Liczby zespolone

WZiE, sem.I, 2008-09

mgr K.Kujawska, SNM

Zad.1 Dane są liczby

i

y

i

x

3

4

,

2

3

+

=

−

=

. Wyznaczyć / obliczyć:

1.1 Re x , Im x

1.2 Re y, Im y

1.3

y

x

+

1.4

x

y

−

1.5

x

y

⋅

1.6

y

x

1.7

y

x

y

x

+

−

1.8

2

Im

Re

x

y

i

x

+

.

Zad.2 Znaleźć takie liczby rzeczywiste x i y, aby zachodziła równość

2.1

i

y

i

x

i

2

6

)

5

4

(

)

3

2

(

−

=

−

+

+

2.2

i

y

i

x

i

8

)

5

2

3

(

)

2

(

=

+

+

+

−

.

Zad.3 Przedstawić liczby w postaci trygonometrycznej:

3.1

i

3

3

+

−

3.2

i

4

4

−

3.3

2

2

i

−

3.4

3

1 i

+

3.5

6

2

i

+

−

3.6

i

−

3

3.7

3

1 i

−

3.8

i

−

−

1

.

Zad.4 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb spełniających podane warunki:

4.1

)

1

(

)

1

(

+

=

−

i

z

i

z

4.2

i

z

i

z

+

=

−

2

4.3

(

)

2

1

Re

2

−

=

−

+

i

z

4.4

5

=

+

i

z

4.5

3

1

<

−

z

4.6

4

1

1

Im

=













z

4.7

10

2

≤

≤

z

.

Zad.5 Obliczyć wartość wyrażenia (wynik przedstawić w postaci algebraicznej):

5.1

12

)

1

(

i

−

5.2

(

)

30

2

3

2

i

−

5.3

(

)

6

22

3

1

)

1

(

i

i

−

+

5.4

100

2

2

3















+

i

.

Zad.6 Korzystając z definicji obliczyć pierwiastki:

6.1

i

12

5

−

6.2

i

60

11

+

−

6.3

i

30

16

+

−

.

Zad.7 Obliczyć pierwiastki:

7.1

i

3

1

+

−

7.2

4

16

−

7.3

5

32i

7.4

3

1

−

.

Zad.8 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:

8.1

0

13

4

2

=

+

−

z

z

8.2

0

2

)

3

1

(

2

=

+

−

+

−

i

z

i

z

8.3

0

2

2

2

=

−

−

iz

z

8.4

0

6

5

2

=

−

−

iz

z

8.5

0

6

)

3

2

(

2

=

+

+

−

i

z

i

z

8.6

0

4

5

2

4

=

+

+

z

z

8.7

0

6

12

)

5

10

(

)

2

(

2

=

+

+

+

−

+

i

z

i

z

z

i

8.8

0

2

4

)

4

2

(

2

=

+

−

−

+

i

z

i

iz

8.9

0

2

2

2

3

=

+

+

+

i

z

iz

z

8.10

0

8

6

2

4

=

−

+

iz

z

8.11

0

)

5

5

(

)

2

3

(

2

=

−

+

−

−

i

z

i

z

.

Zad.9 Jednym z pierwiastków wielomianu

20

8

9

2

)

(

2

3

4

+

+

+

+

=

z

z

z

z

z

W

jest liczba

i

z

2

1

−

−

=

. Znaleźć

pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

Zad.10 Dowieść, że dla dowolnych liczb zespolonych z i u zachodzą równości:

10.1

(

)

2

2

2

2

2

u

z

u

z

u

z

+

=

−

+

+

10.2

2

2

2

Re

2

u

u

z

z

u

z

+

−

=

−

.

Zad.11 K.Jankowska, T.Jankowski „Zadania z matematyki wyższej”, str.7-16.