Temat: Metoda najmniejszych kwadratów

y=Ax+B

$$A = \frac{n \bullet \sum_{}^{}\text{xy} - \sum_{}^{}{x \bullet \sum_{}^{}y}}{n \bullet \sum_{}^{}{x^{2} - \left( \sum_{}^{}x \right)^{2}}}$$

$$B = \frac{\sum_{}^{}{y - A \bullet \sum_{}^{}x}}{n}$$

$$r = \frac{n \bullet \sum_{}^{}{xy - \sum_{}^{}{x \bullet \sum_{}^{}y}}}{\sqrt{\left\lbrack n \bullet \sum_{}^{}{x^{2} - \left( \sum_{}^{}x \right)^{2}} \right\rbrack \bullet \left\lbrack n \bullet \sum_{}^{}{y^{2} - \left( \sum_{}^{}y \right)^{2}} \right\rbrack}}$$

−1 ≤ r ≤ 1

r = ±1 idealne dopasowanie

r = 0 brak dopasowania

Zad 1.

Dane są następujące punkty pomiarowe:

x	-1	0	1
y	-2	0	1

Narysuj wykres y(x) i zaznacz punkty pomiarowe. Oblicz współczynniki A i B za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Oblicz współczynnik korelacji r. Naszkicuj prostą y=Ax+B

Zad. 2

W poniższej tabeli zawarto pomiary długości stalowej belki od temperatury.

Temperatura t (°C)	10	15	20	25	30
Długość L (mm)	1003	1005	1010	1008	1014

Oblicz, o ile mm zwiększa się długość belki ze wzrostem temperatury o 1°C.

Odczytaj z wykresu, w jakiej temperaturze długość belki wynosi L =1000 mm.

Odczytaj z wykresu długość belki w temperaturze t = +50 °C

Oblicz współczynnik korelacji r

Zad.3

Uczniowie wyznaczyli zależność ciśnienia gazu od temperatury w przemianie izochorycznej

Ciśnienie, Pa	8670	10006	11340	12675	14008
Temperatura, °C	-20	17	42	94	127

Za pomocą metody najmniejszych kwadratów wyznacz temperaturę zera bezwzględnego

Zad. 4

Kamień spada z wysokości h=20 m. Wysokości, na jakich znajdował się kamień w chwilach czasu t przedstawia poniższa tabela:

t(s)	0,00	0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00
h(m)	20,0	19,7	18,8	17,2	15,1	12,3	9,0	5,0	0,40

Oblicz przyspieszenie, z jakim spada kamień.