Osie i wały

Pojęcie osi i wału

Osią lub wałem nazywa się element maszyny podparty w łożyskach
i podtrzymujący osadzone na nim części maszyn. Na wale mogą być
osadzone różne elementy wykonujące ruchy obrotowe (np. koła zębate,
piasty, tarcze hamulcowe itp.) lub ruchy wahadłowe (np. koło zębate
współpracujące z zębatką).

Różnica pomiędzy osią a wałem:

Oś

– element obciążony jedynie momentem gnącym

Wał

– element, którego głównym zadaniem jest

przenoszenie momentu obrotowego

Typy osi i wałów

Gładkie

Stopniowane

Korbowe

Rozrządu

Osie

Stałe

– kierunek działania obciążenia jest stały względem

osi

Ruchome

– obciążenie zmienia kierunek działania

Schematy: a, b) wału, c) osi nieruchomej, d) osi ruchomej

Przykłady wałów

Głównym zadaniem wału jest przenoszenie momentu obrotowego, zatem
wał wykonuje zawsze ruch obrotowy. W związku z tym wał jest narażony
jednocześnie na skręcanie oraz - pod wpływem sił poprzecznych - na
zginanie. W niektórych przypadkach wał może być narażony tylko na
skręcanie (np. samochodowy wał napędowy w sprzęgle Cardana).

Przykłady wałów c.d.

Przykłady wałów c.d.

Wał wykonany z kompozytów

Charakterystyczne

powierzchnie wału

Czopami nazywa się odcinki osi lub wału, których powierzchnie stykają się ze
współpracującymi elementami: łożyskami, kołami zębatymi itd. Rozróżnia się
czopy ruchowe i czopy spoczynkowe. Czopy ruchowe współpracują z panewkami
łożysk ślizgowych, z kołami przesuwnymi lub obracającymi się względem
nieruchomej osi itp., natomiast czopy spoczynkowe współpracują z elementami
osadzonymi na stałe względem wału i obracającymi się wraz z nim.

Czopy - wymiary

Materiały stosowane na osie i

wały

Osie i wały wykonuje się najczęściej ze stali:

•

konstrukcyjnej węglowej

konstrukcyjnej węglowej

zwykłej jakości

zwykłej jakości (najczęściej E295, E360), gdy

elementy są mało obciążone w maszynach mniej ważnych, stosowane bez
obróbki cieplnej i gdy bardziej wymagana jest sztywność elementu niż jego
wytrzymałość;

•

konstrukcyjnej węglowej wyższej jakości

konstrukcyjnej węglowej wyższej jakości (najczęściej C25, C35 i C45).
Stale C25 i C35 stosuje się w stanie normalizowanym i ulepszonym lub
hartowanym powierzchniowo (45), stosowane gdy wyższe obciążenia i
temperatura;

•

konstrukcyjnej

stopowej

do

ulepszania

cieplnego

konstrukcyjnej

stopowej

do

ulepszania

cieplnego,

najczęściej

chromoniklowej, gdy wymagana jest mała średnica wału (w tym przypadku
zalecane jest ulepszanie cieplne) oraz gdy na wale są odkute elementy
pracujące jak koła zębate lub połówki sprzęgła, wymagające powierzchni
odpornych na ścieranie – duże obciążenia zmienne i udarowe;

•

konstrukcyjnej stopowej do nawęglania lub azotowania

konstrukcyjnej stopowej do nawęglania lub azotowania - jak w
powyższym punkcie, ale gdy bardziej zależy nam na twardości powierzchni niż
na wytrzymałości rdzenia elementu (zawsze nawęglone lub azotowane oraz
zawsze hartowane przynajmniej na niektórych powierzchniach) – bardzo duże
obciążenia zmienne, udarowe oraz wysokie obroty np wałki wirówek, wałki
rozrządu;

•

konstrukcyjnej stopowej o szczególnych własnościach

konstrukcyjnej stopowej o szczególnych własnościach, gdy wymagane
są szczególne cechy, jak żaroodporność, nierdzewność, kwasoodporność itp.

