Liczby zespolone
WZiE, sem.I, 2008-09
mgr K.Kujawska, SNM
Zad.1 Dane są liczby
i
y
i
x
3
4
,
2
3
+
=
−
=
. Wyznaczyć / obliczyć:
1.1 Re x , Im x
1.2 Re y, Im y
1.3
y
x
+
1.4
x
y
−
1.5
x
y
⋅
1.6
y
x
1.7
y
x
y
x
+
−
1.8
2
Im
Re
x
y
i
x
+
.
Zad.2 Znaleźć takie liczby rzeczywiste x i y, aby zachodziła równość
2.1
i
y
i
x
i
2
6
)
5
4
(
)
3
2
(
−
=
−
+
+
2.2
i
y
i
x
i
8
)
5
2
3
(
)
2
(
=
+
+
+
−
.
Zad.3 Przedstawić liczby w postaci trygonometrycznej:
3.1
i
3
3
+
−
3.2
i
4
4
−
3.3
2
2
i
−
3.4
3
1 i
+
3.5
6
2
i
+
−
3.6
i
−
3
3.7
3
1 i
−
3.8
i
−
−
1
.
Zad.4 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb spełniających podane warunki:
4.1
)
1
(
)
1
(
+
=
−
i
z
i
z
4.2
i
z
i
z
+
=
−
2
4.3
(
)
2
1
Re
2
−
=
−
+
i
z
4.4
5
=
+
i
z
4.5
3
1
<
−
z
4.6
4
1
1
Im
=
z
4.7
10
2
≤
≤
z
.
Zad.5 Obliczyć wartość wyraŜenia (wynik przedstawić w postaci algebraicznej):
5.1
12
)
1
(
i
−
5.2
(
)
30
2
3
2
i
−
5.3
(
)
6
22
3
1
)
1
(
i
i
−
+
5.4
100
2
2
3
+
i
.
Zad.6 Korzystając z definicji obliczyć pierwiastki:
6.1
i
12
5
−
6.2
i
60
11
+
−
6.3
i
30
16
+
−
.
Zad.7 Obliczyć pierwiastki:
7.1
i
3
1
+
−
7.2
4
16
−
7.3
5
32i
7.4
3
1
−
.
Zad.8 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:
8.1
0
13
4
2
=
+
−
z
z
8.2
0
2
)
3
1
(
2
=
+
−
+
−
i
z
i
z
8.3
0
2
2
2
=
−
−
iz
z
8.4
0
6
5
2
=
−
−
iz
z
8.5
0
6
)
3
2
(
2
=
+
+
−
i
z
i
z
8.6
0
4
5
2
4
=
+
+
z
z
8.7
0
6
12
)
5
10
(
)
2
(
2
=
+
+
+
−
+
i
z
i
z
z
i
8.8
0
2
4
)
4
2
(
2
=
+
−
−
+
i
z
i
iz
8.9
0
2
2
2
3
=
+
+
+
i
z
iz
z
8.10
0
8
6
2
4
=
−
+
iz
z
8.11
0
)
5
5
(
)
2
3
(
2
=
−
+
−
−
i
z
i
z
.
Zad.9 Jednym z pierwiastków wielomianu
20
8
9
2
)
(
2
3
4
+
+
+
+
=
z
z
z
z
z
W
jest liczba
i
z
2
1
−
−
=
. Znaleźć
pozostałe pierwiastki tego wielomianu.
Zad.10 Dowieść, Ŝe dla dowolnych liczb zespolonych z i u zachodzą równości:
10.1
(
)
2
2
2
2
2
u
z
u
z
u
z
+
=
−
+
+
10.2
2
2
2
Re
2
u
u
z
z
u
z
+
−
=
−
.
Zad.11 K.Jankowska, T.Jankowski „Zadania z matematyki wyŜszej”, str.7-16.