Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Teoria procesów wymiany masy

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Dyfuzja i konwekcja

Omówimy procesy przenoszenia masy w wieloskładnikowych ośrodkach ze
szczególnym uwzględnieniem procesów przepływowych. Najogólniej rzecz ujmując
różne rodzaje transportu masy podzielić można na dwie zasadnicze grupy:

Przenoszenie molekularne - DYFUZJA Makroskopowe mieszanie elementów

płynu - KONWEKCJA

Zaznaczyć należy, że podczas wymiany masy w płynach obydwa sposoby przenoszenia
występują z reguły jednocześnie.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

DYFUZJA

Jeżeli w różnych punktach płynu składającego się z dwóch składników A i B,
pozostającego w spoczynku lub poruszającego się ruchem laminarnym będą różne
stężenia obu składników to wówczas wystąpi spontaniczny ruch cząstek z miejsc o
stężeniu wyższym do miejsc o stężeniu niższym.

Mamy odczynienia z procesem DYFUZJI

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Stężenie dyfundującej substancji może być określone w postaci stężenia masowego,
molowego lub odpowiednich stężeń ułamkowych. Wzory definicyjne zestawiono
poniżej:

stężenie masowe składnika

V

m

i

i





stężenie molowe składnika

i

i

i

i

M

V

n

c







stężenie molowe dla gazów doskonałych

T

R

p

c

i

i





Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

ułamek masowy składnika





i

i

w 

ułamek molowy składnika w fazie ciekłej

c

c

n

n

x

i

i

i

i







ułamek molowy składnika w fazie gazowej

p

p

c

c

x

i

i

i





gdzie: m

i

– masa składnika; V – objętość mieszaniny; n

i

– liczba moli składnika;

p

i

– ciśnienie cząstkowe; M

i

– masa molowa; ρ, c, p – odpowiednie wielkości dla

mieszaniny.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Każdy składnik dyfundujący w mieszaninie przemieszcza się z właściwą sobie
prędkością v

i

względem układu współrzędnych umiejscowionych w przestrzeni.

Stąd wypadkowa prędkość mieszaniny, w zależności od użytych stężeń, może być
obliczona jako :

lokalna średnia prędkość masowa













n

i

i

i

v

v

1

lub jako:

lokalna średnia prędkość molowa

c

v

c

c

v

c

v

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

i





















1

1

1

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Rozpatrując dyfuzję składnika w strumieniu płynu opieramy się na doświadczalnym
prawie FICKA, które dla warunków izotermicznych i izobarycznych wyrażone jest
wzorem:

dx

dc

D

J

A

AB

AX







lub dla dowolnych warunków:

dx

dy

D

c

J

A

AB

AX









molowa gęstość strumienia w kierunku x [ mol / m

2

* s ]

współczynnik dyfuzji [ m

2

/ s ]

prawo FICKA

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Strumień dyfundującego składnika można wyrazić również w jednostkach masy
w warunkach stałości temperatury i ciśnienia c = const :

dx

d

D

dx

dw

D

j

A

AB

A

AB

AX



















masowa gęstość strumienia w kierunku x [ kg / m

2

* s ]

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Dla układów przepływowych strumień substancji dyfundującej określamy względem
współrzędnych poruszających się ze średnią prędkością płynu lub względem
współrzędnych umiejscowionych w przestrzeni. Dla układu dwuskładnikowego A + B
poruszającego się ze stałą molową średnią prędkością V

x

*

, gęstość strumienia masy

składnika A względem przepływającej mieszaniny wynika z zależności:





*

x

AX

A

AX

V

v

c

J







gęstość strumienia składnika względem nieruchomego układu współrzędnych jest
równa:

AX

A

AX

v

c

N





Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Strumienie J

A

i N

A

są ze sobą powiązane:





dx

dy

D

c

V

v

c

J

A

AB

x

AX

A

AX















*

dla układu
dwuskładnikowego:

c

v

c

v

c

V

BX

B

AX

A

x









*

mnożąc obie strony przez c

A





BX

B

AX

A

A

x

A

v

c

v

c

y

V

c













*

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy





dx

dy

D

c

V

v

c

J

A

AB

x

AX

A

AX















*

*

x

A

A

AB

AX

A

V

c

dx

dy

D

c

v

c















AX

A

AX

v

c

N









BX

AX

A

A

AB

AX

A

AX

N

N

y

dx

dy

D

c

v

c

N























BX

B

AX

A

A

x

A

v

c

v

c

y

V

c













*

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

korzystając z tej samej metody można wyprowadzić równanie dla strumienia
masowego:





