Logika Formalna

Logika formalna



Logika formalna zajmuje się formą, a nie

treścią wyrażeń. Dzięki temu jest dziedziną

uniwersalną, gdyż nie jest uwikłana w treść.



Formalizacja, czyli przechodzenie od

konkretnej treści do czystej formy, jest

stopniowalne. Oto przykład takiej formalizacji:

1. „Jan uczy się logiki”

2. „X uczy się logiki”

3. „X uczy się Y”

4. „x R y”

Rozdz. I

1. Stałe logiczne



Stałe logiczne posiadają, w odróżnieniu od

zmiennych, swoje stałe i ściśle określone znaczenie.



Do stałych należą funktory i kwantyfikatory.

Najbardziej znane funktory to: negacja, koniunkcja,
alternatywa, implikacja i równoważność.



Definiujemy je przy pomocy matryc (tabelek).

Funktor negacji

p ~p

1 0
0 1

Funktory

Pozostałe funktory:

p q    

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 1

Schematy czy prawa logiczne możemy

zapisywać w notacji nawiasowej,

np. { [ (p  q)  ~ q ]  ~ p }

bądź beznawiasowej. Tę ostatnią

wymyślił J. Łukasiewicz (1878 -

1956) i jest ona nazywana notacją

polską, beznawiasową lub notacją

Łukasiewicza.

Przyjmuje

dla

znanych nam funktorów następujące

symbole:



N = negacja



K = koniunkcja



A = alternatywa



C = implikacja



E = równoważność

Funktory Łukasiewicza

J. Łukasiewicz swoje dwuargumentowe funktory

stawia  przed  argumentami,  a  nie  w  środku,  jak
to  jest  praktykowane  w  notacji  nawiasowej.
Wyrażenie  ‘p    q’  w  symbolice  Łukasiewicza

wygląda ‘Apq’. Zamieniając symbolikę nawiasową
na  symbolikę  Łukasiewicza  rozpoczynamy  od
głównych  funktorów  i  umieszczamy  je  -  im
bardziej są główne - tym bardziej na lewo. Prawo
logiczne  modus  tellendo  tollens  zapisane  w
notacji  nawiasowej:  {  [  (p    q)        ~  q  ]        ~

p } przetransponowane na notację Łukasiewicza
wygląda następująco:

Funktory

C K Cpq Nq Np.

Umieszczone pod prawem strzałki pokazują nam
funktory i łączone przez nie argumenty.

Przechodząc natomiast z notacji Łukasiewicza na
nawiasową rozpoczynamy od końca i od tych
funktorów,

które

stoją

najbliżej

swoich

argumentów, w naszym wypadku od ~p.

2. Schematy



Schematy, które są zarazem formalne
(składają się jedynie ze stałych i
zmiennych)

niezawodne

(od

prawdziwych przesłanek prowadzą zawsze
do prawdziwych wniosków), nazywają się
schematami logicznymi. Każdy schemat
logiczny

składa

się

przesłanek

połączonych koniunkcją oraz poziomą
kreską odłączonego od nich wniosku.
Owa kreska zastępuje implikację.

Pierwsza zależność

Widać to dokładnie, gdy schemat (I) zapisany

jest w formie prawa logicznego (II):



Pierwsza

podstawowa

zależność

pomiędzy wartością logiczną przesłanki i

wniosku.
Przesłanki prawdziwe, wniosek musi być

prawdziwy!

Przesłanki prawdziwe,

1. p  q

wniosek musi być (I)

2. p

prawdziwy!

3. q

(II)

[ (p  q)  p ]  q

Schematy



Ponieważ schemat (I) jest schematem
logicznym,

czyli

formalnym

niezawodnym, dlatego wystarczy byśmy w
miejsce przesłanek (1) i (2) wstawili zdania
prawdziwe, by we wniosku otrzymać także
zdanie prawdziwe. Oto przykład:

p = Pada deszcz.

1. Jeśli pada deszcz, to

ulica jest mokra.

q = Ulica jest mokra. (III)

2. Pada deszcz.

3. Ulica jest mokra.

Schematy

Aby ze zdania ‘p’ wynikało zdanie ‘q’ musi

istnieć pomiędzy nimi taki związek, że stan
rzeczy opisany w zdaniu ‘p’ jest warunkiem
wystarczającym

dla

stanu

rzeczy

opisanego  w  zdaniu  ‘q’,  tzn.  wystarczy,  aby
padał  deszcz,  a  tym  samym  ulica  jest  także
mokra. W schemacie logicznym przesłanki są
zatem  warunkiem  wystarczającym  dla
wniosku,  a  wniosek  jest  warunkiem
koniecznym  dla  przesłanek:  jeśli  nie  jest
ulica mokra, nie może także padać deszcz.

Druga zależność

Wynikają z tego jeszcze inne bardzo ważne
konsekwencje dla wszelkich rozumowań opartych
na schematach logicznych. Oto one:
Druga ważna zależność pomiędzy
wartościami logicznymi przesłanki i wniosku

Przesłanki są fałszywe 0

p  q

(przynajmniej jedna).

p
Wniosek może być 1 lub 0

q
prawdziwy lub fałszywy.

