Logika Formalna
Logika Formalna
dr Feliks Marchewka
dr Feliks Marchewka
Logika formalna
Logika formalna zajmuje się formą, a nie
treścią wyrażeń. Dzięki temu jest dziedziną
uniwersalną, gdyż nie jest uwikłana w treść.
Formalizacja, czyli przechodzenie od
konkretnej treści do czystej formy, jest
stopniowalne. Oto przykład takiej formalizacji:
1. „Jan uczy się logiki”
2. „X uczy się logiki”
3. „X uczy się Y”
4. „x R y”
Rozdz. I
1. Stałe logiczne
Stałe logiczne posiadają, w odróżnieniu od
zmiennych, swoje stałe i ściśle określone znaczenie.
Do stałych należą funktory i kwantyfikatory.
Najbardziej znane funktory to: negacja, koniunkcja,
alternatywa, implikacja i równoważność.
Definiujemy je przy pomocy matryc (tabelek).
Funktor negacji
p ~p
1 0
0 1
Funktory
Pozostałe funktory:
p q
1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 1
Schematy czy prawa logiczne możemy
zapisywać w notacji nawiasowej,
np. { [ (p q) ~ q ] ~ p }
bądź beznawiasowej. Tę ostatnią
wymyślił J. Łukasiewicz (1878 -
1956) i jest ona nazywana notacją
polską, beznawiasową lub notacją
Łukasiewicza.
Przyjmuje
on
dla
znanych nam funktorów następujące
symbole:
N = negacja
K = koniunkcja
A = alternatywa
C = implikacja
E = równoważność
Funktory Łukasiewicza
J. Łukasiewicz swoje dwuargumentowe funktory
stawia przed argumentami, a nie w środku, jak
to jest praktykowane w notacji nawiasowej.
Wyrażenie ‘p q’ w symbolice Łukasiewicza
wygląda ‘Apq’. Zamieniając symbolikę nawiasową
na symbolikę Łukasiewicza rozpoczynamy od
głównych funktorów i umieszczamy je - im
bardziej są główne - tym bardziej na lewo. Prawo
logiczne modus tellendo tollens zapisane w
notacji nawiasowej: { [ (p q) ~ q ] ~
p } przetransponowane na notację Łukasiewicza
wygląda następująco:
Funktory
C K Cpq Nq Np.
Umieszczone pod prawem strzałki pokazują nam
funktory i łączone przez nie argumenty.
Przechodząc natomiast z notacji Łukasiewicza na
nawiasową rozpoczynamy od końca i od tych
funktorów,
które
stoją
najbliżej
swoich
argumentów, w naszym wypadku od ~p.
2. Schematy
Schematy, które są zarazem formalne
(składają się jedynie ze stałych i
zmiennych)
i
niezawodne
(od
prawdziwych przesłanek prowadzą zawsze
do prawdziwych wniosków), nazywają się
schematami logicznymi. Każdy schemat
logiczny
składa
się
z
przesłanek
połączonych koniunkcją oraz poziomą
kreską odłączonego od nich wniosku.
Owa kreska zastępuje implikację.
Pierwsza zależność
Widać to dokładnie, gdy schemat (I) zapisany
jest w formie prawa logicznego (II):
Pierwsza
podstawowa
zależność
pomiędzy wartością logiczną przesłanki i
wniosku.
Przesłanki prawdziwe, wniosek musi być
prawdziwy!
Przesłanki prawdziwe,
1
1. p q
wniosek musi być (I)
2. p
prawdziwy!
1
3. q
(II)
[ (p q) p ] q
Schematy
Ponieważ schemat (I) jest schematem
logicznym,
czyli
formalnym
i
niezawodnym, dlatego wystarczy byśmy w
miejsce przesłanek (1) i (2) wstawili zdania
prawdziwe, by we wniosku otrzymać także
zdanie prawdziwe. Oto przykład:
p = Pada deszcz.
1. Jeśli pada deszcz, to
ulica jest mokra.
q = Ulica jest mokra. (III)
2. Pada deszcz.
3. Ulica jest mokra.
Schematy
Aby ze zdania ‘p’ wynikało zdanie ‘q’ musi
istnieć pomiędzy nimi taki związek, że stan
rzeczy opisany w zdaniu ‘p’ jest warunkiem
wystarczającym
dla
stanu
rzeczy
opisanego w zdaniu ‘q’, tzn. wystarczy, aby
padał deszcz, a tym samym ulica jest także
mokra. W schemacie logicznym przesłanki są
zatem warunkiem wystarczającym dla
wniosku, a wniosek jest warunkiem
koniecznym dla przesłanek: jeśli nie jest
ulica mokra, nie może także padać deszcz.
Druga zależność
Wynikają z tego jeszcze inne bardzo ważne
konsekwencje dla wszelkich rozumowań opartych
na schematach logicznych. Oto one:
Druga ważna zależność pomiędzy
wartościami logicznymi przesłanki i wniosku
Przesłanki są fałszywe 0
1.
p q
(przynajmniej jedna).
