FIZYKA

Prawo powszechnego 

Prawo powszechnego 

ciążenia - grawitacja

ciążenia - grawitacja

dr inż. Marek Profaska

dr inż. Marek Profaska

 

 

2

2

1

r

m

m

G

F 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   

Prawo to zostało sformułowane po raz 

pierwszy przez Newtona (1642-1727), 

   na podstawie obserwacji spadającego 

jabłka.

   

Zauważył on tę samą przyczynę 

spadania ciał na powierzchnie ziemi jak 
i ruchu obrotowego Księżyca dookoła 
Ziemi – tzn. silę przyciągania Ziemi.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

    Przykład 1
   Obliczmy jakie jest przyspieszenie 

Księżyca i jaki jest stosunek 
przyspieszenia Księżyca do 
przyspieszenia grawitacyjnego przy 
powierzchni Ziemi?

   

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Zastosujemy równanie na 

przyspieszenie dośrodkowe (w ruch 
jednostajny po okręgu). Wówczas:

2

2

2

2

4

T

R

R

R

a

K

K

K











v

gdzie: R

K

 jest odległością od Ziemi do 

Księżyca. 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Ta odległość wynosi 3.86·105 km, 

a okres obiegu Księżyca T = 27.3 

dnia. Otrzymujemy więc:

a = 2.73·10

-3

 m/s

2

   W pobliżu powierzchni Ziemi 

przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. 

Stąd stosunek przyspieszeń wynosi:

a/g = 1/3590 



 (1/60)

2

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   

Porównując wartość przyspieszenia 

ziemskiego (g=9,81m/s

2

) na 

powierzchni ziemi z wartością 
przyspieszenia dośrodkowego w ruchu 
Księżyca dookoła  Ziemi(a=0,273 
m/s

2

), Newton przekonał się że siła 

grawitacji jest odwrotnie 
proporcjonalna do kwadratu odległości 
mas wzajemnie się przyciągających.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Dwie masy przyciągają się siłą 

Dwie masy przyciągają się siłą 

proporcjonalną do iloczynu ich 

proporcjonalną do iloczynu ich 

mas, 

mas, 

a odwrotnie proporcjonalną do 

a odwrotnie proporcjonalną do 

kwadratu ich odległości.

kwadratu ich odległości.

2

2

1

r

m

m

G

F 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

gdzie:  
m

1

,m

2

- masy ciał przyciągających się,

r- odległość miedzy masami,
G- stała ciążenia powszechnego (stała 

grawitacji).

Sens fizyczny stałej G możemy łatwo wyznaczyć 

podstawiając za m

1

 = 1,i m

2

 = 1 oraz za r=1 

wtedy otrzymamy: G = F

Czyli stałą G równa się sile z jaką przyciągają 

się  dwie jednostkowe masy umieszczone w 

odległości  1 metra od siebie. 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Doświadczenie Cavendisha
    Newton obliczył wartość stałej G na podstawie 

przyjętego założenia o średniej wartości gęstości 

Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy jądro 

o super wielkiej gęstości to wynik uzyskany 

przez Newtona byłby obarczony dużym błędem. 

    

Czy można wyznaczyć stałą G w laboratorium 

niezależnie od masy Ziemi i tym samym uniknąć 

błędu związanego z szacowaniem gęstości Ziemi?

    W tym celu trzeba zmierzyć siłę oddziaływania 

dwóch mas m

1

 i m

2

 umieszczonych w odległości x 

(rysunek). 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Wówczas siła 
F = Gm

1

m

2

/x

2

czyli: 

2

1

2

m

m

Fx

G 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Zauważmy, że dla mas każda po 1 kg 

oddalonych od siebie o 10 cm siła F 
ma wartość F = 6.67·10

-9

 N tj. 10

9

 

razy mniej niż ciężar 1 kg i jest za 
mała by ją wykryć (dokładnie) 
zwykłymi metodami.

   

Problem ten rozwiązał 

Henry Cavendish 
w 1797 r.

