Budowa i drgania sieci

Budowa i drgania sieci

krystalicznej

krystalicznej

http://www.wtc.wat.edu.pl/dydaktyka/fizyka-wykRogalski/Wyklad15.pdf
http://pl.wikipedia.org/wiki/Sie%C4%87_krystaliczna

Rysunki zaczerpnięto ze stron internetowych:

Budowa ciał stałych

Ciała stałe cechują się stabilnością kształtu. Ciała stałe mogą mieć strukturę

krystaliczną

lub

amorficzną (ciała bezpostaciowe)

. Ciała amorficzne są na

ogół anizotropowe. Z pewnego punktu widzenia mogą być traktowane jako
przechłodzone ciecze.

Ciała krystaliczne mogą stanowić pojedynczy monokryształ lub mieć budowę
polikrystaliczną. W obrębie krystalitu występuje

uporządkowanie dalekiego

zasięgu

, tzn. okresowe przestrzenne uporządkowanie atomów, które tworzą

sieć

krystaliczną

.

Miejsca w sieci punktowej, zwane węzłami, są obsadzone przez atomy lub grupy
atomów. Najmniejszą, powtarzająca się okresowo grupę nazywamy

bazą

.

Budowa krystaliczna ciał stałych

• Sieć krystaliczna

- sposób wypełnienia atomami przestrzeni tak,

że pewna konfiguracja atomów zwana

komórką elementarną

jest

wielokrotnie powtarzana.

Elementarne wektory translacji: położenie dowolnego, powtarzającego
się elementu sieci spełnia warunek:

c

p

b

n

a

m

R















Komórkę elementarną charakteryzują: długości wektorów translacji (stałe sieci: a,

b, c) oraz kąty między nimi. Położenia węzłów sieci przedstawia się w formie
krotności stałych sieci.

Innymi ważnymi cechami sieci są:



właściwości symetrii



liczba atomów w pierwszej strefie koordynacyjnej i strefach dalszych



odległość między najbliższymi atomami



liczba atomów w komórce elementarnej



współczynnik upakowania, tzn stosunek objętości atomów do objętości zajętej
przez kryształ.

Przykłady sieci krystalicznych

Komórki elementarne mogą być: P – prymitywne; C – centrowanie na
podstawach; F – centrowanie na wszystkich ścianach; I – centrowanie
przestrzenne.

Sieć Bravais:

układ
regularny

układ
tetragonalny

układ
heksagonalny

układ
trygonalny
(romboedryczn
y)

a=b=c

układ rombowy

układ jednoskośny

układ trójskośny

Układy krystalograficzne (7 układów)

C

F

P

I

P,I,F

P,I

P,I,F, C

P,C

F

P

Układ regularny – przykłady

komórek

Komórka elementarna o najmniejszej objętości nazywana jest

komórką

Wignera-Seitza

. Konstruujemy ją następująco:

Wybieramy dowolny węzeł sieci i łączymy go odcinkami z najbliższymi węzłami.
Komórka Wignera- Seitza jest to przestrzeń zawarta wewnątrz płaszczyzn
normalnych wystawionych w punktach środkowych odcinków łączących
poszczególne węzły sieci.

Bardzo ważnymi cechami sieci są

symetrie

: ze względu na

obroty,

odbicie względem płaszczyzny

lub

inwersję punktową

.

Opis kierunków w sieci

Kierunek prostej identyfikuje się za pomocą trzech najmniejszych (co do
wartości) liczb całkowitych, wyrażających proporcje między współrzędnymi
(na osiach X, Y, Z) dowolnego wektora leżącego na prostej.

