Wyznaczanie wykładnika funkcji eksponencjalnej

0

1

2

3

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

1

t

2

t

3

u

1

u

2

u

3

u(t)

t

∆u

1

∆u

2

∆t

1

∆t

2

Dana jest krzywa opisana zależnością ( )

at

u t

Ke

−

=

. Podczas pomiarów za pomocą

oscyloskopu występują błędy związane z przesunięciem punktu (0, 0). Obserwowaną krzywą
można zapisać ogólnie

0

(

)

0

( )

a t t

u t

u

Ke

−

+

=

+

,

gdzie u

0

, t

0

– stałe określające przesunięcie w pionie i poziomie.

Trzy dowolne punkty na krzywej eksponencjalnej określone są zależnościami:

1

0

(

)

1

1

0

( )

a t t

u

u t

u

Ke

−

+

=

=

+

,

2

0

(

)

2

2

0

( )

a t

t

u

u t

u

Ke

−

+

=

=

+

,

3

0

(

)

3

3

0

( )

a t t

u

u t

u

Ke

−

+

=

=

+

.

Oznaczając

1

1

2

2

2

,

u

u

u

u

u

u

∆ = −

∆ =

−

3

2

oraz

1

2

1

2

3

,

t

t

t

t

t

t

∆ = −

∆ = −

uzyskuje się

(

)

(

)

(

)

(

)

2

1

2

1

0

2

0

1

2

1

2

0

3

0

3

2

2

3

2

2

(

)

(

)

1

1

2

(

)

(

)

2

2

3

1

1

1

1

a t

t

at

a t t

a t

t

at

at

a t

a t

t

a t t

at

at

a t

a t t

at

e

e

u

u

u

Ke

Ke

e

e

e

u

u

u

Ke

Ke

e

e

e

e

e

−

−

−

+

−

+

−

−

∆

−

+

−

+

−

−

−

−

−

−

−

∆

−

−

−

=

=

=

=

=

∆

−

−

−

−

−

∆

−

t

.

Równanie to można łatwo rozwiązać tylko przy założeniu, że

1

2

t

t

∆ = ∆ = ∆ .

Wówczas

(

)

1

2

1

1

1

1

a t

a t

a t

a t

a t

a t

e

e

u

e

e

u

e

e

∆

− ∆

∆

∆

− ∆

− ∆

−

∆

−

=

=

=

∆

−

−

i wykładnik a wyznacza się z zależności

1

2

1

ln

u

a

t

u





∆

=





∆

∆





.