2.
p
Wniosek może być 1 lub 0
3.
q
prawdziwy lub fałszywy.
Przykłady
Fałszywe przesłanki (przynajmniej jedna)
i prawdziwy wniosek:
i fałszywy wniosek:
Kraków leży w Niemczech. Każdy pies posiada dziesięć nóg.
Niemcy leżą w Europie. Kupiłem psa.
Kraków leży w Europie.
Zakupiony pies posiada dziesięć nóg.
Trzecia zależność
Trzecia ważna zależność pomiędzy wartością
logiczną przesłanek i wniosków.
1. p q
0
Wniosek jest fałszywy,
2. p
przesłanki muszą być
3. q
0
(co najmn. jedna) fałszywe!
Przykład
Jeśli pada deszcz, to ulica jest mokra.
Nie jest też prawdą, że pada deszcz.
Nie jest prawdą, że ulica jest mokra.
Czwarta zależność
Wniosek jest prawdziwy 1 lub 0 1. p
q
przesłanki mogą być 2. p
prawdziwe lub fałszywe. 1 3. q
Przykład
Jeśli pada deszcz, to ulica jest mokra.
Prawdą jest, że pada deszcz. Nie jest prawdą, że
pada deszcz (polano ulicę).
W obu wypadkach wniosek „Ulica jest mokra” jest
prawdziwy.
Wszystkie omówione tutaj zależności
jakie zachodzą pomiędzy wartością logiczną
przesłanek
i
wniosków
w
schemacie
logicznym przebiegają według matrycy dla
implikacji materialnej, w której ‘p’
reprezentuje przesłanki, a ‘q’ wniosek!
Istnieją też schematy formalne, które
nie są logiczne. Na nich opierają się tzw.
wnioskowania
nie
niezawodne
(indukcyjne), czyli takie, które mogą, lecz nie
muszą zawieść.
Zależności
Schematy formalne (nielogiczne):
1. p q
2. q
3. p
Jeśli za ‘p’ wstawimy zdanie „Jan kupuje
książkę”, a za zmienną ‘q’ zdanie „Jan ma
pieniądze”, wtedy otrzymamy następującą
wypowiedź inferencyjną:
1. Jeśli Jan kupuje książkę, to Jan ma
pieniądze.
2. Jan ma pieniądze.
3. Jan kupuje książkę.
Widać tutaj wyraźnie, iż wynikanie logiczne
nie zachodzi. Z tego, że ktoś ma pieniądze
nie wynika jeszcze, że musi kupować
książkę.
3. Prawa logiczne
Prawa logiczne, nazywane inaczej tautologiami lub
prawdami logicznymi, są to wyrażenia zdaniowe zawsze
prawdziwe. Do najbardziej znanych należą:
a. Prawo tożsamości w interpretacji logicznej: p p.
b. Prawo, zasada niesprzeczności w interpretacji
logicznej: ~ ( p ~ p) czytamy: nieprawdą jest, że
zarazem p i ~ p są prawdziwe.
c. Prawo wyłączonego środka w interpretacji
logicznej:
p ~ p czytamy: z dwu zdań sprzecznych tylko jedno: p lub ~
p jest prawdziwe. W interpretacji ontologicznej prawo to
wygląda następująco: A lub ~ A. Głosi ono, że cokolwiek
istnieje musi być tylko jednym: A lub ~ A. Ten oto przedmiot
albo jest stołem, albo nim nie jest - innej możliwości nie ma.
Prawa logiczne
Niektórzy uważali, że prawo to nie jest słuszne, gdyż
np. pomiędzy stanem wody o temperaturze 0°C (stan
A), a jej stanem 100°C (stan ~ A), istnieje mnóstwo
stanów pośrednich, w których woda nie ma ani 0°C,
ani 100°C.
0°C 100°C
Nieporozumienie polega na tym, że stan wody
oznaczony symbolem ~ A zawiera w sobie wszystkie
stany wody poza stanem A, a nie tylko wyróżniony
jeden jej stan 100°C.
Prawa logiczne
d. Prawo podwójnego przeczenia: ~ ~ p p; p ~ ~
p. Podwójna negacja znosi się nawzajem. Jeśli nieprawda,
że nie p, to p ( i odwrotnie).
e. Prawo Dunsa Szkota: (p ~ p) q wyraża myśl, że z
dwu zdań sprzecznych wynika dowolne zdanie. Można też
powiedzieć, iż z fałszu wynika dowolne zdanie, bowiem
koniunkcja dwu zdań sprzecznych jest zawsze fałszywa.
2 + 2 = 5
1 = 2
f. Prawa de Morgana dla rachunku zdań stwierdzają, iż
z
zaprzeczonej
koniunkcji
wynika
alternatywa
z
zaprzeczonymi składnikami oraz z zaprzeczonej alternatywy
wynika koniunkcja z zaprzeczonymi czynnikami.