Przykłady

Fałszywe przesłanki (przynajmniej jedna)

i prawdziwy wniosek:

i fałszywy wniosek:

Kraków leży w Niemczech. Każdy pies posiada dziesięć nóg.

Niemcy leżą w Europie. Kupiłem psa.

Kraków leży w Europie.

Zakupiony pies posiada dziesięć nóg.

Trzecia zależność

Trzecia ważna zależność pomiędzy wartością
logiczną przesłanek i wniosków.

1. p  q

Wniosek jest fałszywy,

2. p

przesłanki muszą być

3. q

(co najmn. jedna) fałszywe!

Przykład



Jeśli pada deszcz, to ulica jest mokra.



Nie jest też prawdą, że pada deszcz.



Nie jest prawdą, że ulica jest mokra.

Czwarta zależność

Wniosek jest prawdziwy 1 lub 0 1. p

 q

przesłanki mogą być 2. p
prawdziwe lub fałszywe. 1 3. q

Przykład



Jeśli pada deszcz, to ulica jest mokra.



Prawdą jest, że pada deszcz. Nie jest prawdą, że
pada deszcz (polano ulicę).



W obu wypadkach wniosek „Ulica jest mokra” jest
prawdziwy.

Wszystkie omówione tutaj zależności

jakie zachodzą pomiędzy wartością logiczną
przesłanek

wniosków

schemacie

logicznym przebiegają według matrycy dla
implikacji materialnej, w której ‘p’
reprezentuje przesłanki, a ‘q’ wniosek!

Istnieją też schematy formalne, które

nie są logiczne. Na nich opierają się tzw.
wnioskowania

nie

niezawodne

(indukcyjne), czyli takie, które mogą, lecz nie
muszą zawieść.

Zależności

Schematy formalne (nielogiczne):

1. p  q

2. q
3. p

Jeśli  za  ‘p’  wstawimy  zdanie  „Jan  kupuje
książkę”,  a  za  zmienną  ‘q’  zdanie  „Jan  ma
pieniądze”,  wtedy  otrzymamy  następującą
wypowiedź inferencyjną:
  1. Jeśli Jan kupuje książkę, to Jan ma
pieniądze.
  2. Jan ma pieniądze.
  3. Jan kupuje książkę.
Widać  tutaj  wyraźnie,  iż  wynikanie  logiczne
nie  zachodzi.  Z  tego,  że  ktoś  ma  pieniądze
nie  wynika  jeszcze,  że  musi  kupować
książkę.

3. Prawa logiczne

Prawa logiczne, nazywane inaczej tautologiami lub

prawdami logicznymi, są to wyrażenia zdaniowe zawsze
prawdziwe. Do najbardziej znanych należą:



a. Prawo tożsamości w interpretacji logicznej: p  p.



b. Prawo, zasada niesprzeczności w interpretacji

logicznej: ~ ( p  ~ p) czytamy: nieprawdą jest, że
zarazem p i ~ p są prawdziwe.



c. Prawo wyłączonego środka w interpretacji

logicznej:
p  ~ p czytamy: z dwu zdań sprzecznych tylko jedno: p lub ~
p  jest  prawdziwe.  W  interpretacji  ontologicznej  prawo  to
wygląda  następująco:  A    lub  ~  A.  Głosi  ono,  że  cokolwiek
istnieje musi być tylko jednym:  A lub ~ A. Ten oto przedmiot
albo jest stołem, albo nim nie jest - innej możliwości nie ma.

Prawa logiczne

Niektórzy uważali, że prawo to nie jest słuszne, gdyż
np. pomiędzy stanem wody o temperaturze 0°C (stan
A), a jej stanem 100°C (stan ~ A), istnieje mnóstwo
stanów pośrednich, w których woda nie ma ani 0°C,
ani 100°C.

0°C 100°C

Nieporozumienie polega na tym, że stan wody
oznaczony symbolem ~ A zawiera w sobie wszystkie
stany wody poza stanem A, a nie tylko wyróżniony
jeden jej stan 100°C.

Prawa logiczne



d. Prawo podwójnego przeczenia: ~ ~ p  p; p  ~ ~

p. Podwójna negacja znosi się nawzajem. Jeśli nieprawda,

że nie p, to p ( i odwrotnie).



e. Prawo Dunsa Szkota: (p  ~ p)  q wyraża myśl, że z

dwu zdań sprzecznych wynika dowolne zdanie. Można też

powiedzieć, iż z fałszu wynika dowolne zdanie, bowiem

koniunkcja dwu zdań sprzecznych jest zawsze fałszywa.

2 + 2 = 5

1 = 2



f. Prawa de Morgana dla rachunku zdań stwierdzają, iż

zaprzeczonej

koniunkcji

wynika

alternatywa

zaprzeczonymi składnikami oraz z zaprzeczonej alternatywy

wynika koniunkcja z zaprzeczonymi czynnikami.

~ (p  q)  ( ~ p  ~ q)

~ (p  q)  ( ~ p  ~ q)

Prawa logiczne



g. Prawo zaprzeczenia implikacji mówi nam
o tym, kiedy implikacja nie zachodzi, czyli kiedy
jest fałszywa.

