FIZYKA

Prawo powszechnego

Prawo powszechnego

ciążenia - grawitacja

ciążenia - grawitacja

dr inż. Marek Profaska

dr inż. Marek Profaska

2

2

1

r

m

m

G

F 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Prawo to zostało sformułowane po raz

pierwszy przez Newtona (1642-1727),

na podstawie obserwacji spadającego

jabłka.

Zauważył on tę samą przyczynę

spadania ciał na powierzchnie ziemi jak
i ruchu obrotowego Księżyca dookoła
Ziemi – tzn. silę przyciągania Ziemi.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Przykład 1
Obliczmy jakie jest przyspieszenie

Księżyca i jaki jest stosunek
przyspieszenia Księżyca do
przyspieszenia grawitacyjnego przy
powierzchni Ziemi?

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Zastosujemy równanie na

przyspieszenie dośrodkowe (w ruch
jednostajny po okręgu). Wówczas:

2

2

2

2

4

T

R

R

R

a

K

K

K











v

gdzie: R

K

jest odległością od Ziemi do

Księżyca.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Ta odległość wynosi 3.86·105 km,

a okres obiegu Księżyca T = 27.3

dnia. Otrzymujemy więc:

a = 2.73·10

-3

m/s

2

W pobliżu powierzchni Ziemi

przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2.

Stąd stosunek przyspieszeń wynosi:

a/g = 1/3590



(1/60)

2

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Porównując wartość przyspieszenia

ziemskiego (g=9,81m/s

2

) na

powierzchni ziemi z wartością
przyspieszenia dośrodkowego w ruchu
Księżyca dookoła Ziemi(a=0,273
m/s

2

), Newton przekonał się że siła

grawitacji jest odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odległości
mas wzajemnie się przyciągających.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Dwie masy przyciągają się siłą

Dwie masy przyciągają się siłą

proporcjonalną do iloczynu ich

proporcjonalną do iloczynu ich

mas,

mas,

a odwrotnie proporcjonalną do

a odwrotnie proporcjonalną do

kwadratu ich odległości.

kwadratu ich odległości.

2

2

1

r

m

m

G

F 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

gdzie:
m

1

,m

2

- masy ciał przyciągających się,

r- odległość miedzy masami,
G- stała ciążenia powszechnego (stała

grawitacji).

Sens fizyczny stałej G możemy łatwo wyznaczyć

podstawiając za m

1

= 1,i m

2

= 1 oraz za r=1

wtedy otrzymamy: G = F

Czyli stałą G równa się sile z jaką przyciągają

się dwie jednostkowe masy umieszczone w

odległości 1 metra od siebie.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Doświadczenie Cavendisha
Newton obliczył wartość stałej G na podstawie

przyjętego założenia o średniej wartości gęstości

Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro

o super wielkiej gęstości to wynik uzyskany

przez Newtona byłby obarczony dużym błędem.

Czy można wyznaczyć stałą G w laboratorium

niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć

błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?

W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania

dwóch mas m

1

i m

2

umieszczonych w odległości x

(rysunek).

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Wówczas siła
F = Gm

1

m

2

/x

2

czyli:

2

1

2

m

m

Fx

G 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg

oddalonych od siebie o 10 cm siła F
ma wartość F = 6.67·10

-9

N tj. 10

9

razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za
mała by ją wykryć (dokładnie)
zwykłymi metodami.

Problem ten rozwiązał

Henry Cavendish
w 1797 r.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Wykorzystał on fakt, że siła potrzebna do skręcenia

długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest

bardzo mała. Cavendish najpierw wykalibrował włókna,

a następnie zawiesił na nich pręt z dwiema małymi

kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a).

Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę

ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt

(rysunek b).

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Stała G została wyznaczona

doświadczalnie przez Cavendisha
przy pomocy tzw. wagi skręceń i
wynosi:

G= 6,67 x 10

-11

[ Nm

2

kg

-2

]

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Stosując II zasadę dynamiki:

gdzie : M –masa Ziemi, R- promień Ziemi.

2

R

Mm

G

mg

F





2

R

M

G

g 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Mając już godną zaufania wartość G,

Cavendish wyznaczył M

Z

z równania:

Wynik pomiaru jest równie dokładny jak

wyznaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył

też masę Słońca, Jowisza i innych planet,

których satelity zostały zaobserwowane.

Np. na rysunku poniżej niech M będzie

masą Słońca, a m masą planety krążącej

wokół Słońca np. Ziemi.

G

gR

M

Z

Z

2



GRAWITACJA

GRAWITACJA

Wtedy: F = GMm/R

2

Ponieważ przyspieszenie: a = 42R/T
to z równania F = ma otrzymujemy:

czyli:















2

2

2

4

T

R

m

R

Mm

G



2

3

2

4

GT

R

M





GRAWITACJA

GRAWITACJA

Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T =

1 rok, to M jest masą Słońca.

Podobne obliczenia można przeprowadzić

dla innych planet.

Masa 1[kg] jest przyciągana przez ziemie z

siłą 9,81 [N], znając promień ziemi R= 6

367 600[m], obliczamy masę ziemi M:

M= 5,97x 10

24

[kg]

GRAWITACJA

GRAWITACJA

• Wykorzystując siłę grawitacji można również

wyznaczyć przyspieszenie ziemskie.

• Ponieważ wskutek rotacji kula ziemska uległa

spłaszczeniu w kierunku osi, zmienia się
promień ziemi. Powoduje on zmianę wartości
przyspieszenia ziemskiego.