W wyjątkowych przypadkach wykonuje się wały odlewane, staliwne lub żeliwne
(głównie do wykonania wałów wykorbionych). Najczęściej stosuje się żeliwo
modyfikowane lub sferoidalne.

Projektowanie osi i wałów -

dane

• Schematy dotyczące wymiarów wałka,

wymiary elementów osadzonych na

wale oraz ich rozmieszczenie

• Dane dotyczące obciążenia wału

ilościowe (siły, momenty, prędkości

obrotowe, zmienność wartości) jak i

jakościowe (kierunki działania sił, ich

zwroty)

• Dane dotyczące oceny sztywności wałka

(dopuszczalne ugięcie, typy łożysk, itp.)

Etapy projektowania

• Etap I – Projektowanie wstępne

– Obliczenia reakcji i momentów
– Wyznaczenie średnic (zarys teoretyczny)

• Etap II – Obliczenia sprawdzające

– Obliczenia sztywności (strzałka ugięcia, kąt ugięcia, kąt skręcenia)
– Obliczenia dynamiczne (prędkość krytyczna)
– Obliczenia zmęczeniowe

• Etap III – Ostateczne ukształtowanie

wału

Etap I

Wały mogą być zginane, skręcane oraz rozciągane (ściskane),
zatem niezbędne jest zastosowanie odpowiedniej teorii
wytężeniowej - Hubera

Gdy naprężenia

normalne są

dominujące

Gdy naprężenia

styczne są

dominujące

Etap I c.d.

k

W

M

jo

g

x

g

g

)

(







k

W

M

jo

s

o

s

s

)

(







Rozpoczynając obliczenia nie znamy naprężeń, natomiast

obciążenia są znane.

16

32

2

2

3

3

d

d

W

W

x

o















Dla przekroju kołowego, typowego dla osi i wałów, wskaźniki przekrojów

można policzyć:

Etap I c.d.

ZATEM

W przypadku przewagi naprężeń normalnych (M

s

< 2M

g

)

W przypadku przewagi naprężeń stycznych (M

s

> 2M

g

)

Etap I c.d.

Materiał

x

e

x

m

x

z

Stale, staliwa, żeliwa

ciągliwe

2÷2,

3

-

3,5÷

4

Żeliwa szare

-

3,

5

3

Stopy miedzi

3÷4

-

4,5÷

6

Stopy aluminium

3,5÷

4

-

5÷7

Naprężenia dopuszczalne

Rodzaj

obciążenia

Symb

o

l

Stale,

staliwa

Żeliwa

szare

Stopy

miedzi

Stopy

aluminiu

m

Rozciąganie i
ściskanie

Z

rj

(0,55÷0,63)

R

m

~1,5 Z

rc

śr. 0,50 R

m

śr. 0,48 R

m

Z

rc

(0,28÷0,4)

R

m

śr. 0,7 Z

go

śr. 0,28 R

m

0,7 Z

go

≈0,25

R

m

Z

cj

Z

rj

(3,4÷4) Z

rj

Z

rj

Z

rj

Zginanie

Z

gj

(0,66÷0,75)

R

m

~1,5 Z

go

~1,8 Z

go

~1,8 Z

go

Z

go

śr. 0,45 R

m

śr. 0,4 R

m

śr. 0,35 R

m

śr. 0,34 R

m

Skręcanie i

ścinanie

Z

sj

(0,46÷0,5)

R

m

~1,5 Z

so

~1,7 Z

so

~1,7 Z

so

Z

so

(0,22÷0,25)

R

m

~0,8 Z

go

~0,58 Z

go

~0,56 Z

go

Etap I c.d.

