4.4.2.6.

Rozkład

równomierny

Rozkład równomierny nazywany bywa również rozkładem
jednostajnym lub rozkładem prostokątnym. Jest to najprostszy
rozkład zmiennej losowej ciągłej X w przedziale (c, d)
określony gęstością:





















d

x

oraz

c

x

dla

d

x

c

dla

c

d

x

f

0

1

)

(

Dystrybuanta tego rozkładu jest dana wzorem:

























d

x

dla

d

x

c

dla

c

d

c

x

c

x

dla

x

F

1

0

)

(

a jej wartość oczekiwana i wariancja są określone wzorami:

3

12

4

12

)

2

(

12

)

(

)

(

2

)

(

2

2

2

2

D

D

D

c

d

X

V

c

d

X

E















Graficzną postać gęstości i dystrybuanty rozkładu równomiernego pokazano na rys. 4.20.

0

1

2

0

0.5

1

f(

)

x

F(

)

x

x

R

y

s

. 4

.2

0

. Gę

s

t

o

ś

ć

(lin

ia

c

ią

g

ła

) i d

y

s

t

r

y

b

u

a

n

t

a

r

o

z

k

ła

d

u

r

ó

w

n

o

m

ie

r

n

e

g

o

Rozkład równomierny ma następujące właściwości:





J

e

ż

e

l

i

z

m

i

e

n

n

a

l

o

s

o

w

a

X

m

a

r

o

z

k

ł

a

d

r

ó

w

n

o

m

i

e

r

n

y

w

p

r

z

e

d

z

i

a

l

e

(

0

,

d

)

t

o

z

m

i

e

n

n

a

l

o

s

o

w

a 













X

d

Z

ln

m

a

r

o

z

k

ł

a

d

w

y

k

ł

a

d

n

i

c

z

y

o

w

a

r

t

o

ś

c

i

o

c

z

e

k

i

w

a

n

e

j

1

;





J

e

ż

e

l

i

z

m

i

e

n

n

a

l

o

s

o

w

a

X

m

a

r

o

z

k

ł

a

d

r

ó

w

n

o

m

i

e

r

n

y

w

p

r

z

e

d

z

i

a

l

e

(

c

,

d

)

t

o

z

m

i

e

n

n

a

l

o

s

o

w

a

Y

x

c

d

c







m

a

r

ó

w

n

i

e

ż

r

o

z

k

ł

a

d

r

ó

w

n

o

m

i

e

r

n

y

w

p

r

z

e

d

z

i

a

l

e

(

0

,

1

)

o

k

r

e

ś

l

o

n

y

g

ę

s

t

o

ś

c

i

ą

i

d

y

s

t

r

y

b

u

a

n

t

ą

:

















1

0

0

1

0

1

)

(

y

oraz

y

dla

y

dla

y

f





















1

1

1

0

0

0

)

(

y

dla

y

dla

y

y

dla

x

F

Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Y o rozkładzie równomiernym w

przedziale (0, 1) są określone wzorami:

12

1

)

(

2

1

)

(





Y

V

Y

E





Je

ż

e

li z

m

ie

n

n

e

Y

1

, Y

2

, ..... , Y

n

s

ą

n

ie

z

a

le

ż

n

e

i m

a

ją

je

d

n

a

k

o

w

y

r

o

z

k

ła

d

r

ó

w

n

o

m

ie

r

n

y

w

p

r

z

e

d

z

ia

le

(0

, 1

) t

o

p

r

z

y

w

z

r

o

ś

c

ie

n

r

o

z

k

ła

d

ic

h

s

u

m

y

d

ą

ż

y

d

o

r

o

z

k

ła

d

u

n

o

r

m

a

ln

e

g

o















12

;

2

n

n

N

, a

r

o

z

k

ła

d

ic

h

ś

r

e

d

n

ie

j a

r

y

t

m

e

t

y

c

z

n

e

j d

ą

ż

y

d

o

r

o

z

k

ła

d

u

n

o

r

m

a

ln

e

g

o















12

1

;

2

1

N

. Z

b

ie

ż

n

o

ś

ć

r

o

z

k

ła

d

u

s

t

a

t

y

s

t

y

k

i Y

=

Y

1

+

Y

2

+

..... +

Y

n

d

o

r

o

z

k

ła

d

u

n

o

r

m

a

ln

e

g

o

je

s

t

b

a

r

d

z

o

s

z

y

b

k

a

. D

la

n

=

2

u

z

y

s

k

u

je

s

ię

r

o

z

k

ła

d

t

r

ó

jk

ą

t

n

y

(r

y

s

. 4

.2

1

), a

d

la

n

=

3

u

z

y

s

k

u

je

s

ię

ju

ż

k

s

z

t

a

łt

r

o

z

k

ła

d

u

n

o

r

m

a

ln

e

g

o

.

R

ys. 4

.2

1

. G

ę

stość rozkła

d

u

rów

n

om

ie

rn

e

g

o w

p

rze

d

zia

le

(0

, 1

) (lin

ia

p

rze

ryw

a

n

a

) i g

ę

stość su

m

y d

w

óch

n

ie

za

le

żn

ych

zm

ie

n

n

ych

o rozkła

d

a

ch

rów

n

om

ie

rn

ych

w

p

rze

d

zia

le

(0

,1

) (lin

a

cią

g

ła

)

0

1

2

0

0. 2

0. 4

0. 6

4.2.6.

4.2.6.

Rozkład potęgowy

Rozkład potęgowy

Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład równomierny w przedziale (0, c) i jest

dana wartość stała



> 0. Wówczas zmienna losowa T określona wzorem:



1















c

X

c

T

ma rozkład potęgowy o funkcji gęstości:























c

t

t

dla

c

t

dla

t

c

t

f

;

0

0

0

)

(

1







i dystrybuancie:



































c

t

dla

c

t

dla

c

t

t

dla

t

F

1

0

0

0

)

(



gdzie c>0 to parametr skali, a



>0 to parametr kształtu rozkładu.

Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu mają odpowiednio postać:

)

2

(

)

1

(

)

(

1

)

(

2

2



























c

T

V

c

T

E

Przykłady gęstości rozkładu potęgowego pokazano na rys. 4.22 a przykłady dystrybuanty tego

rozkładu pokazano na rys. 4.23.

0

0.5

1

0

2

4

6

0

0.5

1

0

0.5

1

Rys. 4.22. Gęstości rozkładu
potęgow

ego, dla c=

1 i różnych

param

etrów

, od =

0.1 dla

lew

ej linii ciągłej poprzez

w

artości =

0.5 i 1 (linia

poziom

a), 2, 3, 4 aż do 6 (praw

a

linia ciągła)

Rys.

4.23.

Dystrybuanty

rozkładu potęgow

ego, dla c=

1 i

różnych param

etrów

, od =

0.1

dla górnej linii ciągłej poprzez
w

artości =

0.5, 1, 2, 3, 4 aż do 6

(dolna linia ciągła)

Podstawowe właściwości rozkładu potęgowego można zestawić w następujących

punktach:

Rozkład potęgowy o parametrze skali c i parametrze kształtu



= 1 jest rozkładem

równomiernym w przedziale (0, c) (patrz rys. 4.22 i 4.23 wykresy dla



= 1).

Jeżeli zmienna losowa T ma rozkład potęgowy o parametrach c i



to zmienna losowa T/c

ma rozkład potęgowy o parametrze skali 1 i parametrze kształtu



.

Rozkład potęgowy o parametrach c i



jest przypadkiem granicznym uogólnionego

rozkładu gamma (pominiętego w tym wykładzie) o parametrach c; p i



przy

 

i p



=

const =



.