Macierze, cz.II
WZiE, sem.I, 2008-09
Układy równań liniowych
mgr K. Kujawska, SNM
Zad.1 Dla jakich wartości parametru k macierz
−
−
=
k
k
k
k
k
X
0
1
2
2
1
5
4
jest osobliwa?
Zad.2 Wyznaczyć macierze odwrotne do podanych:
−
=
1
2
3
5
A
,
−
−
=
7
2
3
1
B
,
−
−
−
=
1
3
6
2
4
8
5
3
1
C
,
=
2
1
1
1
2
3
3
2
1
E
.
Zad.3 Wiadomo, Ŝe dla macierzy odwrotnej prawdziwe są następujące własności:
3.1
(
)
1
1
1
−
−
−
⋅
=
⋅
A
B
B
A
3.2
A
A
=
−
−
1
1
)
(
3.3
T
T
A
A
)
(
)
(
1
1
−
−
=
3.4
0
,
1
)
(
1
1
≠
⋅
=
⋅
−
−
k
B
k
B
k
3.5
B
B
det
1
det
1
=
−
Sprawdzić je dla macierzy
−
−
=
=
5
4
3
2
,
3
1
5
2
B
A
.
Zad.4 Znaleźć macierz Y z równania
T
A
A
Y
B
2
1
)
3
(
1
1
1
=
⋅
⋅
−
−
−
dla
[
]
4
3
2
,
1
3
1
2
1
2
1
1
2
−
=
−
=
diag
B
A
.
Zad.5 Pokazać na przykładzie nieosobliwej macierzy A=
−
−
1
3
2
2
1
3
2
0
1
, Ŝe przestawienie wierszy w danej
macierzy daje macierz B, której macierz odwrotna B
-1
róŜnie się od A
-1
przestawieniem odpowiednich
kolumn.
Zad.6 Znaleźć macierz X spełniającą równanie:
6.1
−
=
−
−
⋅
4
8
4
0
4
8
1
1
0
0
1
1
2
1
1
X
6.2
=
⋅
5
2
4
4
7
7
1
2
0
2
1
0
3
2
1
X
6.3
X
X
⋅
=
+
0
2
3
1
0
2
3
1
6.4
−
=
⋅
−
−
−
−
−
+
⋅
8
7
10
7
2
10
0
3
1
2
1
2
4
0
3
3
2
1
2
X
X
.
Zad.7 Rozwiązać układy równań liniowych stosując wzory Cramera:
7.1
=
−
−
=
+
5
3
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
7.2
=
+
−
−
=
+
−
=
+
−
0
3
2
4
2
2
3
2
1
3
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
7.3
=
+
−
=
−
+
=
+
+
0
3
2
5
0
4
3
0
2
1
2
3
2
2
1
3
1
x
x
x
x
x
x
7.4
=
+
−
−
=
−
−
=
+
+
12
2
3
3
2
6
2
1
3
2
3
1
1
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Zad.8 Wyznaczyć rząd macierzy:
8.1
−
1
3
2
4
8.2
−
−
4
1
5
3
3
0
1
2
8.3
−
−
−
5
2
3
4
5
2
1
7
1
8.4
−
−
0
0
6
3
4
2
2
1
8.5
5
4
1
3
2
1
1
1
1
.
Zad.9 Rozwiązać układy równań liniowych:
9.1
=
−
+
−
=
+
−
6
3
2
2
4
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
9.2
=
+
=
+
=
−
0
3
2
14
3
7
4
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
9.3
=
+
=
+
=
−
3
4
9
3
6
3
2
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
9.4
=
+
+
−
−
=
−
+
−
=
+
+
−
5
5
2
1
2
1
2
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
9.5
=
+
−
=
−
+
=
+
−
0
11
7
2
0
5
2
4
0
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
9.6
=
+
−
=
−
+
=
−
+
0
7
4
0
4
3
0
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
.