Wyznaczenie średnic wału

W przypadku przewagi

naprężeń normalnych

W przypadku przewagi

naprężeń stycznych

1

2

A

B

l

1

l

2

l

P

1

P

2

A

B

P

2

P

1

α

1

α

2

r

1

r

2

x

y

Dane:

P

1

=10000N r

1

=0,08m

l=0,4m

r

2

=0,05m

l

1

=0,1m

α

1

=60

0

l

2

=025m

α

2

=120

0

stal 45 ulepszana cieplnie
Z

go

=250MPa Z

sj

=300MPa

Obliczamy wartości siły P

2

z warunku równowagi momentów:

kN

m

m

kN

r

r

P

P

r

P

r

P

16

05

,

0

08

,

0

10

2

1

1

2

2

2

1

1



















Obliczenia wstępne -

przykład

Obliczenia wstępne -

przykład

l

1

l

2

l

P

1

P

2

P

1x

P

2x

P

1y

P

2y

A

B

R

Bx

R

By

R

Ax

R

Ay

płaszczyzna xz

płaszczyzna yz

Dane:

P

1

=10000N r

1

=0,08m

l=0,4m

r

2

=0,05m

l

1

=0,1m

α

1

=60

0

l

2

=025m

α

2

=120

0

stal 45 ulepszana cieplnie
Z

go

=250MPa Z

sj

=300MPa

Obliczamy wartości składowych sił w płaszczyznach xz i yz:

kN

kN

P

P

kN

kN

P

P

kN

kN

P

P

kN

kN

P

P

y

y

x

x

8

5

,

0

16

60

cos

5

5

,

0

10

60

cos

856

,

13

8660

,

0

16

60

sin

66

,

8

8660

,

0

10

60

sin

0

2

2

0

1

1

0

2

2

0

1

1









































P

2

P

1

α

1

α

2

r

1

r

2

x

y

Obliczenia wstępne -

przykład













0

0

2

1

Bx

x

x

Ax

ix

R

P

P

R

P

















0

0

2

2

1

1

l

R

l

P

l

P

M

Bx

x

x

ixA

Bx

x

x

Ax

R

P

P

R











2

1

Obliczamy wartości reakcji z warunków równowagi sił w kierunku x i y, oraz z warunków
równowagi momentów względem łożysk:

P

1x

P

2x

R

Bx

R

Ax

płaszczyzna xz

l

l

P

l

P

R

x

x

Bx

2

2

1

1













kN

m

m

kN

m

kN

R

Bx

495

,

6

4

,

0

25

,

0

856

,

13

1

,

0

66

,

8













kN

kN

kN

kN

R

Ax

299

,

1

495

,

6

856

,

13

66

,

8













Ujemna wartość reakcji R

Ax

oznacza błędnie założony zwrot. Należy więc go

skorygować.

l

1

l

2

l

Obliczenia wstępne -

przykład

płaszczyzna yz













0

0

2

1

By

y

y

Ay

iy

R

P

P

R

P



















0

0

2

2

1

1

l

R

l

P

l

P

M

By

y

y

iyA

By

y

y

Ay

R

P

P

R









2

1

l

l

P

l

P

R

x

x

Bx

2

2

1

1













kN

m

m

kN

m

kN

R

By

25

,

6

4

,

0

25

,

0

8

1

,

0

5











kN

kN

kN

kN

R

Ay

75

,

6

25

,

6

8

5









P

1y

P

2y

R

By

R

Ay

l

2

l

l

1

Obliczenia wstępne -

przykład

0



gxA

M

Nm

m

kN

l

R

M

Ax

gx

9

,

129

1

,

0

299

.

1

1

1















Nm

m

m

kN

m

kN

l

l

P

l

R

M

x

Ax

gx

25

,

974

)

1

,

0

25

,

0

(

66

,

8

25

,

0

299

,

1

1

2

1

2

2





























Obliczamy wartości momentów gnących w płaszczyznach xz i yz.

płaszczyzna xz





Nm

m

m

kN

l

l

R

M

Bx

gx

25

,

974

)

25

,

0

4

,

0

(

495

,

6

2

2





















lub

0



gxB

M

P

1x

P

2x

R

Bx

R

Ax

M

gx

A

M

gx

1

M

gx

2

M

gx

B

l

2

l

l

1

P

P

M

M

g

g

(+)

(+)

M

M

g

g

(-)

(-)

Za dodatni moment
gnący przyjmujemy
ten, który powoduje
ugięcie

wału

ku

dołowi.

