Logika Formalnaq

background image

Logika Formalna

Logika Formalna

dr Feliks Marchewka

dr Feliks Marchewka

background image

Logika formalna

Logika formalna zajmuje się formą, a nie

treścią wyrażeń. Dzięki temu jest dziedziną

uniwersalną, gdyż nie jest uwikłana w treść.

Formalizacja, czyli przechodzenie od

konkretnej treści do czystej formy, jest

stopniowalne. Oto przykład takiej formalizacji:

1. „Jan uczy się logiki”

2. „X uczy się logiki”

3. „X uczy się Y”

4. „x R y”

background image

Rozdz. I

1. Stałe logiczne

Stałe logiczne posiadają, w odróżnieniu od

zmiennych, swoje stałe i ściśle określone znaczenie.

Do stałych należą funktory i kwantyfikatory.

Najbardziej znane funktory to: negacja, koniunkcja,
alternatywa, implikacja i równoważność.

Definiujemy je przy pomocy matryc (tabelek).

Funktor negacji

p ~p

1 0
0 1

background image

Funktory

Pozostałe funktory:

p q

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 1

Schematy czy prawa logiczne możemy

zapisywać w notacji nawiasowej,

np. { [ (p q) ~ q ] ~ p }

bądź beznawiasowej. Tę ostatnią

wymyślił J. Łukasiewicz (1878 -

1956) i jest ona nazywana notacją

polską, beznawiasową lub notacją

Łukasiewicza.

Przyjmuje

on

dla

znanych nam funktorów następujące

symbole:

N = negacja

K = koniunkcja

A = alternatywa

C = implikacja

E = równoważność

background image

Funktory Łukasiewicza

J. Łukasiewicz swoje dwuargumentowe funktory

stawia przed argumentami, a nie w środku, jak
to jest praktykowane w notacji nawiasowej.
Wyrażenie ‘p q’ w symbolice Łukasiewicza

wygląda ‘Apq’. Zamieniając symbolikę nawiasową
na symbolikę Łukasiewicza rozpoczynamy od
głównych funktorów i umieszczamy je - im
bardziej są główne - tym bardziej na lewo. Prawo
logiczne modus tellendo tollens zapisane w
notacji nawiasowej: { [ (p q) ~ q ] ~

p } przetransponowane na notację Łukasiewicza
wygląda następująco:

background image

Funktory

C K Cpq Nq Np.

Umieszczone pod prawem strzałki pokazują nam
funktory i łączone przez nie argumenty.

Przechodząc natomiast z notacji Łukasiewicza na
nawiasową rozpoczynamy od końca i od tych
funktorów,

które

stoją

najbliżej

swoich

argumentów, w naszym wypadku od ~p.

background image

2. Schematy

Schematy, które są zarazem formalne
(składają się jedynie ze stałych i
zmiennych)

i

niezawodne

(od

prawdziwych przesłanek prowadzą zawsze
do prawdziwych wniosków), nazywają się
schematami logicznymi. Każdy schemat
logiczny

składa

się

z

przesłanek

połączonych koniunkcją oraz poziomą
kreską odłączonego od nich wniosku.
Owa kreska zastępuje implikację.

background image

Pierwsza zależność

Widać to dokładnie, gdy schemat (I) zapisany

jest w formie prawa logicznego (II):

Pierwsza

podstawowa

zależność

pomiędzy wartością logiczną przesłanki i

wniosku.
Przesłanki
prawdziwe, wniosek musi być

prawdziwy!

Przesłanki prawdziwe,

1

1. p q

wniosek musi być (I)

2. p

prawdziwy!

1

3. q

(II)

[ (p q) p ] q

background image

Schematy

Ponieważ schemat (I) jest schematem
logicznym
,

czyli

formalnym

i

niezawodnym, dlatego wystarczy byśmy w
miejsce przesłanek (1) i (2) wstawili zdania
prawdziwe, by we wniosku otrzymać także
zdanie prawdziwe. Oto przykład:

p = Pada deszcz.

