RÓWNANIA

WIELOMIANOWE

Równanie postaci W(x)=0 gdzie W(x) jest
wielomianem stopnia n nazywamy równaniem
wielomianowym stopnia n.

Liczba, która jest rozwiązaniem równania
wielomianowego
to pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu W(x).

Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy
rozłożyć na
czynniki wielomian i skorzystać z faktu, że iloczyn
jest
równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czynników
jest równy
zero.

a

· b = 0 ⇔ a = 0 v ∨ b = 0

Rozwiązując równania wykorzystujemy metodę
grupowania wyrazów, wzory skróconego mnożenia,
wzory na rozkład trójmianu kwadratowego na
czynniki w zależności od delty.

Zadanie: Rozwiąż równania:

1) 16x+32=0
16x=-32
x=-2 Z

R

={-2}

2) (x-3)(3x+9)=0
x-3=0

∨

3x+9=0

x=3

∨

3x=-9

x=3

∨

x=-3

Z

R

={-3,3}

3) (4-x)(x+7)(5x+15)=0
4-x=0

∨

x+7=0

∨

5x+15=0

-x=-4

∨

x=-7

∨

5x=-15

x=4

∨

x=-7

∨

x=-3

Z

R

={-7,-3,4}

4) 16x(x-3)(x+9)=0
16x=0

∨

x-3=0

∨

x+9=0

x=0

∨

x=3

∨

x=-9

Z

R

={-9,0,3}

5) (x-3)(3x+9)=0
x-3=0

∨

3x+9=0

x=3

∨

3x=-9

x=3

∨

x=-3

Z

R

={-3,3}

6) (4-x)(x

2

+6x)(5x+5)=0

4-x=0

∨

x

2

+6x=0

∨

5x+5=0

-x=-4

∨

x(x+6)=0

∨

5x=-5

x=4

∨

x=0

∨

x+6=0

∨

x=-1

x=4

∨

x=0

∨

x=-6

∨

x=-1

Z

R

={-6,-1,0,4}

7) (x+4)(2x-10)(x

2

-4)=0

x+4=0

∨

2x-10=0

∨

x

2

-4=0

x=-4

∨

2x=10

∨

x

2

=4

x=-4

∨

x=5

∨

x=-2

∨

x=2

Z

R

={-4,-2,2,5}

8) (x

2

-9)(x

2

-6x)=0

x

2

-9=0

∨

x

2

-6x=0

x

2

=9

∨

x(x-6)=0

x=-3

∨

x=3

∨

x=0

∨

x-6=0

x=-3

∨

x=3

∨

x=0

∨

x=6

Z

R

={-3,0,3,6}

9) x

2

(x

2

-8x)(x+10)=0

x

2

=0

∨

x

2

-8x=0

∨

x+10=0

x=0

∨

x(x-8)=0

∨

x=-10

x=0

∨

x=0

∨

x=8

∨

x=-10

Z

R

={-10,0,8}

10) x

2

+x+4=0

a=1 b=1 c=4
=1-16=-15

 < 0

xØ

Z

R

= Ø

11) x

2

+6x+5=0

a=1 b=6 c=5
=36-20=16

x

1

=-5 x

2

=-1

Z

R

={-5,-1}

12) x

3

+5x

2

+4x=0

x(x

2

+5x+4)=0

x=0

∨

x

2

+5x+4=0

a=1 b=5 c=4
=25-16=9

x

1

=-4 x

2

=-1

Z

R

={-4,-1,0}

13) x

3

+3x

2

+6x+18=0

(x

3

+3x

2

)+(6x+18)=0

x

2

(x+3)+6(x+3)=0

(x+3)(x

2

+6)=0

x+3=0

∨

x

2

+6=0

x=-3 a=1 b=0 c=6

=0-24=-24

 < 0

xØ

Z

R

={-3}

14) x

3

-8x

2

+x-8=0

(x

3

-8x

2

)+(x-8)=0

x

2

(x-8)+1(x-8)=0

(x-8)(x

2

+1)=0

x-8=0

∨

x

2

+1=0

x=8 a=1 b=0 c=1
=0-4=-4

 < 0

xØ

Z

R

={8}

15) x

3

-9x=0

x(x

2

-9)=0

x=0

∨

x

2

-9=0

x

2

=9

x=-3

∨

x=3

Z

R

={-3,0,3}

16) x

3

-x=0

x(x

2

-1)=0

x=0

∨

x

2

-1=0

x

2

=1

x=-1

∨

x=1

Z

R

={-1,0,1}

17) x

4

-1=0

(x

2

)