Obliczenia wstępne - przykład

0



gyA

M

Nm

m

kN

l

R

M

Ay

gy

675

1

,

0

75

,

6

1

1





















Nm

m

m

kN

m

kN

l

l

P

l

R

M

y

Ay

gy

5

,

937

)

1

,

0

25

,

0

(

5

25

,

0

75

,

6

1

2

1

2

2





































Nm

m

m

kN

l

l

R

M

By

gy

5

,

937

)

25

,

0

4

,

0

(

25

,

6

2

2























lub

0



gyB

M

M

gyB

P

1y

P

2y

R

By

R

Ay

płaszczyzna yz

M

gyA

M

gy1

M

gy2

l

2

l

l

1

Obliczenia wstępne - przykład

0



gA

M



 



Nm

Nm

Nm

M

M

M

gy

gx

g

385

,

687

675

9

,

129

2

2

2

1

2

1

1

















 



Nm

Nm

Nm

M

M

M

gy

gx

g

061

,

1352

5

,

937

25

,

974

2

2

2

2

2

2

2



















Obliczamy wartości momentów gnących wypadkowych

0



gB

M

M

gB

1

2

A

M

gA

M

g1

M

g2

B

Obliczenia wstępne - przykład

Nm

m

kN

r

P

r

P

M

s

800

08

,

0

10

2

2

1

1















2

2

2

2

2

1

2













































s

g

x

x

s

x

g

red

M

M

W

W

M

W

M







Obliczamy moment skręcający, który działa pomiędzy przekrojem 1 i 2

Wyznaczamy moment zastępczy zakładając obustronne zginanie wału i
jednostronne zmienne skręcanie.

 

2

2

s

g

red











x

g

g

W

M





o

s

s

W

M





32

3

d

W

x





16

3

d

W

o





o

x

W

W

2





gdzi
e

gdzi
e

zate
m

i

2

2

2

















s

g

z

M

M

M



Obliczenia wstępne - przykład

0



zA

M

Nm

Nm

Nm

M

z

75

,

769

)

800

(

16

3

)

385

,

687

(

2

2

1









Nm

Nm

Nm

M

z

73

,

1395

)

800

(

16

3

)

061

,

1352

(

2

2

2









2

3





sj

go

k

k



Dla tego typu zmienności obciążenia wartość współczynnika redukcyjnego α wynosi:

zatem:

2

2

16

3

s

gi

zi

M

M

M





1

2

A

M

zA

M

z1

M

z2

B

0



zB

M

M

zB

Obliczenia wstępne - przykład

go

x

z

red

k

W

M







MPa

MPa

x

Z

k

go

go

5

,

62

4

250







W przypadku, gdy dominuje zginanie mamy warunek:

Dopuszczalne naprężenia przy obustronnie zmiennym zginaniu przyjmujemy
przy założonym współczynniku bezpieczeństwa x=4 wynoszą:

Dla przekroju okrągłego wału mamy:

32

3

d

W

x





Stąd po przekształceniach otrzymujemy wzór na średnicę wału:

3

32

go

z

k

M

d





Obliczenia wstępne - przykład

mm

m

MPa

Nm

d

6

,

50

05060

,

0

5

,

62

75

,

769

32

3

1













mm

m

MPa

Nm

d

96

,

84

08496

,

0

5

,

62

73

,

1395

32

3

2













0



A

d

Obliczenia średnic teoretycznych wału

0



B

d

Etap II – Sztywność wału

EJ

x

M

y

g

)

(

''









C

dx

x

EJ

M

y

g

)

(

1

'

Strzałka ugięcia i kąt skręcenia

Równanie linii ugięcia belki





D

dx

C

dx

x

EJ

M

y

g









)

