Układy RLC

Technika Cyfrowa i

Impulsowa

Ernest Jamro

C3-504, tel. [phone]

Katedra Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza

1

)

(













dt

t



s

1













0

1

0

0

)

(

1

t

t

t

)

(s

F

e

s

a







a

s

1

2

)

(

1





s

2

2







s

2

2





s

s

)

0

(

)

(



 f

s

sF

dt

t

f

d

)

(

s

s

F )

(





t

dt

t

f

0

)

(

transformata

Laplace’a

F(s)

oryginalny przebieg

czasowy f(t)

opis

1

(t)

delta Diraca, impuls o
nieskończenie krótkim czasie
trwania (t=0) i nieskończenie
dużej amplitudzie

1(t)

Skok jednostkowy:

f(t-a)

przebieg opóźniony o czas a

e

-a

t

typowy przebieg w obwodach RC

F(s+)

e

-

t

f(t)

Przebieg tłumiony w czasie

t

e

-

t

Przebieg dla rezystancji

krytycznej (=0) dla obwodów

RLC

sin(

t)

Przebieg oscylacyjny

cos(

t)

Przebieg oscylacyjny

Pochodna względem czasu

Całkowanie względem czasu

Przekształcenie
Laplace’a











0

)

(

)

(

dt

e

t

f

s

F

st

Kondensator

U

Q

C 

d

S

C







dt

dq

i 



 dt

i

q

dt

du

C

i 





dt

i

C

u

1

różniczkowanie względem napięcia całkowanie
względem prądu

i= s



C



u (założenie: u(t=0)=0)

sC

i

u 

sC

i

u

Z

1





Układ różniczkujący RC

Dziedzina czasu

t

u

RC

u

t

u

RC

d

d

d

d

1

2

2





R

u

i

2



dt

u

u

d

C

i

)

(

2

1





czyli

 = RC - stała czasowa

Obliczenia w dziedzinie

Laplace’a

Wymuszenie: skok napięcia

 

 

 





s

s

s

U

sC

R

R

s

U

s

U









1

1

1

1

2

Otrzymujemy:

- skok napięcia

at

e

a

s







1

 

 

t

e

U

t

u

t

M

1

2







 

 

 

s

U

s

E

t

U

t

u

M

g

M









1

Przebieg czasowy (odpowiedz

układu różniczkującego RC na skok

jednostkowy)

Układ różniczkujący RC -

odpowiedz na przebieg

prostokątny

 

 





























T

t

e

t

e

U

t

u

T

t

t

M

1

1

2





T

T>>

T<<

 

%

100

1

%

100

2

























T

M

M

e

U

T

u

U

z

Zwis:

Zwis dla T<<


[%]

100



T

z 

Układ różniczkujący RC a składowa

stała

Układ różniczkowy
nie przenosi
składowej stałej:
S

1

=S

2

Składowa przejściowa

Układ różniczkujący i inne

wymuszenia

Układ całkujący RC

2

2

1

d

d

u

t

u

u







 

 

 



s

s

U

sC

R

sC

s

U

s

U









1

1

1

1

1

1

2

Filtr
dolnoprzepustowy

 

 

t

e

U

t

u

t

M

1

1

2





















RC





Czas narastania

Jako czas narastania przyjmuje się czas narastania
odpowiedzi na skok jednostkowy od 10% do 90%
wartości amplitudy impulsu skokowego:

t

10

można obliczyć ze wzoru:

t

90

można obliczyć ze wzoru:

t

n

= t

90

- t

10

 2,2



.

Częstotliwość graniczna a czas narastania:

Wypadkowa czasów narastania:





















t

M

M

e

U

U

1

1

.

0





1

.

0

)

9

.

0

ln(

10









t





















t

M

M

e

U

U

1

9

.

0





3

.

2

)

1

.

0

ln(

90









t

g

g

n

f

f

RC

t

35

,

0

2

2

,

2

2

,

2

2

,

2













...