1. Jeśli pada deszcz, to

ulica jest mokra.

q = Ulica jest mokra. (III)

2. Pada deszcz.

3. Ulica jest mokra.

background image

Schematy

Aby ze zdania ‘p’ wynikało zdanie ‘q’ musi

istnieć pomiędzy nimi taki związek, że stan
rzeczy opisany w zdaniu ‘p’ jest warunkiem
wystarczającym

dla

stanu

rzeczy

opisanego w zdaniu ‘q’, tzn. wystarczy, aby
padał deszcz, a tym samym ulica jest także
mokra. W schemacie logicznym przesłanki są
zatem warunkiem wystarczającym dla
wniosku, a wniosek jest warunkiem
koniecznym
dla przesłanek: jeśli nie jest
ulica mokra, nie może także padać deszcz.

background image

Druga zależność

Wynikają z tego jeszcze inne bardzo ważne
konsekwencje dla wszelkich rozumowań opartych
na schematach logicznych. Oto one:
Druga ważna zależność pomiędzy
wartościami logicznymi przesłanki i wniosku

Przesłanki są fałszywe 0

1.

p q

(przynajmniej jedna).

2.

p
Wniosek może być 1 lub 0

3.

q
prawdziwy lub fałszywy.

background image

Przykłady

Fałszywe przesłanki (przynajmniej jedna)

i prawdziwy wniosek:

i fałszywy wniosek:

Kraków leży w Niemczech. Każdy pies posiada dziesięć nóg.

Niemcy leżą w Europie. Kupiłem psa.

Kraków leży w Europie.

Zakupiony pies posiada dziesięć nóg.

background image

Trzecia zależność

Trzecia ważna zależność pomiędzy wartością
logiczną przesłanek i wniosków.

1. p q

0

Wniosek jest fałszywy,

2. p

przesłanki muszą być

3. q

0

(co najmn. jedna) fałszywe!

Przykład

Jeśli pada deszcz, to ulica jest mokra.

Nie jest też prawdą, że pada deszcz.

Nie jest prawdą, że ulica jest mokra.

background image

Czwarta zależność

Wniosek jest prawdziwy 1 lub 0 1. p

q

przesłanki mogą być 2. p
prawdziwe
lub fałszywe. 1 3. q

Przykład

Jeśli pada deszcz, to ulica jest mokra.

Prawdą jest, że pada deszcz. Nie jest prawdą, że
pada deszcz (polano ulicę).

W obu wypadkach wniosek „Ulica jest mokra” jest
prawdziwy.

background image

Wszystkie omówione tutaj zależności

jakie zachodzą pomiędzy wartością logiczną
przesłanek

i

wniosków

w

schemacie

logicznym przebiegają według matrycy dla
implikacji materialnej, w której ‘p’
reprezentuje przesłanki, a ‘q’ wniosek!

Istnieją też schematy formalne, które

nie są logiczne. Na nich opierają się tzw.
wnioskowania

nie

niezawodne

(indukcyjne), czyli takie, które mogą, lecz nie
muszą zawieść.

Zależności

background image

Schematy formalne (nielogiczne):

1. p q

2. q
3. p

Jeśli za ‘p’ wstawimy zdanie „Jan kupuje
książkę”, a za zmienną ‘q’ zdanie „Jan ma
pieniądze”, wtedy otrzymamy następującą
wypowiedź inferencyjną:
1. Jeśli Jan kupuje książkę, to Jan ma
pieniądze.
2. Jan ma pieniądze.
3. Jan kupuje książkę.
Widać tutaj wyraźnie, iż wynikanie logiczne
nie zachodzi. Z tego, że ktoś ma pieniądze
nie wynika jeszcze, że musi kupować
książkę.

background image

3. Prawa logiczne

Prawa logiczne, nazywane inaczej tautologiami lub

prawdami logicznymi, są to wyrażenia zdaniowe zawsze
prawdziwe. Do najbardziej znanych należą:

a. Prawo tożsamości w interpretacji logicznej: p p.

b. Prawo, zasada niesprzeczności w interpretacji

logicznej: ~ ( p ~ p) czytamy: nieprawdą jest, że
zarazem p i ~ p są prawdziwe.

c. Prawo wyłączonego środka w interpretacji

logicznej:
p ~ p czytamy: z dwu zdań sprzecznych tylko jedno: p lub ~
p
jest prawdziwe. W interpretacji ontologicznej prawo to
wygląda następująco: A lub ~ A. Głosi ono, że cokolwiek
istnieje musi być tylko jednym: A lub ~ A. Ten oto przedmiot
albo jest stołem, albo nim nie jest - innej możliwości nie ma.

background image

Prawa logiczne

Niektórzy uważali, że prawo to nie jest słuszne, gdyż
np. pomiędzy stanem wody o temperaturze 0°C (stan
A), a jej stanem 100°C (stan ~ A), istnieje mnóstwo
stanów pośrednich, w których woda nie ma ani 0°C,
ani 100°C.

