Metoda najmniejszych
kwadratów

W praktyce laboratoryjnej często
spotykanym problemem jest sprawdzenie
przewidywanej teoretycznie zależności
funkcyjnej zachodzącej pomiędzy dwiema
wielkościami fizycznymi, a także wyznaczenie
parametrów określających tę funkcję.

 
 

 

 

Metoda najmniejszych

kwadratów

Wykonując n-krotny pomiar wielkości fizycznej
Y=f(X) dostajemy zbiór n par ( ) gdzie
( i=1,2, ... ,n ).
Zbiór otrzymanych punktów możemy
powiązać relacją liniową postaci: y= A + Bx
gdzie:

A= B=

 

 

O tej prostej mówi się, że jest dopasowana metodą
najmniejszych kwadratów lub że jest prosta regresji
zmiennych x i y.

i

i

y

x ,





   

xy

x

y

x

2







 

y

x

xy

N

 

2

2











x

x

N

 
 

 

 

Metoda najmniejszych

kwadratów

Przykład:
W wyniku pomiarów wartości x i y
uzyskano następujące wyniki:

Za pomocą metody najmniejszych kwadratów
wyznaczyć równanie y=A+Bx wiążące te dwie
zmienne.



 

 

 

 







5

,

5

;

5

,

4

;

4

,

3

;

4

,

2

;

3

,

1

 
 

 

 

Metoda najmniejszych

kwadratów

= 5(1+4+9+16+25) –
225= 50


A= = =
2,7
 

B= = =
0,5
 

y = 0,5x + 2,7

 

2

2











x

x

N





   

xy

x

y

x

2

50

)

68

)(

15

(

)

21

)(

55

(







  

y

x

xy

N

50

)

21

)(

15

(

)

68

(

5



 
 

 

 

Metoda najmniejszych

kwadratów

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

Linear Regression for Data1_B:
Y = A + B * X
Parameter Value Error
-----------------------------------------
A

2,7 0,33166

B

0,5 0,1

----------------------------------------

Y

X

Wykres prostej regresji zmiennych x i y.