BX

AX

A

A

AB

AX

A

AX

n

n

w

dx

dw

D

v

n



























BX

AX

A

A

AB

AX

N

N

y

dx

dy

D

c

N















wektor natężenia strumienia masy [ mol / m

2

* s ] względem współrzędnych

zewnętrznych składa się z dwóch członów :

człon dyfuzyjny

przemieszczanie się składnika na
skutek przepływu mieszaniny

Nakładanie się DYFUZJI na strumień przepływu mieszaniny.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy





BX

AX

B

B

BA

BX

N

N

y

dx

dy

D

c

N















analogiczna zależność obowiązuje dla składnika B:

jeżeli porównamy te związki dla c = const i uwzględnimy że:





BX

AX

A

A

AB

AX

N

N

y

dx

dy

D

c

N















1





B

A

y

y

dx

dy

D

dx

dy

D

B

BA

A

AB









BX

AX

J

J





BA

AB

D

D 

dla układu dwuskładnikowego

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

KONWEKCJA

Konwekcyjne przenoszenie masy wewnątrz płynu, między płynem i powierzchnią
ciała stałego lub powierzchnią między fazową w układach o ograniczonej
rozpuszczalności może zachodzić podczas przepływu wywołanego działaniem sił
zewnętrznych albo przepływu spowodowanego różnicami gęstości płynu na skutek
różnicy stężeń lub temperatury.

Pierwszy rodzaj ruchu to KONWEKCJA WYMUSZONA

Drugi rodzaj ruchu to KONWEKCJA SWOBODNA lub NATURALNA

Równanie kinetyczne konwekcji jest analogiem do prawa stygnięcia ciał Newtona:

A

c

A

c

k

N







współczynnik przenoszenia masy [m/s] różnica stężeń [ mol / m

3

]

molowa gęstość strumienia
masy [ mol / m

2

* s ]

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Przenoszenie substancji z głębi fazy płynnej do powierzchni międzyfazowej ( lub
odwrotnie ) nazywamy procesem

wnikania masy.

Przenoszenie substancji pomiędzy dwiema fazami przez powierzchnię rozdziału
nazywamy procesem

przenikania masy.

Wyznaczenie natężenia strumienia masy wymaga określenia powierzchni, stąd też
strumień N

A

odnosimy do powierzchni międzyfazowej:

 





0

0

A

A

c

A

x

A

c

c

k

N

N

i

i











współczynnik wnikania

stężenie w głębi płynu

stężenie na powierzchni międzyfazowej

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Natężenie strumienia masy na powierzchni między fazowej jest równe:





Bi

Ai

A

x

A

AB

A

N

N

y

x

y

D

c

N

i

i































0

dla układów rozcieńczonych możemy to uprościć do postaci:

0

0



















































x

A

AB

x

A

AB

A

x

c

D

x

y

D

c

N

i

 





0

0

A

A

c

A

x

A

c

c

k

N

N

i

i











porównując z :

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy





0

0



























x

A

A

A

AB

c

x

c

c

c

D

k

i

otrzymujemy zależność na współczynnik wnikania masy w postaci :

Aby wyznaczyć wartość współczynnika wnikania musimy znać rozkład stężeń
w pobliży powierzchni międzyfazowej.

Umiejętność wyznaczania wartości współczynników wnikania masy jest niezwykle
istotna. Stanowią one bowiem podstawowe wielkości wykorzystywane przy
projektowaniu urządzeń zwanych ogólnie wymiennikami masy lub reaktorami.

Jedną z metod wyznaczania współczynników wnikania jest rozwiązanie ścisłe.
Potrzebna jest znajomość pola stężenia substancji A.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Równanie KONWEKCJI - DYFUZJI

W większości przypadków przemysłowych proces przenoszenia masy istnieje
w warunkach przepływu płynu. Ruch masy występuje najczęściej w wielu kierunkach.
Niekiedy mamy do czynienia z procesem nieustalonym, a ponadto często zachodzi
reakcja chemiczna. Konieczne jest sporządzenie bilansu masy. Ograniczymy się
tu do układu dwuskładnikowego.