0°C 100°C

Nieporozumienie polega na tym, że stan wody
oznaczony symbolem ~ A zawiera w sobie wszystkie
stany wody poza stanem A, a nie tylko wyróżniony
jeden jej stan 100°C.

background image

Prawa logiczne

d. Prawo podwójnego przeczenia: ~ ~ p p; p ~ ~

p. Podwójna negacja znosi się nawzajem. Jeśli nieprawda,

że nie p, to p ( i odwrotnie).

e. Prawo Dunsa Szkota: (p ~ p) q wyraża myśl, że z

dwu zdań sprzecznych wynika dowolne zdanie. Można też

powiedzieć, iż z fałszu wynika dowolne zdanie, bowiem

koniunkcja dwu zdań sprzecznych jest zawsze fałszywa.

2 + 2 = 5

1 = 2

f. Prawa de Morgana dla rachunku zdań stwierdzają, iż

z

zaprzeczonej

koniunkcji

wynika

alternatywa

z

zaprzeczonymi składnikami oraz z zaprzeczonej alternatywy

wynika koniunkcja z zaprzeczonymi czynnikami.

~ (p q) ( ~ p ~ q)

~ (p q) ( ~ p ~ q)

background image

Prawa logiczne

g. Prawo zaprzeczenia implikacji mówi nam
o tym, kiedy implikacja nie zachodzi, czyli kiedy
jest fałszywa.

~ (p q) (p ~ q)

h. Modus ponendo ponens, sposób
wnioskowania przez stwierdzenie stwierdzający:

[ (p q) p ] q

i.

Modus

tollendo

tollens,

sposób

wnioskowania przez zaprzeczenie zaprzeczający:

[ (p q) ~ q ] ~ p

background image

Prawa logiczne

j. Prawo redukcji do absurdu wykazuje, iż jeśli z jakiegoś
zdania wynika jego zaprzeczenie, to zdanie to jest fałszywe. Na
jego

podstawie

wykazywaliśmy

fałszywość

wypowiedzi

samoobalalnych.

(p ~ p) ~ p

k. Prawo transpozycji mówi nam, że z implikacji wynika nowa
implikacja, która powstaje przez przestawienie poprzednika z
następnikiem przy równoczesnym zaprzeczeniu obu tych członów.

(p q) ( ~ q ~ p)

Szczególnie ciekawe i nieoczywiste jest wynikanie w odwrotnym
kierunku, które przy zastosowaniu prawa modus tollendo tollens
oraz prawa podwójnej negacji przebiega w następujący sposób:

( ~ q  ~ p)  (~ ~ p  ~ ~ q) = p  q

l. Prawo sylogizmu hipotetycznego, nazywane także prawem
przechodniości.

[ (p q) (q r) ] (p r)

background image

4. Wynikanie logiczne

Wynikanie

logiczne

należy

odróżnić

od

wnioskowania.

Wnioskowanie

bowiem

jest

procesem subiektywnym, może się opierać bądź to

na schematach logicznych, czyli niezawodnych, bądź

to na schematach nie niezawodnych, czyli takich,

które mogą, chociaż nie muszą zawieść.
Wynikanie logiczne natomiast jest procesem

obiektywnym. Z określonych zdań wynika logicznie

inne zdanie niezależnie od tego, co ktoś o tym myśli.

Definicja

:

Ze zdań Z1, Z2, ..., Zn wynika logicznie zdanie

Z wtedy i tylko wtedy, gdy zdania Z1, Z2, ..., Zn
podpadają jako przesłanki, zaś zdanie Z jako
wniosek pod jakiś schemat logiczny

background image

Rozdz. II

1. Metoda

zerojedynkowa

Metoda zerojedynkowa służy do sprawdzania wyrażeń czy

tautologiami. Sprawdzamy np. prawo

sprzeczności:
~ (p ~ p)

(I)

