Rozdział 7

Drgania w obwodach RLC i
fale elektromagnetyczne

7.1

Drgania elektryczne

7.1.1

Obwód LC — drgania nietłumione

W obwodach, zawierających elementy o określonej indukcyjności, pojem-
ności i oporze omowym mogą w pewnych warunkach powstawać drgania
elektryczne. Rozpatrzymy najpierw tzw. obwód LC, to znaczy obwód złożo-
ny z solenoidu o indukcyjności L i kondensatora o pojemności C (rys. 7.1).
Będziemy zakładać, że opór elektryczny solenoidu i przewodów łączących go
z kondensatorem jest zaniedbywalnie mały.

Przyjmijmy, że w chwili początkowej bezwględna wartość ładunków elek-

trycznych, zgromadzonych na okładkach kondensatora, wynosi q

0

(rys. 7.1a).

q = +q

o

o

L

C

q = 0

L

C

q = 0

L

C

q = +q

o

o

I

a)

b)

c)

Rysunek 7.1:

1

2

DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...

Po zamknięciu wyłącznika, na skutek różnicy potencjałów okładek konden-
satora, w obwodzie popłynie prąd elektryczny. Gdyby w obwodzie nie było
solenoidu, natężenie prądu powinno stopniowo maleć aż do zera, ponieważ
zmniejsza się różnica potencjałów okładek. Indukowana w solenoidzie siła
elektromotoryczna dąży jednak, zgodnie z regułą Lenza, do podtrzymania
przepływu prądu. W rezultacie natężenie prądu wzrasta do momentu wy-
równania się potencjałów okładek (rys. 7.1b) a następnie zaczyna maleć.
Prąd będzie płynąć w tym samym kierunku do chwili, gdy na okładkach
kondensatora zgromadzą się ładunki równe co do bezwzględnej wartości po-
czątkowemu ładunkowi q

0

, ale o przeciwnych znakach (rys. 7.1c). Następnie

opisany proces będzie się powtarzać. W obwodzie LC będą więc zachodzić
nietłumione drgania elektryczne.

Określimy teraz zależność ładunku na okładkach kondensatora i natę-

żenia prądu od czasu. W dowolnym momencie siła elektromotoryczna

E

L

,

indukowana w solenoidzie, jest równa napięciu U

C

między okładkami kon-

densatora,

E

L

= U

C

,

(7.1)

gdzie

E

L

=

−L

dI

dt

,

(7.2)

U

C

=

q

C

.

(7.3)

Otrzymujemy stąd równanie

L

dI

dt

+

q

C

= 0,

(7.4)

które, uwzględniając definicję natężenia prądu,

I =

dq

dt

,

(7.5)

można przepisać jako

L

d

2

q

dt

2

+

q

C

= 0.

(7.6)

Dzieląc to równanie przez L i wprowadzając oznaczenie

ω

2

0

=

1

LC

(7.7)

([ω

0

] = s

−1

), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:

d

2

q

dt

2

+ ω

2

0

q = 0.

(7.8)

DRGANIA ELEKTRYCZNE

3

Ma ono postać identyczną z równaniem, opisującym nietłumione drgania
oscylatora harmonicznego (podrozdział 2.5.1). Rozwiązaniem tego równania
jest więc funkcja

q = q

0

cos (ω

0

t + ϕ) ,

(7.9)

określająca ładunek na okładkach kondensatora. Można to sprawdzić w ana-
logiczny sposób, jak w przypadku drgań harmonicznych, obliczając drugą
pochodną ładunku q i podstawiając d

2

q/dt

2

i q do równania (7.8). Ko-

rzystając ze wzoru (7.5), otrzymujemy następujące wyrażenie, określające
natężenie prądu w obwodzie

I =

dq

dt

=

−ω

0

q

0

sin (ω

0

t + ϕ) .

(7.10)

Wprowadzając oznaczenie I

0

= ω

0

q

0

, ostatnią zależność można przepisać

jako

I = −I

0

sin (ω

0

t + ϕ) .

(7.11)

Zgodnie ze wzorami (7.9) i (7.11) zarówno ładunki na okładkach kondensa-
tora jak i natężenie prądu w obwodzie zmieniają się sinusoidalnie z czasem
(rys. 7.2). W obwodzie LC zachodzą więc elektryczne drgania nietłumione;
q

0

i I

0

są odpowiednio maksymalnymi bezwzględnymi wartościami ładun-

ków na okładkach i natężenia prądu a faza początkowa ϕ określa wartości q
i I w chwili początkowej (t = 0). Jeżeli np. w chwili t = 0 ładunek q = q

0

, to

+q

o

o

q

t

T/2

T

+ I

o

o

I

t

T/2

T

3/2 T

3/2 T

Rysunek 7.2:

4

DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...

ϕ = 0. Natomiast ω

0

jest pulsacją (częstotliwością kątową) drgań elektrycz-

nych. Jak wynika ze wzoru (7.7), jest ona równa

ω

0

=

1

√

LC

.

(7.12)

Okres drgań w obwodzie wyraża się natomiast zależnością

T =

2π
ω

0

,

(7.13)

czyli

T = 2π

√

LC .

(7.14)

Ostatni wzór nosi nazwę wzoru Thomsona (Kelvina). Zgodnie z nim, okres
drgań elektrycznych jest wprost proporcjonalny do pierwiastka kwadratowe-
go z indukcyjności solenoidu i pojemności kondensatora.

Rozpatrzymy jeszcze przemiany energii, zachodzące podczas drgań elek-

trycznych w obwodzie LC (por. rys. 7.1). Przypomnijmy, że zarówno nała-
dowany kondensator jak i solenoid z prądem posiadają określoną energię. W
chwili początkowej, gdy prąd nie płynie, cała energia obwodu jest zgroma-
dzona w polu elektrycznym kondensatora. Energia ta zamienia się stopniowo
w energię pola magnetycznego solenoidu. W momencie rozładowania kon-
densatora cała energia obwodu jest zmagazynowana w polu magnetycznym
wewnątrz solenoidu. Następnie jest ona z powrotem zamieniana w energię
pola elektrycznego w kondensatorze, itd. Opisany proces jest analogiczny
do kolejnych przemian energii potencjalnej drgającego ciała w jego energię
kinetyczną i na odwrót (por. podrozdział 2.5.1).