~ (p q) ( ~ p ~ q)
~ (p q) ( ~ p ~ q)
Prawa logiczne
g. Prawo zaprzeczenia implikacji mówi nam
o tym, kiedy implikacja nie zachodzi, czyli kiedy
jest fałszywa.
~ (p q) (p ~ q)
h. Modus ponendo ponens, sposób
wnioskowania przez stwierdzenie stwierdzający:
[ (p q) p ] q
i.
Modus
tollendo
tollens,
sposób
wnioskowania przez zaprzeczenie zaprzeczający:
[ (p q) ~ q ] ~ p
Prawa logiczne
j. Prawo redukcji do absurdu wykazuje, iż jeśli z jakiegoś
zdania wynika jego zaprzeczenie, to zdanie to jest fałszywe. Na
jego
podstawie
wykazywaliśmy
fałszywość
wypowiedzi
samoobalalnych.
(p ~ p) ~ p
k. Prawo transpozycji mówi nam, że z implikacji wynika nowa
implikacja, która powstaje przez przestawienie poprzednika z
następnikiem przy równoczesnym zaprzeczeniu obu tych członów.
(p q) ( ~ q ~ p)
Szczególnie ciekawe i nieoczywiste jest wynikanie w odwrotnym
kierunku, które przy zastosowaniu prawa modus tollendo tollens
oraz prawa podwójnej negacji przebiega w następujący sposób:
( ~ q ~ p) (~ ~ p ~ ~ q) = p q
l. Prawo sylogizmu hipotetycznego, nazywane także prawem
przechodniości.
[ (p q) (q r) ] (p r)
4. Wynikanie logiczne
Wynikanie
logiczne
należy
odróżnić
od
wnioskowania.
Wnioskowanie
bowiem
jest
procesem subiektywnym, może się opierać bądź to
na schematach logicznych, czyli niezawodnych, bądź
to na schematach nie niezawodnych, czyli takich,
które mogą, chociaż nie muszą zawieść.
Wynikanie logiczne natomiast jest procesem
obiektywnym. Z określonych zdań wynika logicznie
inne zdanie niezależnie od tego, co ktoś o tym myśli.
Definicja
:
„Ze zdań Z1, Z2, ..., Zn wynika logicznie zdanie
Z wtedy i tylko wtedy, gdy zdania Z1, Z2, ..., Zn
podpadają jako przesłanki, zaś zdanie Z jako
wniosek pod jakiś schemat logiczny”
Rozdz. II
1. Metoda
zerojedynkowa
Metoda zerojedynkowa służy do sprawdzania wyrażeń czy
są
tautologiami. Sprawdzamy np. prawo
sprzeczności:
~ (p ~ p)
(I)
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
Sprawdzanie rozpoczynamy od wypisania pod ‘p’ dwóch
możliwych wartości logicznych tego zdania, tj. prawdy (1) i
fałszu (0). Zgodnie z funktorem negacji pod ‘~p’ piszemy
odwrotne wartości: 0 i 1. Następnie sprawdzamy koniunkcję,
która łączy kolumny spod ‘p’ i ‘~ p’. Ponieważ w obydwu
wypadkach nie zachodzi, piszemy pod nią dwa zera. Ta
koniunkcja, jako główny funktor wyrażenia w nawiasie, jest
zaprzeczona przez negację znajdującą się na początku
wyrażenia. Stąd pod tą negacją piszemy dwie jedynki. Wynika z
tego, że sprawdzane wyrażenie niezależnie od tego jaką wartość
przyjmie ‘p’ jest zawsze prawdziwe, czyli jest tautologią.
Dwie zmienne
Podobnie wygląda sprawdzanie wyrażeń
złożonych
z
dwóch
zmiennych
zdaniowych. Oto przykład:
~ ( p q ) p ~
q
0 1 1 1 1 1 0 0 1
(II) 0 0 1 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 0 0 1 0
Metoda zerojedynkowa
Aby nie wypisywać zbyt wielu jedynek i zer wymyślono
skróconą metodę zerojedynkową, z której i my będziemy
korzystać. Posługując się tą metodą możemy rozpoczynać
sprawdzanie bądź to od przesłanek, bądź to od wniosku.
Rozpoczynając sprawdzanie od przesłanek zakładamy,
że ich koniunkcja jest prawdziwa. Oto przykład sprawdzania
metodą skróconą, gdzie rozpoczynamy od przesłanek.
~ ( p q ) p ~ q
(III) 1 1 0 0 1 1 1 1 0
Rozpoczynając natomiast od wniosku zakładamy, że
jest on fałszywy. Oto przykład sprawdzania, w którym
wychodzimy od wniosku.