1 1 0 0 1

1 0 0 1 0
Sprawdzanie rozpoczynamy od wypisania pod ‘p’ dwóch

możliwych wartości logicznych tego zdania, tj. prawdy (1) i

fałszu (0). Zgodnie z funktorem negacji pod ‘~p’ piszemy

odwrotne wartości: 0 i 1. Następnie sprawdzamy koniunkcję,

która łączy kolumny spod ‘p’ i ‘~ p’. Ponieważ w obydwu

wypadkach nie zachodzi, piszemy pod nią dwa zera. Ta

koniunkcja, jako główny funktor wyrażenia w nawiasie, jest

zaprzeczona przez negację znajdującą się na początku

wyrażenia. Stąd pod tą negacją piszemy dwie jedynki. Wynika z

tego, że sprawdzane wyrażenie niezależnie od tego jaką wartość

przyjmie ‘p’ jest zawsze prawdziwe, czyli jest tautologią.

background image

Dwie zmienne

Podobnie wygląda sprawdzanie wyrażeń
złożonych

z

dwóch

zmiennych

zdaniowych. Oto przykład:

~ ( p q ) p ~

q

0 1 1 1 1 1 0 0 1
(II) 0 0 1 1 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 1 1 1 0
0 0 1 0 1 0 0 1 0

background image

Metoda zerojedynkowa

Aby nie wypisywać zbyt wielu jedynek i zer wymyślono

skróconą metodę zerojedynkową, z której i my będziemy

korzystać. Posługując się tą metodą możemy rozpoczynać

sprawdzanie bądź to od przesłanek, bądź to od wniosku.

Rozpoczynając sprawdzanie od przesłanek zakładamy,

że ich koniunkcja jest prawdziwa. Oto przykład sprawdzania

metodą skróconą, gdzie rozpoczynamy od przesłanek.

~ ( p q ) p ~ q

(III) 1 1 0 0 1 1 1 1 0

Rozpoczynając natomiast od wniosku zakładamy, że

jest on fałszywy. Oto przykład sprawdzania, w którym

wychodzimy od wniosku.

~ ( p q ) p ~ q

(IV) 0 0 1 1 1 0 0 0 1

background image

Reguły

2. Metoda założeniowa służy do wykazywania

niezawodności poszczególnych schematów rachunku

zdań poprzez ich dowodzenie. Jest to tzw. dedukcja

naturalna. Aby jednak udowodnić jakąś tezę,

potrzebne są do tego odpowiednie reguły ustalające

sposób naszego postępowania. Do reguł pierwotnych,

czyli

uznawanych

na

mocy

intuicji,

należą

następujące:

1. Reguła odrywania: „RO”

p q

p

q

Reguła ta stwierdza, że jeżeli podczas

dowodzenia posiadamy jakieś wyrażenie o formie

zdania warunkowego i jego poprzednik, to do dowodu

możemy dołączyć także i następnik tego wyrażenia.

background image

Reguły

2. Reguła dołączania koniunkcji: „DK” p

q

p q

„DK” stwierdza, iż dwa prawdziwe wyrażenia zdaniowe

możemy połączyć koniunkcją.

3. Reguła opuszczania koniunkcji: „OK” p q

p
q

„OK” stwierdza, że z koniunkcji wynika każdy z jej

czynników.

4. Reguła dołączania alternatywy: „DA”

p

p q

„DA” stwierdza, że z dowolnego prawdziwego zdania wynika

alternatywa, której pierwszym lub drugim składnikiem jest

to właśnie zdanie.

background image

Reguły

5. Reguła opuszczania alternatywy: „OA” p q

~ p / ~q
q / p

Reguła „OA”, nazywana inaczej modus tollendo ponens (sposób

wnioskowania przez zaprzeczenie stwierdzający) mówi, iż z alternatywy oraz

z negacji jednego z jej składników wynika drugi jej składnik.

6. Reguła dołączania równoważności: „DE”

p q

q p

p q

„DE” stwierdza, że z implikacji zwykłej oraz z implikacji względem niej

odwrotnej wynika równoważność.

7. Reguła opuszczania równoważności: „OE”

p q

p q

q p

„OE” stwierdza, że z równoważności wynika implikacja jej

odpowiadająca oraz implikacja względem niej odwrotna.

background image

Dowody

Rozróżniamy dwa rodzaje dowodów: dowód

wprost oraz dowód nie wprost. Dowód
wprost jakiegoś schematu formalnego polega na
tym, że rozpoczynamy od wypisania założeń
dowodu, czyli jego przesłanek. Do przesłanek
zaliczamy także poprzednik wniosku, lecz tylko
wtedy, gdy wniosek jest implikacją bądź
równoważnością. Następnie z wypisanych założeń
wyprowadzamy, stosując odpowiednie reguły,
kolejne wiersze. Dowód wprost jest zakończony
wtedy, gdy otrzymamy wyrażenie równokształtne
z wnioskiem bądź z jego następnikiem.

background image

Dowody

Oto przykład dowodzenia wprost niezawodności

schematu sylogizmu hipotetycznego.

