Wymiary ciała

Punkt materialny

• Idealizacja rzeczywistych obiektów stosowana gdy

rozmiary obiektów są nieistotne w porównaniu z

przebywaną przez te obiekty drogą.

• Sprowadza się cały obiekt materialny do punktu i

opisuje położenie obiektu za pomocą trzech

współrzędnych przestrzennych i czasu.

• Taką idealizację stosuje się by uprościć obliczenia

(często jest to jedyny sposób wykonania obliczeń)

• Nie można obiektu traktować jako

punkt materialny gdy wykonuje ruchy

obrotowe

Środek ciężkości

• Środek ciężkości ciała, to taki punkt (czasami

może on nawet nie zawierać się w obrębie
ciała), że po podparciu w tym punkcie za
pomocą siły przeciwnej do siły grawitacji
(równoważącej tę grawitację), grawitacja nie
spowoduje obrotu tego ciała. 

Środek ciężkości

• Punkt stabilnego podparcia spełniający warunek stabilności

nie przewracania się, nie przekręcania pod wpływem działającej

siły ciężkości utrzymywanego przedmiotu musi znajdować się

dokładnie nad, lub pod środkiem ciężkości.

• Jeśli ciało podeprzemy obok środka ciężkości, to w

większości położeń będzie się ono przekręcało albo przewracało

Środek masy układu dwóch

punktów

• M

1

R

1

= M

2

R

2

Środek masy

• Środek masy ciała lub układu ciał jest punktem, w

którym skupiona jest cała masa w opisie układu
jako masy punktowej.

• Wzór na wektor wodzący środka masy

Model

matematyczny

ciała sztywnego

• Zbiór punktów materialnych takich, że

• Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

działania sił.

• Swobodne ciało sztywne ma 6 stopni swobody:
• 3 translacyjne, opisujące ruch wybranego punktu P

np. jego środka masy,

• 3 rotacyjne

• Ciało doskonale sztywne to takie ciało, w którym

odległości między dwoma dowolnymi jego punktami

materialnymi nie zmieniają się w trakcie ruchu

Ruchy ciała

sztywnego

translacja

• Swobodne ciało

sztywne ulega
przesunięciu w
kierunku działania siły
zewnętrznej F gdy ten
kierunek przechodzi
przez środek masy
ciała PS.

• W tej konfiguracji nie

ma momentu siły.

Ruchy ciała sztywnego

obrót

• Gdy dowolny punkt

ciała P jest
unieruchomiony ciało
dokonuje obrotu
dookoła niego.

• Obrót następuje

wskutek działania
momentu siły

• względem P:

Ruch

rodzaje ruchu

• Prostolinijny ruch postępowy
• Występuje wtedy gdy tory ruchu wszystkich punktów

obiektu są do siebie równoległe i pokonały te sama

drogę w jednostce czasu.

• Opisuje go II zasada dynamiki, jest to taki ruch w

którym wszystkie punkty ciała poruszają się po torach

wzajemnie równoległych w tych samych przedziałach

czasu doznając jednakowych przemieszczeń.

• II zasada dynamiki mówi: aby zmienić właściwości

ruchu postępowego musimy użyć siły.

Ruch wokół osi

Poszczególne punkty zakreślają okręgi, współśrodkowe , których

środek nie bierze udziału w ruchu tworząc oś obrotu.

• Ruch odbywa się wokół osi obrotu, zatem punkty lezące na niej

są nieruchome, pozostałe poruszają się z jednakowymi

prędkościami kątowymi.

• Miara drogi przebytej jest kąt zakreślony przez promień.

• Przyczyną wywołującą ruchy obrotowe są momenty siły

(odpowiednik siły w ruchu postępowym)

• Ruch opisuje II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego

odpowiednik II zasady dla ruchu postępowego.

Ruch złożony

Tworzą go wypadkowe ruchu postępowego i

obrotowego

Każdy ruch można przedstawić jako kombinacje

ruchu postępowego i obrotowego

Długości
segmentów ciała
wyrażone w
funkcji wzrostu

• Analiza kinetyczna i kinematyczna wymaga

znajomości rozkładu masy, gęstości, środków
ciężkości poszczególnych części ciała

Gęstość, masa,

bezwładność

• Ciężar całego ciała
• Gęstość różnych tkanek

– kości = 1.8 kg/dm

3

– mięśnie  1.0 /dm

3

– tłuszcz  0.7 /dm

3

– płuca < 1.0

Gęstości fragmentów ciała

– Każdy fragment ciała ma specyficzną

gęstość

– Każdy fragment ma różny skład

tkankowy (np. głowa i noga)

– Gęstość poszczególnych fragmentów

ciała wzrasta z gęstością całego ciała

– Kończyny górne i dolne mają większą

gęstość niż reszta

Gęstość

różnych

części

ciała w

zależności

od

gęstości

całego

ciała

Gęstość ciała, wzór

empiryczny

d = 0.69 + 0.9c

m

d-kg/l

c

m

= (wysokość (m))/(masa (kg))

1/3

• Dla wyższych osobników o tej

samej masie mamy większą
gęstość

• DLACZEGO?