~ ( p q ) p ~ q
(IV) 0 0 1 1 1 0 0 0 1
Reguły
2. Metoda założeniowa służy do wykazywania
niezawodności poszczególnych schematów rachunku
zdań poprzez ich dowodzenie. Jest to tzw. dedukcja
naturalna. Aby jednak udowodnić jakąś tezę,
potrzebne są do tego odpowiednie reguły ustalające
sposób naszego postępowania. Do reguł pierwotnych,
czyli
uznawanych
na
mocy
intuicji,
należą
następujące:
1. Reguła odrywania: „RO”
p q
p
q
Reguła ta stwierdza, że jeżeli podczas
dowodzenia posiadamy jakieś wyrażenie o formie
zdania warunkowego i jego poprzednik, to do dowodu
możemy dołączyć także i następnik tego wyrażenia.
Reguły
2. Reguła dołączania koniunkcji: „DK” p
q
p q
„DK” stwierdza, iż dwa prawdziwe wyrażenia zdaniowe
możemy połączyć koniunkcją.
3. Reguła opuszczania koniunkcji: „OK” p q
p
q
„OK” stwierdza, że z koniunkcji wynika każdy z jej
czynników.
4. Reguła dołączania alternatywy: „DA”
p
p q
„DA” stwierdza, że z dowolnego prawdziwego zdania wynika
alternatywa, której pierwszym lub drugim składnikiem jest
to właśnie zdanie.
Reguły
5. Reguła opuszczania alternatywy: „OA” p q
~ p / ~q
q / p
Reguła „OA”, nazywana inaczej modus tollendo ponens (sposób
wnioskowania przez zaprzeczenie stwierdzający) mówi, iż z alternatywy oraz
z negacji jednego z jej składników wynika drugi jej składnik.
6. Reguła dołączania równoważności: „DE”
p q
q p
p q
„DE” stwierdza, że z implikacji zwykłej oraz z implikacji względem niej
odwrotnej wynika równoważność.
7. Reguła opuszczania równoważności: „OE”
p q
p q
q p
„OE” stwierdza, że z równoważności wynika implikacja jej
odpowiadająca oraz implikacja względem niej odwrotna.
Dowody
Rozróżniamy dwa rodzaje dowodów: dowód
wprost oraz dowód nie wprost. Dowód
wprost jakiegoś schematu formalnego polega na
tym, że rozpoczynamy od wypisania założeń
dowodu, czyli jego przesłanek. Do przesłanek
zaliczamy także poprzednik wniosku, lecz tylko
wtedy, gdy wniosek jest implikacją bądź
równoważnością. Następnie z wypisanych założeń
wyprowadzamy, stosując odpowiednie reguły,
kolejne wiersze. Dowód wprost jest zakończony
wtedy, gdy otrzymamy wyrażenie równokształtne
z wnioskiem bądź z jego następnikiem.
Dowody
Oto przykład dowodzenia wprost niezawodności
schematu sylogizmu hipotetycznego.
1. p q
Schemat sylogizmu
hipotetycznego
2. q r zał. dow. p q
3. p
q r
4. q RO: 1, 3 p r
5. r RO: 2, 4
Po wypisaniu założeń (1), (2) i poprzednika
wniosku (3) oraz po zastosowaniu „RO” do dwu
kroków dowodowych (4) i (5) otrzymaliśmy
następnik wniosku „r”. W ten sposób dowód
został zakończony.
Dowód nie wprost
Dowód
nie
wprost
tego
samego
schematu wygląda w ten sposób, że najpierw
wypisujemy wszystkie założenia, podobnie jak w
dowodzie wprost, oraz dodajemy do nich jako
nowe założenie - zaprzeczenie wniosku lub
jego następnika (jeśli wniosek jest implikacją),
czyli to wyrażenie, którego dowodzimy. Dowód
uznajemy za zakończony wtedy, gdy dojdziemy
do sprzeczności pomiędzy dowolnymi wierszami
dowodu. W ten sposób wykazujemy, że wniosek
wynika z przesłanek, ponieważ gdy go
zaprzeczymy otrzymujemy sprzeczność.
Dowód nie wprost
1. p q
2. q r
3. p
4. ~ r zał. dow. nie wprost
5. q RO: 1, 3
6. r RO: 2, 5
7. Sprzeczność: 4, 6
Okazuje się, że wniosek „r” wynika z
przyjętych przesłanek, gdyż zaprzeczony i
dołączony do dowodu prowadzi do sprzeczności.
Metodą aksjomatyczna
3. Posługując się metodą aksjomatyczną
rozpoczynamy
dowodzenie
od
przyjęcia
odpowiednich aksjomatów, czyli twierdzeń
pierwotnych. Nowe twierdzenia wyprowadzamy z
aksjomatów przy użyciu tylko dwóch reguł:
reguły odrywania i reguły podstawiania.
Chcąc
udowodnić
prawo
tożsamości
„p p” postępujemy w ten sposób, iż najpierw
przyjmujemy
odpowiednie
aksjomaty,
a
następnie w oparciu o dwie wspomniane reguły
tak je przekształcamy, aby otrzymać prawo
tożsamości.