1. p q

Schemat sylogizmu

hipotetycznego

2. q r zał. dow. p q

3. p

q r

4. q RO: 1, 3 p r

5. r RO: 2, 4

Po wypisaniu założeń (1), (2) i poprzednika

wniosku (3) oraz po zastosowaniu „RO” do dwu

kroków dowodowych (4) i (5) otrzymaliśmy

następnik wniosku „r”. W ten sposób dowód

został zakończony.

background image

Dowód nie wprost

Dowód

nie

wprost

tego

samego

schematu wygląda w ten sposób, że najpierw
wypisujemy wszystkie założenia, podobnie jak w
dowodzie wprost, oraz dodajemy do nich jako
nowe założenie - zaprzeczenie wniosku lub
jego następnika (jeśli wniosek jest implikacją),
czyli to wyrażenie, którego dowodzimy. Dowód
uznajemy za zakończony wtedy, gdy dojdziemy
do sprzeczności pomiędzy dowolnymi wierszami
dowodu. W ten sposób wykazujemy, że wniosek
wynika z przesłanek, ponieważ gdy go
zaprzeczymy otrzymujemy sprzeczność.

background image

Dowód nie wprost

1. p q

2. q r

3. p

4. ~ r zał. dow. nie wprost

5. q RO: 1, 3

6. r RO: 2, 5

7. Sprzeczność: 4, 6

Okazuje się, że wniosek „r” wynika z

przyjętych przesłanek, gdyż zaprzeczony i
dołączony do dowodu prowadzi do sprzeczności.

background image

Metodą aksjomatyczna

3. Posługując się metodą aksjomatyczną
rozpoczynamy

dowodzenie

od

przyjęcia

odpowiednich aksjomatów, czyli twierdzeń
pierwotnych. Nowe twierdzenia wyprowadzamy z
aksjomatów przy użyciu tylko dwóch reguł:
reguły odrywania i reguły podstawiania.
Chcąc

udowodnić

prawo

tożsamości

„p  p” postępujemy w ten sposób, iż najpierw

przyjmujemy

odpowiednie

aksjomaty,

a

następnie w oparciu o dwie wspomniane reguły
tak je przekształcamy, aby otrzymać prawo
tożsamości.

background image

Metodą aksjomatyczna

1. p (q p) aksjomat pierwszy

2. (p (q r)) ((p q) (p r)) aksjomat

drugi

Z aksjomatu drugiego przez podstawienie za ‘r’/’p’

otrzymujemy:

3. (p (q p)) ((p q) (p p))

4. (p q) (p p) RO: 1, 3

Z (4) przez podstawienie ‘q’/ ‘q  p’ otrzymujemy:

5. (p (q p)) (p p)

6. p p RO: 1, 5

Dowód został zakończony, ponieważ otrzymaliśmy

poszukiwaną tezę ‘p  p’.

background image

Rozdz. III

Rachunek zbiorów

i relacji

Na terenie rachunku zbiorów i relacji
wyrażenie: „x  B” czytamy: „x należy

do zbioru B” lub „x jest elementem
zbioru B”. Natomiast symbol ‘‘

czytamy: „nie należy”, „nie jest
elementem”.

1. Podstawowe definicje. Wyrażenie
‘A(x)’ czytamy: „x ma własność (cechę)
A”. Istnieją dwa prawa de Morgana dla
rachunku kwantyfikatorów.

background image

Prawa de Morgana

Pierwszym z nich jest prawo negowania

kwantyfikatora ogólnego:

a. ~ x A(x) x ~ A(x)

Drugie prawo, czyli prawo negowania

kwantyfikatora

szczegółowego,

jest

odwrotnością poprzedniego.

b. ~ x A(x) x ~ A(x)