X1

X2

X3

Rozważmy różniczkowy element o objętości
dxdydz

x

y

z

C

A

C

A

+dC

A

Stężenie składnika A w płaszczyźnie ściany dydz
dla wartości x wynosi C

A

, natomiast dla ściany

dydz przechodzącej przez punkt x + dx wynosi
C

A

+ dC

A

u

AX

u

AX

+du

AX

Analogicznie dla pozostałych kierunków.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Natężenie dopływu składnika A [ mol / s] do elementu wyniesie:

Na kierunku x:

dz

dy

u

C

AX

A







Na kierunku y:

Na kierunku z:

dz

dy

u

C

AY

A







dz

dy

u

C

AZ

A







Natężenie odpływu składnika A [ mol / s] z elementu wyniesie:

Na kierunku x:



 



dz

dy

du

u

dC

C

AX

AX

A

A











Na kierunku y:

Na kierunku z:



 



dz

dy

du

u

dC

C

AY

AY

A

A













 



dz

dy

du

u

dC

C

AY

AY

A

A











Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Akumulacja składnika A w rozważanym elemencie wyniesie:

dz

dy

dx

t

C

A











Zdefiniujmy szybkość reakcji chemicznej, jako liczbę moli (lub kilogramów) danego
składnika, która przereagowuje w jednostce czasu i w jednostce objętości. Jeżeli
szybkość reakcji chemicznej odniesiemy do liczby moli to oznaczamy ją przez R , jeżeli
do kilogramów to oznaczamy ją przez r.

Ubytek składnika A w rozważanym elemencie na skutek reakcji chemicznej będzie
równy:

dz

dy

dx

R

A







Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Z aksjomatów bilansowania wynika:

natężenie
dopływu
składnika

natężenie
odpływu
składnika

akumulacja
składnika

ubytek składnika w
wyniku reakcji
chemicznej

można to zapisać równaniem:













0





















dxdydz

R

dxdydz

t

C

dxdy

u

C

d

dxdz

u

C

d

dydz

u

C

d

A

A

AZ

A

AY

A

AX

A

lub wyrażając masę w kilogramach a nie molach :













0





















dxdydz

r

dxdydz

t

dxdy

u

d

dxdz

u

d

dydz

u

d

A

A

AZ

A

AY

A

AX

A









Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

różniczki występujące w równaniu możemy przedstawić w postaci:









dx

x

u

u

d

AX

A

AX

A

























dy

y

u

u

d

AY

A

AY

A

























dz

z

u

u

d

AZ

A

AZ

A

















po podstawieniu:

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy



 

 



0

































A

A

AZ

A

AY

A

AX

A

r

t

z

u

y

u

x

u









analogiczne równanie można otrzymać dla składnika B:



 

 



0

































B

B

BZ

B

BY

B

BX

B

r

t

z

u

y

u

x

u









Dla układu dwuskładnikowego:

0





B

A

r

r

dla bilansu w odniesieniu do 1 mola substancji :

0





B

A

R

R

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

po dodaniu stronami :



 

 

 



0













































t

z

u

u

y

u

u

x

u

u

B

A

BZ

B

AZ

A

BY

B

AY

A

BX

B

AX

A

















uwzględniając definicję średniej masowej prędkości płynu:





B

B

A

A

u

u

u

















1



 

 



0































z

u

y

u

x

u

t

Z

Y

X









równanie ciągłości

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

     

0



























A

A

AZ

AY

AX

r

t

z

n

y

n

x

n



0













A

A

A

r

n

t



gdzie n

A

– gęstość strumienia składnika A





BX

AX

A

A

AB

AX

A

AX

n

n

w

dx

dw

D

v

n























podstawiając wyrażenie:

równanie możemy zapisać :

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy





0























A

A

A

AB

A

r

u

w

D

t







dla stałej gęstości i wartości współczynników dyfuzji równanie sprowadza się do:

0

2



















A

A

A

AB

A

r

u

D

t







a po podzieleniu przez masę molową:

A

A

AB

A

A

R

c

D

c

u

t

c

















2

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Równanie to można zapisać w postaci:

A

A

AB

A

R

c

D

Dt

Dc







2

równanie KONWEKCJI - DYFUZJI

Dla współrzędnych prostokątnych:

A

A

A

A

AB

A

z

A

y

A

x

A

R

z

c

y

c

x

c

D

z

c

u

y

c

u

x

c

u

t

c











































































2

2

2

2

2

2

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Gdy nie zachodzą przemiany chemiczne :

