MOCE ELEKTRYCZNE

W WARUNKACH

ZŁEJ JAKOŚCI ENERGII

ELEKTRYCZNEJ

Pewne wielkości elektryczne, jak np. pojęcie wartości

skutecznej, moc chwilowa, czy moc czynna mają ściśle określony

sens i interpretację fizyczną. Niektóre inne wielkości (moc

bierna, moc pozorna w układach wielofazowych) do dzisiaj

wywołują dyskusje i polemiki wśród specjalistów.

Wartość skuteczna okresowych przebiegów napięcia lub

prądu jest zdefiniowana wzorami:

gdzie u(t), i(t) są wartościami chwilowymi napięcia i prądu.

Wstęp

Wstęp

U

T

u t dt

T





1

2

0

( )

I

T

i t dt

T





1

2

0

( )

Moc chwilowa jest prędkością przepływu energii

pomiędzy źródłem a odbiornikiem. W układach elektrycznych
jest ona określana jako iloczyn wartości chwilowych napięcia i
prądu:

Gdy p(t) > 0 to energia przepływa od źródła do

odbiornika, natomiast gdy p(t) < 0 to następuje przepływ
energii w kierunku od odbiornika do źródła.

Wstęp

Wstęp

p t

dE

dt

u t i t

( )

( ) ( )





Jeżeli napięcie i prąd liniowego odbiornika

jednofazowego opisane są równaniami:

gdzie: 

u

i 

i

są fazami początkowymi

przebiegów czasowych napięcia i prądu, to przebieg
mocy chwilowej ma postać:

Wstęp

Wstęp

u t

U

t

u

( )

sin(

)





2





i t

I

t

i

( )

sin(

)





2

















p t

UI

t

UI

t

u

u

( )

cos

cos

sin sin























1

2

2

Przykładowe przebiegi napięcia u(t),

prądu i(t) oraz mocy chwilowej p(t)

Wstęp

Wstęp

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t [m s]

i(t)
u (t)
p (t)

Moc czynna jest zdefiniowana jako wartość średnia

mocy chwilowej i określa skutki przepływu energii w czasie

okresu T. Dla rozpatrywanych przebiegów moc czynna

wyraża się wzorem:

Moc bierną natomiast zdefiniowano następująco:

przy czym:

Wstęp

Wstęp

P

T

p t dt

T

u t i t dt

UI

T

T











1

1

0

0

( )

( ) ( )

cos

Q

UI



sin











u

i

Równanie opisujące przebieg mocy chwilowej

można więc przedstawić następująco:

 moc czynna P jest wartością średnią mocy chwilowej

(składową stałą),

 moc bierna Q jest amplitudą składowej przemiennej

mocy chwilowej.

Wstęp

Wstęp













p t

UI

t

UI

t

u

u

( )

cos

cos

sin sin























1

2

2













p t

P

t

Q

t

u

u

( )

cos

sin











1

2

2









Rozkład przebiegów mocy chwilowej na

składowe

Wstęp

Wstęp

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t [ms]

p (t)
p p (t)
p q (t)
P (t)

W symetrycznym układzie trójfazowym moc chwilowa
określona zależnością

jest wielkością stałą równą mocy czynnej

.

Nie zawiera żadnej informacji o mocy biernej układu.

Wstęp

Wstęp

p t

p t

P

const

n

n A B C

( )

( )

, ,



 





Moc pozorna spełniająca warunek

jest definiowana jako iloczyn formalny wartości skutecznych napięcia i prądu:

gdzie: k = 1 - dla obwodów jednofazowych,

k = 3 - dla obwodów trójfazowych

(U, I - wielkości fazowe),

k = - dla obwodów trójfazowych

(U, I - wielkości przewodowe),

Wstęp

Wstęp

S

P

Q





2

2

S

kUI



3

Interpretację geometryczną mocy czynnej P,

biernej Q i pozornej S stanowi trójkąt mocy

Wstęp

Wstęp

P

Q

S

.

MOCE ELEKTRYCZNE

W OBWODACH JEDNOFAZOWYCH

Z ODKSZTAŁCONYMI

PRZEBIEGAMI NAPIĘCIA I PRĄDU

W pracach naukowych dotyczących analizy zjawisk w
obwodach elektrycznych z przebiegami odkształconymi można
wyróżnić dwie tendencje:

 badania w dziedzinie częstotliwości,
 badania zjawisk w dziedzinie czasu.

Oba nurty wyłoniły na przestrzeni lat wiele teorii mocy,
dotyczących zwłaszcza definicji mocy biernej. Omówione
zostaną dwie najbardziej klasyczne teorie mocy dla obwodów z
przebiegami odkształconymi, które przez szereg lat były
inspiracją dla wielu naukowców oraz najbardziej współczesną
teorię mocy łączącą zalety obu kierunków badań.