2

3

2

2

2

1

2









n

n

n

n

t

t

t

t

Odpowiedz układu

całkującego RC na falę

prostokątną

Układ całkujący i inne

wymuszenia

Wpływ rezystancji

generatora

Zobacz na
zasadę
Thevenina

Metoda czoła i grzbietu

U(t=0) – napięcie przy założeniu że kondensatory są
zwarte

U(t=) – napięcie przy założeniu że kondensatory są

rozwarte

Stała czasowa obliczana dla R jako rezystancja
widziana z zacisków kondensatora C

Przykład:

 



t

e

t

U

t

U

t

U

t

u























)]

(

)

0

(

[

)

(





2

1

2

R

R

R

U

t

U

M













2

1

1

2

1

2

1

1

1

0

C

C

C

U

sC

sC

sC

U

t

U

M

M













C

w

= C

1

+C

2

R

w

= R

1

||R

2

=C

w

R

w

Dzielnik skompensowany – sonda

oscyloskopowa

2

1

1

2

1

2

C

C

C

R

R

R







U(t=0

+

)=U(t



) czyli

lub R

1

C

1

= R

2

C

2

W oscyloskopie R

we

=1M, C

we

10pF

R

S

=9M, C

s

1pF

Stosunek podziału napięcia k=10,

R

wes

=10M= k R

we

, C

wes

=C

we

/k

Układy całkujące i

różniczkujące RL

Działają podobnie jak układy RC

Stała czasowa =L/R

U

1

U

2

R

L

U

1

U

2

R

L

Różniczkujący

Całkujący

dt

di

L

u 

Timer 555

+

–

+

–

R Q

S Q

Reset

8 - Vcc

3 - Wyjście

7 - Rozładowanie

4 - Zerowanie

1- Masa

6 - Próg
przełączenia

5 - Modulacja

2- wyzwalanie

Vcc/3

2Vcc/3

R

R

R

Monowibrator

+

–

+

–

R Q

S Q

Reset

Wyjście

Vcc

C

Vcc

R

Wyzwalanie

W yzwalanie

t

t

C

3

CC

V

t

W y

3

2

CC

V



t

1

RC

RC

t

RC

t

e

Vcc

e

Vcc

RC

t

RC

t

1

,

1

)

3

ln(

3

1

ln

3

1

3

2

)

1

(



















Multiwibrator

+

–

+

–

R Q

S Q

Reset

Wyjście

Vcc

C

Vcc

R

A

R

B

D

)

1

(

)

(

)

0

(

)

(

/

/





t

t

e

t

u

e

t

u

t

u





















0

)

(

3

2

)

0

(

:

)

(

3

1

)

0

(

:





















t

u

V

t

u

ie

Rozłozłado

V

t

u

V

t

u

Ładowanie

CC

CC

CC

Multiwibrator - przebiegi

t

C

3

CC

V

t

Wy

3

2

CC

V



t

1

t

2

Bez Diody:

t

1

= 0,7(R

A

+ R

B

)C

t

2

= 0,7R

B

C

T=t

1

+t

2

=

0,7(R

A

+2R

B

)C

Z Diodą:

t

1

= 0,7R

A

C

t

2

= 0,7R

B

C

T=t

1

+t

2

=

0,7(R

A

+R

B

)C

Bez diody – brak wypełnienia 0.5

Z diodą – wypełnienie 0.5 ->
R

A

=R

B

Multiwibrator – wypełnienie 0.5 bez

diody

+

–

+

–

R Q

S Q

Reset

Wyjście

Vcc

C

Vcc

R

A

R

B

Multiwibrator – wypełnienie 0.5 bez

diody

)

2

2

ln(

2

2

)

3

2

(

3

1

)

1

(

3

2

3

1

?

3

1

)

(

)

1

(

3

2

)

(

)

1

(

)

(

)

0

(

)

(

:

:

:

7

.

0

)

2

ln(

:

2

/

/

/

/

2

2

/

/

/

/

1

B

A

B

A

B

A

B

A

t

B

A

B

A

t

A

B

B

A

B

B

t

CC

A

B

B

t

CC

CC

CC

t

T

t

CC

t

t

B

A

B

A

T

CC

A

B

B

T

A

A

R

R

R

R

C

R

R

R

R

t

e

R

R

R

R

e

R

R

R

R

R

R

e

V

R

R

R

e

V

V

t

V

t

u

e

V

e

V

t

u

e

t

u

e

t

u

t

u

rze

kondensato

na

Napiecie

R

R

R

R

R

V

R

R

R

V

Thevelin

e

Rozadowani

C

R

C

R

t

Ładowanie

































































































































423

.