Prawo to stwierdza, iż jeśli nie istnieje taki

przedmiot ‘x’, który posiadałby cechę ‘A’, to

wynika z tego, że każdy przedmiot tej cechy nie

posiada, inaczej żaden przedmiot tej cechy nie

posiada. Do przeprowadzania dowodów tez

rachunku

zbiorów

potrzebne

nam

będą

następujące definicje:

background image

Prawa

c. Identyczność dwu zbiorów: A = B x (x A

x B)
A B

– + –

Rysunek pokazuje, że nie ma takich ‘x’ (poziome kreski),

które należałyby do ‘A’ i równocześnie nie należały do ‘B’ i

odwrotnie: wszystkie ‘x’, które należą do ‘B’ tym samym

należą do ‘A’. Zbiory zatem ‘A’ i ‘B’ są identyczne, gdyż ich

nazwy denotują ten sam zbiór desygnatów (krzyżyk).

d. Zbiór pusty: A = ~ x (x A)

Zbiór ‘A’ jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy

nie istnieją takie przedmioty ‘x’, które do niego należą.

background image

Prawa

e. Zbiór uniwersalny: A = V x (x A)

Zbiór ‘A’ jest zbiorem uniwersalnym, gdyż należą do niego

wszystkie przedmioty. Natomiast sam zbiór uniwersalny jest

zbiorem tych przedmiotów, które są identyczne ze sobą: V = (x:

x = x).

f. Suma zbiorów (symbol ‘‘): x A B ( x A x

B)

A B

+ + +

Przedmiot ‘x’ należy do sumy zbiorów, gdy należy do zbioru ‘A’

lub do iloczynu zbiorów ‘A, B’ lub do zbioru ‘B’. Na rysunku

miejsca te zostały zaznaczone krzyżykami.

background image

Prawa

g. Iloczyn zbiorów (symbol ‘‘): x A B (x A

x B)

A B

+

Iloczynem zbiorów ‘A’ i ‘B’ jest zbiór tylko tych przedmiotów

‘x’, które należą równocześnie do zbioru ‘A’ i do zbioru ‘B’.

h. Różnica zbiorów (symbol ‘‘): x A B (x A
x
B)

A B

+ +

_ – –

+ +

– – –

Różnicę zbiorów ‘A  B’ tworzą te przedmioty zbioru ‘A’, które

nie należą do zbioru ‘B’.

background image

Prawa

i. Dopełnienie zbioru ‘A’ (symbol ‘~ A’):

x ~ A x A

A

+

~ A

Dopełnieniem zbioru ‘A’, jak to widać na rysunku, są

te przedmioty, które należą do ‘~ A’ (krzyżyk), czyli

które nie należą do zbioru ‘A’ (kreski). Dopełnieniem

zakresu nazwy koń są te przedmioty, które należą

do zakresu nazwy nie-koń, czyli które nie należą do
zakresu nazwy koń.

background image

Prawa

j. Zawieranie się zbiorów (symbol ‘‘): A

B (x A x B)

A B

– + +

– + +

Zbiór ‘A’ zawiera się w zbiorze ‘B’ wtedy, gdy

wszystkie przedmioty należące do zbioru ‘A’, należą też do
zbioru ‘B’. Nie ma zatem takich przedmiotów ‘A’ (kreski),
które nie byłyby zarazem ‘B’ (krzyżyki). Mówi się także o
właściwym zawieraniu się zbioru ‘A’ w zbiorze ‘B’. Ma to
miejsce wtedy, gdy zbiór ‘A’ zawiera się w zbiorze ‘B’ i
zarazem zbiór ’A’ jest różny od zbioru ‘B’, tzn. nie mogą się
wzajemnie pokrywać.

background image

Dowody

2.

Dowody tez rachunku zbiorów

nie różnią się niczym szczególnym od
dowodów

założeniowych

przeprowadzanych w ramach rachunku
zdań.

Opierają

się

na

regułach

pierwotnych rachunku zdań, na znanych
prawach dotyczących kwantyfikatorów
oraz

na

przytoczonych

definicjach

podstawowych

relacji

zachodzących

pomiędzy zbiorami.

background image

Teza do udowodnienia:

A B C D A C B D

1. A B C D

- założenie dowodu

2. ~ ( A C B D)

- zał. dow. nie wprost

3. A B

- OK: 1

4. C D

- OK: 1

5. x A x B

- def. ‘‘: 3

6. x C x D

- def. ‘‘: 4

7. ~ [(x A x C) (x B x D)]

- def. ‘‘ oraz ‘‘: 2

8. (x A x C) ~ (x B x D)

- prawo negowania

‘: 7
9. x
A x C

- OK: 8

10. ~ (x B x D)

- OK: 8

11. x B x D

- prawo de Morgana: 10

12. x B

- OK: 11

13. x D - OK: 11
14. x
A - modus tollendo tollens: 5, 12
15. x
C - modus tollendo tollens: 6, 13
16. x
C - OA: 9, 14
17. Sprzeczność: 15, 16.