(

1

Kąt ugięcia

Strzałka ugięcia

Etap II – Sztywność wału

•

Podpora przegubowa lub przesuwna – w miejscu

podpory zakłada się zerowe przemieszczenie (y=0)

•

Wspornik – zerowe przemieszczenie oraz zerowy kąt

obrotu (y=0 oraz y’=0)

•

W miejscu maksymalnego ugięcia, kąt ugięcia jest

równy zero (y’=0)

•

Koniec swobodny – zerowy moment gnący (y’’ = 0)

Wyznaczenie stałych całkowania

Etap II – Sztywność wału

Dopuszczalne wartości strzałek ugięcia:

f

dop

= (0.0002÷0.0003)l

f

dop

= (0.005÷0.01)m

Dopuszczalny kąt ugięcia

 przyjmuje się w granicach od

0,0003 rad dla łożysk ślizgowych do 0,05 rad dla łożysk
wahliwych (ślizgowych lub tocznych).

Etap II – Sztywność wału

J

G

l

M

o

s





gdzie:
M

s

– moment skręcający,

G – moduł sprężystości poprzecznej (dla stali G=80 000 – 85 000 MPa),
J

o

– biegunowy moment bezwładności przekroju,

l – długość wału

Wartość dopuszczalnego kąta skręcenia φdop zależy od funkcji wału w
maszynie. Dla wałów maszynowych najczęściej przyjmuje się φ ≤ 0,25°,
tj.
φ ≤ 0,0044 rad na 1 m długości wału. W przypadku wałków skrętnych,
służących m.in. do łagodzenia nierównomierności momentu
obrotowego, dopuszcza się
φ ≤ 11° i więcej (np. dla wałka w sprzęgle Cardana, półosi
samochodowych itp.).

Etap II - drgania

f

c

e

f

m





 )

(

2







2

2

m

c

e

m

f





Dla f=∞   = 

kr

f=∞ gdy c-m

2

= 0

r

m

c

kr





Siła

odśrodkowa

Siła

sprężystości

Etap II - drgania













2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

















kr

kr

m

k

e

f

Zakres pracy

0.85

kr

≤  ≤ 1.25

kr

Wały

podkrytyczn

e

Wały

nadkrytyczn

e

Etap II - drgania



2

kr

stat

f

g

m

c





f

g

stat

kr





2



 c

s

kr



2

Metody inżynierskie szacowania prędkości

krytycznej

Q = mg

P

s

= cf

stat

Ciężar wału i elementów na nim
osadzonych

Ugięcie wału pod wpływem siły Q

mg=cf

stat

L

G

J

c

o

s



W przypadku skręcania

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Jeśli wartość, kierunek lub zwrot obciążenia ulega
zmianie w czasie to mamy do czynienia

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Współczynnik
amplitudy cyklu

Współczynnik stałości
obciążenia

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Rodzaj

cyklu

Schemat

Naprężeni

a

Współczynni

ki

Stałe

Jednostronne

Odzerowo-

tęniace

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Rodzaj

cyklu

Schemat

Naprężeni

a

Współczynni

ki

Dwustronne

Wahadłowe

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Wykres Wöhlera

Wytrzymałość zmęczeniowa Z – to takie naprężenie Smax dla danego
cyklu naprężeń, określonego przez R, że element nie ulega zniszczeniu po
osiągnięciu umownej granicznej liczby cykli N, nazywanej podstawą próby
zmęczeniowej

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Uproszczony wykres Smitha

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Wykres Haigha - uproszczony

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Czynniki wpływające na wytrzymałość

zmęczeniową:

• Materiał elementu
• Charakter zmian obciążenia
• Kształt przedmiotu
• Stan powierzchni
• Wielkość przedmiotu
• Środowisko pracy
• Temperatura pracy

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Kształt przedmiotu - KARB

Karb – miejsce zmian
poprzecznych przekrojów
elementów lub zmian krzywizny
powierzchni ograniczających
przedmiot:

- odsadzenia,
- rowki,
- wycięcia,
- gwinty,
- otwory,
- itp.