A

AB

A

c

D

Dt

Dc

2





A dla płynów w spoczynku u = 0:

A

AB

A

c

D

t

c

2









drugie prawo Ficka

Ogranicza się ono do opisu dyfuzji w ciałach stałych oraz płynach nieruchomych,
pełna analogia do drugiego prawa Fouriera jest oczywista.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

dla procesów ustalonych w czasie:

A

AB

A

c

D

c

u

2









dla płynów w ruchu:

dla ośrodka nieruchomego:

0

2





A

c

W przypadku występowania reakcji chemicznej równania te należy uzupełnić
o człon R

A

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Rozwiązanie równania konwekcji dyfuzji wymaga sformułowania odpowiednich
warunków brzegowych i początkowych na podstawie fizycznego opisu procesu.
Warunki brzegowe na powierzchni ograniczającej rozpatrywany obszar określamy
najczęściej w postaci:

stężenia na powierzchni : w przypadku rozpuszczania  stężenie roztworu nasyconego

w przypadku odparowania cieczy  równowagowe ciśnienie

cząstkowe składnika

wartości strumienia masy na powierzchni według równania konwekcji

szybkości zaniku lub powstawania substancji na skutek reakcji chemicznej
na powierzchni

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Modele wnikania masy:

Istnieje obecnie wiele modeli teoretycznie opisujących wnikanie masy przy różnych
założeniach upraszczających. Spośród nich znaczenie praktyczne zachowały:

model warstewkowy

modele penetracyjne

Model warstewkowy opiera się na koncepcji laminarnej warstwy przy powierzchni
międzyfazowej. Zakłada się przy tym istnienie warstwy zastępczej o grubości δ.
Przenoszenie masy przez tę warstwę odbywa się wyłącznie w wyniku ustalonej
jednowymiarowej dyfuzji molekularnej, natomiast elementy płynu położone
głębiej są doskonale wymieszane na skutek ruchów konwekcyjnych.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

warstewka graniczna

powierzchnia międzyfazowa

wnętrze płynu

Przy takich założeniach
dyfuzyjny opór warstwy zastępczej
jest równoważny oporowi
rzeczywistego procesu wnikania
masy przez dyfuzję i konwekcję.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Przy założeniu izotermiczności i nieściśliwości płynu równanie Konwekcji – Dyfuzji
przyjmuje postać:

0

2

2





dx

c

d

D

A

AB

z warunkami brzegowymi:

0



x





x

i

A

A

c

c 

0

A

A

c

c 

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Całkując to równanie znajdujemy rozkład stężenia w warstwie:





0

A

A

A

A

c

c

x

c

c

i

i











A stąd możemy wyznaczyć strumień masy:





0

A

A

AB

A

AB

AX

c

c

D

dx

dc

D

N

i















Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

 





0

0

A

A

c

A

x

A

c

c

k

N

N

i

i















0

A

A

AB

A

AB

AX

c

c

D

dx

dc

D

N

i

















AB

c

D

k 

współczynnik wnikania

MODEL WARSTEWKOWY

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Modele penetracyjne zakładają, że zachodzące wewnątrz płynu zawirowania burzliwe
nie są tłumione w pobliżu powierzchni międzyfazowej, lecz dochodzą do tej
powierzchni, prowadząc do ciągłego jej odnawiania.

Powierzchnia płynu stanowi zatem „mozaikę” elementów o różnym wieku. Stąd średnia
wartość strumienia masy wyniesie:

   

dt

t

N

t

N

t











0



funkcja rozkładu wieku elementów powierzchni

chwilowy strumień masy odniesiony do elementu
o wieku t

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Zakładamy że wnikanie masy do poszczególnych elementów płynu wyniesionych
na powierzchnię przebiega tak samo, jak wnikanie do środowiska nieruchomego
o nieskończonej głębokości.