Można łatwo wykazać, że w przypadku drgań elektrycznych w obwo-

dzie LC spełniona jest zasada zachowania energii. Energia naładowanego
kondensatora jest dana wyrażeniem

E

pC

=

q

2

2C

(7.15)

(podrozdział 4.4.3, wzór (4.80)). Korzystając z zależności (7.9), otrzymuje-
my

E

pC

=

q

2

0

2C

cos

2

(ω

0

t + ϕ) .

(7.16)

Natomiast energia solenoidu, przez który płynie prąd, wynosi

E

pL

=

LI

2

2

(7.17)

DRGANIA ELEKTRYCZNE

5

(podrozdział 6.1.2, wzór (6.24)). Biorąc pod uwagę wzór (7.11), dostajemy

E

pL

=

LI

2

0

2

sin

2

(ω

0

t + ϕ) .

(7.18)

Uwzględniając związek I

0

= ω

0

q

0

i wzór (7.7) łatwo stwierdzić, że stałe

czynniki przed funkcjami trygonometrycznymi we wzorach (7.16) i (7.18) są
sobie równe:

LI

2

0

= Lω

2

0

q

2

0

= q

2

0

/C.

(7.19)

Jest teraz widoczne, że suma energii zgromadzonej w kondensatorze i w
solenoidzie nie zależy od czasu:

E

pC

+ E

pL

=

q

2

0

2C

=

LI

2

0

2

.

(7.20)

W otrzymanym wzorze wyrażenia zawierające q

0

i I

0

przedstawiają odpo-

wiednio maksymalną energię kondensatora i solenoidu.

7.1.2

Obwód

RLC — drgania tłumione

Opisany w poprzednim podrozdziale przypadek drgań elektrycznych nietłu-
mionych w rzeczywistości praktycznie nie występuje. W normalnych wa-
runkach każdy obwód posiada bowiem skończony opór elektryczny i zgro-
madzona w obwodzie energia rozprasza się stopniowo na oporze w postaci
ciepła. Drgania elektryczne w obwodzie będą wówczas zanikać — nazywamy
je drganiami tłumionymi. Inną przyczyną utraty energii w obwodzie drgają-
cym jest emisja fal elektromagnetycznych. Zjawisko to rozpatrzymy później.
Rozważając drgania nietłumione obwodu elektrycznego mamy więc na myśli
sytuację, gdy straty energii obwodu w danym przedziale czasu są do pomi-
nięcia.

Zbadamy teraz elektryczne drgania w obwodzie RLC, to znaczy w ob-

wodzie, składającym się z elementu o oporze R, solenoidu o indukcyjności
L i kondensatora o pojemności C (rys. 7.3). Po zamknięciu przełącznika w
obwodzie takim powstaną stopniowo zanikające drgania. Siła elektromoto-
ryczna

E

L

, indukowana w solenoidzie, musi być równa sumie napięcia U

R

na

oporze i napięcia U

C

na kondensatorze,

E

L

= U

R

+ U

C

.

(7.21)

Poszczególne wielkości wyrażają się wzorami:

E

L

=

−L

dI

dt

,

(7.22)

6

DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...

q = +q

o

o

L

C

R

Rysunek 7.3:

U

R

= RI,

(7.23)

U

C

=

q

C

(7.24)

(wzór (7.23) wynika z prawa Ohma). Po podstawieniu tych wyrażeń do rów-
nania (7.21) otrzymujemy równanie

L

dI

dt

+ RI +

q

C

= 0,

(7.25)

z którego, po uwzględnieniu związku

I =

dq

dt

,

(7.26)

wynika równanie różniczkowe

L

d

2

q

dt

2

+ R

dq

dt

+

q

C

= 0.

(7.27)

Dzieląc ostatnie równanie przez L i wprowadzając oznaczenia

ω

2

0

=

1

LC

,

(7.28)

β =

R

2L

(7.29)

([β

0

] = s

−1

), otrzymujemy w rezultacie następujące równanie różniczkowe

d

2

q

dt

2

+ 2β

dq

dt

+ ω

2

0

q = 0.

(7.30)

DRGANIA ELEKTRYCZNE

7

Jest ono identyczne z równaniem tłumionych drgań harmonicznych (patrz
podrozdział 2.5.2). Zależność ładunku na okładce kondensatora od czasu
określa więc wzór

q = q

0

e

−βt

cos (ωt + ϕ) ,

(7.31)

w którym pulsacja (częstotliwość kątowa) tłumionych drgań ładunku jest
dana wyrażeniem

ω =

ω

2

0

− β

2

.

(7.32)

Można to bezpośrednio sprawdzić, obliczając pierwszą i drugą pochodną
ładunku q i podstawiając wielkości d

2

q/dt

2

, dq/dt i q do równania (7.30).

Czasową zależność natężenia prądu w obwodzie można teraz obliczyć, korzy-
stając z zależności (7.26). Dla uproszczenia rozpatrzymy przypadek drgań
słabo tłumionych, gdy β  ω, ω

0

. Wówczas — jak łatwo pokazać — wy-

starczy zróżniczkować tylko funkcję cosinus we wzorze (7.31); otrzymamy
wówczas

I ≈ −ωq

0

e

−βt

sin (ωt + ϕ) .

(7.33)

Wprowadzając oznaczenie I

0

= ωq

0

≈ ω

0

q

0

wzór ten możemy przepisać jako

I ≈ −I

0

e

−βt

sin (ωt + ϕ) .

(7.34)

Podobnie, jak w przypadku drgań nietłumionych, początkowa faza ϕ w wy-
rażeniach (7.31) i (7.34) określa wartości q i I w chwili t = 0. Wykresy cza-
sowego przebiegu ładunku q i natężenia prądu I pokazuje rysunek 7.4. Ze
względu na występowanie w wymienionych wzorach czynnika e

−βt

, drgania

elektryczne stopniowo zanikają z czasem. Zanik drgań jest tym szybszy, im
większa jest wartość współczynnika β, zwanego współczynnikiem tłumienia,
tj. im większa jest wartość stosunku R/L (patrz zależność (7.29)).

Uwzględniając wzory (7.28) i (7.29), wyrażenie (7.32) określające pulsa-

cję elektrycznych drgań tłumionych możemy zapisać jako

ω =



1

LC

−



R

2L



2

.