~ (p  q)  (p  ~ q)



h. Modus ponendo ponens, sposób
wnioskowania przez stwierdzenie stwierdzający:

[ (p  q)  p ]  q



Modus

tollendo

tollens,

sposób

wnioskowania przez zaprzeczenie zaprzeczający:

[ (p  q)  ~ q ]  ~ p

Prawa logiczne



j. Prawo redukcji do absurdu wykazuje, iż jeśli z jakiegoś
zdania wynika jego zaprzeczenie, to zdanie to jest fałszywe. Na
jego

podstawie

wykazywaliśmy

fałszywość

wypowiedzi

samoobalalnych.

(p  ~ p)  ~ p



k. Prawo transpozycji mówi nam, że z implikacji wynika nowa
implikacja, która powstaje przez przestawienie poprzednika z
następnikiem przy równoczesnym zaprzeczeniu obu tych członów.

(p  q)  ( ~ q  ~ p)

Szczególnie ciekawe i nieoczywiste jest wynikanie w odwrotnym
kierunku, które przy zastosowaniu prawa modus tollendo tollens
oraz prawa podwójnej negacji przebiega w następujący sposób:

( ~ q  ~ p)  (~ ~ p  ~ ~ q) = p  q



l. Prawo sylogizmu hipotetycznego, nazywane także prawem
przechodniości.

[ (p  q)  (q  r) ]  (p  r)

4. Wynikanie logiczne

Wynikanie

logiczne

należy

odróżnić

wnioskowania.

Wnioskowanie

bowiem

jest

procesem subiektywnym, może się opierać bądź to

na schematach logicznych, czyli niezawodnych, bądź

to na schematach nie niezawodnych, czyli takich,

które mogą, chociaż nie muszą zawieść.
Wynikanie logiczne natomiast jest procesem

obiektywnym. Z określonych zdań wynika logicznie

inne zdanie niezależnie od tego, co ktoś o tym myśli.

Definicja

„Ze zdań Z1, Z2, ..., Zn wynika logicznie zdanie

Z wtedy i tylko wtedy, gdy zdania Z1, Z2, ..., Zn
podpadają jako przesłanki, zaś zdanie Z jako
wniosek pod jakiś schemat logiczny”

Rozdz. II

1. Metoda

zerojedynkowa



Metoda zerojedynkowa służy do sprawdzania wyrażeń czy

są

tautologiami. Sprawdzamy np. prawo

sprzeczności:
~ (p  ~ p)

(I)

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0
Sprawdzanie rozpoczynamy od wypisania pod ‘p’ dwóch

możliwych wartości logicznych tego zdania, tj. prawdy (1) i

fałszu (0). Zgodnie z funktorem negacji pod ‘~p’ piszemy

odwrotne wartości: 0 i 1. Następnie sprawdzamy koniunkcję,

która łączy kolumny spod ‘p’ i ‘~ p’. Ponieważ w obydwu

wypadkach nie zachodzi, piszemy pod nią dwa zera. Ta

koniunkcja, jako główny funktor wyrażenia w nawiasie, jest

zaprzeczona przez negację znajdującą się na początku

wyrażenia. Stąd pod tą negacją piszemy dwie jedynki. Wynika z

tego, że sprawdzane wyrażenie niezależnie od tego jaką wartość

przyjmie ‘p’ jest zawsze prawdziwe, czyli jest tautologią.

Dwie zmienne



Podobnie wygląda sprawdzanie wyrażeń
złożonych

dwóch

zmiennych

zdaniowych. Oto przykład:

~ ( p  q )  p  ~

           0   1     1   1   1    1 0 0 1
   (II)     0   0     1   1   1    0 0 0 1
            1   1     0   0   1    1 1 1 0
           0   0     1   0   1    0 0 1 0

Metoda zerojedynkowa

Aby nie wypisywać zbyt wielu jedynek i zer wymyślono

skróconą metodę zerojedynkową, z której i my będziemy

korzystać. Posługując się tą metodą możemy rozpoczynać

sprawdzanie bądź to od przesłanek, bądź to od wniosku.

Rozpoczynając sprawdzanie od przesłanek zakładamy,

że ich koniunkcja jest prawdziwa. Oto przykład sprawdzania

metodą skróconą, gdzie rozpoczynamy od przesłanek.

~ ( p  q )  p  ~ q

(III) 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Rozpoczynając natomiast od wniosku zakładamy, że

jest on fałszywy. Oto przykład sprawdzania, w którym

wychodzimy od wniosku.

~ ( p  q )  p  ~ q

(IV) 0 0 1 1 1 0 0 0 1

Reguły

2. Metoda założeniowa służy do wykazywania

niezawodności poszczególnych schematów rachunku

zdań poprzez ich dowodzenie. Jest to tzw. dedukcja

naturalna. Aby jednak udowodnić jakąś tezę,

potrzebne są do tego odpowiednie reguły ustalające

sposób naszego postępowania. Do reguł pierwotnych,

czyli

uznawanych

mocy

intuicji,

należą

następujące:



1. Reguła odrywania: „RO”

p  q

Reguła ta stwierdza, że jeżeli podczas

dowodzenia posiadamy jakieś wyrażenie o formie

zdania warunkowego i jego poprzednik, to do dowodu

możemy dołączyć także i następnik tego wyrażenia.

