dy2 '(x, y) df (z)
ds'
ds (q,l) dz
(q,l) dq2 dl2
22/26
11
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
w odwzorowaniu konforemnym elipsoidy obrotowej
a
na płaszczyznę
N
1 e2 sin2 B
2 2
1 df (z)
dx dy
2 2 2
N cos(B(q)) dq dl N cos B dz
jeżeli znana jest postać funkcji f(z) = f(q + il) to
wyznaczenie ź w danym odwzorowaniu
konforemnym sprowadza siÄ™ do obliczenia
pochodnej poprzez rozdzielenie jej na część urojoną
i rzeczywistą oraz do wyznaczenia modułu
2 2
1 df (z) 1 df (z) df (z)
Re Im
N cos B dz N cos B dz dz
23/26
zbieżność południków to kąt zawarty między
styczną do obrazu południka w danym punkcie, a
liniÄ… prosta przechodzÄ…cÄ… przez ten punkt
równolegle do osi x
zbieżność południków jest mierzona od stycznej
do obrazu południka w kierunku zgodnym z
24/26
12
2011­01­01
2011­01­01
Witold Kazimierski_Matematyczne
Podstawy Kartografii  Wykład dla II GiK
Akademia Morska w Szczecinie
oznaczono punkt P (B, l) aby wyznaczyć
zbieżność południków wprowadzono punkt P 1
(B, l + dl)
oba punkty leżą na obrazie równoleżnika, zatem
x y
dx dl dy
dB = 0, wtedy
l l
na podstawie rysunku
dx
tg
dy
zatem
dx x y x y
tg dl : dl :
dy l l l l
podstawowe informacje
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B0, b, l
funkcje odwzorowawcze jako funkcje wielkości B0, u, s
funkcje odwzorowania odwrotnego
zbieżność południków
elementarne skale długości i pól
redukowanie długości i kierunków
26/26
13
2011­01­01
2011­01­01