(7.35)

Natomiast okres drgań tłumionych dany jest wyrażeniem

T =

2π

ω

,

(7.36)

czyli

T =

2π



1

LC

−



R

2L



2

.

(7.37)

8

DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...

+q

o

o

q

t

T/2

T

+ I

o

o

I

3/2 T

t

T/2

T

3/2 T

q e

o

- t

b

q e

o

- t

b

I e

o

- t

b

I e

o

- t

b

Rysunek 7.4:

Porównując ostatni wzór ze związkiem (7.14) można stwierdzić, że okres
drgań tłumionych jest dłuższy od okresu drgań nietłumionych — podobnie
jak w przypadku drgań mechanicznych.

Zauważymy jeszcze, że wyrażenie (7.31) stanowi rozwiązanie równania

(7.30) tylko w przypadku, gdy β < ω

0

, tj. gdy R < 2



L/C. Inaczej pod

pierwiastkiem we wzorze (7.32) występuje zero lub liczba ujemna. Można
wykazać, że dla wartości β  ω

0

ładunek na okładkach kondensatora i na-

tężenie prądu w obwodzie stopniowo zanikają bez oscylacji.

7.1.3

Obwód

RLC — drgania wymuszone

Jak pokazano w poprzednim podrozdziale, energia zgromadzona w obwodzie
RLC zamienia się na ciepło, wydzielane na oporze. W rezultacie swobodne
drgania elektryczne stopniowo zanikają. Aby wytworzyć w dowolnym ob-
wodzie niegasnące drgania elektryczne, należy doprowadzać do niego z ze-
wnątrz energię, równoważącą jej straty. Można to osiągnąć przez włączenie
w obwód źródła sinusoidalnie zmiennej siły elektromotorycznej — prądnicy
(lub elektronicznego generatora) prądu zmiennego (por. podrozdział 6.2.1).
Występujące wówczas w obwodzie drgania elektryczne nazywamy drganiami
wymuszonymi.

Rozpatrzymy teraz drgania wymuszone obwodu RLC, do którego zosta-

ło włączone szeregowo źródło zmiennej siły elektromotorycznej (rys. 7.5).

DRGANIA ELEKTRYCZNE

9

L

C

R

~

e

I

Rysunek 7.5:

Przypadek ten ma duże znaczenie w elektrotechnice i radiotechnice. Założy-
my, że zależność zewnętrznej siły elektromotorycznej od czasu ma postać

E = E

0

sin (ωt) ,

(7.38)

gdzie

E

0

jest amplitudą a ω pulsacją (częstotliwością kątową). Suma siły

elektromotorycznej

E i siły elektromotorycznej samoindukcji w solenoidzie

E

L

jest równa sumie napięć U

R

na oporze i U

C

na kondensatorze,

E + E

L

= U

R

+ U

C

.

(7.39)

Ponieważ, jak poprzednio,

E

L

=

−L

dI

dt

,

(7.40)

U

R

= RI,

(7.41)

U

C

=

q

C

,

(7.42)

ze wzoru (7.39) otrzymujemy równanie

L

dI

dt

+ RI +

q

C

=

E

0

sin (ωt) .

(7.43)

Różniczkując obie strony tego równania względem czasu i korzystając ze
związku między ładunkiem na okładkach kondensatora i natężeniem prądu
w obwodzie,

I =

dq

dt

,

(7.44)

dostajemy następujące równanie różniczkowe, określające natężenie prądu:

L

d

2

I

dt

2

+ R

dI

dt

+

I

C

=

E

0

ω cos (ωt) .

(7.45)

10

DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...

Będziemy szukać rozwiązania powyższego równania w postaci

I = I

0

sin (ωt − ϕ) .

(7.46)

Przyjmujemy więc, że pulsacja natężenia prądu jest równa pulsacji zewnętrz-
nej siły elektromotorycznej oraz, że w ogólnym przypadku występuje przesu-
nięcie fazowe ϕ między prądem i siłą elektromotoryczną (rys. 7.6). Przesu-
nięcie fazowe i amplitudę natężenia prądu I

0

należy tak dobrać, aby funkcja

(7.46) była rozwiązaniem równania różniczkowego (7.45). W tym celu obli-
czymy pierwszą i drugą pochodną natężenia prądu:

dI

dt

= I

0

ω cos (ωt − ϕ) ,

(7.47)

d

2

I

dt

2

=

−I

0

ω

2

sin (ωt − ϕ) .

(7.48)

Podstawiając natężenie prądu I i jego pochodne do równania (7.45), otrzy-
mujemy po prostych przekształceniach następujące równanie

I

0



1

ωC

− ωL



sin (ωt − ϕ) + I

0

R cos (ωt − ϕ) = E

0

cos (ωt) .

(7.49)

Wprowadzając oznaczenie α = ωt − ϕ, z którego wynika, że ωt = ϕ + α i
korzystając ze wzoru określającego cosinus sumy kątów ostatnie równanie
można zapisać w postaci

I

0



1

ωC

− ωL



sin α + I

0

R cos α = E

0

cos ϕ cos α − E

0

sin ϕ sin α.

(7.50)

Aby było ono spełnione dla dowolnej chwili czasu, muszą być sobie równe
wyrazy po obu stronach równania, zawierające sin α oraz cos α. Otrzymuje-
my stąd wzory

I

0

R = E

0

cos ϕ,

(7.51)

e

I

t

0

Rysunek 7.6:

DRGANIA ELEKTRYCZNE

11

I

0



ωL −

1

ωC



=

E

0

sin ϕ.

(7.52)

Podnosząc teraz do kwadratu obie strony równań (7.51) i (7.52) i dodając
je do siebie otrzymujemy

I

2

0

R

2

+



ωL −

1

ωC



2

=

E

2

0

,

(7.53)

skąd wynika zależność, określająca amplitudę natężenia prądu:

I

0

=

E

0



R

2

+



ωL −

1

ωC



2

.

(7.54)

Natomiast dzieląc stronami równania (7.52) i (7.51) dostajemy wyrażenie,
określające przesunięcie fazowe między prądem i zewnętrzną siłą elektromo-
toryczną:

tg ϕ =

ωL −

1

ωC

R

.

(7.55)

Występującą we wzorze (7.54) wielkość

Z =



R

2

+



ωL −

1

ωC



2

(7.56)

nazywa się impedancją (oporem pozornym, zawadą) obwodu prądu zmienne-
go. Wzór (7.54) można więc zapisać jako

I

0

=

E

0

Z

.