Wstęp

Wstęp

Analiza zjawisk w dziedzinie częstotliwości

Analiza zjawisk w dziedzinie częstotliwości

Dla przebiegów okresowych napięć i prądów danych w
postaci szeregów Fouriera:

moc czynną można wyrazić za pomocą wzoru:

przy czym:

Teoria mocy Budeanu

Teoria mocy Budeanu

(1927)

(1927)

u t

U

h t

h

u

h

h

( )

sin(

)











2

1





i t

I

h t

h

i

h

h

( )

sin(

)











2

1





P

T

u t i t dt

U I

h h

h

h

T













1

1

0

( ) ( )

cos







h

u

i

h

h





Budeanu zaproponował, żeby moc bierną w

układach

z

przebiegami

odkształconymi,

określić przez analogię do mocy czynnej, jako:

Tak zdefiniowane moce czynna P i bierna Q

B

nie

określają mocy pozornej, ponieważ

Teoria mocy Budeanu

Teoria mocy Budeanu

(1927)

(1927)

Q

U I

B

h h

h

h









sin

1

P

Q

S

U I

2

2

2

2 2







Dlatego też Budeanu wprowadził dodatkową wielkość, którą

nazwał mocą deformacji D

B

. Moc ta stanowi uzupełnienie

równania mocy do postaci:

Z powyższych zależności wynikają następujące określenia mocy
czynnej i biernej w obwodach elektrycznych z okresowymi
przebiegami odkształconymi:

 moc bierna Q

B

jest równa sumie amplitud składowej przemiennych mocy

chwilowych poszczególnych harmonicznych,

 moc czynna P jest równa sumie mocy czynnych (składowych stałych)

poszczególnych harmonicznych.

Teoria mocy Budeanu

Teoria mocy Budeanu

(1927)

(1927)

S

P

Q

D

B

B

2

2

2

2







Interpretacja geometryczna składowych
mocy w teorii Budeanu

Teoria mocy Budeanu

Teoria mocy Budeanu

(1927)

(1927)

P

D

B

S

Q

B

.

.

Analiza zjawisk w dziedzinie czasu

Analiza zjawisk w dziedzinie czasu

Teoria ta opisuje zjawiska energetyczne w obwodach
odkształconych w dziedzinie czasu, bez korzystania z
rozkładu przebiegów odkształconych na szereg Fouriera.
Fryze zaproponował rozkład przebiegu czasowego prądu
(bądź napięcia) na dwie składowe:



prąd czynny o kształcie napięcia, określony równaniem:



oraz prąd bierny:

Teoria mocy Fryzego

Teoria mocy Fryzego

(1931)

(1931)

i t

P

U

u t

a

( )

( )



2

i t

i t

i t

b

a

( )

( )

( )





Z definicji mocy czynnej wynika, że

ponieważ:

więc

Teoria mocy Fryzego

Teoria mocy Fryzego

(1931)

(1931)

P

u t i t dt

u t i t

i t dt

u t i t dt

u t i t dt

P

u t i t dt

T

a

b

T

a

T

b

T

b

T











 











( ) ( )

( )[ ( )

( )]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

0

0

0

0

u t i t dt

P

U

u t dt

P

a

T

T

( ) ( )

( )

0

2

2

0









u t i t dt

b

T

( ) ( )

0

0





Z zależności powyższych wynika, że składowa bierna

prądu chwilowego nie przenosi mocy czynnej oraz, że

składowe czynna i bierna prądu chwilowego są

wzajemnie ortogonalne. Zatem:

Zaś, po pomnożeniu obu stron równania przez
kwadrat napięcia

gdzie:

Teoria mocy Fryzego

Teoria mocy Fryzego

(1931)

(1931)

I

I

I

a

b

2

2

2





S

P

Q

F

2

2

2





Q

UI

F

b



Teoria oparta jest o rozkład prądu na

składowe w dziedzinie czasu, jednak do

opisu

poszczególnych

składowych

wykorzystuje

aparat

matematyczny

z

dziedziny częstotliwości. Zgodnie z tą teorią

prąd można rozłożyć na trzy wzajemnie

ortogonalne składowe spełniające równanie:

Teoria mocy Czarneckiego

Teoria mocy Czarneckiego

i t

i t

i t

i t

a

s

r

( )

( )

( )

( )







Prąd czynny i

a

(t) określony jest zależnością:

przy czym jest tzw. konduktancją
równoważną odbiornika

Teoria mocy Czarneckiego

Teoria mocy Czarneckiego

i t

G u t

G U e

a

e

e h

jh t

h

( )

( )

Re











2

1



G

P

U

e



2

Prąd rozrzutu i

s

(t) wynikający ze zmiany konduktancji

odbiornika wraz z częstotliwością opisuje zależność:

gdzie G

h

jest konduktancją odbiornika dla h-tej

harmonicznej.

