Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespół Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

© Prawa autorskie zastrzeżone

POMIARY W OBWODACH RC, RL I RLC

aktualizacja 20 październik 2011

Cel ćwiczenia

- obserwacja stanów nieustalonych w obwodach RC przy pobudzeniu jednostkowym 1( t)

- pomiar stałej czasowej i czasu ustalania w obwodach RC

- obserwacja stanów nieustalonych w obwodach RL przy pobudzeniu jednostkowym 1( t)

- pomiar stałej czasowej i czasu ustalania w obwodach RL

- obserwacja stanów nieustalonych w obwodach RLC przy pobudzeniu jednostkowym 1( t)

- analiza przypadków: aperiodycznego, aperiodycznego krytycznego i oscylacyjnego

- pomiar czasu ustalania w obwodach RLC

- wyznaczanie charakterystyki amplitudowej wybranego obwodu RLC

Podstawowe wiadomości

Stanem ustalonym nazywa się stan równowagi układu, w którym parametry charakteryzujące reakcję np. wartość maksymalna, częstotliwość, faza początkowa nie zmieniają się w czasie.

Wszelkie zmiany w układzie, zwane komutacją np.: włączenie lub odłączenie źródła, zmiany połączeń lub wartości elementów itp., powodują zaburzenie istniejącego stanu ustalonego. Nowy stan ustalony zazwyczaj nie występuje natychmiastowo, lecz jest poprzedzony pewnym stanem przejściowym. Stan przejściowy istniejący w układzie, podczas przejścia z jednego stanu ustalonego w drugi, nazywa się stanem nieustalonym.

Teoretycznie układ osiąga stan ustalony po nieskończenie długim czasie. W praktyce wyznacza się tzw. czas ustalania, po którego upływie przyjmuje się, że układ jest w stanie ustalonym.

W ćwiczeniu są badane układy pierwszego i drugiego rzędu o zerowych warunkach początkowych. Stosując rachunek operatorowy wyznaczono składowe przejściowe i ustalone prądów i napięć występujących na elementach badanych układów przy pobudzeniu

p( t) = e( t) = E 1( t).

1 Układ pierwszego rzędu RC

R

i( t)

e( t) = E 1( t)

U

C

U

R( t)

C( t)

Rys. 1

Strona 1 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

t





 E





−







E /

t

τ



− 

−1

−1 



u ( t) = TL 

 = Ee τ 1( t), u ( t) = TL 

 = E 1

 − e τ 1

 ( t),

(1)

R

−1

c

 +







+







s

τ

s

 (

−1

s

τ )















gdzie: u

( t)= 0, u

( t)= 1

E ( t) - składowe ustalone,

Rust

Cust

t

t

−

−

u

t = Ee τ t , u

t = − Ee τ t - składowe przejściowe,

Cp ( )

1( )

Rp ( )

1( )

τ = RC - stała czasowa obwodu RC.

Przebiegi prądu i napięć w obwodzie RC ( R = 2 Ω, C = 5 F, E = 1 V) w stanie nieustalonym zilustrowane są na rys. 2. Zaznaczony na wykresie czas τ = RC jest stałą czasu układu. Wielkość ta charakteryzuje szybkość zanikania przebiegu przejściowego. Dla tu ≈ 3τ napięcie na kondensatorze osiąga poziom 0,95 E, ponadto: τ = t / ln (2) ≃ 1, 442695 t , u( t ) = 0,5 E .

h

h

h

1.2

E

1

0.95E

0.8

u C( t)

0.632E

0.6

0.4

i( t)

u R( t)

0.2

t [ s]

0

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

τ

t ≈

u

3τ

Rys. 2

Czas ustalania się tu jest zdefiniowany jako czas, po którego upływie wartość odpowiedzi jednostkowej układu różni się od wartości ustalonej co najwyżej o 5%, lub równoważnie jako czas, po którego upływie wartość odpowiedzi przejściowej wynosi tylko 5% wartości początkowej.

Dla układów pierwszego rzędu

t u = 3τ.

(2)

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 2 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

2 Układ pierwszego rzędu RL

R

i( t)

e( t) = E 1( t)

U

L

U

R( t)

L( t)

Rys. 3

t





 E





−







E /

t

τ



− 

−1

−1 



u ( t) = TL 

 = Ee τ 1( t), u ( t) = TL 

 = E 1

 − e τ 1

 ( t),

(3)

L

−1

R

 +







+







s

τ

s

 (

−1

s

τ )















gdzie: u

( t)= 0, u

( t)= 1

E ( t) - składowe ustalone,

Lust

Rust

t

t

−

−

u

t = Ee τ t , u

t = − Ee τ t - składowe przejściowe,

Rp ( )

1( )

Lp ( )

1( )

τ = L / R - stała czasowa obwodu RC.