(7.57)

Jest on odpowiednikiem prawa Ohma (które dotyczy obwodu prądu stałego),
przy czym impedancja stanowi odpowiednik oporu omowego R. Natomiast
wielkości

X

L

= ωL,

(7.58)

X

C

=

1

ωC

,

(7.59)

które pojawiają się we wzorach (7.54) - (7.56), nazywamy odpowiednio opo-
rem indukcyjnym (induktancją) i oporem pojemnościowym (kapacitancją).

Zależności (7.55) - (7.56) mają prostą interpretację geometryczną. Nary-

sujmy w dodatnim kierunku osi odciętych wektor o długości R, w dodatnim

12

DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...

R

Z

w

L

w

C

1

w

L

w

C

1

j

Rysunek 7.7:

kierunku osi rzędnych wektor o długości X

L

= ωL a w ujemnym kierunku

tej osi wektor o długości X

C

= 1/ωC (rys. 7.7). Wtedy, jak łatwo stwier-

dzić, długość wypadkowego wektora jest równa impedancji Z obwodu a kąt
między tym wektorem i osią odciętych jest równy przesunięciu fazowemu ϕ.
Rozważymy teraz napięcia na poszczególnych elementach obwodu. Ampli-
tuda napięcia na oporze, zgodnie z prawem Ohma, wynosi

U

0R

= I

0

R.

(7.60)

Można wykazać, że amplitudy napięć na solenoidzie i kondensatorze są równe

U

0L

= I

0

X

L

= I

0

ωL,

(7.61)

U

0C

= I

0

X

C

=

I

0

ωC

.

(7.62)

Ponadto, zgodnie ze wzorem (7.57), amplituda zewnętrznej siły elektromo-
torycznej

E

0

= I

0

Z.

(7.63)

Powyższe cztery wielkości są odpowiednio proporcjonalne do oporu omowego
R, indukcyjnego X

L

, pojemnościowego X

C

i oporu pozornego Z. Amplitudy

napięć na poszczególnych elementach obwodu prądu zmiennego sumują się
więc geometrycznie w ten sam sposób, jak ich opory (rys. 7.7), przy czym
długość wypadkowego wektora jest równa amplitudzie

E

0

siły elektromoto-

rycznej.

Zbadamy teraz zależność amplitudy natężenia prądu (7.54) i przesunięcia

fazowego (7.55) od pulsacji ω zewnętrznej siły elektromotorycznej. Można

DRGANIA ELEKTRYCZNE

13

łatwo stwierdzić, że dla wartości pulsacji ω

r

, określonej równaniem

ω

r

L −

1

ω

r

C

= 0,

(7.64)

czyli dla wartości

ω

r

=

1

√

LC

(7.65)

amplituda natężenia prądu ma maksymalną wartość, I

0

=

E

0

/R, natomiast

prąd pokrywa się w fazie z zewnętrzną siłą elektromotoryczną, ϕ = 0.
Należy zauważyć, że pulsacja ω

r

jest równa pulsacji nietłumionych drgań

obwodu LC (wzór (7.12)). Gdy ω → ω

r

, amplituda I

0

natężenia prądu wy-

raźnie wzrasta. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu elektrycznego a pulsację
ω

r

nazywa się pulsacją rezonansową. Jeżeli ω → 0, to opór pojemnościowy

X

C

= 1/ωC → ∞. Wówczas I

0

→ 0 i ϕ → −π/2. Jeżeli natomiast ω → ∞,

to opór indukcyjny X

L

= ωL → ∞. W tym przypadku I

0

→ 0 i ϕ → π/2.

Wykresy zależności amplitudy natężenia prądu I

0

i przesunięcia fazowego

ϕ od pulsacji ω siły elektromotorycznej są przedstawione na rys. 7.8a, b.
Jak wynika z wykresów, przy zmniejszaniu się wartości oporu omowego R
zmiany wielkości I

0

i ϕ dla pulsacji ω ≈ ω

r

są coraz bardziej gwałtowne.

Obliczymy jeszcze moc, wydzielaną w obwodzie prądu zmiennego. Za-

gadnienie to było już rozpatrywane w podrozdziale 6.2.1 przy założeniu,

w

I

w

w

r

0

R >

1

R

2

p

w

r

2

p

2

0

0

R >

1

R

2

j

a)

b)

Rysunek 7.8:

14

DRGANIA W OBWODACH RLC I FALE...

że przesunięcie fazowe między prądem a zewnętrzną siłą elektromotoryczną
jest równe zeru. Obecnie rozważymy ogólny przypadek. Korzystając ze wzo-
rów (7.38) i (7.46) dostajemy następujące wyrażenie, określające moc prądu
zmiennego w danej chwili czasu

P = EI = E

0

I

0

sin (ωt) sin (ωt − ϕ) .

(7.66)

Średnia moc prądu zmiennego w ciągu jednego okresu wyraża się wzorem

P

śr

=

1

T



T

0

P dt.

(7.67)

Z ostatnich dwóch wzorów otrzymujemy

P

śr

=

E

0

I

0

T



T

0

sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt.

(7.68)

Powyższą całkę można łatwo obliczyć, korzystając z tożsamości

sin α sin β =

1

2

[cos (α − β) − cos (α + β)] .

W rezultacie otrzymujemy



T

0

sin (ωt) sin (ωt − ϕ) dt

=

1

2

cos ϕ



T

0

dt −

1

2



T

0

cos (2ωt − ϕ) dt

=

T

2

cos ϕ

(7.69)

(ostatnia całka we wzorze jest, jak łatwo sprawdzić, równa zeru). Średnia
moc prądu zmiennego określona jest więc wyrażeniem

P

śr

=

E

0

I

0

2

cos ϕ ,

(7.70)

które — uwzględniając definicje skutecznych wartości siły elektromotorycz-
nej i natężenia prądu —

E

sk

=

E

0

/

√

2, I

sk

= I

0

/

√

2, możemy przepisać w

postaci

P

śr

=

E

sk

I

sk

cos ϕ .