Teoria mocy Czarneckiego

Teoria mocy Czarneckiego

i t

G

G U e

s

e

h

h

jh t

h

( )

Re

(

)











2

1



Prąd

bierny

i

r

(t)

związany

z

elementami

reaktancyjnymi odbiornika dany jest wzorem:

gdzie B

h

reprezentuje susceptancję odbiornika dla

h-tej harmonicznej.

Teoria mocy Czarneckiego

Teoria mocy Czarneckiego

i t

B U e

r

h h

jh t

h

( )

Re









2

1



Z

warunku

ortogonalności

poszczególnych

składowych

prądu

chwilowego

wynikają

zależności:

Teoria mocy Czarneckiego

Teoria mocy Czarneckiego

I

I

I

I

a

s

r

2

2

2

2







S

P

D

Q

s

r

2

2

2

2







MOCE ELEKTRYCZNE

W NIESYMETRYCZNYCH

UKŁADACH TRÓJFAZOWYCH

Specyfika układów trójfazowych wnosi nowe problemy związane

z określaniem mocy pozornej i mocy biernej.
Traktowanie układu trójfazowego jako trzech niezależnych

obwodów jednofazowych prowadzi do następującego określenia

mocy zespolonej układu trójfazowego:

gdzie: n A, B, C - kolejne fazy układu trójfazowego.
W energetyce zawodowej moc czynną i bierną układu

trójfazowego określa się zgodnie z powyższym wzorem na

podstawie pomiaru energii elektrycznej w określonym odcinku

czasu (np. 15 min) za pomocą trójfazowych liczników energii

biernej lub czynnej.

Moc pozorna

Moc pozorna

S

S

P

P

P

j Q

Q

Q

P jQ

n

n

A

B

C

A

B

C















 



(

)

Niesymetryczny

układ

trójfazowy

można

zastąpić

równoważnym obwodem symetrycznym wprowadzając

pojęcia zastępczych fazowych skutecznych wartości

prądu i napięcia przyjmując jako kryterium straty mocy

czynnej w układzie zasilającym.
Jeżeli trójfazowe źródło energii elektrycznej o jednakowej

rezystancji wewnętrznej faz równej R jest obciążone

niesymetrycznie, to straty mocy w tym źródle są równe:

Takie same straty mocy czynnej wywoła zastępczy prąd

fazowy I

f

:

Moc pozorna

Moc pozorna

P R I

I

I

A

B

C







(

)

2

2

2

P

RI

f

3

2

Z porównania powyższych wzorów wynika, że:

Analogicznie

można

określić

zastępczą

wartość

skuteczną napięcia fazowego:

Dla

tak

zdefiniowanych

zastępczych

wartości

skutecznych prądu i napięcia fazowego moc pozorna

układu jest równa:

Moc pozorna

Moc pozorna

I

I

I

I

f

A

B

C







2

2

2

3

U

U

U

U

f

A

B

C







2

2

2

3

S

U I

U

U

U

I

I

I

f f

A

B

C

A

B

C













3

2

2

2

2

2

2

W praktyce można przyjąć, że w układach

elektroenergetycznych napięcia zasilające jest

symetryczne,

ponieważ

przepisy

międzynarodowe oraz normy krajowe większości

krajów wymagają, aby składowe symetryczne

kolejności przeciwnej i kolejności zerowej miały

ograniczone wartości.

Dla odbiornika niesymetrycznego zasilanego z

symetrycznego źródła napięcia moc pozorna jest

równa:

Moc pozorna

Moc pozorna

S

U I

I

I

P

P

P

Q

Q

Q

f

A

B

C

A

B

C

A

B

C



















3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Dla tego samego odbiornika moduł mocy zespolonej

wyrażonej wzorem

nazywany często mocą pozorną, ma wartość:

Z porównania powyższych zależności wynika, że

S  S

z

. Moce

te są sobie równe jedynie dla odbiornika symetrycznego z

przebiegami sinusoidalnymi napięcia i prądu.