Metodą aksjomatyczna
1. p (q p) aksjomat pierwszy
2. (p (q r)) ((p q) (p r)) aksjomat
drugi
Z aksjomatu drugiego przez podstawienie za ‘r’/’p’
otrzymujemy:
3. (p (q p)) ((p q) (p p))
4. (p q) (p p) RO: 1, 3
Z (4) przez podstawienie ‘q’/ ‘q p’ otrzymujemy:
5. (p (q p)) (p p)
6. p p RO: 1, 5
Dowód został zakończony, ponieważ otrzymaliśmy
poszukiwaną tezę ‘p p’.
Rozdz. III
Rachunek zbiorów
i relacji
Na terenie rachunku zbiorów i relacji
wyrażenie: „x B” czytamy: „x należy
do zbioru B” lub „x jest elementem
zbioru B”. Natomiast symbol ‘‘
czytamy: „nie należy”, „nie jest
elementem”.
1. Podstawowe definicje. Wyrażenie
‘A(x)’ czytamy: „x ma własność (cechę)
A”. Istnieją dwa prawa de Morgana dla
rachunku kwantyfikatorów.
Prawa de Morgana
Pierwszym z nich jest prawo negowania
kwantyfikatora ogólnego:
a. ~ x A(x) x ~ A(x)
Drugie prawo, czyli prawo negowania
kwantyfikatora
szczegółowego,
jest
odwrotnością poprzedniego.
b. ~ x A(x) x ~ A(x)
Prawo to stwierdza, iż jeśli nie istnieje taki
przedmiot ‘x’, który posiadałby cechę ‘A’, to
wynika z tego, że każdy przedmiot tej cechy nie
posiada, inaczej żaden przedmiot tej cechy nie
posiada. Do przeprowadzania dowodów tez
rachunku
zbiorów
potrzebne
nam
będą
następujące definicje:
Prawa
c. Identyczność dwu zbiorów: A = B x (x A
x B)
A B
– + –
Rysunek pokazuje, że nie ma takich ‘x’ (poziome kreski),
które należałyby do ‘A’ i równocześnie nie należały do ‘B’ i
odwrotnie: wszystkie ‘x’, które należą do ‘B’ tym samym
należą do ‘A’. Zbiory zatem ‘A’ i ‘B’ są identyczne, gdyż ich
nazwy denotują ten sam zbiór desygnatów (krzyżyk).
d. Zbiór pusty: A = ~ x (x A)
Zbiór ‘A’ jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy
nie istnieją takie przedmioty ‘x’, które do niego należą.
Prawa
e. Zbiór uniwersalny: A = V x (x A)
Zbiór ‘A’ jest zbiorem uniwersalnym, gdyż należą do niego
wszystkie przedmioty. Natomiast sam zbiór uniwersalny jest
zbiorem tych przedmiotów, które są identyczne ze sobą: V = (x:
x = x).
f. Suma zbiorów (symbol ‘‘): x A B ( x A x
B)
A B
+ + +
Przedmiot ‘x’ należy do sumy zbiorów, gdy należy do zbioru ‘A’
lub do iloczynu zbiorów ‘A, B’ lub do zbioru ‘B’. Na rysunku
miejsca te zostały zaznaczone krzyżykami.
Prawa
g. Iloczyn zbiorów (symbol ‘‘): x A B (x A
x B)
A B
–
+
–
Iloczynem zbiorów ‘A’ i ‘B’ jest zbiór tylko tych przedmiotów
‘x’, które należą równocześnie do zbioru ‘A’ i do zbioru ‘B’.
h. Różnica zbiorów (symbol ‘‘): x A B (x A
x B)
A B
+ +
_ – –
+ +
– – –
Różnicę zbiorów ‘A B’ tworzą te przedmioty zbioru ‘A’, które
nie należą do zbioru ‘B’.
Prawa
i. Dopełnienie zbioru ‘A’ (symbol ‘~ A’):
x ~ A x A
–
A
+
–
~ A
Dopełnieniem zbioru ‘A’, jak to widać na rysunku, są
te przedmioty, które należą do ‘~ A’ (krzyżyk), czyli
które nie należą do zbioru ‘A’ (kreski). Dopełnieniem
zakresu nazwy koń są te przedmioty, które należą
do zakresu nazwy nie-koń, czyli które nie należą do
zakresu nazwy koń.
Prawa
j. Zawieranie się zbiorów (symbol ‘‘): A
B (x A x B)
A B
– + +
– + +
Zbiór ‘A’ zawiera się w zbiorze ‘B’ wtedy, gdy
wszystkie przedmioty należące do zbioru ‘A’, należą też do
zbioru ‘B’. Nie ma zatem takich przedmiotów ‘A’ (kreski),
które nie byłyby zarazem ‘B’ (krzyżyki). Mówi się także o
właściwym zawieraniu się zbioru ‘A’ w zbiorze ‘B’. Ma to
miejsce wtedy, gdy zbiór ‘A’ zawiera się w zbiorze ‘B’ i
zarazem zbiór ’A’ jest różny od zbioru ‘B’, tzn. nie mogą się
wzajemnie pokrywać.
Dowody
2.