Reguły



2. Reguła dołączania koniunkcji: „DK” p

p  q

„DK” stwierdza, iż dwa prawdziwe wyrażenia zdaniowe

możemy połączyć koniunkcją.



3. Reguła opuszczania koniunkcji: „OK” p  q

p
q

„OK” stwierdza, że z koniunkcji wynika każdy z jej

czynników.



4. Reguła dołączania alternatywy: „DA”

p  q

„DA” stwierdza, że z dowolnego prawdziwego zdania wynika

alternatywa, której pierwszym lub drugim składnikiem jest

to właśnie zdanie.

Reguły



5. Reguła opuszczania alternatywy: „OA” p  q

~ p / ~q
q / p

Reguła „OA”, nazywana inaczej modus tollendo ponens (sposób

wnioskowania przez zaprzeczenie stwierdzający) mówi, iż z alternatywy oraz

z negacji jednego z jej składników wynika drugi jej składnik.



6. Reguła dołączania równoważności: „DE”

p  q

q  p

p  q

„DE” stwierdza, że z implikacji zwykłej oraz z implikacji względem niej

odwrotnej wynika równoważność.



7. Reguła opuszczania równoważności: „OE”

p  q

p  q

q  p

„OE” stwierdza, że z równoważności wynika implikacja jej

odpowiadająca oraz implikacja względem niej odwrotna.

Dowody

Rozróżniamy dwa rodzaje dowodów: dowód

wprost  oraz  dowód  nie  wprost.  Dowód
wprost jakiegoś schematu formalnego polega na
tym,  że  rozpoczynamy  od  wypisania  założeń
dowodu,  czyli  jego  przesłanek.  Do  przesłanek
zaliczamy także poprzednik wniosku, lecz tylko
wtedy,  gdy  wniosek  jest  implikacją  bądź
równoważnością. Następnie z wypisanych założeń
wyprowadzamy,  stosując  odpowiednie  reguły,
kolejne  wiersze.  Dowód  wprost  jest  zakończony
wtedy, gdy otrzymamy wyrażenie równokształtne
z wnioskiem bądź z jego następnikiem.

Dowody

Oto przykład dowodzenia wprost niezawodności

schematu sylogizmu hipotetycznego.



1. p  q

Schemat sylogizmu

hipotetycznego



2. q  r zał. dow. p  q



3. p

q  r



4. q RO: 1, 3 p  r



5. r RO: 2, 4

Po wypisaniu założeń (1), (2) i poprzednika

wniosku (3) oraz po zastosowaniu „RO” do dwu

kroków dowodowych (4) i (5) otrzymaliśmy

następnik wniosku „r”. W ten sposób dowód

został zakończony.

Dowód nie wprost

Dowód

nie

wprost

tego

samego

schematu  wygląda  w  ten  sposób,  że  najpierw
wypisujemy wszystkie założenia, podobnie jak w
dowodzie  wprost,  oraz  dodajemy  do  nich  jako
nowe  założenie  -  zaprzeczenie  wniosku  lub
jego  następnika  (jeśli  wniosek  jest  implikacją),
czyli  to  wyrażenie,  którego  dowodzimy.  Dowód
uznajemy  za  zakończony  wtedy,  gdy  dojdziemy
do  sprzeczności  pomiędzy  dowolnymi  wierszami
dowodu.  W  ten  sposób  wykazujemy,  że  wniosek
wynika  z  przesłanek,  ponieważ  gdy  go
zaprzeczymy otrzymujemy sprzeczność.

Dowód nie wprost



1. p  q



2. q  r



3. p



4. ~ r zał. dow. nie wprost



5. q RO: 1, 3



6. r RO: 2, 5



7. Sprzeczność: 4, 6

Okazuje się, że wniosek „r” wynika z

przyjętych przesłanek, gdyż zaprzeczony i
dołączony do dowodu prowadzi do sprzeczności.

Metodą aksjomatyczna

3. Posługując się metodą aksjomatyczną
rozpoczynamy

dowodzenie

przyjęcia

odpowiednich  aksjomatów,  czyli  twierdzeń
pierwotnych. Nowe twierdzenia wyprowadzamy z
aksjomatów  przy  użyciu  tylko  dwóch  reguł:
reguły  odrywania  i  reguły  podstawiania.
Chcąc

udowodnić

prawo

tożsamości

„p  p” postępujemy w ten sposób, iż najpierw

przyjmujemy

odpowiednie

aksjomaty,

następnie w oparciu o dwie wspomniane reguły
tak je przekształcamy, aby otrzymać prawo
tożsamości.

Metodą aksjomatyczna



1. p  (q  p) aksjomat pierwszy



2. (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r)) aksjomat

drugi

Z aksjomatu drugiego przez podstawienie za ‘r’/’p’

otrzymujemy:



3. (p  (q  p))  ((p  q)  (p  p))



4. (p  q)  (p  p) RO: 1, 3

Z (4) przez podstawienie ‘q’/ ‘q  p’ otrzymujemy:



5. (p  (q  p))  (p  p)



6. p  p RO: 1, 5

Dowód został zakończony, ponieważ otrzymaliśmy

poszukiwaną tezę ‘p  p’.