Wskaźniki kierunków zapisuje się w postaci: [h, k, l]

Płaszczyzny sieciowe, wskaźniki Millera

Płaszczyzną sieciową nazywamy każdą płaszczyznę w krysztale, na której
leżą co najmniej 3 węzły sieci nie leżące na jednej prostej. Praktycznie na tak
zdefiniowanej płaszczyźnie, w nieskończonym krysztale, leży zawsze
nieskończona ilość węzłów sieci. Płaszczyznę definiujemy przez podanie
parametrów odpowiedniego równania płaszczyzny. Z elementarnej geometrii
otrzymujemy następującą relację określającą położenia punktów sieci na
płaszczyźnie.









z,

y

x

M

l

k

h

gdzie h, k, l są liczbami całkowitymi. Gdy M=1, otrzymujemy równanie
płaszczyzny najbliższej początkowi układu współrzędnych. Łatwo sprawdzić,
że:

l

k

h

M

M

M

,

,

oznaczają współrzędne (w jednostkach stałych sieci) punktów przecięcia
płaszczyzny z osiami X, Y, Z.

Skrótowo płaszczyznę oznacza się w postaci: (h, k, l). Tak np. (2, 1, 0) oznacza
płaszczyznę równoległą do osi Z i przecinającą osie X, Y w punktach o
współrzędnych ½, 1. Liczby h, k, l nazywa się wskaźnikami Millera.

Wektory sieci odwrotnej

Sieć odwrotna do sieci krystalicznej, cechującej się wektorami
translacji jest to (wyobrażona) sieć, której
wektory translacji mają postać:

c

,

b

,

a







)

c

b

(

a

b

a

2π

C

)

c

b

(

a

a

c

2π

B

)

c

b

(

a

c

b

2π

A





























































,

,

Dowolny wektor sieci odwrotnej może być zapisany w postaci:

l,

2π

c

G

n,

2π

b

G

m,

2π

a

G

:

czym

przy

,

C

l

B

n

A

m

G

































Komórkę elementarną w sieci odwrotnej (komórkę Wignera-Seitza) nazywamy
I strefą Brillouina.

c

,

b

,

a







Przykład

W sieci sześciennej prostej wektory są wzajemnie

prostopadłe i mają tę samą długość. Dlatego wektory sieci odwrotnej też są
prostopadłe do siebie i ich długości są równe:

c

,

b

,

a







a

2π

a

a

2π

C

B

A

3

2









Wektory sieci odwrotnej mają więc w tym przypadku takie same kierunki, jak
wektory

c

,

b

,

a







Drgania sieci krystalicznej

Atomy sieci krystalicznej wykonują drgania wokół swych położeń równowagi.

Amplituda drgań cieplnych zależy od temperatury i nie przekracza !0

-11

m.

Drgania te wpływają na wiele zjawisk, np.

• przewodnictwo cieplne,
• przewodnictwo elektryczne,
• rozszerzalność cieplną.

Przy małych amplitudach drgań można przyjąć, że oddziaływanie między

atomami jest harmoniczne (tzn. siła jest proporcjonalna do wychylenia, a
energia potencjalna proporcjonalna do kwadratu wychylenia. Układ
drgających atomów możemy wówczas traktować jako układ oscylatorów
harmonicznych.

Najniższa energia oscylatora kwantowego jest większa od zera, zatem nawet

w temperaturze zera bezwzględnego występują drgania atomów (tzw.

drgania zerowe

).

Atomy są sprzężone ze sobą, zatem przemieszczenie jednego z nich

wywołuje przemieszczenie atomów sąsiednich. Zaburzenie to rozchodzi się
w krysztale w postaci

fal sprężystych (lub inaczej sieciowych)

.

Wzdłuż jednego kierunku mogą rozchodzić się fale poprzeczne o dwóch
niezależnych kierunkach drgań, a także fale podłużne.