Podział ciała

człowieka na

segmenty

Podział ciała

ludzkiego na

segmenty

Zasady przy obliczaniu środków

ciężkości segmentów ciała

•

Wymiarem dominującym każdej części ciała jest jej długość

• Pod względem kształtu części ciała przypominają bryły

obrotowe, mają oś symetrii

• Rozkład materii wewnątrz każdej z nich jest symetryczny

względem geometrycznej osi symetrii

• Środki ciężkości segmentów ciała będą leżeć na ich osi

symetrii

• Środek ciężkości dzieli długość danego segmentu na dwa

odcinki, wymagane jest policzenie tylko jednej współrzędnej,
odległości środka ciężkości od jednego końca segmentu

Przykładowe wzory na liczenie masy

segmentów ciała

• X1=ciężar ciała; x2=długość ciała

Ramię

Udo

0,25 + 0,03012*x1-
0,0027 * x2 =

-2,649 + 0,1463 * x1
+ 0,0137 * x2 =

 
Przedramię

 
Podudzie

0,3185 + 0,01445 *
x1 - 0,00114 * x2 =

-1,592 + 0,0362 * x1
+ 0,0121 * x2 =

Ręka

Stopa

-0,1165 + 0,0036 *
x1 + 0,00175* x2 =

-0,829 + 0,0077 * x1
+ 0,0073 * x2 =

Przykładowe wzory na liczenie promieni

wodzących segmentów ciała

(odległości środka ciężkości od osi obrotu)

• X1=ciężar ciała; x2=długość ciała

Ramię

Udo

1,67 + 0,030 * x1-
0,0054 * x2 =

-2,42 + 0,038 * x1 +
0,135 * x2 =

 
Przedramię

 
Podudzie

0,192 + 0,028 * x1 -
0,093 * x2 =

-6,05-0,039 * x1 +
0,142 * x2 =

Ręka

Stopa

4,11 + 0,026 * x1 +
0,033x2 =

3,767 + 0,065 * x1 +
0,033 * x2 =

Promienie wodzące

przykłady

Ramię
• 1,67 + 0,03 x1 + 0,054 x2 = 
• 1,67 + 0,03 · 80 + 0,054 · 180 = 
• 1,67 + 2,4 + 9,72 = 13,79 cm
•  
• Przedramię
• 0,192 – 0,028 x1 + 0,093 x2 =
• 0,192 – 0,028 · 80  + 0,093 · 180 =
• 0,192 – 2,24 + 16,74 = 14,69 cm
•  
• Ręka
• 4,11 + 0,026 x1 + 0,033 x2 =
• 4,11 + 0,026 · 80 + 0,033 · 180 =
• 4,11 + 2,08 + 5,94 = 12,13 cm 

Promienie wodzące

przykłady

Udo
• -2,42 + 0,038 x1 + 0,135 x2 =
• -2,42 + 0,038 · 80  + 0,135 · 180 =
• -2,42 + 3,04 + 24,3 =  24,92 cm
•  
• Podudzie
• -6,05 – 0,039 x1 + 0,142 x2 =
• -6,05 – 0,039 · 80  + 0,142 · 180 =
• -6,05 – 3,12 + 25,56 = 16,39 cm
•  
• Stopa
• 3,767 + 0,065 x1 + 0,033 x2 =
• 3,767 + 0,065 · 80  + 0,033 · 180  =
• 3,767 + 5,2 + 5,94 = 14,9 cm

Całkowita

masa

segmentu

Masa = m

i

m

i

= d

i

V

i

gęstość =

masa/objętoś

ć

M =  d

i

V

i

Jeśli segment jednorodny

M = d V

i

to

Mx =  m

i

x

i

Twierdzenia dotyczące środka

ciężkości

• Środek ciężkości figur płaskich leży w środku

geometrycznym

• Jeżeli bryła ma płaszczyznę symetrii, to środek

ciężkości leży w tej płaszczyźnie.

• Gdy bryła ma dwie płaszczyzny symetrii,

środek ciężkości leży na linii ich przecięcia.

• Gdy bryła ma trzy płaszczyzny symetrii, środek

ciężkości leży w punkcie przecięcia się tych
płaszczyzn.

Obliczanie środka ciężkości ciała lub

fragmentu ciała

- określić masy poszczególnych elementów systemu

- pomnożyć każdą masę segmentu przez

współrzędną X środka masy segmentu

- Podzielić przez masę całego fragmentu

- To samo wykonać dla wsp. Y

x

0

= m

1

x

1

+ m

2

x

2

+ m

3

x

3

+ + m

n

x

n

M

y

0

= m

1

y

1

+ m

2

y

2

+ m

3

y

3

+ + m

n

y

n

M

Tabelka do obliczeń

Segment

Masa

segmentu

x środka

masy

x * masa

y środka

masy

y * masa

Segment 1

m

1

x

1

m x

1

y

1

m y

1

Segment 2

m

2

x

2

mx

2

y

2

my

2

Segment 3

m

3

x

3

m x

3

y

3

m y

3





 



 







 



 







 



 



Segment n

m

n

x

n

mx

n

y

n

my

n

 

 = M

 

 /M= x

środka

masy

 

/M = y

środka

masy

zad01

• Jakie jest położenie środka masy

dwóch kul połączonych bardzo
lekkim prętem o masach i
współrzędnych

• K1 2kg współrzędne (0,2; 0,4)
• K1 6kg współrzędne (0,3; 0,7)

zad02

• Jakie jest położenie środka masy

trzech kul połączonych bardzo
lekkim prętem o masach i
współrzędnych

• K1 5kg współrzędne (0,1; 0,3; 3,4)
• K2 6kg współrzędne (0,4; 0,7; 2,6)
• K3 9kg współrzędne (0,3; 0,8; 1,4)