Dowody tez rachunku zbiorów
nie różnią się niczym szczególnym od
dowodów
założeniowych
przeprowadzanych w ramach rachunku
zdań.
Opierają
się
na
regułach
pierwotnych rachunku zdań, na znanych
prawach dotyczących kwantyfikatorów
oraz
na
przytoczonych
definicjach
podstawowych
relacji
zachodzących
pomiędzy zbiorami.
Teza do udowodnienia:
A B C D A C B D
1. A B C D
- założenie dowodu
2. ~ ( A C B D)
- zał. dow. nie wprost
3. A B
- OK: 1
4. C D
- OK: 1
5. x A x B
- def. ‘‘: 3
6. x C x D
- def. ‘‘: 4
7. ~ [(x A x C) (x B x D)]
- def. ‘‘ oraz ‘‘: 2
8. (x A x C) ~ (x B x D)
- prawo negowania
‘‘: 7
9. x A x C
- OK: 8
10. ~ (x B x D)
- OK: 8
11. x B x D
- prawo de Morgana: 10
12. x B
- OK: 11
13. x D - OK: 11
14. x A - modus tollendo tollens: 5, 12
15. x C - modus tollendo tollens: 6, 13
16. x C - OA: 9, 14
17. Sprzeczność: 15, 16.
Dowody
Dowód
nie
wprost
został
zakończony,
gdyż
otrzymaliśmy sprzeczność, która oznacza, że dowodzona
teza jest prawem logicznym. Podczas ćwiczeń dowodzić
będziemy w podobny sposób następujące tezy:
1. (A B A = V) B = V
2. (A B A ) B
3. (A B C D) A C B D
4. (A B C D) A C B D
5. A B A C B C
6. A B A C B C
7. A B ~ B ~ A
8. A B C A C ~ B
9. A B A C B C
3. Pojęcie relacji oraz jej
rodzaje
Wyrażenie: ‘xRy’ - czytamy: „x
znajduje się w relacji R do y”. Za zmienne ‘x,
y’
wstawiamy
nazwy
przedmiotów,
natomiast za zmienne ‘R, S, T’ nazwy
relacji. Każda relacja składa się z trzech
podstawowych
elementów:
przeciwdziedziny, dziedziny oraz pola relacji.
Dziedziną relacji nazywamy lewą stronę
relacji
lub
lewą
dziedziną;
przeciwdziedzinę relacji – prawą stroną
relacji lub prawą dziedziną relacji.
Pojęcie relacji oraz jej
rodzaje
Dziedziną relacji R (symbolicznie Dl(R)) nazywamy
zbiór tych przedmiotów, które pozostają w relacji R do zbioru
innych przedmiotów. Jakiś przedmiot x należy do lewej
dziedziny relacji wtedy, gdy istnieje przedmiot y, do którego x
znajduje się w relacji R.
x Dl(R) y (xRy)
Przeciwdziedziną relacji R (symbolicznie Dp(R))
nazywamy zbiór tych przedmiotów, do których jakieś inne
przedmioty pozostają w relacji R. Przedmiot ‘y’ należy do
przeciwdziedziny relacji (R) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
takie ‘x’, które znajduje się w relacji (R) do ‘y’.
y Dp(R) x (xRy)
Polem relacji R, symbolicznie C(R) - (łac. campus =
pole), nazywamy sumę dziedziny i przeciwdziedziny relacji R.
C(R) = Dl(R) Dp(R)
Rodzaje relacji
a. Relacja odwrotna do relacji R, inaczej konwers
relacji (symbol ‘Ř‘) zachodzi pomiędzy tymi samymi
przedmiotami co relacja ‘R’, lecz w odwrotnym kierunku.
Relacja ‘bycia żoną’ jest odwrotną do relacji ‘bycia mężem’.
yx x Ř y
b. Relacja symetryczna (symbol ‘sym’) ma miejsce
wtedy, gdy jeśli zachodzi pomiędzy przedmiotami w
jednym kierunku, zachodzi także pomiędzy nimi w kierunku
odwrotnym.
Przykładami
takich
relacji
jest
m.in.
pokrewieństwo, rodzeństwo, podobieństwo, równość itd.
R sym x, y(xRy yRx)
Relacja ‘R’ należy do symetrycznych wtedy, gdy dla
każdego ‘x, y’, jeśli xRy, to yRx.
Rodzaje relacji
c. Relacja przeciwsymetryczna, inaczej asymetryczna
(symbol ‘as’) ma miejsce wtedy, gdy zachodząc pomiędzy
przedmiotami w jednym kierunku, nie zachodzi pomiędzy
nimi w kierunku odwrotnym. Tego typu relacjami są np.:
relacja bycia ojcem czy relacja bycia matką.
R as x, y(xRy ~ yRx)
d. Relacja przechodnia, inaczej tranzytywna (symbol
‘trans’) występuje wtedy, gdy jeżeli zachodzi pomiędzy
pierwszym i drugim przedmiotem oraz pomiędzy drugim i
trzecim, to zachodzi także pomiędzy pierwszym i trzecim.