Przebiegi prądu i napięć w obwodzie RL ze stałą czasową τ = L / R , ( R = 2 Ω, L =

20 H, E = 1 V) w stanie nieustalonym zilustrowane są na rys. 4. Zaznaczony na wykresie czas τ =

L/R jest stałą czasu układu. Wielkość ta charakteryzuje szybkość zanikania przebiegu przejściowego. Dla tu ≈ 3τ napięcie na rezystorze osiąga poziom 0,95 E, ponadto: τ = t / ln (2) ≃1,442695 t , u( t ) = 0,5 E .

h

h

h

E

1

0,95 E

uL(t)

0.8

u R( t)

0,632 E

0.6

E

R

0.4

i( t)

0.2

t [s]

00

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

τ

t ≈

u

3τ

Rys. 4

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 3 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Czas ustalania się tu jest zdefiniowany jako czas, po którego upływie wartość odpowiedzi jednostkowej układu różni się od wartości ustalonej co najwyżej o 5%, lub równoważnie jako czas, po którego upływie wartość odpowiedzi przejściowej wynosi tylko 5% wartości początkowej.

Dla układów pierwszego rzędu

t u = 3τ.

(4)

3 Układ drugiego rzędu RLC

R

i( t)

L

e( t) = E 1( t)

U

C

U

R( t)

U L( t)

C( t)

Rys. 5









 E

1



−1

i( t)





= L 

 ,

(5)

 L 2

R

1 



s + s

+









L

LC 











 E

1



−1

u ( t)





= L

,

(6)

c





 sLC 2

R

1 



s + s

+









L

LC 













1



−1

u ( t)



L  E



=

.

(7)

L





2

R

1 

 s + s +









L

LC 



Częstotliwości własne układu wynoszą:

s = − A + B ,

s = − A− B ,

(8)

1

2

gdzie:

2

R

1  R 

4

A =

=

 

,

B

  −

.

2 L

2  L 

LC

3.1 Przypadek aperiodyczny

Jeśli B jest rzeczywiste, co odpowiada warunkowi

L

R > 2

,

(9)

C

przebiegi mają charakter aperiodyczny i wyrażają się następującymi wzorami:

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 4 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

 E



i( t)

− At

= 

e

sh( Bt) 1





 ( t) ,

(10)

 LB











−

A

u ( t) = E 1

At

 − e

 ch( Bt) + sh( Bt)



 1( t) ,

(11)

c





B















−

A

u ( t)

At

= E  e

 ch( Bt)− sh( Bt)



 1( t) ,

(12)

L





B







gdzie składowe ustalone i przejściowe:

i u( t) = 0,

u Cu( t) = E1( t),

u Lu( t) = 0,





−

A

u ( t)

At

= − Ee

 ch( Bt) + sh( Bt) 1





 ( t) ,

cp



B



u Lp( t) = u L( t).

Przebiegi aperiodyczne prądu i napięć ( E = 1, R = 2.5 Ω, L = 1 H, C = 1 F) przedstawiono na rys. 6.

1.2

E

1

0,95E

0.8

u L( t)

u C( t)

0.6

0.4

i( t)

0.2

0

t [s]

-0.20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tu

Rys. 6

3.2 Przypadek aperiodyczny krytyczny

W przypadku, gdy B = 0

L

R = 2

= R ,

(13)

kr

C

otrzymuje się:

E

i( t)

− At

=

te

1( t) ,

(14)

L

u ( t) = E (1

− At

− At

− e

− Ate

t ,

(15)

C

)1( )

u ( t)

E

At e−

=

−

t .

(16)

L

(1

) At 1( )

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 5 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Rezystancję R kr nazywa się krytyczną rezystancją obwodu. Przebiegi prądu i napięć dla przypadku aperiodycznego krytycznego ( E = 1 V, R = 2 Ω, L = 1 H, C = 1 F) przedstawiono na rys.7.

W przypadkach aperiodycznych czas ustalania się jest określony podobnie jak dla układów pierwszego rzędu. Przypadek krytyczny jest przypadkiem, w którym przebiegi prądu i napięć osiągają wartości ustalone w najkrótszym czasie.

1.2

E

1

0,95E

0.8

u L( t)

u C( t)

0.6

0.4

i( t)

0.2

0

t [s]

-0.2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tu

Rys. 7

3.3 Przypadek oscylacyjny

Jeśli B jest urojone, tj. B = jβ, co odpowiada warunkowi

L

R < R = 2

,

(17)

kr

C

przebiegi prądu i napięć można wyrazić wzorami:

 E



i( t)

− At



= 

e

sin( βt) 1

 ( t) ,

(18)

 βL



− At



e



u ( t) = E 1

 −

sin( βt + θ)1( t) ,

(19)

C



sin θ







− At

e

u ( t) = − E

sin( βt − θ)1( t) ,

(20)

L

sin θ

 β 

gdzie θ = arctg  

  .