(7.71)

Otrzymane wyrażenia różnią się od wyprowadzonych poprzednio (podroz-
dział 6.2.1, wzory (6.47) i (6.50)) dodatkowym czynnikiem cos ϕ, zwanym

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

15

współczynnikiem mocy. Jeżeli przesunięcie fazowe między natężeniem prądu
i siłą elektromotoryczną jest równe zeru, ϕ = 0 (np. w przypadku, gdy w
obwodzie znajduje się jedynie opór omowy), to cos ϕ = 1 i powyższe wzory
sprowadzają się do otrzymanych w podrozdziale 6.2.1. Warto zauważyć, że
jeżeli przesunięcie fazowe ϕ = π/2 lub ϕ = −π/2 (gdy w obwodzie znajduje
się tylko opór indukcyjny lub opór pojemnościowy, patrz wzór (7.55)), to
cos ϕ = 0 i w obwodzie nie jest w ogóle wydzielana moc, P

śr

= 0.

7.2

Fale elektromagnetyczne

W poprzednich częściach wykładu omówiliśmy podstawowe prawa, opisują-
ce zjawiska elektromagnetyczne: prawo indukcji elektromagnetycznej Fara-
day’a (podrozdział 6.1.1), prawo Amp`

ere’a — dotyczące pola magnetyczne-

go przewodników z prądem (podrozdział 5.2.3) oraz prawo Gaussa dla pola
elektrycznego (podrozdział 4.1.1) i pola magnetycznego (podrozdział 5.1.2).
W roku 1864 J.C. Maxwell zauważył, że w przypadku, gdy w przestrzeni
istnieje zmienne w czasie pole elektryczne, prawo Amp`

ere’a powinno być

uzupełnione o dodatkowy wyraz. Otrzymany w ten sposób układ równań
opisuje w zasadzie całość zjawisk elektromagnetycznych i nosi obecnie na-
zwę równań Maxwella. Na podstawie tych równań Maxwell m.in. przewidział
istnienie fal elektromagnetycznych i obliczył ich prędkość. Okazała się ona
równa prędkości światła, co wskazywało, że światło jest falą elektromagne-
tyczną. Istnienie fal elektromagnetycznych wykazał doświadczalnie H. Hertz
w 1888 r., a więc ok. 20 lat później. Dalej będziemy rozważać wyłącznie
równania Maxwella w próżni.

Uogólnimy najpierw prawo indukcji elektromagnetycznej Faraday’a. Zgo-

dnie z nim, indukowana w przewodniku siła elektromotoryczna wyraża się
wzorem

E = −

d

dt



S

B · dS,

(7.72)

w którym całka po prawej stronie jest strumieniem pola magnetycznego,
obejmowanego przez obwód. Jak już wspomniano (podrozdział 6.1.1), zmien-
ne w czasie pole magnetyczne powoduje wytworzenie wirowego pola elek-
trycznego, zarówno w przewodniku jak i w ośrodku nieprzewodzącym lub
w próżni. Korzystając ze związku między potencjałem i natężeniem pola
elektrycznego (podrozdział 4.2.3, wzór(4.34)), indukowaną w zamkniętym
przewodniku siłę elektromotoryczną można wyrazić wzorem

E =



C

E · ds,

(7.73)

16

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

gdzie

E — natężenie pola elektrycznego wewnątrz przewodnika, C — do-

wolna przebiegająca wewnątrz niego zamknięta krzywa. Otrzymujemy stąd
równanie



C

E · ds = −

d

dt



S

B · dS ,

(7.74)

zwane I równaniem Maxwella. Równanie to, jakkolwiek wyprowadzone dla
przypadku przewodnika, stosuje się do wszystkich ośrodków i do próżni,
przy czym przez C należy rozumieć dowolną krzywą zamkniętą a przez S
— dowolną powierzchnię rozpiętą na tej krzywej.

Rozpatrzymy obecnie prawo Amp`

ere’a, określające pole magnetyczne

przewodników z prądem. Zgodnie z podanym dotychczas sformułowaniem,
zachodzi związek



C

B · ds = µ

0

I,

(7.75)

gdzie C jest dowolną zamkniętą krzywą a I — całkowitym natężeniem prą-
du, przepływającego przez dowolną powierzchnię, rozpiętą na krzywej C.
Łatwo jednak zauważyć, że podane równanie nie jest np. słuszne, gdy ob-
wód z prądem nie jest zamknięty. Jako przykład rozważymy, pokazany na
rysunku 7.9, obwód RC. Po zamknięciu przełącznika w obwodzie popłynie
prąd elektryczny, który wytworzy wokół przewodników pole magnetyczne.
Jeżeli chwilowe natężenie prądu w obwodzie wynosi I, to dla krzywej C i roz-
piętej na nim powierzchni S

1

ma miejsce związek (7.75) (przez powierzchnię

S

R

I

+q

-q

C

S

1

S

2

E

S

2

C

B

E

S

S

S

a)

b)

S

1

Rysunek 7.9:

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

17

E

B

E

B

dE

dt

>

0

dE

dt

<

0

a)

b)

Rysunek 7.10:

S

1

płynie prąd I) a dla powierzchni S

2

, rozpiętej na tej samej krzywej C,

związek



C

B · ds = 0

(7.76)

(przez powierzchnię S

2

nie płynie żaden prąd). Otrzymujemy więc, zależnie

od wyboru powierzchni, różne wyniki(!).

Dla wyjaśnienia powyższej sprzeczności Maxwell przyjął, przez analogię

ze zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej, że zmienne w czasie pole elek-
tryczne powoduje wytworzenie wirowego pola magnetycznego (rys. 7.10).
Należy zauważyć, że w przypadku, gdy pole elektryczne rośnie (dE/dt > 0),
zwrot linii sił wytworzonego pola magnetycznego jest zgodny z regułą śru-
by prawoskrętnej a w przypadku, gdy pole elektryczne maleje (dE/dt < 0)
— jest przeciwny. Obszar przestrzeni, w którym istnieje zmienne pole elek-
tryczne można więc traktować tak, jakby płynął w nim prąd elektryczny,
wywołujący pole magnetyczne. Maxwell nazwał ten fikcyjny prąd prądem
przesunięcia. Równanie (7.76) powinno więc być zastąpione przez równanie



C

B · ds = µ

0

I

p

,

(7.77)

gdzie I

p

oznacza natężenie prądu przesunięcia, „płynącego” między okład-

kami kondensatora. Dla zapewnienia niesprzeczności równań (7.75) i (7.77)
powinien zachodzić związek I = I

p

, co oznacza, że w każdej części rozważa-

nego obwodu „płynie prąd” o jednakowym natężeniu.