Rozdz. III

Rachunek zbiorów

i relacji



Na terenie rachunku zbiorów i relacji
wyrażenie: „x  B” czytamy: „x należy

do zbioru B” lub „x jest elementem
zbioru B”. Natomiast symbol ‘‘

czytamy: „nie należy”, „nie jest
elementem”.



1. Podstawowe definicje. Wyrażenie
‘A(x)’ czytamy: „x ma własność (cechę)
A”. Istnieją dwa prawa de Morgana dla
rachunku kwantyfikatorów.

Prawa de Morgana



Pierwszym z nich jest prawo negowania

kwantyfikatora ogólnego:

a. ~ x A(x)  x ~ A(x)



Drugie prawo, czyli prawo negowania

kwantyfikatora

szczegółowego,

jest

odwrotnością poprzedniego.

b. ~ x A(x)  x ~ A(x)

Prawo to stwierdza, iż jeśli nie istnieje taki

przedmiot ‘x’, który posiadałby cechę ‘A’, to

wynika z tego, że każdy przedmiot tej cechy nie

posiada, inaczej żaden przedmiot tej cechy nie

posiada. Do przeprowadzania dowodów tez

rachunku

zbiorów

potrzebne

nam

będą

następujące definicje:

Prawa



c. Identyczność dwu zbiorów: A = B  x (x  A 

x  B)
                                       A        B

                                     –      +       –

Rysunek pokazuje, że nie ma takich ‘x’ (poziome kreski),

które należałyby do ‘A’ i równocześnie nie należały do ‘B’ i

odwrotnie: wszystkie ‘x’, które należą do ‘B’ tym samym

należą do ‘A’. Zbiory zatem ‘A’ i ‘B’ są identyczne, gdyż ich

nazwy denotują ten sam zbiór desygnatów (krzyżyk).



d. Zbiór pusty: A =   ~ x (x  A)

Zbiór ‘A’ jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy

nie istnieją takie przedmioty ‘x’, które do niego należą.

Prawa



e. Zbiór uniwersalny: A = V  x (x  A)

Zbiór ‘A’ jest zbiorem uniwersalnym, gdyż należą do niego

wszystkie przedmioty. Natomiast sam zbiór uniwersalny jest

zbiorem tych przedmiotów, które są identyczne ze sobą: V = (x:

x = x).



f. Suma zbiorów (symbol ‘‘): x  A  B  ( x  A  x 

                                                    A       B

                                                 +      +     +

Przedmiot ‘x’ należy do sumy zbiorów, gdy należy do zbioru ‘A’

lub do iloczynu zbiorów ‘A, B’ lub do zbioru ‘B’. Na rysunku

miejsca te zostały zaznaczone krzyżykami.

Prawa



g. Iloczyn zbiorów (symbol ‘‘): x  A  B  (x  A 

x  B)

A B

–

Iloczynem zbiorów ‘A’ i ‘B’ jest zbiór tylko tych przedmiotów

‘x’, które należą równocześnie do zbioru ‘A’ i do zbioru ‘B’.



h. Różnica zbiorów (symbol ‘‘): x  A  B  (x  A 
x  B)

A B

+ +

_ – –

+ +

– – –

Różnicę zbiorów ‘A  B’ tworzą te przedmioty zbioru ‘A’, które

nie należą do zbioru ‘B’.

Prawa



i. Dopełnienie zbioru ‘A’ (symbol ‘~ A’):

x  ~ A  x  A

–

~ A

Dopełnieniem zbioru ‘A’, jak to widać na rysunku, są

te przedmioty, które należą do ‘~ A’ (krzyżyk), czyli

które nie należą do zbioru ‘A’ (kreski). Dopełnieniem

zakresu nazwy koń są te przedmioty, które należą

do zakresu nazwy nie-koń, czyli które nie należą do
zakresu nazwy koń.

Prawa



j. Zawieranie się zbiorów (symbol ‘‘): A

 B  (x  A  x  B)

A B

– + +

Zbiór ‘A’ zawiera się w zbiorze ‘B’ wtedy, gdy

wszystkie przedmioty należące do zbioru ‘A’, należą też do
zbioru  ‘B’.  Nie  ma  zatem  takich  przedmiotów  ‘A’  (kreski),
które  nie  byłyby  zarazem  ‘B’  (krzyżyki).  Mówi  się  także  o
właściwym zawieraniu się zbioru ‘A’ w zbiorze ‘B’. Ma to
miejsce  wtedy,  gdy  zbiór  ‘A’  zawiera  się  w  zbiorze  ‘B’  i
zarazem zbiór ’A’ jest różny od zbioru ‘B’, tzn. nie mogą się
wzajemnie pokrywać.

Dowody

Dowody tez rachunku zbiorów

nie różnią się niczym szczególnym od
dowodów

założeniowych

przeprowadzanych w ramach rachunku
zdań.