2

-1

2

=0

(x

2

-1)(x

2

+1)=0

x

2

-1=0

∨

x

2

+1=0

x

2

=1

∨

x

2

=-1

x=-1

∨

x=1 xØ

Z

R

={-1,1}

18) 3x

3

-x

2

-21x+7=0

(3x

3

-x

2

)+(-21x+7)=0

x

2

(3x-1)-7(3x-1)=0

(3x-1)(x

2

-7)=0

3x-1=0

∨

x

2

-7=0

3x=1

∨

x

2

=7

x=⅓

∨

x=-

∨

x=

Z

R

={-

,⅓, }

19) -2x

3

-5x

2

+8x+20=0

(-2x

3

-5x

2

)+(8x+20)=0

-x

2

(2x+5)+4(2x+5)=0

(2x+5)(-x

2

+4)=0

2x+5=0

∨

-x

2

+4=0

2x=-5

∨

x

2

=4

x=-2½

∨

x=-2

∨

x=2

Z

R

={-

2½,-2,2}

20) 2x

4

+x

3

+3x

2

+x+1=0

(2x

4

+x

3

+x

2

)+(2x

2

+x+1)=0

x

2

(2x

2

+x+1)+1(2x

2

+x+1)=0

(x

2

+1)(2x

2

+x+1)=0

x

2

+1=0

∨

2x

2

+x+1=0

x

2

=-1 2x

2

+x+1=0

xØ a=2 b=1 c=1

=1-8=-7

 < 0

xØ

Z

R

=Ø

21) 9x

3

-18x

2

+2x-4=0

(9x

3

-18x

2

)+(2x-4)=0

9x

2

(x-2)+2(x-2)=0

(x-2)(9x

2

+2)=0

x-2=0

∨

9x

2

+2=0

x=2 a=9 b=0 c=2
=0-72=-72

 < 0

xØ

Z

R

={2}

22) x

3

-9x

2

+x-9=0

(x

3

-9x

2

)+(x-9)=0

x

2

(x-9)+1(x-9)=0

(x-9)(x

2

+1)=0

x-9=0

∨

x

2

+1=0

x=9

∨

x

2

=-1

xØ

Z

R

={9}

23) 3x

4

+6x

3

+3x

2

+6x=0

(3x

4

+6x

3

)+(3x

2

+6x)=0

x

3

(3x+6)+x(3x+6)=0

(x

3

+x)(3x+6)=0

x

3

+x=0

∨

3x+6=0

x(x

2

+1)=0

∨

3x=-6

x=0

∨

x

2

+1=0

∨

x=-2

xØ

Z

R

={-2,0}

24) –x

5

-4x

3

-x

2

-4=0

(–x

5

-4x

3

)+(-x

2

-4)=0

-x

3

(x

2

+4)-1(x

2

+4)=0

(-x

3

-1)(x

2

+4)=0

-x

3

-1=0

∨

x

2

+4=0

x

3

=-1

∨

x

2

=-4

x=-1

∨

xØ

Z

R

={-1}

25) -x

4

-5x

2

-4=0

-(x

2

)

2

-5x

2

-4=0

podstawiamy

: x

2

=t

-t

2

-5t-4=0

a=-1 b=-5 c=-4
=25-16=9

t

1

=-1 t

2

=-4

wracamy do podstawienia:

x

2

=-1

∨

x

2

=-4

xØ xØ

Z

R

=Ø

26) x

8

-3x

4

-4=0

(x

4

)

2

-3x

4

-4=0

podstawiamy

: x

4

=t

t

2

-3t-4=0

a=1 b=-3 c=-4
=9+16=25

wracamy do podstawienia:

x

4

=-1

∨

x

4

=4

xØ x= x=-

Z

R

={- , }