W celu wyprowadzenia wyrażenia, określającego prąd przesunięcia, sko-

rzystamy z podanego w podrozdziale 4.4.3 wzoru (4.82),

q = ε

0

ES,

(7.78)

18

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

w którym q jest ładunkiem na okładce płaskiego próżniowego kondensatora,
E — natężeniem pola w kondensatorze a S — powierzchnią jego okładki.
Ponieważ

Φ

E

= ES

(7.79)

jest strumieniem elektrycznego pola przez powierzchnię S (i przez całą po-
wierzchnię S

2

) na rys. 7.9, więc

q = ε

0

Φ

E

.

(7.80)

Z definicji natężenia prądu otrzymujemy

I =

dq

dt

= ε

0

dΦ

E

dt

.

(7.81)

Ponieważ w rozważanym przypadku I = I

p

, natężenie prądu przesunięcia

wewnątrz kondensatora wyraża się wzorem

I

p

= ε

0

dΦ

E

dt

.

(7.82)

Strumień pola elektrycznego

E przez dowolną powierzchnię S jest dany całką

Φ

E

=



S

E · dS.

(7.83)

Ogólne wyrażenie na prąd przesunięcia ma więc postać

I

p

= ε

0

d

dt



S

E · dS.

(7.84)

Po prawej stronie wzoru (7.75) w ogólnym przypadku powinna występować
suma natężenia I

p

prądu przesunięcia oraz natężenia I prądu przewodzenia:



C

B · ds = µ

0

(I

p

+ I) .

(7.85)

Podstawiając wyrażenie (7.84) do ostatniego wzoru otrzymujemy równanie



C

B · ds = ε

0

µ

0

d

dt



S

E · dS + µ

0

I ,

(7.86)

nazywane II równaniem Maxwella. Tutaj C jest dowolną krzywą a S —
dowolną rozpiętą na niej powierzchnią.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

19

Jak wspomnieliśmy, w skład równań Maxwella wchodzi jeszcze prawo

Gaussa dla pola elektrycznego,



S

E · dS =

Q

ε

0

,

(7.87)

oraz prawo Gaussa dla pola magnetycznego,



S

B · dS = 0 .

(7.88)

Powyższe równania nazywa się odpowiednio III i IV równaniem Maxwella.

7.2.1

Fala elektromagnetyczna płaska. Prędkość fal elektro-
magnetycznych

Jak wspomniano, równania Maxwella opisują m.in. fale elektromagnetyczne.
Będziemy rozważać jedynie fale elektromagnetyczne w próżni i przyjmiemy,
że w danym obszarze nie ma ładunków elektrycznych i przewodników z prą-
dem. W równaniach (7.86) i (7.87) należy więc odpowiednio przyjąć I = 0 i
Q = 0. Podamy najpierw intuicyjnie wyjaśnienie rozchodzenia się fal elektro-
magnetycznych (rys. 7.11). Jeżeli np. w pewnym obszarze przestrzeni istnieje
zmienne w czasie pole elektryczne, to — zgodnie z II równaniem Maxwella
(7.86) — wytwarza ono zmieniające się z czasem, wirowe pole magnetyczne.

E(t)

B(t)

E(t)

B(t)

Rysunek 7.11:

20

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

x

y

z

E

B

c

Rysunek 7.12:

Z kolei zmiany pola magnetycznego powodują, na mocy I równania Ma-
xwella (7.74), powstanie zmiennego, wirowego pola elektrycznego, itd. W
przestrzeni przemieszcza się więc fala elektromagnetyczna.

Najprostszą postacią fali elektromagnetycznej jest płaska fala harmo-

niczna, pokazana na rysunku 7.12. W przypadku płaskiej fali elektromagne-
tycznej każda płaszczyzna prostopadła do wektora prędkości fali

c jest jej

powierzchnią falową, na której wektory

E i B mają stałą wartość i kierunek.

Jak wynika z rysunku, wektory natężenia pola elektrycznego

E, indukcji po-

la magnetycznego

B oraz prędkości fali c są w danym punkcie przestrzeni

wzajemnie prostopadłe i tworzą układ prawoskrętny. Jest to ogólna cecha
dowolnej fali elektromagnetycznej. Fale elektromagnetyczne są więc falami
poprzecznymi. Na rys. 7.12 układ współrzędnych wybrano w ten sposób, że
wektory

c, E i B są odpowiednio równoległe do osi x, y i z. Zgodnie z

określeniem fali harmonicznej, wielkości E i B zmieniają się sinusoidalnie
ze zmianą współrzędnej x i czasu t. Analogicznie jak w przypadku płaskiej
fali harmonicznej w ośrodku sprężystym (podrozdział 2.6.2), rozważaną falę
elektromagnetyczną powinny opisywać równania

E = E

y

= E

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(7.89)

B = B

z

= B

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(7.90)

w których E

0

i B

0

są amplitudami natężenia pola elektrycznego i indukcji

pola magnetycznego, ω — pulsacją fali, c — prędkością fali elektromagne-
tycznej w próżni (dla uproszczenia wzorów przyjęto, że faza początkowa fali
jest równa zeru). Można wykazać, że funkcje (7.89) - (7.90) stanowią istotnie
rozwiązanie równań Maxwella.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

21

Jak już wspomnieliśmy w podrozdziale 5.2.2, prędkość fali elektroma-

gnetycznej w próżni określona jest wzorem

c =

1

√

ε

0

µ

0

(7.91)

W celu wyliczenia prędkości c wygodnie jest skorzystać ze związku

k =

1

4πε

0

,

(7.92)

w którym k jest współczynnikiem, występującym w niektórych wzorach elek-
trostatyki (patrz podrozdział 4.2.1). Po prostych przekształceniach zależność
(7.91) można zapisać jako

c =



4πk

µ

0

.

(7.93)

Ponieważ k = 9 · 10

9

N

·m

2

/C

2

, µ

0

= 4π · 10

−7

N/A

2

, więc

c =



4π · 9 · 10

9

N

· m

2

/C

2

4π · 10

−7

N/A

2

= 3

· 10

8

m/s.

(7.94)

Otrzymana wartość jest równa prędkości rozchodzenia się światła w próżni.
Rezultat ten doprowadził Maxwella do wniosku, że światło jest falą elektro-
magnetyczną.

