Środkowe w trójkącie

Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący
wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego
boku.

Przedstawmy tą definicję graficznie.

B

A

C

Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

D

E

F

| AD|=|DB| ,|AF|=|FC|, |CE|=|EB|

Przykład I

Trójkąt ABC ma 2 środkowe : AE i BG , które będą przecinały

się w punkcie 0.

Jak wiadomo, odcinek EG jest równoległy do odcinka BA i |EG|

= |AB|. Zatem z twierdzenia Talesa otrzymujemy, że :

A

B

C

G

E

O

2

1

|

|

|

|

|

|

|

|

2

1

|

|

|

|

OA

OE

OB

OG

AB

EG







Środkowe przecięły się w punkcie 0, który podzielił je w

stosunku 1 : 2.

Prosto jest więc pokazać, że trzecia środkowa (CH) przejdzie

przez punkt 0,

który podzieli ją w stosunku 1 : 2.

O

C

H

W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają
się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w
stosunku 1 : 2.

B

A

C

Punkt przecięcia środkowych nazywamy środkiem ciężkości trójkąta.

Środkowe w wybranych trójkątach

Trójkąt równoramienny

s₁- środkowa poprowadzona

do podstawy

h₁- wysokość poprowadzona

do podstawy

h₁ = s₁

W trójkącie równoramiennym

środkowa poprowadzona do

podstawy jest jednocześnie

wysokością.

Trójkąt równoboczny

s- środkowa

h- wysokość

h = s

W trójkącie równobocznym

środkowe i wysokości się

pokrywają. Dlatego wysokości w

trójkącie równobocznym dzielą

się w stosunku 1 : 2.

Trójkąt prostokątny

s – środkowa poprowadzona z

wierzchołka kąta prostego

c – przeciwprostokątna

W trójkącie prostokątnym

środkową poprowadzona z

wierzchołka kąta prostego ma

długość połowy

przeciwprostokątnej.

c

s

2

1



s

s

s
₁

h₁

h

c

Przykład II

W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 6 cm,

a środkowa CE ma długość 12 cm. Obliczmy długość środkowej
AD.

C

A

B

W trójkącie ABC środkowa CE jest jednocześnie
wysokością poprowadzoną na podstawę AB , a punkt E
dzieli tę podstawę na połowy : |AE|=EB|=3cm

Punkt O przecięcia środkowych CE i AD dzieli je w
stosunku 1 : 2.
|OE| : |CO| =1:2 , więc |OE| = |CE|, czyli |OE| =

D

E

O

3

1

)

(

4

12

3

1

cm





Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta
AEO, można obliczyć długość odcinka AO:

5

|

|

4

3

|

|

|

|

|

|

|

|

2

2

2

2

2

2











AO

AO

OE

AE

AO

Obliczamy długość środkowej AD:

|

|

2

1

|

|

|

|

|

|

|

AO

OD

i

OD

AO

AD







)

(

5

,

7

5

,

2

5

|

|

cm

AD







Michał Biros, kl. I A