 A

Jak widać z powyższych wzorów, przebiegi prądu i napięć (rys. 8, E = 1 V, R = 0.2 Ω, L = 1

H, C = 1 F) mają charakter oscylacyjny tłumiony, przy czym pulsacja drgań swobodnych http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 6 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1

2

2

2

β =

− A = ω − A ,

(21)

0

LC

1

gdzie ω =

.

0

LC

W przypadku oscylacyjnym czas ustalania t u definiuje się jako minimalny czas, po upływie którego odpowiedz jednostkowa znajduje się w obszarze 0,95 E – 1,05 E wartość ustalonej ( ±5% ).

2.5

2

u C( t)

1.5

1,05E

1

E

0,95E

u L( t)

0.5

0

-0.5

i( t)

t [s]

-10

5

10

15

20

25

30

t u

Rys. 8

Część laboratoryjna

Badany układ RLC wykonany jest w postaci panelu z możliwością zestawienia układów RC, RL i RLC o różnych wartościach elementów (dekady rezystancyjna, indukcyjna i pojemnościowa).

W celu umożliwienia obserwacji na oscyloskopie reakcji układu na pobudzenie skokiem jednostkowym stosuje się odpowiednio dobrane pobudzenie przebiegiem prostokątnym.

Częstotliwość powtarzania impulsów prostokątnych należy tak dobrać, aby podczas trwania impulsu reakcja układu osiągała praktycznie wartość ustaloną. Obserwowane wówczas na ekranie oscyloskopu przebiegi napięć w czasie równym połowie okresu sygnału prostokątnego można traktować jako reakcje całkowite układu na pobudzenie jednostkowe. W przypadku źle dobranej (zbyt dużej) częstotliwości powtarzania impulsów w obserwowanym przebiegu nie można wyróżnić reakcji na pobudzenie jednostkowe (brak stanu ustalonego).

Obserwacja napięć na ekranie oscyloskopu jest możliwa jedynie względem masy układu.

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 7 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1 Badanie układu pierwszego rzędu RC przy pobudzeniu E 1(t)

1.1. Wydrukować napięcia u C( t) dla dwóch różnych wartości rezystancji R przy wybranej wartości pojemności C. Dla każdej z tych rezystancji zmierzyć stałą czasu i czas ustalania za pomocą oscyloskopu. Wyskalować i opisać osie wykresu, nadać wykresowi

odpowiedni tytuł (użyć ołówka, proszę nie pisać po wykresie długopisem).

1.2. Zaznaczyć (ołówkiem) na wykresach stałe czasu τ oraz czasy ustalania t u, sprawdzić czy t u = 3τ.

1.3. Obliczyć wartości rezystancji na podstawie zmierzonych wartości τ (uwzględnić rezystancję wewnętrzną generatora R g = 50 Ω).

1.4. Wydrukować napięcia u C( t) dla dwóch różnych wartości pojemności C przy wybranej wartości rezystancji R. Dla każdej z tych pojemności zmierzyć stałą czasu i czas ustalania za pomocą oscyloskopu. Wyskalować i opisać osie wykresu, nadać wykresowi

odpowiedni tytuł (użyć ołówka, proszę nie pisać po wykresie długopisem).

1.5. Zaznaczyć (ołówkiem) na wykresach stałe czasu τ oraz czasy ustalania t u, , sprawdzić czy t u = 3τ.

1.6. Obliczyć wartości pojemności na podstawie zmierzonych wartości τ (uwzględnić rezystancję wewnętrzną generatora R g = 50 Ω).

2 Badanie układu pierwszego rzędu RL przy pobudzeniu E l(t) 2.1. Wydrukować napięcia u L( t) dla dwóch różnych wartości rezystancji R przy wybranej wartości indukcyjności L. Dla każdej z tych rezystancji zmierzyć stałą czasu i czas ustalania za pomocą oscyloskopu. Wyskalować i opisać osie wykresu, nadać wykresowi

odpowiedni tytuł (użyć ołówka, proszę nie pisać po wykresie długopisem).

2.2. Zaznaczyć (ołówkiem) na wykresach stałe czasu τ oraz czasy ustalania t u, sprawdzić czy t u = 3τ.

2.3. Obliczyć wartości rezystancji na podstawie zmierzonych wartości τ (uwzględnić rezystancję wewnętrzną generatora R g = 50 Ω).

2.4. Wydrukować napięcia u L( t) dla dwóch różnych wartości indukcyjności L przy wybranej wartości rezystancji R. Dla każdej z tych pojemności zmierzyć stałą czasu i czas ustalania za pomocą oscyloskopu. Wyskalować i opisać osie wykresu, nadać wykresowi

odpowiedni tytuł (użyć ołówka, proszę nie pisać po wykresie długopisem).