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Kształt przedmiotu - KARB

Współczynnik

kształtu karbu

Dla konkretnej geometrii karbu

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Kształt przedmiotu - KARB

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

1













p

k

Z

Z

obr

pol

p





Sumaryczny współczynnik

spiętrzenia naprężeń

Współczynnik

działania karbu

Współczynnik

wpływu

chropowatości

Z

pol

– granica zmęczenia próbki

polerowanej

Z

obr

– granica zmęczenia przy

zadanej chropowatości

Z

Z

K

gł

k





Z

gł

– granica zmęczenia próbki

gładkiej

Z

K

– granica zmęczenia próbki z

karbem

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe







pz

k





Z

Z

pz

pz





Sumaryczny współczynnik

spiętrzenia naprężeń

Współczynnik

działania karbu

Współczynnik

wpływu obróbki

powierzchni

Z – granica zmęczenia próbki bez
obróbki powierzchniowej

Z

pz

– granica zmęczenia próbki po

obróbce powierzchniowej

Z

Z

K

gł

k





Z

gł

– granica zmęczenia próbki

gładkiej

Z

K

– granica zmęczenia próbki z

karbem

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Współczynnik działania karbu





1

1













k

k

k

Współczynnik kształtu

karbu

Współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu

(im wyższe Rm tym większa wrażliwość)

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Współczynnik działania karbu

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Współczynnik wpływu chropowatości

Rozciągani

e i zginanie

Skręcanie i

ścinanie

1 – szlifowanie

2 – toczenie, frezowanie dokładne

3 – toczenie, frezowanie zgrubne,

4 – odlewanie, kucie, ….

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Wielkość elementu – współczynnik

wielkości przekroju

Większe elementy to większe prawdopodobieństwo

wad, pęknięć i uszkodzeń.

Z

Z

d





granica zmęczenia dla próbki o
dowolnym przekroju

granica zmęczenia dla próbki o
przekroju wzorcowym (koło o średnicy
7mm)

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Wielkość elementu – współczynnik

wielkości przekroju

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Współczynnik bezpieczeństwa – wartość

graniczna 

g

Wartości 

g

:

1,3 – 1,5

: znany rozkład naprężeń, wysoka technologia

wykonania i przy
stosowaniu dobrych metod defektoskopowych

1,5 – 1,7

: zwykła dokładność obliczeń, dobra technologia

wykonania i
czynności kontrolne

1,7 – 2,0

: elementy o większych wymiarach, średnia

dokładność
obliczeń i wykonania

2,0 – 2,5

: przy orientacyjnym określeniu obciążeń i naprężeń,

dla
nieznanych dokładnie warunków pracy

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Współczynnik bezpieczeństwa –

określenie wartości rzeczywistej

1 Cykle symetryczne







g

Z





max

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe







g

C

Z 



max



az



m

Współczynnik bezpieczeństwa –

określenie wartości rzeczywistej

2 Cykle niesymetryczne dla R=const







az

m





max









a

az





m



max

Z

B

Z

C

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe







g

B

Z 



max



az



m

Współczynnik bezpieczeństwa –

określenie wartości rzeczywistej

3 Cykle niesymetryczne – przyrost obciążenia ze stałym


m







az

m





max









a

az





m



max

Z

B

Z

C

ETAP II – obliczenia

zmęczeniowe

Współczynnik bezpieczeństwa –

określenie wartości rzeczywistej

4 Naprężenia złożone



















2

2





k

ETAP III – kształtowanie

wałów

1. Wszystkie średnice muszą być większe od zarysu
teoretycznego

2. Stopniowanie średnic

3. Promienie zaokrągleń

02

.

0



d



2

.

1



d

D

4. Średnice i długości czopów

PN-78/M-85000

PN-78/M-85000

ETAP III – kształtowanie

wałów

4. Poprawa wytrzymałości zmęczeniowej

ETAP III – kształtowanie

wałów

ETAP III – kształtowanie

wałów