Opierają

się

regułach

pierwotnych rachunku zdań, na znanych
prawach dotyczących kwantyfikatorów
oraz

przytoczonych

definicjach

podstawowych

relacji

zachodzących

pomiędzy zbiorami.

Teza do udowodnienia:

A  B  C  D  A  C  B  D

1. A  B  C  D

- założenie dowodu

2. ~ ( A  C  B  D)

- zał. dow. nie wprost

3. A  B

- OK: 1

4. C  D

- OK: 1

5. x  A  x  B

- def. ‘‘: 3

6. x  C  x  D

- def. ‘‘: 4

7. ~ [(x  A  x  C)  (x  B  x  D)]

- def. ‘‘ oraz ‘‘: 2

8. (x  A  x  C)  ~ (x  B  x  D)

- prawo negowania

‘‘: 7
9. x  A  x  C

- OK: 8

10. ~ (x  B  x  D)

- OK: 8

11. x  B  x  D

- prawo de Morgana: 10

12. x  B

- OK: 11

13. x  D                                  - OK: 11
14. x  A   - modus tollendo tollens: 5, 12
15. x  C   - modus tollendo tollens: 6, 13
16. x  C   - OA: 9, 14
17. Sprzeczność: 15, 16.

Dowody

Dowód

nie

wprost

został

zakończony,

gdyż

otrzymaliśmy sprzeczność, która oznacza, że dowodzona

teza jest prawem logicznym. Podczas ćwiczeń dowodzić

będziemy w podobny sposób następujące tezy:

1.  (A  B    A = V)    B = V
2.  (A  B    A  )    B  
3.  (A  B    C  D)    A  C  B  D
4.  (A  B    C  D)    A  C  B  D
5.  A  B    A   C  B  C
6.  A  B    A   C  B  C
7.  A  B    ~ B  ~ A
8.  A  B  C    A  C  ~ B
9.  A  B    A  C  B  C

3. Pojęcie relacji oraz jej
rodzaje

Wyrażenie: ‘xRy’ - czytamy: „x

znajduje się w relacji R do y”. Za zmienne ‘x,
y’

wstawiamy

nazwy

przedmiotów,

natomiast za zmienne ‘R, S, T’ nazwy
relacji. Każda relacja składa się z trzech
podstawowych

elementów:

przeciwdziedziny, dziedziny oraz pola relacji.
Dziedziną relacji nazywamy lewą stronę
relacji

lub

lewą

dziedziną;

przeciwdziedzinę relacji – prawą stroną
relacji lub prawą dziedziną relacji.

Pojęcie relacji oraz jej
rodzaje



Dziedziną relacji R (symbolicznie Dl(R)) nazywamy

zbiór tych przedmiotów, które pozostają w relacji R do zbioru

innych przedmiotów. Jakiś przedmiot x należy do lewej

dziedziny relacji wtedy, gdy istnieje przedmiot y, do którego x

znajduje się w relacji R.

x  Dl(R)  y (xRy)



Przeciwdziedziną relacji R (symbolicznie Dp(R))

nazywamy  zbiór  tych  przedmiotów,  do  których  jakieś  inne
przedmioty  pozostają  w  relacji  R.  Przedmiot  ‘y’  należy  do
przeciwdziedziny  relacji  (R)  wtedy  i  tylko  wtedy,  gdy  istnieje
takie ‘x’, które znajduje się w relacji (R) do ‘y’.

y  Dp(R)  x (xRy)



Polem relacji R, symbolicznie C(R) - (łac. campus =

pole), nazywamy sumę dziedziny i przeciwdziedziny relacji R.

C(R) = Dl(R)  Dp(R)

Rodzaje relacji



a. Relacja odwrotna do relacji R, inaczej konwers

relacji (symbol ‘Ř‘) zachodzi pomiędzy tymi samymi

przedmiotami co relacja ‘R’, lecz w odwrotnym kierunku.

Relacja ‘bycia żoną’ jest odwrotną do relacji ‘bycia mężem’.

yx  x Ř y



b. Relacja symetryczna (symbol ‘sym’) ma miejsce
wtedy, gdy jeśli zachodzi pomiędzy przedmiotami w
jednym kierunku, zachodzi także pomiędzy nimi w kierunku
odwrotnym.

Przykładami

takich

relacji

jest

m.in.

pokrewieństwo, rodzeństwo, podobieństwo, równość itd.

R  sym  x, y(xRy  yRx)

Relacja ‘R’ należy do symetrycznych wtedy, gdy dla
każdego ‘x, y’, jeśli xRy, to yRx.

Rodzaje relacji



c. Relacja przeciwsymetryczna, inaczej asymetryczna
(symbol ‘as’) ma miejsce wtedy, gdy zachodząc pomiędzy
przedmiotami w jednym kierunku, nie zachodzi pomiędzy
nimi w kierunku odwrotnym. Tego typu relacjami są np.:
relacja bycia ojcem czy relacja bycia matką.