W podobny sposób można wyprowadzić wzór, określający prędkość v

fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym o stałej dielektrycznej ε

r

i

względnej przenikalności magnetycznej µ

r

:

v =

1

√

ε

0

ε

r

µ

0

µ

r

.

(7.95)

Biorąc pod uwagę, że dla większości ośrodków, za wyjątkiem ferromagne-
tycznych, µ

r

≈ 1, ze wzorów (7.91) i (7.95) otrzymujemy związek

v ≈

c

√

ε

r

.

(7.96)

Ponieważ stała dielektryczna dowolnego ośrodka materialnego ε

r

> 1, pręd-

kość fali elektromagnetycznej w ośrodku materialnym jest mniejsza od pręd-
kości fali w próżni, v < c. Wynik ten jest zgodny z doświadczeniem.

22

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

7.2.2

Wektor Poyntinga. Natężenie fali elektromagnetycznej

Zarówno pole elektryczne jak i pole magnetyczne posiada określoną energię
(por. podrozdziały 4.4.3 i 6.1.2). Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych
związane jest więc z przenoszeniem energii pola elektromagnetycznego, po-
dobnie jak rozchodzeniu się fal w sprężystym ośrodku towarzyszy przeka-
zywanie energii mechanicznej. Szybkość przepływu energii fali elektroma-
gnetycznej przez daną powierzchnię opisuje tzw. wektor Poyntinga

S (rys.

7.13). Podamy tutaj jego ogólną definicję, stosującą się do ośrodków mate-
rialnych i do próżni. Kierunek wektora Poyntinga jest zgodny z kierunkiem
wektora

v prędkości fali, S  v a jego wartość liczbowa jest równa mocy

fali, przenoszonej przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do wektora
v. Jeżeli więc oznaczyć przez ∆E

p

energię fali, przechodzącą w czasie ∆t

przez niewielką powierzchnię ∆S

⊥

, to wartość

S =

∆E

p

∆S

⊥

∆t

,

(7.97)

przy czym [S] =W/m

2

. Energia ∆E

p

odpowiada energii zawartej w bardzo

małym prostopadłościanie o polu podstawy ∆S

⊥

i wysokości v∆t (rys. 7.13).

Ponieważ całkowita gęstość energii w = w

e

+ w

m

(w

e

i w

m

— gęstość ener-

gii pola elektrycznego i magnetycznego) wewnątrz prostopadłościanu jest w
przybliżeniu stała, więc

∆E

p

= w∆V = w∆S

⊥

v∆t

(7.98)

Rysunek 7.13:

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

23

(∆V — objętość prostopadłościanu), skąd otrzymujemy wzór

S = wv.

(7.99)

Korzystając ze wyrażeń, określających gęstości energii w

e

i w

m

(podrozdział

4.4.3, wzór (4.85) i podrozdział 6.1.2, wzór (6.30)), ostatnie wyrażenie można
przekształcić do postaci

S = E × H

(7.100)

(patrz rys. 7.14), w którym wektor natężenia pola magnetycznego

H =

B/µ

r

µ

0

.

Ze względu na zależność pola elektrycznego i pola magnetycznego fa-

li od czasu, wartość wektora Poyntinga również zmienia się w czasie. Dla
harmonicznej fali elektromagnetycznej wygodnie jest wprowadzić pojęcie jej
natężenia I, będącego średnią bezwzględną wartością wektora Poyntinga w
ciągu jednego okresu T drgań,

I = S

śr

=

1

T



T

0

EHdt

(7.101)

([I] =W/m

2

). Korzystając z powyższej zależności można wykazać, że natę-

żenie płaskiej fali elektromagnetycznej, opisanej równaniami

E = E

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(7.102)

H = H

0

cos [ω (t − x/c)] ,

(7.103)

wynosi

I =

E

0

H

0

2

.

(7.104)







Rysunek 7.14:

24

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

Ponieważ w przypadku fali elektromagnetycznej E

0

∼ H

0

, jej natężenie jest

proporcjonalne do kwadratu amplitudy natężenia pola elektrycznego lub
pola magnetycznego,

I ∼ E

2

0

∼ H

2

0

.

(7.105)

7.2.3

Promieniowanie fal elektromagnetycznych

Zgodnie z poprzednimi podrozdziałami, z obszaru przestrzeni, w którym wy-
stępuje zmienne w czasie pole elektryczne lub pole magnetyczne, rozchodzi
się fala elektromagnetyczna. Wobec tego w zasadzie każdy elektryczny ob-
wód drgający, np. obwód LC, jest źródłem fal elektromagnetycznych. Łatwo
stwierdzić, że w celu wytworzenia fal elektromagnetycznych np. o długości
rzędu metra — częstotliwość ν drgań elektrycznych musi być stosunkowo
wysoka. Można obliczyć ją ze wzoru

ν =

c

λ

.

(7.106)

Ponieważ prędkość fali elektromagnetycznej w próżni c = 3 · 10

8

m/s, więc

dla długości λ = 1 m częstotliwość ν = 3 · 10

2

MHz. Jak wynika ze wzoru

Thomsona (7.14), częstotliwość drgań obwodu LC wynosi

ν =

1

T

=

1

2π

√

LC

.

(7.107)

Dla osiągnięcia możliwie wysokiej częstotliwości drgań należy więc dążyć do
zmniejszenia zarówno indukcyjności L jak i pojemności C obwodu. Ponadto,
aby wypromieniowywana przez obwód moc była jak największa, obszar prze-
strzeni, w którym obwód wytwarza zmienne pole elektryczne i magnetyczne
— powinien być możliwie duży. Oba cele można zrealizować, przekształcając
obwód LC w sposób pokazany na rys. 7.15a-d. Obwód redukuje się wówczas
do odcinka przewodnika, posiadającego niewielką indukcyjność i pojemność.
Drgania elektryczne w przewodniku mają charakter zbliżony do drgań dipola
elektrycznego, tzn. układu dwóch równych, różnoimiennych ładunków +q i

−q, których odległość zmienia się okresowo w czasie (rys. 7.16). W odróżnie-
niu od pola elektrycznego nieruchomych ładunków, linie sił pola elektrycz-
nego drgającego dipola „odrywają się” od ładunków i przybierają kształt
pętli, przemieszczających się w przestrzeni (na rysunku pokazano linie sił
tylko z jednej strony dipola). Linie sił pola magnetycznego (nie pokazane
na rysunku) są prostopadłe do linii sił pola elektrycznego. Mają one kształt
współosiowych okręgów o rosnących z czasem promieniach, obejmujących
drgający dipol.