Jeżeli kryształ zbudowany jest z dwóch rodzajów atomów, to w łańcuchu
atomów, ułożonych wzdłuż wybranego kierunku w sieci, mogą rozchodzić
się fale w postaci:

• drgań akustycznych

(mniejsze częstości)

• drgań optycznych

(większe częstości)

Podobne rozróżnienie można zrobić w przypadku drgań podłużnych. Rozważmy
jednowymiarowy łańcuch jednakowych atomów znajdujących się (w stanie równowagi)
w odległości a od siebie

Zapiszmy równanie ruchu dla n-tego atomu. Jeśli siła jest proporcjonalna do
względnego przemieszczenia atomów (w stosunku do położeń równowagi), to
siła wypadkowa:

)

u

2u

b(u

dt

u

d

m

)

u

2u

b(u

)

u

(u

)

u

b(u

F'

F"

F

1

n

n

1

n

2

n

2

1

n

n

1

n

1

n

n

n

1

n





































Rozwiązanie ma postać:

ν

2π

ω

,

λ

2π

k

ωt)],

exp[i(nka

u

u

0

n









gdzie

na

oznacza odległość od początku łańcucha, k jest długością wektora

falowego, a ω – częstością (in. pulsacją).

podstawiając to rozwiązanie do równania ruchu otrzymujemy:

2

ka

sin

m

b

2

ω

Jest to tzw.

zależność dyspersyjna

(zależność ω(k)). Przedstawia funkcję

okresową o okresie 2π/a, który odpowiada komórce elementarnej w sieci
odwrotnej. Można więc ograniczyć przedział zmienności argumentu do I strefy
Brillouina, tzn przedziału (- π/a, π/a).

Wykres pokazuje, że w pobliżu granicy strefy Brillouina wykres zależności
dyspersyjnej kryształu znacząco różni się od linii prostych, które cechowałyby
ośrodek ciągły.

ω

-π/a

π/a

Prędkość fazowa drgań cieplnych zależy więc od długości fali

a

m

b

v

:

k

małych

dla

,

k

2

ka

sin

m

b

2

k

ω

v

f

f







W tym wypadku fale drgań cieplnych pokrywają się ze znanymi z fizyki ogólnej
falami sprężystymi, a prędkość fazowa pokrywa się z prędkością dźwięku.
Pomiar prędkości dźwięku w krysztale umożliwia określenie stałęj siłowej b.

W przypadku sieci złożonej z dwóch rodzajów atomów dostajemy dwa rodzaje
rozwiązań, odpowiadające falom akustycznym i optycznym.

π/a

ω

Zakresy częstości nie
zachodzą na siebie.
Istnieje przerwa, której
nie da się wyjaśnić na
gruncie teorii
makroskopowej.

)

m

1

m

1

(

2b

Δω

B

A





Fale biegnące i stojące

λ / 2

Fala stojąca — „fala”, której pozycja
w przestrzeni pozostaje niezmienna
(powstaje np. w ośrodku
ograniczonym poprzez interferencję
dwóch fal poruszających się w
przeciwnych kierunkach.

Fala stojąca to w istocie drgania
ośrodka nazywane też drganiami
normalnymi. Miejsca gdzie amplituda
fali osiąga maksima nazywane są
strzałkami, zaś te, w których
amplituda jest zawsze zerowa
węzłami fali stojącej.

W

W

S

S

W

Fala biegnąca może

rozchodzić się w ośrodku

nieskończonym

Rozważmy poprzeczną falę biegnącą w sieci złożonej z atomów jednego
rodzaju.

W ośrodku ograniczonym fala odbija się od granicy ośrodka i interferuje z falą
pierwotną – powstaje

fala stojąca

(są to tzw. drgania normalne, in. mody).

Długość fali jest związana z rozmiarem dostępnej przestrzeni L (np. grubością
warstwy materiału lub rozmiarem kryształu). Największa długość spełnia
warunek:

λ

max

=2L,

w każdym innym przypadku:

n

2L

λ

3...

2,

1,

n

,

2

λ

n

L







Najmniejsza długość fali spełnia warunek:

λ

min

=2a (sąsiednie atomy

stanowią węzły – lub strzałki - fali stojącej).