 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

     

Wykorzystał on fakt, że siła potrzebna do skręcenia 

długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest 

bardzo mała. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, 

a następnie zawiesił na nich pręt z dwiema małymi 

kulkami ołowianymi na końcach (rysunek a). 

     Następnie w pobliżu każdej z kulek umieścił większą kulę 

ołowianą i zmierzył precyzyjnie kąt o jaki obrócił się pręt 

(rysunek b). 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Stała G została wyznaczona 

doświadczalnie przez Cavendisha 
przy pomocy tzw. wagi skręceń i 
wynosi:

            

  G= 6,67 x 10

-11

 [ Nm

2

 

kg

-2

]

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Stosując II zasadę dynamiki: 

gdzie : M –masa Ziemi, R- promień Ziemi. 

2

R

Mm

G

mg

F





2

R

M

G

g 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Mając już godną zaufania wartość G, 

Cavendish wyznaczył M

Z

 z równania:

   Wynik pomiaru jest równie dokładny jak 

wyznaczenia stałej G. Cavendish wyznaczył 

też masę Słońca, Jowisza i innych planet, 

których satelity zostały zaobserwowane. 

Np. na rysunku poniżej niech M będzie 

masą Słońca, a m masą planety krążącej 

wokół Słońca np. Ziemi. 

G

gR

M

Z

Z

2



GRAWITACJA

GRAWITACJA

Wtedy:           F = GMm/R

2

Ponieważ przyspieszenie:      a = 42R/T
to z równania F = ma otrzymujemy:

 czyli:















2

2

2

4

T

R

m

R

Mm

G



2

3

2

4

GT

R

M





GRAWITACJA

GRAWITACJA

Jeżeli R jest odległością Ziemia - Słońce, T = 

1 rok, to M jest masą Słońca. 

Podobne obliczenia można przeprowadzić 

dla innych planet.

Masa 1[kg] jest przyciągana przez ziemie z 

siłą 9,81 [N], znając promień ziemi R= 6 

367 600[m], obliczamy masę ziemi  M:

M= 5,97x 10

24

 [kg]

GRAWITACJA

GRAWITACJA

• Wykorzystując siłę grawitacji można również 

wyznaczyć przyspieszenie ziemskie.

• Ponieważ wskutek rotacji kula ziemska uległa 

spłaszczeniu w kierunku osi, zmienia się 
promień ziemi. Powoduje on zmianę wartości 
przyspieszenia ziemskiego.

• Na zmianę  ma także wpływ przyspieszenie 

odśrodkowe ( za wyjątkiem biegunów).Czyli 
zależy ono także od szerokości geograficznej.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Przykład 2
Jaki był okres obiegu Księżyca 

przez moduł statku Apollo?

        F = ma   => 

gdzie: M

K

 jest masą Księżyca, a R 

promieniem orbity po jakiej krąży 

moduł o masie m. 

2

R

m

M

G

F

K



GRAWITACJA

GRAWITACJA

Ponieważ przyspieszenie:

    Podstawiając wartości liczbowe: promień Księżyca 

R = 1740 km, masę M

K

 = 7.35·1022 kg i G = 

6.67·10

-11

 Nm

2

/kg

2

, otrzymamy T = 6.5·10

3

 s czyli 

108 minut. 

2

2

4

T

R

a



















2

2

2

4

T

R

m

R

m

M

G

K



K

GM

R

T

3

2

2

4





K

GM

R

T

3

2





GRAWITACJA

GRAWITACJA

PRACA W POLU GRAWITACYJNYM

   

Przestrzeń w której działają siły 

grawitacyjne , nazywamy polem 
sil grawitacyjnych lub polem 
grawitacyjnym.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

• Jeżeli na jakieś ciało działa pole sil to 

ciało to również wytwarza własne 
pole sil tego samego rodzaju.

• Każda cząstka materialna (masa) 

wytwarza pole  i wzajemne 
oddziaływanie cząstek sprowadza się 
do oddziaływania pól wytworzonych 
przez te cząstki.

Jaką pracę wykona pole grawitacyjne 

Jaką pracę wykona pole grawitacyjne 

wytworzone przez masę 

wytworzone przez masę 

M

M

 przenosząc masę 

 przenosząc masę 

m

m

 

 

z punktu  B do punktu C ?

z punktu  B do punktu C ?