R  as  x, y(xRy  ~ yRx)



  d.    Relacja  przechodnia,  inaczej  tranzytywna  (symbol
‘trans’)  występuje  wtedy,  gdy  jeżeli  zachodzi  pomiędzy
pierwszym  i  drugim  przedmiotem  oraz  pomiędzy  drugim  i
trzecim,  to  zachodzi  także  pomiędzy  pierwszym  i  trzecim.
Na  przykład,  jeżeli  Jan  jest  starszy  od  Piotra  i  Piotr  jest
starszy  od  Andrzeja,  to  wynika  z  tego,  że  Jan  musi  być
także starszy od Andrzeja.

R  trans  x, y, z((xRy  yRz)  xRz)

Rodzaje relacji



e. Relacja lewostronnie jednoznaczna (symbol ‘1-Cls’)

zachodzi wtedy, gdy najwyżej jeden przedmiot pozostaje w

tej relacji do innych przedmiotów. Przykładem takiej relacji

jest stosunek bycia ojcem lub matką: jeden ojciec - wiele

dzieci.

R  1-Cls  x, y, z (xRz  yRz  x = y)

Równość (x = y) wykazuje, że dziedzinę relacji tworzy tylko

jeden przedmiot. Za ‘z’ natomiast możemy sobie

podstawiać nazwy różnych przedmiotów.



  f.  Relacja  prawostronnie  jednoznaczna  (symbol  ‘Cls-
1’)  zachodzi  wtedy,  gdy  dany  przedmiot  pozostaje  w  tej
relacji  najwyżej  do  jednego  przedmiotu.  Relacja  bycia
dzieckiem jest przykładem takiej relacji, gdyż każde dziecko
ma jedynie jednego ojca i jedna matkę.

R  Cls-1  x, y, z (xRy  xRz  y = z)

relacji

prawostronnie

jednoznacznej

identyczny

przedmiot tworzy przeciwdziedzinę tej relacji: ‘y = z’.

Rodzaje relacji



g. Relacja wzajemnie jednoznaczna (symbol

‘1-1’), nazywana inaczej jedno-jednoznaczną lub

doskonałą, ma miejsce wtedy, gdy jest zarazem

lewostronnie

prawostronnie

jednoznaczna.

Przykładem

takiej

relacji

są

małżeństwa

monogamiczne: jednemu mężowi odpowiada tylko

jedna żona i odwrotnie.

R  1-1  R  1-Cls  R  Cls-1



h. Izomorfizm relacji zachodzi wtedy, gdy

istnieje jakaś relacja R, która odwzorowuje w

sposób jedno-jednoznaczny relację S na relacji T.

Mamy tutaj do czynienia z trzema różnymi

relacjami, które przedstawia następujący rysunek.

Izomorfizm relacji

sSs1, s1Ss2, s2Ss3; S = leży na lewo

Prosta a

R sRt, s1Rt, s2Rt2; R = leży na tej samej

prostej

Prosta b

t tTt1, t1Tt2, t2Tt3 ; T = leży na

prawo

Izomorfizm relacji przedstawiony na rysunku możemy zapisać następująco:

S izmRT  R  1-1  Dl (R ) = C(S)  Dp(R ) = C(T) 

s, s1, t, t1 (sRt  s1Rt1  (sSs1  tTt1))

Przytoczoną definicję czytamy: Relacja ‘R’ odwzorowuje izomorficznie

relację ‘S’ na relację ‘T’ wtedy i tylko wtedy, gdy relacja ‘R’ jest relacją wzajemnie

jednoznaczną, której lewą dziedzinę stanowi pole relacji ‘S’, a prawą dziedzinę pole

relacji ‘T’. Ponadto dla każdego s, s1, t, t1 jeśli relacja ‘R’ przyporządkowuje

punktowi ‘s’ punkt ‘t’ oraz punktowi ‘s1’ punkt ‘t1’, to punkt ‘s’ leży na lewo od

punktu ‘s1’ wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ‘t’ leży na prawo od punktu ‘t1’.

Rozdz. IV

Rachunek

nazw

Istnieją cztery rodzaje zdań kategorycznych, które

pozostają względem siebie w różnych relacjach. Relacje

owe przedstawia model graficzny nazywany kwadratem

logicznym.



Zdania ogólnotwierdzące:

SaP = Każde S jest P = x(x  S  x  P)



Zdania szczegółowotwierdzące:

SiP = Niektóre S są P = x(x  S  x  P)



Zdania ogólnoprzeczące:

SeP = Żadne S nie jest P = x(x  S  x

P)



Zdania szczegółowoprzeczące:

SoP = Niektóre S nie są P = x(x  S  x P)

Kwadrat logiczny

Wzajemne powiązania zachodzące pomiędzy
zdaniami kategorycznymi ukazywane są przy
pomocy modelu graficznego nazywanego
kwadratem logicznym.

SaP przeciwne ( / ) SeP

wykluczają się, nie dopełniają się

 sprzeczne (  ) 

wykluczają się i dopełniają się

podprzeciwne (  )

SiP nie wykluczają się, dopełniają się SoP

Zdania



Zdania sprzeczne (oppositio contradictoria) wyznaczają
przekątne kwadratu. Tworząc cztery prawa:

SaP  ~ SoP

SeP      ~  SiP
SiP       ~ SeP
SoP      ~ SaP

Skoro zdania sprzeczne nie mogą zarazem być ani

prawdziwe, ani fałszywe, stąd jeśli jedno z nich jest

prawdziwe, drugie musi być fałszywe i odwrotnie.



