Ekonomia menedżerska

Optymalizacja decyzji przy istnieniu

ograniczeń

Wykład 4

Model ekonomiczny

celowo uproszczony schemat analityczny

rzeczywistości gospodarczej

Struktura teoretyczna

Model ekonomiczny stanowi zbiór:

• założeń
• definicji
• zależności, które można zapisać w postaci:

– modeli przyczynowo-skutkowych
– modeli symptomatyczne
– tendencji rozwojowej (cykle koniunkturalne)

Model przyczynowo-

skutkowe

przyczyny ujmowane są w postaci

zmiennych objaśniających
(niezależnych lub egzogenicznych), zaś
skutki w postaci zmiennej objaśnianej
(zależnej lub endogenicznej)

Model przyczynowo-

skutkowy

Przykład 1

Funkcja kosztów produkcji – to relacja między

kosztami i odpowiednią wielkością produkcji,
c.p.

Q – wielkość produkcji
w – wynagrodzenie pracowników
 - składnik losowy

)

,...,

,

(



w

Q

f

TC

Model przyczynowo-

skutkowy

Przykład 2

Funkcja podaży - wyraża zależność ilości danego

dobra oferowanej na sprzedaż na danym rynku i w
danym czasie od ceny tego dobra i od innych
czynników niecenowych

Q

SA

– ilość oferowanego dobra A

P

A

– cena dobra A

P

1

,...,P

n

– ceny czynników produkcji

T

e

– poziom techniczny i technologiczny

R – stopa procentowa

 – składnik losowy (zmiany przypadkowe)

)

,...,

,

,

,...,

,

(

1



r

T

P

P

P

f

Q

e

n

A

SA



Model przyczynowo-

skutkowy

Przykład 3

Funkcja produkcji - jest zbiorem wszystkich

technicznie efektywnych metod wytwarzania
przy maksymalnych rozmiarach produkcji, jakie
można uzyskać przy danej wielkości nakładów

K – kapitał
L – praca
T – poziom technologii i technik wytwarzania
 - składnik losowy

)

,...,

,

,

(



T

L

K

f

Q 

Model symptomatyczny

w miejsce rzeczywistych zmiennych

objaśniających wprowadzane są
symptomaty tych zmiennych

Model symptomatyczny

Przykład

Popyt gospodarstw domowych na

mieszkania w danym czasie:

• realne dochody rozporządzalne w okresie

t i w okresach poprzedzających,

• realne ceny mieszkań w okresie t oraz

oczekiwania co do ich ceny w przyszłości

• realny koszt utrzymania mieszkania w

okresie t, w tym głównie realna wysokość

ceny mediów

Model trendu

przedstawiają przebieg w czasie zmiennej

objaśnianej. Modele, w których jedyną
zmienną objaśniającą jest czas

Model trendu

Przykład

y=f(t
)

Y

czas

Etapy konstrukcji modelu

1/3

1. Określenie zmiennych

objaśnianych i zmiennych
objaśniających oraz parametrów

Etapy konstrukcji modelu

2/3

2. Sformułowanie warunków, które

zakłada się jako niezbędne do
działania modelu (występują one w
formie definicji lub tożsamości)

lub

Q

P

TR





S

I 

Etapy konstrukcji modelu

3/3

3. Sprowadzenie warunków modelu

do jednego równania względem
jednej ze zmiennych wybranej z
punktu widzenia wygody działania
(jeśli warunków jest tyle mile
zmiennych)

Typy równań

ekonomicznych

• definicyjne – tożsamość dwóch

wyrażeń, które mają taki sam sens

• behawioralne – sposób

zachowania zmiennej w reakcji na
przyrosty innych zmiennych

Rozwiązanie modelu

polega na:

• znalezieniu wartości liczbowej

odpowiadającej poziomowi
statycznemu

• utrzymaniu stopy wzrostu lub

ścieżki czasowej

• znalezienie pozostałych zmiennych

na podstawie warunków modelu

Metoda Lagrange’a

wykorzystuje się w teorii ekonomii,

np. w celu rozwiązania problemu
wyboru konsumenta

Metoda Lagrange’a

Przykład - wprowadzenie

• funkcja użyteczności jest ciągła i

różniczkowalna, przyjmuje postać

• analiza ograniczenia dotyczy dwóch

dóbr

X i Y

• ograniczenie budżetowe przyjmuje

postać

Y

P

X

P

I

Y

X









)

,

( Y

X

U

Metoda Lagrange’a

Przykład - wprowadzenie

możliwa jest każda struktura

konsumpcji spełniająca
nierówność

Y

P

X

P

I

Y

X









Metoda Lagrange’a

Przykład - wprowadzenie

jeżeli konsument znajduje się na

linii ograniczenia budżetowego
wówczas

0











Y

P

X

P

I

Y

X

Metoda Lagrange’a

metoda obliczania ekstremum

warunkowego funkcji
różniczkowej wykorzystywana w
teorii optymalizacji

Istota metody Lagrange’a

polega na sprowadzeniu i znalezieniu

ekstremum warunkowego do postaci,

w której można zastosować warunek

pierwszego rzędu typowy typowy dla

poszukiwania ekstremum

bezwarunkowego

 - mnożnik Lagrange’a (tyle mnożników, ile jest warunków

ograniczających)

)

(

)

,

(

)

,

,

(

Y

P

X

P

I

Y

x

U

Z

Y

X

V

Y

X