Przy przyjętych założeniach równanie Konwekcji – Dyfuzji sprowadza się do postaci:

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

2

2

dx

c

d

D

dt

dc

A

AB

A





z warunkami granicznymi:

0



x

0



x

0

c

c

A



Ai

A

c

c 

0



t

0



t

0



t





x

0

c

c

A



Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Całkowanie tego równania jest dość skomplikowane, pozwala jednak określić
nam chwilowy strumień masy w postaci:

 





t

D

c

c

dt

dc

D

t

N

AB

A

Ai

x

A

AB

t































0

0

Średni strumień masy zależeć będzie od przyjętej postaci funkcji rozkładu wieku
elementów powierzchni Φ(t)

Rozpatrzymy dwa modele Higbiego i Danckwersta

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Model Higbiego zakłada, że czas życia wszystkich elementów powierzchni jest
jednakowy i wynosi τ, tj. po upływie czasu τ każdy element zostaje odnowiony
prowadzi to do następującej postaci funkcji rozkładu czasu życia elementów
powierzchni:

 













t

t

0

1

 









t

t

0

wówczas średni strumień masy:

 































AB

A

Ai

t

D

c

c

dt

t

N

N

0

0

2

1

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

Model Danckwersta zakłada, że prawdopodobieństwo odnowienia elementu
powierzchni nie zależy od jego wieku i prowadzi do zależności:

 





0

exp











t

t

s

s

t



 

0

0





t

t



szybkość odnawiania powierzchni

wówczas średni strumień masy:













s

D

c

c

dt

t

D

t

s

s

c

c

N

AB

A

Ai

AB

A

Ai































0

0

0

exp



Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 15 : Teoria procesów wymiany masy

 





0

0

A

A

c

A

x

A

c

c

k

N

N

i

i











Pamiętając że:

w ogólnym ujęciu dla modeli penetracyjnych

AB

c

D

k 

zestawiając:

AB

c

D

k 

AB

c

D

k 

model penetracyjny

model warstewkowy

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Wyznaczanie współczynników wnikania masy

AB

c

D

k

Sh







AB

II

D

k

D







AB

D

u

Pe







AB

D

Sc









-liczba Sherwooda jest to miara stosunku ogólnej szybkości
przenoszenia masy do szybkości dyfuzji.

-druga liczba Damkolera jest miarą stosunku zmiany ilości
reagenta w wyniku reakcji chemicznej od ilości reagenta
przenoszonego na skutek dyfuzji.

-dyfuzyjna liczba Pecleta jest miarą stosunku rozkładu stężeń
wywołanego na skutek konwekcji do rozkładu stężeń wywołanego
dyfuzją.

-liczba Schmidta jest miarą stosunku szybkości cząsteczkowego
przenoszenia pędu do szybkości dyfuzji masy.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Liczbę Pe możemy przedstawić jako iloczyn Reynoldsa i Schmidta

Sc

D

u

Pe

AB















Re











Liczby Pe i Sc stanowią podstawowe kryteria podobieństwa procesu dyfuzyjnego
transportu masy.

Ogólnie rzecz ujmując :





geometria

Sc

f

D

k

Sh

AB

c

,

Re,









Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

b

a

AB

c

Sc

C

D

k

Sh











Re



stałe charakterystyczne dla danego procesu

Dla konwekcji naturalnej pojawia się liczba Grashofa

2

3









A

g

Gr











Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

W równaniach korelacyjnych pojawiają się liczby będące kombinacjami liczb
podstawowych:

Sc

Le

Pr



- liczba Lewisa

Sc

Sh

St





Re

- liczba Stantona

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Większość przemysłowych procesów wymiany masy polega na przenikaniu
składnika lub kilku składników z głębi jednej fazy do drugiej przez powierzchnię
międzyfazową. Należą do tej grupy bardzo ważne praktycznie procesy rozdzielania
substancji, np. ekstrakcja, absorpcja, destylacja, suszenie itp..

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Przenoszenie masy podczas przenikania obejmuje trzy następujące etapy:

1) Wnikanie masy z wnętrza pierwszej fazy do powierzchni międzyfazowej

2) przenoszenie masy przez powierzchnię międzyfazową

3) wnikanie masy od powierzchni między fazowej do wnętrza drugiej fazy

Stwierdzono doświadczalnie, że opór powierzchniowy przenoszenia jest pomijalny,
a zatem sytuacja na granicy faz odpowiada stanowi równowagi dynamicznej.

