Geometria analityczna
WZiE, sem.I, 2008-09
mgr K.Kujawska, SNM
RACHUNEK WEKTORÓW
Zad.1 Obliczyć iloczyn skalarny
b
a
r
o
r
wiedząc, Ŝe
1.1
π
3
2
}
,
{
,
4
,
2
=
∠
=
=
b
a
b
a
r
r
r
r
1.2
]
2
,
1
,
3
[
,
]
1
,
2
,
3
[
−
−
=
=
b
a
r
r
Zad.2 Obliczyć kąt między wektorami
a
b
a
r
r
r
2
,
]
1
,
2
,
1
[
−
=
−
=
.
Zad.3 Dane są współrzędne kolejnych wierzchołków równoległoboku A=(-3,-2,0), B=(3,-3,1), C=(5,0,2).
Wyznaczyć współrzędne wierzchołka D oraz obliczyć miarę kąta między wektorami AC i BD.
Zad.4 Dla jakich wartości parametru m wektory:
4.1
]
3
,
1
,
2
[
,
]
2
,
,
1
[
−
=
=
b
m
a
r
r
są prostopadłe?
4.2
]
6
,
4
,
[
,
]
3
,
,
1
[
m
b
m
a
=
=
r
r
są równoległe?
Zad.5 Obliczyć:
5.1
b
a
r
r
×
, jeŜeli
6
,
2
,
5
=
=
=
b
a
b
a
r
o
r
r
r
5.2
b
a
r
o
r
, jeŜeli
16
=
×
b
a
r
r
,
2
,
10
=
=
b
a
r
r
Zad.6 Dane są wektory
]
1
,
3
,
2
[
,
]
3
,
4
,
0
[
,
]
2
,
3
,
1
[
−
−
=
−
=
−
=
c
b
a
r
r
r
. Obliczyć:
6.1
)]
6
(
)
2
)[(
(
b
a
c
a
b
a
r
r
r
r
r
o
r
+
×
−
6.2
]
)
][(
)
2
[(
b
c
a
c
b
a
r
r
r
r
o
r
r
×
×
−
Zad.7 Dane są wierzchołki A=(2,-1,3), B=(1,1,1), C=(0,0,5). Obliczyć:
7.1 pole trójkąta ABC
7.2 miary kątów tego trójkąta
7.3 długości wysokości tego trójkąta.
Zad.8 Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A=(3,-1,2), B=(4,1,4), C=(0,2,5), D=(-2,0,6) oraz
obliczyć długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka D.
PROSTA NA PŁASZCZYŹNIE R
2
Zad.9 Dana jest prosta przechodząca przez punkty K=(2,0) i L=(4,-3). Przedstawić jej równanie w postaci:
9.1 ogólnej
9.2 kierunkowej
9.3 odcinkowej
9.4 parametrycznej
Zad.10 Napisać równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkt M=(-1,3) i prostopadłej do wektora
]
2
,
3
[
−
=
u
r
.
Zad.11 Dane są współrzędne wierzchołków trójkąta A=(2,-1), B=(1,1), C=(-3,2). Napisać równanie prostej
zawierającej wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka A.
Zad.12 Obliczyć miarę kąta między prostymi o równaniach y=3x+10 i y=-2x-3.
Zad.13 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt przecięcia prostych x+y-2=0 i
2
7
1
1
−
=
−
y
x
i
prostopadłej do prostej 3x+5y-1=0.
Zad.14 Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt przecięcia prostych y=-2x+3 i
R
t
t
y
t
x
∈
−
−
=
+
=
,
2
1
10
3
i równoległej do prostej 7x-3y-10=0.
PŁASZCZYZNA
Zad.15 Napisać równanie płaszczyzny:
15.1 przechodzącej przez punkt P=(-1,-23) i prostopadłej do wektora
]
2
,
1
,
3
[
=
u
r
;
15.2 przechodzącej przez punkty A=(0,0,1), B=(1,2,3), C=(-1,2,0);
15.3 przechodzącej przez punkty A=(2,-1,3) i B=(3,1,2) i równoległej do wektora
]
4
,
1
,
1
[
−
=
a
r
;
15.4 przecinającej osie układu współrzędnych w punktach A=(2,0,0), B=(0,-3,0), C=(0,0,4);
15.5 przechodzącej przez punkt A=(-2,7,3) i równoległej do płaszczyzny
0
1
4
:
=
−
+
−
z
y
x
π
.
Zad.16 Znaleźć odległość punktu M=(-1,2,5) od płaszczyzny
0
1
5
2
:
=
+
−
+
z
y
x
π
.
Zad.17 Napisać równanie płaszczyzny równoległej od płaszczyzny
β
: 3x-6y-2z+14=0 i odległej od niej o 3
jednostki.
Zad.18 Obliczyć odległość między płaszczyzną
α
: 4x-2y+10z-30=0 i płaszczyzną
β
, która przechodzi przez
punkt P=(1,2,-3) i jest prostopadła do wektora [2,-1,5].