Zdania podporządkowane (subalternatio):

SaP  SiP; SeP  SoP

Ze zdań ogólnych zarówno twierdzących, jak i przeczących,

wynikają zdania szczegółowe, lecz nie odwrotnie.

Zdania



Zdania przeciwne (oppositio contraria):

SaP  ~ SeP; SeP  ~ SaP

Zdania przeciwne nie mogą być równocześnie prawdziwe. Mogą
być natomiast obydwa fałszywe.



Zdania podprzeciwne (subcontraria):

~ SiP  SoP; ~ SoP  SiP

Obydwa zdania mogą być równocześnie prawdziwe, lecz nie mogą

być jednocześnie fałszywe. Słuszność praw dotyczących zdań

przeciwnych, podporządkowanych i podprzeciwnych możemy także

wykazać w oparciu o zdania sprzeczne.
Sprawdzamy np. zdania podprzeciwne ‘~ SiP  SoP’. Jeżeli ‘SiP’

jest fałszywe, to sprzeczne z nim ‘SeP’ musi być prawdziwe. Jeżeli

‘SeP’ jest prawdziwe, prawdziwe musi być także podporządkowane

mu zdanie ‘SoP’, a zatem prawo jest słuszne. Od ‘SiP’ można iść

także do ‘SaP’, a następnie do ‘SoP’. Ważne jest byśmy za każdym

razem korzystali ze zdań sprzecznych. W ten sposób sprawdzać

możemy wszystkie rodzaje zdań z wyjątkiem sprzecznych.

2. Prawa konwersji

   Jeżeli w dowolnym zdaniu kategorycznym przestawimy jego
podmiot  z  orzecznikiem,  wtedy  otrzymamy  odwrócenie
tego zdania, czyli jego konwersję (łac. converto = obrócić).
Konwersja może być prosta lub ograniczona.



Konwersja prosta ma miejsce wtedy, gdy oba zdania, tj.

odwracane i odwrócone nie różnią się pomiędzy sobą co do
ilości - oba nadal są ogólne lub oba nadal są szczegółowe.

SeP  PeS

SiP  PiS



Konwersja ograniczona ma miejsce wtedy, gdy jedno

zdanie jest ogólne a drugie szczegółowe.

SaP  PiS

3. Prawa obwersji

Prawa obwersji (łac. obverto = odwrócić

się)

stwierdzają,

że

każde

zdanie

kategoryczne można przekształcić w zdanie

mu równoważne, jeżeli zmienimy jego

jakość na przeciwną i zastąpimy orzecznik

‘P’ przez jego dopełnienie, czyli ‘~ P’.

SaP    Se~P
SeP     Sa~P
SiP      So~P
SoP      Si~P

4. Prawa kontrapozycji

Prawa  kontrapozycji  otrzymujemy  w  ten
sposób,  że  ze  zdania  kategorycznego
tworzymy  jego  obwersję,  a  następnie  z  tego,
co  otrzymamy  tworzymy  konwersję  lub
odwrotnie.



SaP  Se~P (obw.)  ~PeS (konw.)

SaP  ~PeS



SaP  PiS (konw.)  Po~S (obw.)

SaP  Po~S

5. Sylogizmy

Schemat sylogizmu wygląda następująco:

M a P
( I )

S a M

S a P

W zależności od tego, jakie miejsce zajmuje termin
średni w przesłankach, tzn. czy jest podmiotem czy
orzecznikiem, wyróżniamy cztery figury sylogistyczne:

M P

P M

M P

P M

(1)

S M

(2)

S M

(3)

M S

(4)

M S
S P

S P

Sprawdzanie sylogizmów

Sylogizmy sprawdzać będziemy przy pomocy diagramów Venna.
Schemat do sprawdzenia:

M i P M + P
M a S

S i P +

S

Oto przykład konkretnego wnioskowania w oparciu o dany schemat:

M = ludzie

Niektórzy ludzie są zakonnikami

P = zakonnicy

Każdy człowiek jest istotą rozumną

S = istota rozumna

Niektóre istoty rozumne są zakonnikami

W ten sposób wygląda wnioskowanie przeprowadzone w oparciu o

tryby

sylogistyczne.

Logika modalna

bazie

logiki

trójwartościowej

tworzy

Łukasiewicz logikę modalną, która zajmuje się pojęciem

możliwości

konieczności.

Oznaczając

pojęcie

możliwości przez ‘M’ oraz pojęcie konieczności przez ‘K’

podaje dla nich następujące definicje:
                             p    Mp                               p    Kp
                             0     0                                 0     0
                             ½    1

½ 0

1 1 1 1

Z przytoczonych tablic wynika, że zdarzenie

opisywane przez zdanie ‘p’ jest możliwe wtedy, gdy

zdanie ‘p’ jest prawdziwe lub, jeśli posiada wartość .

Natomiast zdarzenie opisywane przez zdanie ‘p’ jest

konieczne tylko wówczas, gdy zdanie to jest prawdziwe.

Document Outline