Moc pozorna

Moc pozorna

S

S

P

P

P

j Q

Q

Q

P jQ

n

n

A

B

C

A

B

C















 



(

)



 



2

2

C

B

A

C

B

A

z

Q

Q

Q

P

P

P

S

S















Moc

czynną

dowolnego

niesymetrycznego,

nieliniowego

trójfazowego

odbiornika

energii

elektrycznej można określić następująco:

Z

odbiornika

tego

można

wydzielić

część

symetryczną pobierającą moc czynną równą mocy

czynnej danego odbiornika. Konduktancja każdej

fazy tego odbiornika będzie równa:

Dekompozycja obciążenia

Dekompozycja obciążenia

niesymetycznego

niesymetycznego

P

T

u t i t dt

n

n

n

T



 

1

0

( ) ( )

G

P

U

n

n





2

Prądy fazowe odbiornika można rozłożyć na składowe:

•

czynne

•

bierne

Schemat

zastępczy

nieliniowego,

niesymetrycznego

trójfazowego odbiornika energii elektrycznej wynikający z

powyższych równań przedstawia następujący rysunek.

Dekompozycja obciążenia

Dekompozycja obciążenia

niesymetycznego

niesymetycznego

i t

Gu t

p

n

n

( )

( )



)

(

)

(

)

(

t

i

t

i

t

i

n

n

p

n

q





Dekompozycja obciążenia

Dekompozycja obciążenia

niesymetycznego

niesymetycznego

nieliniowy, niesymetryczny trójfazowy

odbiornik energii elektrycznej

u

A

(t)

u

B

(t)

u

C

(t)

i

A

(t)

i

B

(t)

i

C

(t)

i

pA

(t)

i

pB

(t)

i

pC

(t)

i

qA

(t)

i

qB

(t)

i

qC

(t)

część

symetryczna

(pobór mocy

czynnej P)

część

niesymetryczna

(pobór mocy

biernej Q)

Dekompozycja obciążenia

Dekompozycja obciążenia

niesymetycznego

niesymetycznego

U

A

U

B

U

C

U

CA

U

ABB

U

BCB

I

B

I

C

I

BC

I

BC

I

B

I

C

B

A

C

R

U

B

U

A

U

C

I

Ap

I

Cp

I

Bp

U

B

U

A

U

C

I

B

I

C

U

A

U

B

U

C

I

Aq

-I

Bp

I

B

I

Bq

I

Cq

Dla tak określonych składowych prądu zachodzi zależność:

Z zależności tych wynika, że fazowe prądy bierne nie muszą

być prostopadłe do odpowiadających im napięć fazowych,

chociaż całkowita moc czynna przenoszona przez nie jest

równo zeru.

Dekompozycja obciążenia

Dekompozycja obciążenia

niesymetycznego

niesymetycznego

P

T

u t i t dt

T

u t i t

i

t dt

T

u t i t dt

T

u t i

t dt

T

Gu t dt

T

u t i

t dt P

T

u t i

t dt

n

n

T

n

n

p

q

T

n

p

T

n

n

q

T

n

n

T

n

n

q

T

n

n

q

T

n

n

n

n

n

n

n

















 





























1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

2

0

0

0

( ) ( )

( )[ ( )

( )]

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

P

dt

t

Gu

T

n

T

n





0

2

)

(

1

1

0

0

T

u t i

t dt

n

q

T

n

n

( ) ( )







Dla

odbiornika

niesymetrycznego

zasilanego

symetrycznym układem napięć trójfazowych, można

wyznaczyć moc pozorną układu na podstawie

mierzonych w każdej fazie mocy czynnych i biernych

Moc bierna ma dla tak zasilanego trójfazowego

odbiornika niesymetrycznego następującą wartość:

Moc bierna obciążenia

Moc bierna obciążenia

niesymetycznego

niesymetycznego

S

U I

I

I

P

P

P

Q

Q

Q

f

A

B

C

A

B

C

A

B

C



















3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

S

P

P

P

Q

Q

Q

A

B

C

A

B

C

2

2

2

2

2

2

2

3













(

)

Q

S

P

S

P

P

P

P

P

P

P P

P P

P P

Q

Q

Q

F

A

B

C

A

B

C

A B

B C

C A

A

B

C

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

 

 

























(

)

(

)

(

)

Z zależności powyższej wynika, że moc bierna

w trójfazowym układzie niesymetrycznym jest

nie tylko funkcją mocy biernych fazowych, ale

jej

wartość

zależy

również

od

nierównomierności

rozkładu

obciążeń

czynnych pomiędzy poszczególne fazy.

Dla odbiornika symetrycznego zależność ta

upraszcza się do postaci:

Moc bierna obciążenia

Moc bierna obciążenia

niesymetycznego

niesymetycznego

Q

Q

Q

Q

F

f

F

f

2

2

9

3