Na przykład, jeżeli Jan jest starszy od Piotra i Piotr jest
starszy od Andrzeja, to wynika z tego, że Jan musi być
także starszy od Andrzeja.
R trans x, y, z((xRy yRz) xRz)
Rodzaje relacji
e. Relacja lewostronnie jednoznaczna (symbol ‘1-Cls’)
zachodzi wtedy, gdy najwyżej jeden przedmiot pozostaje w
tej relacji do innych przedmiotów. Przykładem takiej relacji
jest stosunek bycia ojcem lub matką: jeden ojciec - wiele
dzieci.
R 1-Cls x, y, z (xRz yRz x = y)
Równość (x = y) wykazuje, że dziedzinę relacji tworzy tylko
jeden przedmiot. Za ‘z’ natomiast możemy sobie
podstawiać nazwy różnych przedmiotów.
f. Relacja prawostronnie jednoznaczna (symbol ‘Cls-
1’) zachodzi wtedy, gdy dany przedmiot pozostaje w tej
relacji najwyżej do jednego przedmiotu. Relacja bycia
dzieckiem jest przykładem takiej relacji, gdyż każde dziecko
ma jedynie jednego ojca i jedna matkę.
R Cls-1 x, y, z (xRy xRz y = z)
W
relacji
prawostronnie
jednoznacznej
identyczny
przedmiot tworzy przeciwdziedzinę tej relacji: ‘y = z’.
Rodzaje relacji
g. Relacja wzajemnie jednoznaczna (symbol
‘1-1’), nazywana inaczej jedno-jednoznaczną lub
doskonałą, ma miejsce wtedy, gdy jest zarazem
lewostronnie
i
prawostronnie
jednoznaczna.
Przykładem
takiej
relacji
są
małżeństwa
monogamiczne: jednemu mężowi odpowiada tylko
jedna żona i odwrotnie.
R 1-1 R 1-Cls R Cls-1
h. Izomorfizm relacji zachodzi wtedy, gdy
istnieje jakaś relacja R, która odwzorowuje w
sposób jedno-jednoznaczny relację S na relacji T.
Mamy tutaj do czynienia z trzema różnymi
relacjami, które przedstawia następujący rysunek.
Izomorfizm relacji
s
s1
s2
s3
sSs1, s1Ss2, s2Ss3; S = leży na lewo
Prosta a
R sRt, s1Rt, s2Rt2; R = leży na tej samej
prostej
Prosta b
t3
t2
t1
t tTt1, t1Tt2, t2Tt3 ; T = leży na
prawo
Izomorfizm relacji przedstawiony na rysunku możemy zapisać następująco:
S izmRT R 1-1 Dl (R ) = C(S) Dp(R ) = C(T)
s, s1, t, t1 (sRt s1Rt1 (sSs1 tTt1))
Przytoczoną definicję czytamy: Relacja ‘R’ odwzorowuje izomorficznie
relację ‘S’ na relację ‘T’ wtedy i tylko wtedy, gdy relacja ‘R’ jest relacją wzajemnie
jednoznaczną, której lewą dziedzinę stanowi pole relacji ‘S’, a prawą dziedzinę pole
relacji ‘T’. Ponadto dla każdego s, s1, t, t1 jeśli relacja ‘R’ przyporządkowuje
punktowi ‘s’ punkt ‘t’ oraz punktowi ‘s1’ punkt ‘t1’, to punkt ‘s’ leży na lewo od
punktu ‘s1’ wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ‘t’ leży na prawo od punktu ‘t1’.
Rozdz. IV
Rachunek
nazw
Istnieją cztery rodzaje zdań kategorycznych, które
pozostają względem siebie w różnych relacjach. Relacje
owe przedstawia model graficzny nazywany kwadratem
logicznym.
Zdania ogólnotwierdzące:
SaP = Każde S jest P = x(x S x P)
Zdania szczegółowotwierdzące:
SiP = Niektóre S są P = x(x S x P)
Zdania ogólnoprzeczące:
SeP = Żadne S nie jest P = x(x S x
P)
Zdania szczegółowoprzeczące:
SoP = Niektóre S nie są P = x(x S x P)
Kwadrat logiczny
Wzajemne powiązania zachodzące pomiędzy
zdaniami kategorycznymi ukazywane są przy
pomocy modelu graficznego nazywanego
kwadratem logicznym.
SaP przeciwne ( / ) SeP
wykluczają się, nie dopełniają się
sprzeczne ( )
wykluczają się i dopełniają się
podprzeciwne ( )
SiP nie wykluczają się, dopełniają się SoP
Zdania
Zdania sprzeczne (oppositio contradictoria) wyznaczają
przekątne kwadratu. Tworząc cztery prawa:
SaP ~ SoP
SeP ~ SiP
SiP ~ SeP
SoP ~ SaP
Skoro zdania sprzeczne nie mogą zarazem być ani
prawdziwe, ani fałszywe, stąd jeśli jedno z nich jest
prawdziwe, drugie musi być fałszywe i odwrotnie.