• Na zmianę ma także wpływ przyspieszenie

odśrodkowe ( za wyjątkiem biegunów).Czyli
zależy ono także od szerokości geograficznej.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Przykład 2
Jaki był okres obiegu Księżyca

przez moduł statku Apollo?

F = ma =>

gdzie: M

K

jest masą Księżyca, a R

promieniem orbity po jakiej krąży

moduł o masie m.

2

R

m

M

G

F

K



GRAWITACJA

GRAWITACJA

Ponieważ przyspieszenie:

Podstawiając wartości liczbowe: promień Księżyca

R = 1740 km, masę M

K

 = 7.35·1022 kg i G =

6.67·10

-11

Nm

2

/kg

2

, otrzymamy T = 6.5·10

3

s czyli

108 minut.

2

2

4

T

R

a



















2

2

2

4

T

R

m

R

m

M

G

K



K

GM

R

T

3

2

2

4





K

GM

R

T

3

2





GRAWITACJA

GRAWITACJA

PRACA W POLU GRAWITACYJNYM

Przestrzeń w której działają siły

grawitacyjne , nazywamy polem
sil grawitacyjnych lub polem
grawitacyjnym.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

• Jeżeli na jakieś ciało działa pole sil to

ciało to również wytwarza własne
pole sil tego samego rodzaju.

• Każda cząstka materialna (masa)

wytwarza pole i wzajemne
oddziaływanie cząstek sprowadza się
do oddziaływania pól wytworzonych
przez te cząstki.

Jaką pracę wykona pole grawitacyjne

Jaką pracę wykona pole grawitacyjne

wytworzone przez masę

wytworzone przez masę

M

M

przenosząc masę

przenosząc masę

m

m

z punktu B do punktu C ?

z punktu B do punktu C ?

A

B

r

1

r

C

(1)

(2)

m



M

K

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Ponieważ przy odsuwaniu masy m siła

na nią działająca maleje więc
zastosujemy zależność:





1

cos

)

(

r

r

dx

x

F

L



GRAWITACJA

GRAWITACJA

dla przypadku jak na rysunku:

1

1

1

1

cos

2

r

r

r

r

r

r

r

GMm

dr

r

Mm

G

Fdr

L





































1

r

Mm

G

r

Mm

G

L

A

B

r

1

r

C

(1)

(2)

m



M

K

Znak minus wynika z tego
że przemieszczenie ma
przeciwny kierunek niż siła
grawitacji czyli jej praca
będzie ujemna.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Korzystając z powyższych zależności można

zapisać:

W = Ep

B

- Ep

C

Wynika z tego że wartość pracy w polu

grawitacyjnym nie zależy od drogi , lecz

jedynie od początkowego i końcowego

położenia miedzy którymi została

wykonana praca.

Praca wykonana przez siły pola równa

się różnicy energii potencjalnej w

punkcie początkowym i końcowym

drogi.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Energia potencjalna masy m w polu

grawitacyjnym ma zawsze wartość
ujemną i rośnie do zera w miarę
oddalania się masy do nieskończoności.

Pola, które wykazują taką

właściwość, że praca wykonana
przez siły tego pola nie zależy od
drogi nazywamy polami
zachowawczymi.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

POTENCJAŁ POLA GRAWITACYJNEGO

Potencjałem V pola grawitacyjnego

w danym punkcie nazywamy
stosunek pracy wykonanej przez siły
tego pola przy przemieszczaniu
masy z danego punktu w
nieskończoność do wielkości tej
masy.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Potencjał ten w punkcie B będzie wynosił:

Energia potencjalna masy m w nieskończoności

wynosi O gdyż nie działają na nią żądne siły pola.

Czyli energia potencjalna masy m w punkcie B ma

postać:

. Otrzymamy wiec, że:

Ep= m V

r

M

G

dr

r

M

G

Fdr

m

m

L

V

r

r

A

























2

1

r

Mm

G

E

p





GRAWITACJA

GRAWITACJA

Potencjał pola wywołaną masą M

ma symetrię kulistą wokół
punktu, w którym znajduje się
masa M. Na całej powierzchni
kuli wokół M potencjał jest
jednakowy.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Powierzchnie, której punkty

mają ten sam potencjał
nazywamy powierzchnią
ekwipotencjalną.

Na rysunku został

przedstawiony wykres

energii potencjalnej
w polu grawitacyjnym.

Pole grawitacyjne można również

opisać wektorowo wprowadzając
pojecie wektora natężenia pola.

E

p

r

m

F

K 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Natężenie pola jest to stosunek

siły działającej na masę do
wielkości tej masy.

Wektor natężenia pola jest prostopadły do

powierzchni ekwipotencjalnej i jest
skierowany od powierzchni o potencjale
wyższym do powierzchni o potencjale
niższym.

Wektor ten jest równy

przyspieszeniu ziemskiemu.

g

m

F

K





GRAWITACJA

GRAWITACJA

Ponieważ Ziemia jest bardzo wielką

kulą, wiec na małej przestrzeni jej
linie pola są praktycznie biorąc,
równolegle i natężenie pola jest
wszędzie jednakowe.

Takie pole nazywamy

polem

jednorodnym

.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Na rys przedstawione zostały

przykłady pola jednorodnego (Np.
bezpośrednio w pobliżu Ziemi, i
powierzchni ekwipotencjalnej – pole
grawitacyjne Ziemi).

Dziękuję za uwagę