0

:

)

2

1

2

ln(

)

1

(

)

2

ln(

)

2

2

ln(

)

1

(

)

2

ln(

)

2

2

ln(

)

2

ln(

)

2

2

ln(

)

2

ln(

:

5

.

0

ln

2

1































































k

numeryczne

e

Rozwiazani

k

k

k

k

R

k

R

R

k

R

k

R

R

k

R

k

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

C

R

R

R

R

C

R

t

t

ienie

wype

Warunek

A

A

A

A

A

A

A

B

B

A

B

A

B

A

B

B

A

B

A

B

A

B

A

A

Przetwornik napięcie /

częstotliwość

+

–

+

–

R Q

S Q

Reset

Wyjście

Vcc

C

Vcc

R

A

Wejście

Przetwornik U/f

)

2

2

2

ln(

)

1

(

2

1

?)

(

)

(

2

1

)

0

(

)

1

(

)

(

)

0

(

)

(

/

/

/

/

k

k

RC

t

e

V

e

V

k

V

k

V

U

k

V

k

U

t

u

V

t

u

U

t

u

e

t

u

e

t

u

t

u

t

CC

t

CC

CC

CC

we

CC

we

CC

we

t

t













































































Wada – funkcja
silnie nieliniowa
szczególnie dla
U

we

 V

CC

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

t

Ulepszony Przetwornik I/f

+

–

+

–

R Q

S Q

Reset

Wyjście

Vcc

C

Vcc

i(t)

Ulepszony przetwornik I/f

– c.d.

CC

CC

CC

V

C

I

t

f

I

V

C

t

V

U

I

U

C

t

C

t

I

dt

i

C

U





































3

1

3

3

1

1

Częstotliwość
proporcjonalna do
prądu. W prosty sposób
można zbudować
przetwornik I/U i w ten
sposób otrzymamy
liniowy przetwornik U/f

Obwody RLC

U

1

U

2

R

L

C

U

1

U

2

R

L

C

Równoległy

Szeregowy

Obwód równoległy

 

LC

s

RC

s

s

RC

R

Ls

RLC

s

Ls

C

L

sC

R

RsL

C

L

sC

sL

C

L

R

sC

sL

C

L

sC

sL

sC

sL

R

sC

sL

sC

sL

s

H

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2



































Można dokonać następującego podstawienia:

LC

1





RC

1





 

2

2













s

s

s

s

H

Dla wymuszenia skokiem jednostkowym (U

1

(s)=

1/s) otrzymujemy:

 

2

2

2

1

2

1

1

1

)

(

)

(























s

s

LC

s

RC

s

RC

s

U

s

H

s

U

Różne rozwiązania

równania

Analizując transformacje Laplace’a dla powyższego
modułu możemy otrzymać następujące przypadki:

 f(t)= sin(



t) - drgania niegasnące

 f(t)= e

-



t

sin(



t)

- drgania gasnące

 f(t)= te

-t

–drgania krytyczne

 

 f(t)= C

1



e

-a



t

+ C

2



e

-b



t

–

brak drgań

Najważniejsza jest  równania kwadratowego

2

2

)

(









s

s

F

2

2

)

(

)

(













s

s

F

2

)

(

1

)

(







s

s

F

b

s

C

a

s

C

b

s

a

s

s

F

















2

1

)

(

)

(

1

)

(

2

2







 s

s

Przebiegi (obwód

równoległy)

 

2

2













s

s

s

s

H

<0 (drgania)

=0 – przebieg krytyczny (rezystancja

krytyczna)

 

2

2

0

0

2

2

2

0

)

2

(





























s

s

s

s

U

4

2

2

2

0











RC

1





LC

1





C

L

R

2

1



C

L

R

2

1



)

sin(

)

(

0

2

/

0

2

t

e

t

u

t



















2

/

2

)

(















t

e

t

t

u

Przebiegi (obwód równoległy)

Brak drgań >0

)

(

2

)

(

2

0

2

0

2

/

2

0

2





























t

t

t

e

e

e

t

u

C

L

R

2

1



Zielon
y
R<R

kr

Czerwony
R=R

kr

Niebieski
R>R

kr

Obwód szeregowy

U

1

U

2

R

L

C

C

L

R 2



Rezystancja krytyczna

Drgania dla R<R

kr