2.5. Zaznaczyć (ołówkiem) na wykresach stałe czasu τ oraz czasy ustalania t u, , sprawdzić czy t u = 3τ.

2.6. Obliczyć wartości indukcyjności na podstawie zmierzonych wartości τ (uwzględnić rezystancję wewnętrzną generatora R g = 50 Ω).

3 Badanie układu drugiego rzędu RLC przy pobudzeniu E l(t) 3.1 Dobrać pojemność C i indukcyjność L tak, aby zmieniając rezystancję R uzyskać odpowiedź o charakterze aperiodycznym, aperiodycznym krytycznym i oscylacyjnym. Dla

wszystkich przypadków wydrukować napięcia u C( t). Określić i zaznaczyć na wykresach czas ustalania napięcia u C( t).

3.2 Dla wybranej indukcyjności L i trzech różnych pojemności C dobrać R tak, aby podczas zmiany C uzyskiwać zawsze przypadek oscylacyjny. Wyznaczyć z każdego z wykresów stałe A i β. Czy A oraz β zależą od wielkości pojemności C ?

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 8 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Uwaga do punktu 3.2: sposób wyznaczania stałej tłumienia A zilustrowano na rys. 10.

2.5

u C( t)

2

1.5

r1

E 1

r2

1

 r 

1

0.5

A =

ln 







t − t

r

2

1

 2 

π

0

β = t − t

2

1

t [s]

-0.5

0

5

10

15

20

25

30

t

t

1

2

Rys. 10

4 Pomiar charakterystyki amplitudowej układu drugiego rzędu RLC

4.1 Proszę zmienić sygnał z generatora na sygnał sinusoidalny o amplitudzie 1 V. Zmierzyć i przedstawić w postaci wykresu (użyć Matlaba) charakterystykę amplitudową wybranego układu RLC w przypadku oscylacyjnym. Częstotliwość należy zmieniać w zakresie do 50

Hz do kilku kHz. Pomiarów można dokonywać za pomocą woltomierza lub markerów oscyloskopu.

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 9 z 10

Laboratorium Techniki Analogowej (Teorii Obwodów) Zespól Teorii Obwodów Wydział Elektroniki, Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechniki Wrocławskiej

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Pytania kontrolne

1. Narysować przebiegi napięć i prądu w szeregowym obwodzie RC ( RL) pobudzanym skokiem jednostkowym E 1(t).

2. Narysować przebiegi napięć i prądu w szeregowym obwodzie RLC pobudzanego skokiem jednostkowym E 1(t) dla różnych tłumień obwodu.

3. Podać sposoby wyznaczania stałej czasu w szeregowym obwodzie RC ( RL) na podstawie odpowiedzi na skok jednostkowy.

4. Dane są wartości elementów R = 1 Ω, C = 1 F, L = 2 H. Wyznaczyć prąd i( t) płynący w szeregowym obwodzie RLC w przypadku, kiedy pobudzeniem jest napięcie u( t) = 10⋅ (

1 t) .

5. W jaki sposób wpływa rezystancja wewnętrzna źródła zasilającego na przebiegi napięć i prądów w szeregowym obwodzie RC ( RL).

6. Omówić i zdefiniować pojęcia: składowa swobodna, wymuszona, przejściowa i ustalona.

7. W jaki sposób można rozpoznać, że w szeregowym obwodzie RLC (zestaw laboratoryjny) pobudzanym SEM E ⋅ (

1 t) napięcie u C( t) ma przebieg aperiodyczny krytyczny.

8. Pokazać, że w szeregowym obwodzie RLC, w którym występują przebiegi oscylacyjne czas t u ustalania napięcia prawie nie zależy od wartości pojemności C.

9. Wiadomo, że w szeregowym obwodzie RLC występuje przypadek oscylacyjny. Znana jest odpowiedź u C(t), gdy pobudzeniem jest napięcie 1(t). Znana jest również wartość pojemności C. W jaki sposób na podstawie u C(t) obliczyć wartości: R i L?

10. Szeregowy obwód RL ( R = 1 Ω, L = 1 H) pobudzany jest napięciem u( t) = 10sin(2 t)1( t) .

Wyznaczyć przebieg prądu i(t) płynącego w tym w tym obwodzie. Wyróżnić składową swobodną i wymuszoną.

Literatura

[1] J. Osiowski, J. Szabatin, Podstawy teorii obwodów, tom II, Podręczniki akademickie, NT, Warszawa 1995,

[2] W. Wolski, Teoretyczne podstawy techniki analogowej, PWr., Wrocław 2007

http://www.zto.ita.pwr.wroc.pl . Strona 10 z 10