A

B

r

1

r

C

(1)

(2)

m



M

K

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Ponieważ przy odsuwaniu masy m  siła 

na nią działająca maleje  więc 
zastosujemy zależność:





1

cos

)

(

r

r

dx

x

F

L



                     

                     

GRAWITACJA

GRAWITACJA

dla przypadku jak na rysunku: 

1

1

1

1

cos

2

r

r

r

r

r

r

r

GMm

dr

r

Mm

G

Fdr

L





































1

r

Mm

G

r

Mm

G

L

A

B

r

1

r

C

(1)

(2)

m



M

K

Znak minus wynika z tego 
że przemieszczenie ma 
przeciwny kierunek niż siła 
grawitacji czyli jej praca 
będzie ujemna.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Korzystając z powyższych zależności można 

zapisać:

W = Ep

B

 - Ep

C

   

Wynika z tego że wartość pracy w polu 

grawitacyjnym nie zależy od drogi , lecz 

jedynie od początkowego i końcowego 

położenia miedzy którymi została 

wykonana praca. 

   

Praca wykonana przez siły pola równa 

się różnicy energii potencjalnej w 

punkcie początkowym i końcowym 

drogi.

 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Energia potencjalna masy m w polu 

grawitacyjnym ma zawsze wartość 
ujemną i rośnie do zera w miarę 
oddalania się masy do nieskończoności.

   Pola, które wykazują taką 

właściwość, że praca wykonana 
przez siły tego pola nie zależy od 
drogi nazywamy polami 
zachowawczymi.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

POTENCJAŁ POLA GRAWITACYJNEGO

   

Potencjałem V pola grawitacyjnego 

w danym punkcie nazywamy 
stosunek pracy wykonanej przez siły 
tego pola przy przemieszczaniu 
masy z danego punktu w 
nieskończoność do wielkości tej 
masy.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

Potencjał ten w punkcie B będzie wynosił:

Energia potencjalna masy m w nieskończoności 

wynosi O gdyż nie działają na nią żądne siły pola. 

Czyli energia potencjalna masy m w punkcie B ma 

postać:

.                                          Otrzymamy wiec, że: 

                                        

Ep= m V

r

M

G

dr

r

M

G

Fdr

m

m

L

V

r

r

A

























2

1

r

Mm

G

E

p





GRAWITACJA

GRAWITACJA

   

   

Potencjał pola wywołaną masą M 

ma symetrię kulistą wokół 
punktu, w którym znajduje się 
masa M. Na całej powierzchni 
kuli wokół M potencjał jest 
jednakowy.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   

Powierzchnie, której punkty 

mają ten sam potencjał 
nazywamy powierzchnią 
ekwipotencjalną.

   

Na rysunku został 

     przedstawiony wykres 

energii potencjalnej 
w polu grawitacyjnym.

     Pole grawitacyjne można również 

opisać wektorowo wprowadzając 
pojecie wektora natężenia pola.

E

p

r

m

F

K 

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   

Natężenie pola jest to stosunek 

siły działającej na masę do 
wielkości tej masy.

    Wektor natężenia pola jest prostopadły do 

powierzchni ekwipotencjalnej i jest 
skierowany od powierzchni o potencjale 
wyższym do powierzchni o potencjale 
niższym.

    

Wektor ten jest równy 

przyspieszeniu ziemskiemu.

g

m

F

K





GRAWITACJA

GRAWITACJA

   
   

Ponieważ Ziemia jest bardzo wielką 

kulą, wiec na małej przestrzeni jej 
linie pola są praktycznie biorąc, 
równolegle i natężenie pola jest 
wszędzie jednakowe.

   Takie pole nazywamy 

polem 

jednorodnym

.

GRAWITACJA

GRAWITACJA

   Na rys przedstawione zostały 

przykłady pola jednorodnego (Np. 
bezpośrednio w pobliżu Ziemi, i 
powierzchni ekwipotencjalnej – pole 
grawitacyjne Ziemi).

Dziękuję za uwagę 