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

25

L

C

a)

b)

c)

d)

Rysunek 7.15:

a)

b)

c)

d)

q

q

q

q

q

q

q

q

Rysunek 7.16:

W celu podtrzymywania drgań elektrycznych w rozważanym obwodzie

należy doprowadzać do niego energię, np. przez połączenie ze źródłem zmien-
nej siły elektromotorycznej. W swoich doświadczeniach H. Hertz używał
układu złożonego z dwóch przewodzących prętów, rozdzielonych niewielką

26

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE





Rysunek 7.17:

przerwą, zwanego obecnie oscylatorem Hertza (rys. 7.17a). Drgania w oscy-
latorze Hertza były wzbudzane przez połączenie go ze źródłem powtarza-
jących się impulsów wysokiego napięcia. W momencie, w którym napięcie
osiągnie dostateczną wartość, między prętami przeskakuje iskra elektryczna
„zamykająca” obwód, w którym powstają tłumione drgania elektryczne. Do
rejestracji fal elektromagnetycznych Hertz stosował przewodzący pierścień
z niewielką przerwą zwany rezonatorem (rys. 7.17b), o częstotliwości drgań
własnych identycznej z częstotliwością drgań emitującego falę oscylatora. Na
skutek zjawiska rezonansu elektrycznego wymuszone drgania w rezonatorze
były na tyle silne, że można je było wykryć, obserwując przeskakującą w
przerwie iskrę. Współcześnie do wytwarzania i odbioru fal radiowych i tele-
wizyjnych stosuje się anteny połączone z generatorami drgań elektrycznych
(nadajniki) i wzmacniaczami drgań elektrycznych (odbiorniki).

Hertz w swoich doświadczeniach udowodnił m.in., że fale elektromagne-

tyczne ulegają dyfrakcji, interferencji i załamaniu. Udało mu się też wy-
tworzyć stojące fale elektromagnetyczne i zmierzyć ich długość skąd, znając
częstotliwość drgań obwodu, mógł wyznaczyć prędkość fali elektromagne-
tycznej. Okazała się ona zgodna z wynikiem teorii Maxwella, co stanowiło
rozstrzygający dowód jej słuszności.

7.2.4

Widmo fal elektromagnetycznych

Fale elektromagnetyczne, występujące w przyrodzie i wytwarzane sztucznie,
obejmują b. szeroki zakres długości oraz — z uwagi na stałą prędkość ich
rozchodzenia się w próżni — równie szeroki zakres częstotliwości, przekra-
czający 16 rzędów wielkości. Natura fal elektromagnetycznych, niezależnie
od ich długości, jest jednakowa. Fale o długościach różniących się co naj-
mniej o kilka rzędów mają jednak odmienne właściwości fizyczne. Podziału
fal elektromagnetycznych na poszczególne rodzaje dokonuje się głównie ze
względu na sposób ich powstawania. Pełne widmo fal elektromagnetycznych

FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

27

pokazuje rys. 7.18. Granice długości fali między poszczególnymi rodzaja-
mi promieniowania elektromagnetycznego, pokazane na rysunku i podane
poniżej, mają jedynie orientacyjny charakter.

Fale radiowe są wytwarzane za pomocą przyrządów elektronicznych. Do

celów radiofonii i radiokomunikacji stosuje się fale o długości od 10

4

m do 10

m. Programy radiowe i telewizyjne przesyłane są na falach ultrakrótkich, o
długości od 10 m do 10

−1

m. Fale elektromagnetyczne o długości od 10

−1

m

do 10

−4

m noszą nazwę mikrofal. Są one wykorzystywane głównie w technice

radarowej oraz radiokomunikacji satelitarnej.

Promieniowanie podczerwone, widzialne i nadfioletowe powstaje na sku-

tek zmian energetycznych, zachodzących w zewnętrznych powłokach elektro-
nowych atomów i cząsteczek. Jest ono m.in. emitowane przez ciała ogrzane
do dostatecznie wysokiej temperatury. Fale ze stosunkowo wąskiego prze-
działu, od ok. 8

·10

−7

m do ok. 4

·10

−7

m są bezpośrednio widzialne ludzkim

okiem (barwy od czerwonej do fioletowej). Przedział fal o długości od 10

−3

m do 8

· 10

−7

m należy do podczerwieni a przedział fal o długości od 4

· 10

−7

do 10

−9

m — do nadfioletu. Ogólnie można stwierdzić, że energia promie-

niowania elektromagnetycznego rośnie wraz ze zmniejszaniem się długości
jego fali, tj. ze wzrostem częstotliwości. Przejawem tego są niektóre wła-
sności promieniowania nadfioletowego — zaczernia ono klisze fotograficzne,

4

3

2

1

0

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

d³ugie

œrednie

krótkie

promienie

podczerwone

œwiat³o

widzialne

promienie

g

promienie

ultrafioletowe

promienie

rentgenowskie

mikrofale

fale radiowe

lg [Hz]

n

lg [m]

l

Rysunek 7.18:

28

DRGANIA I FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

powoduje fluorescencję (świecenie) niektórych ciał, zapoczątkowuje szereg
reakcji chemicznych.

Promienie Roentgena (promienie X) powstają przy hamowaniu wiązki

wysokoenergetycznych naładowanych cząstek (głównie elektronów) w cia-
łach stałych a także podczas przemian energetycznych, mających miejsce w
wewnętrznych powłokach elektronowych atomów i cząsteczek. Długość fal
promieni Roentgena leży w zakresie od 10

−8

m do 10

−12

m. Są one bar-

dzo przenikliwe; ich własności fizyczne wykorzystywane są powszechnie w
badaniach strukturalnych materiałów, defektoskopii i medycynie.

Promieniowanie γ jest emitowane przez pierwiastki promieniotwórcze

przy przemianach energetycznych wewnątrz wzbudzonych jąder atomowych.
Długość fal promieniowania γ jest mniejsza od 10

−10

m a ich własności

fizyczne są zbliżone do własności promieni Roentgena.