Zdania podporządkowane (subalternatio):
SaP SiP; SeP SoP
Ze zdań ogólnych zarówno twierdzących, jak i przeczących,
wynikają zdania szczegółowe, lecz nie odwrotnie.
Zdania
Zdania przeciwne (oppositio contraria):
SaP ~ SeP; SeP ~ SaP
Zdania przeciwne nie mogą być równocześnie prawdziwe. Mogą
być natomiast obydwa fałszywe.
Zdania podprzeciwne (subcontraria):
~ SiP SoP; ~ SoP SiP
Obydwa zdania mogą być równocześnie prawdziwe, lecz nie mogą
być jednocześnie fałszywe. Słuszność praw dotyczących zdań
przeciwnych, podporządkowanych i podprzeciwnych możemy także
wykazać w oparciu o zdania sprzeczne.
Sprawdzamy np. zdania podprzeciwne ‘~ SiP SoP’. Jeżeli ‘SiP’
jest fałszywe, to sprzeczne z nim ‘SeP’ musi być prawdziwe. Jeżeli
‘SeP’ jest prawdziwe, prawdziwe musi być także podporządkowane
mu zdanie ‘SoP’, a zatem prawo jest słuszne. Od ‘SiP’ można iść
także do ‘SaP’, a następnie do ‘SoP’. Ważne jest byśmy za każdym
razem korzystali ze zdań sprzecznych. W ten sposób sprawdzać
możemy wszystkie rodzaje zdań z wyjątkiem sprzecznych.
2. Prawa konwersji
Jeżeli w dowolnym zdaniu kategorycznym przestawimy jego
podmiot z orzecznikiem, wtedy otrzymamy odwrócenie
tego zdania, czyli jego konwersję (łac. converto = obrócić).
Konwersja może być prosta lub ograniczona.
Konwersja prosta ma miejsce wtedy, gdy oba zdania, tj.
odwracane i odwrócone nie różnią się pomiędzy sobą co do
ilości - oba nadal są ogólne lub oba nadal są szczegółowe.
SeP PeS
SiP PiS
Konwersja ograniczona ma miejsce wtedy, gdy jedno
zdanie jest ogólne a drugie szczegółowe.
SaP PiS
3. Prawa obwersji
Prawa obwersji (łac. obverto = odwrócić
się)
stwierdzają,
że
każde
zdanie
kategoryczne można przekształcić w zdanie
mu równoważne, jeżeli zmienimy jego
jakość na przeciwną i zastąpimy orzecznik
‘P’ przez jego dopełnienie, czyli ‘~ P’.
SaP Se~P
SeP Sa~P
SiP So~P
SoP Si~P
4. Prawa kontrapozycji
Prawa kontrapozycji otrzymujemy w ten
sposób, że ze zdania kategorycznego
tworzymy jego obwersję, a następnie z tego,
co otrzymamy tworzymy konwersję lub
odwrotnie.
SaP Se~P (obw.) ~PeS (konw.)
SaP ~PeS
SaP PiS (konw.) Po~S (obw.)
SaP Po~S
5. Sylogizmy
Schemat sylogizmu wygląda następująco:
M a P
( I )
S a M
S a P
W zależności od tego, jakie miejsce zajmuje termin
średni w przesłankach, tzn. czy jest podmiotem czy
orzecznikiem, wyróżniamy cztery figury sylogistyczne:
M P
P M
M P
P M
(1)
S M
(2)
S M
(3)
M S
(4)
M S
S P
S P
S P
S P
Sprawdzanie sylogizmów
Sylogizmy sprawdzać będziemy przy pomocy diagramów Venna.
Schemat do sprawdzenia:
M i P M + P
M a S
+
S i P +
S
Oto przykład konkretnego wnioskowania w oparciu o dany schemat:
M = ludzie
Niektórzy ludzie są zakonnikami
P = zakonnicy
Każdy człowiek jest istotą rozumną
S = istota rozumna
Niektóre istoty rozumne są zakonnikami
W ten sposób wygląda wnioskowanie przeprowadzone w oparciu o
tryby
sylogistyczne.
Logika modalna
Na
bazie
logiki
trójwartościowej
tworzy
J.
Łukasiewicz logikę modalną, która zajmuje się pojęciem
możliwości
i
konieczności.
Oznaczając
pojęcie
możliwości przez ‘M’ oraz pojęcie konieczności przez ‘K’
podaje dla nich następujące definicje:
p Mp p Kp
0 0 0 0
½ 1
½ 0
1 1 1 1
Z przytoczonych tablic wynika, że zdarzenie
opisywane przez zdanie ‘p’ jest możliwe wtedy, gdy
zdanie ‘p’ jest prawdziwe lub, jeśli posiada wartość .
Natomiast zdarzenie opisywane przez zdanie ‘p’ jest
konieczne tylko wówczas, gdy zdanie to jest prawdziwe.