Stąd też stężenia na powierzchni rozdziału faz układu o ograniczonej rozpuszczalności
możemy określić jako równowagowe.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Rozpatrzmy typowy ustalony proces przenikania masy pomiędzy fazą gazową i
ciekłą. Stosownie do teorii dwóch warstw granicznych przyjmujemy, że szybkość
przenoszenia masy po obu stronach powierzchni międzyfazowej uzależniona
jest wyłącznie od oporów dyfuzyjnych warstw zastępczych.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Przy pominięciu oporu międzyfazowego stężenie na powierzchni rozdziału
możemy wyznaczyć jako równowagowe:

 

i

i

c

p 



i możemy dzięki temu określić siły napędowe
procesu transportu masy w każdej fazie:









i

c

i

p

A

c

c

k

p

p

k

N















gdzie: p

i

, c

i

– stężenie składnika dyfundującego

na powierzchni międzyfazowej. p, c – stężenia
w głębi faz.

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

krzywa równowagi









p

c

i

i

k

k

c

c

p

p









Stężenia w głębi faz są łatwe do określenia i z reguły znane, dysponując zależnością
opisującą krzywą równowagi możemy określić stężenia panujące na powierzchni
międzyfazowej:





i

p

c

i

c

c

k

k

p

p









prosta przechodząca przez punkt (p, c) i (p

i

, c

i

)

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Z powyższego wykresu wynika, że stosunek stężeń w oby fazach zależy od oporów
wnikania wyrażanych wartościami współczynników wnikania k

c

i k

p

oraz od

kształtu krzywej równowagi.

Operowanie w obliczeniach wartościami stężeń na powierzchni międzyfazowej jest
niewygodne , dlatego też równanie przenikania doprowadza się do postaci, w której
jako siła napędowa występuje różnica stężeń w głębi obu faz.

Wymaga to zdefiniowania stężeń równoważnych, a mianowicie stężenia p*, jakie
było by w równowadze w stosunku do roztworu ciekłego o stężeniu c, lub odwrotnie,
stężenia równowagowego c* odpowiadającego ciśnieniu cząstkowemu p w mieszaninie
gazowej

 

c

p





*

 

p

c





*

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Rozkład sił napędowych procesu wygląda następująco:

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Zastosowanie stężeń równoważnych umożliwia określenie strumienia masy składnika
w postaci zależności:









c

c

K

p

p

K

N

C

P

A













*

*

współczynniki przenikania masy

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Rozkład stężeń w obu fazach zależy od położenia linii równowagi, w skrajnych
przypadkach bardzo dobrej lub bardzo złej rozpuszczalności gazu w równaniach
można stosować współczynniki wnikania gazu:

Bardzo dobra rozpuszczalność gazu:

*

c

c

i



gaz

ciecz

główny opór wnikania masy
znajduje się po stronie cieczy





c

c

k

N

c

A







*

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Bardzo zła rozpuszczalność gazu:

*

p

p

i



gaz

ciecz

główny opór wnikania masy
znajduje się po stronie gazu





*

p

p

k

N

p

A







Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Jeżeli pomiędzy stężeniami równowagowymi istnieje proporcjonalność, np. w układzie
gaz – ciecz obowiązuje prawo Henry`ego :

c

m

p





współczynnik przenikania masy może być łatwo określony. Zgodnie z zależnościami
dla stężeń równoważnych możemy napisać:

*

c

m

p





c

m

p





*

 

c

p





*

 

p

c





*

oraz dla stężeń na granicy faz:

i

i

c

m

p





Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Czyli:









i

c

i

p

A

c

c

k

p

p

k

N























c

c

k

c

c

k

m

N

i

c

i

p

A















*

eliminując z









c

c

K

p

p

K

N

C

P

A













*

*

całkowitą różnicę stężeń:

c

p

C

k

k

m

K

1

1

1







Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Postępując analogicznie









i

c

i

p

A

c

c

k

p

p

k

N























i

p

i

c

A

p

p

k

p

p

m

k

N













*

c

P

P

k

m

k

K





1

1

Inżynieria Chemiczna i Procesowa

Wykład nr 16 : Teoria procesów wymiany masy

Dyskusja równań dla skrajnych wartości m potwierdza wnioski wyprowadzone
wcześniej:

c

p

C

k

k

m

K

1

1

1







c

P

P

k

m

k

K





1

1

m  bardzo małe

(słaba rozpuszczalność
gazu w cieczy)

p

P

k

K 

c

C

k

K 

m  bardzo duże

(dobra rozpuszczalność
gazu w cieczy)





c

c

k

N

c

A







*

opory po stronie cieczy





*

p

p

k

N

p

A







opory po stronie gazu