Wykład 4

1

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Sformułowanie problemu - OZNACZENIA

Y –

 wielkość mierzona pośrednio, której 

wartość jest 

obliczana na podstawie n 

wartości zmierzonych x

i

 

(i = 1, 2, . . . n).

X

i

 -

wielkości mierzone bezpośrednio

x

i

 - błąd systematyczny wartości zmierzonej 

x

i

Poszukujemy wartości prawdziwej y

0

 

wielkości Y, gdy:

y = f(x

i

)

gdzie: 

f(x

i

) = f(x

1

, x

2

, . . . x

n

)

 

Wykład 4

2

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA JEDNEJ 
ZMIENNEJ

y = f(x)

błąd    x = x – x

0

przenosi się na wartość zmierzoną y wielkości 
Y

y = y – y

0

Zakładając, że   y

0

 = f(x - x)

otrzymuje się

y = f(x) – f(x - x)

 

Wykład 4

3

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA JEDNEJ 
ZMIENNEJ

Rozwijając funkcję f(x - ) w szereg Taylora:

.

.

.

)

)(

(

''

!

2

1

)

)(

(

'

!

1

1

)

(

)

(

2





















x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

f

i zakładając, że | x | x otrzymamy:

y  f’(x) x

 

Wykład 4

4

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA JEDNEJ 
ZMIENNEJ

Dla błędów systematycznych właściwych:

jeżeli                        , wtedy

x

dx

dy

y







x

dx

dy

y

y







0

Dla błędów systematycznych niewłaściwych:

x

dx

dy

x

f

y

x

dx

dy

y

y

o













)

(

lub

0

Błąd względny

x

y

x

dx

dy

y

y

x

x

x

dx

dy

y

y

y



























 

Wykład 4

5

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA WIELU 
ZMIENNYCH

y = f(x

1

, x

2

, x

3

, . . . , x

n

)

gdzie:   x

i

 = x

i

 – x

0i 

Szukamy błędu:

y = y – y

0

 

przy czym:

y

0

 = f(x

01

, x

02

, x

03

, . . . , x

0n

)

 

Wykład 4

6

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA WIELU 
ZMIENNYCH

BŁĄD BEZWZGLĘDNY

i

n

i

i

n

x

x

x

x

x

f

y















1

2

1

)

,

,

,

(



BŁĄD WZGLĘDNY





)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

2

1

1

2

1

n

i

i

i

n

i

i

n

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

f

y

y



























i

n

i

n

i

i

n

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

y



















)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

2

1

1

2

1





 

Wykład 4

7

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA WIELU 
ZMIENNYCH

2

1

2

1

)

,

,

,

(































n

i

i

i

n

x

x

x

x

x

f

y



±

g

x

1

±

g

x

2

±

g

x

3

x

1

x

2

x

3

 

Wykład 4

8

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 1

Pomiaru mocy prądu zmiennego, wydzielającej się w 
znanej rezystancji R dokonano, mierząc dwukrotnie 
prąd w gałęzi mostka. Obliczyć wydzielającą się moc 
oraz określić granice błędów jeśli:

R = 1000 ,

kl

R

 = 0,2

I

Z

 = 20 mA, kl

A

 = 1

zaś wyniki pomiaru prądu wynoszą:

I

1

 = 16 mA

I

2

 = 10 mA

W omawianym układzie moc oblicza się ze wzoru:





2

2

2

1

4

I

I

R

P





 

Wykład 4

9

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 2

W jakim przedziale znajduje się 
wartość rzeczywista rezystora 
powstałego z szeregowego 
połączenia rezystora o rezystancji R

1

 

= 100 , wykonanego z tolerancją 

10 % oraz rezystora R

2

 = 910  o 

tolerancji 2 %.

Rozwiązać zadanie także dla 
równoległego połączenia tych 
rezystorów

 

Wykład 4

10

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 3

V

1

V

2

A

B

Ile wynosi różnica potencjałów między punktami 
A i B , jeśli woltomierze klasy 1, o napięciach 
zakresowych U

z1

 = 15 V i U

z2

 = 10 V wskazały 

odpowiednio U

1

 = 10,0 V i U

2

 = 8,0 V ? 

 

Wykład 4

11

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 4

Pomiaru mocy metodą techniczną 
dokonuje się mierząc prąd płynący 
przez rezystancję obciążenia oraz 
napięcie na niej panujące. Obliczyć tę 
moc oraz  podać  błąd  graniczny,  jeśli  
wiadomo,  że: I = 10,0 mA,  

g

I = 2 %, 

U = 5,5 V, 

g

U = 0,2 V a błędy 

systematyczne właściwe są do 
pominięcia. 

 

Wykład 4

12

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 5

Jaki prąd płynie przez rezystancję R = 
1000  ± 1  jeśli spadek napięcia na 

niej, mierzony woltomierzem cyfrowym, 
wynosi 53,25 V. Błąd pomiaru napięcia 
tym miernikiem jest określony 
zależnością:



g

U = 0,0001 U

Z

 + 0,0005 U

 

Wykład 4

13

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYPADKI SZCZEGÓLNE OBLICZANIA 
BŁĘDÓW

y = a 
+ b



g

y = 

g

a + 



g

b

y = a - 
b



g

y = 

g

a + 



g

b

y = a · 
b



g

y = 

g

a + 



g

b

y = a : 
b



g

y = 

g

a + 



g

b







c

b

a

y





c

b

a

y

g

g

g

g

























