Wykład 4

1

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Sformułowanie problemu - OZNACZENIA

Y –

wielkość mierzona pośrednio, której

wartość jest

obliczana na podstawie n

wartości zmierzonych x

i

(i = 1, 2, . . . n).

X

i

-

wielkości mierzone bezpośrednio

x

i

- błąd systematyczny wartości zmierzonej

x

i

Poszukujemy wartości prawdziwej y

0

wielkości Y, gdy:

y = f(x

i

)

gdzie:

f(x

i

) = f(x

1

, x

2

, . . . x

n

)

Wykład 4

2

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA JEDNEJ
ZMIENNEJ

y = f(x)

błąd x = x – x

0

przenosi się na wartość zmierzoną y wielkości
Y

y = y – y

0

Zakładając, że y

0

= f(x - x)

otrzymuje się

y = f(x) – f(x - x)

Wykład 4

3

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA JEDNEJ
ZMIENNEJ

Rozwijając funkcję f(x - ) w szereg Taylora:

.

.

.

)

)(

(

''

!

2

1

)

)(

(

'

!

1

1

)

(

)

(

2





















x

x

f

x

x

f

x

f

x

x

f

i zakładając, że | x | x otrzymamy:

y  f’(x) x

Wykład 4

4

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA JEDNEJ
ZMIENNEJ

Dla błędów systematycznych właściwych:

jeżeli , wtedy

x

dx

dy

y







x

dx

dy

y

y







0

Dla błędów systematycznych niewłaściwych:

x

dx

dy

x

f

y

x

dx

dy

y

y

o













)

(

lub

0

Błąd względny

x

y

x

dx

dy

y

y

x

x

x

dx

dy

y

y

y



























Wykład 4

5

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA WIELU
ZMIENNYCH

y = f(x

1

, x

2

, x

3

, . . . , x

n

)

gdzie: x

i

= x

i

– x

0i

Szukamy błędu:

y = y – y

0

przy czym:

y

0

= f(x

01

, x

02

, x

03

, . . . , x

0n

)

Wykład 4

6

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA WIELU
ZMIENNYCH

BŁĄD BEZWZGLĘDNY

i

n

i

i

n

x

x

x

x

x

f

y















1

2

1

)

,

,

,

(



BŁĄD WZGLĘDNY





)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

2

1

1

2

1

n

i

i

i

n

i

i

n

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

f

y

y



























i

n

i

n

i

i

n

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

y



















)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

2

1

1

2

1





Wykład 4

7

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

FUNKCJA WIELU
ZMIENNYCH

2

1

2

1

)

,

,

,

(































n

i

i

i

n

x

x

x

x

x

f

y



±

g

x

1

±

g

x

2

±

g

x

3

x

1

x

2

x

3

Wykład 4

8

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 1

Pomiaru mocy prądu zmiennego, wydzielającej się w
znanej rezystancji R dokonano, mierząc dwukrotnie
prąd w gałęzi mostka. Obliczyć wydzielającą się moc
oraz określić granice błędów jeśli:

R = 1000 ,

kl

R

= 0,2

I

Z

= 20 mA, kl

A

= 1

zaś wyniki pomiaru prądu wynoszą:

I

1

= 16 mA

I

2

= 10 mA

W omawianym układzie moc oblicza się ze wzoru:





2

2

2

1

4

I

I

R

P





Wykład 4

9

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 2

W jakim przedziale znajduje się
wartość rzeczywista rezystora
powstałego z szeregowego
połączenia rezystora o rezystancji R

1

= 100 , wykonanego z tolerancją

10 % oraz rezystora R

2

= 910  o

tolerancji 2 %.

Rozwiązać zadanie także dla
równoległego połączenia tych
rezystorów

Wykład 4

10

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 3

V

1

V

2

A

B

Ile wynosi różnica potencjałów między punktami
A i B , jeśli woltomierze klasy 1, o napięciach
zakresowych U

z1

= 15 V i U

z2

= 10 V wskazały

odpowiednio U

1

= 10,0 V i U

2

= 8,0 V ?

Wykład 4

11

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 4

Pomiaru mocy metodą techniczną
dokonuje się mierząc prąd płynący
przez rezystancję obciążenia oraz
napięcie na niej panujące. Obliczyć tę
moc oraz podać błąd graniczny, jeśli
wiadomo, że: I = 10,0 mA, 

g

I = 2 %,

U = 5,5 V, 

g

U = 0,2 V a błędy

systematyczne właściwe są do
pominięcia.

Wykład 4

12

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYKŁAD 5

Jaki prąd płynie przez rezystancję R =
1000  ± 1  jeśli spadek napięcia na

niej, mierzony woltomierzem cyfrowym,
wynosi 53,25 V. Błąd pomiaru napięcia
tym miernikiem jest określony
zależnością:



g

U = 0,0001 U

Z

+ 0,0005 U

Wykład 4

13

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

Błędy systematyczne w pomiarach pośrednich

PRZYPADKI SZCZEGÓLNE OBLICZANIA
BŁĘDÓW

y = a
+ b



g

y = 

g

a +



g

b

y = a -
b



g

y = 

g

a +



g

b

y = a ·
b



g

y = 

g

a +



g

b

y = a :
b



g

y = 

g

a +



g

b







c

b

a

y





c

b

a

y

g

g

g

g

