background image

Dowody

Dowód

nie

wprost

został

zakończony,

gdyż

otrzymaliśmy sprzeczność, która oznacza, że dowodzona

teza jest prawem logicznym. Podczas ćwiczeń dowodzić

będziemy w podobny sposób następujące tezy:

1. (A  B  A = V)  B = V
2. (A  B  A  )  B  
3. (A  B  C  D)  A  C  B  D
4. (A  B  C  D)  A  C  B  D
5. A  B  A  C  B  C
6. A  B  A  C  B  C
7. A  B  ~ B  ~ A
8. A  B  C  A  C  ~ B
9. A  B  A  C  B  C

background image

3. Pojęcie relacji oraz jej
rodzaje

Wyrażenie: ‘xRy’ - czytamy: „x

znajduje się w relacji R do y”. Za zmienne ‘x,
y’

wstawiamy

nazwy

przedmiotów,

natomiast za zmienne ‘R, S, T’ nazwy
relacji. Każda relacja składa się z trzech
podstawowych

elementów:

przeciwdziedziny, dziedziny oraz pola relacji.
Dziedziną relacji nazywamy lewą stronę
relacji

lub

lewą

dziedziną;

przeciwdziedzinę relacji – prawą stroną
relacji lub prawą dziedziną relacji.

background image

Pojęcie relacji oraz jej
rodzaje

Dziedziną relacji R (symbolicznie Dl(R)) nazywamy

zbiór tych przedmiotów, które pozostają w relacji R do zbioru

innych przedmiotów. Jakiś przedmiot x należy do lewej

dziedziny relacji wtedy, gdy istnieje przedmiot y, do którego x

znajduje się w relacji R.

x Dl(R) y (xRy)

Przeciwdziedziną relacji R (symbolicznie Dp(R))

nazywamy zbiór tych przedmiotów, do których jakieś inne
przedmioty pozostają w relacji R. Przedmiot ‘y’ należy do
przeciwdziedziny relacji (R) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
takie ‘x’, które znajduje się w relacji (R) do ‘y’.

y Dp(R) x (xRy)

Polem relacji R, symbolicznie C(R) - (łac. campus =

pole), nazywamy sumę dziedziny i przeciwdziedziny relacji R.

C(R) = Dl(R) Dp(R)

background image

Rodzaje relacji

a. Relacja odwrotna do relacji R, inaczej konwers

relacji (symbol ‘Ř‘) zachodzi pomiędzy tymi samymi

przedmiotami co relacja ‘R’, lecz w odwrotnym kierunku.

Relacja ‘bycia żoną’ jest odwrotną do relacji ‘bycia mężem’.

yx x Ř y

b. Relacja symetryczna (symbol ‘sym’) ma miejsce
wtedy, gdy jeśli zachodzi pomiędzy przedmiotami w
jednym kierunku, zachodzi także pomiędzy nimi w kierunku
odwrotnym.

Przykładami

takich

relacji

jest

m.in.

pokrewieństwo, rodzeństwo, podobieństwo, równość itd.

R sym x, y(xRy yRx)

Relacja ‘R’ należy do symetrycznych wtedy, gdy dla
każdego ‘x, y’, jeśli xRy, to yRx.

background image

Rodzaje relacji

c. Relacja przeciwsymetryczna, inaczej asymetryczna
(symbol ‘as’) ma miejsce wtedy, gdy zachodząc pomiędzy
przedmiotami w jednym kierunku, nie zachodzi pomiędzy
nimi w kierunku odwrotnym. Tego typu relacjami są np.:
relacja bycia ojcem czy relacja bycia matką.

R as x, y(xRy ~ yRx)

d. Relacja przechodnia, inaczej tranzytywna (symbol
trans’) występuje wtedy, gdy jeżeli zachodzi pomiędzy
pierwszym i drugim przedmiotem oraz pomiędzy drugim i
trzecim, to zachodzi także pomiędzy pierwszym i trzecim.
Na przykład, jeżeli Jan jest starszy od Piotra i Piotr jest
starszy od Andrzeja, to wynika z tego, że Jan musi być
także starszy od Andrzeja.

R trans x, y, z((xRy yRz) xRz)

background image

Rodzaje relacji

e. Relacja lewostronnie jednoznaczna (symbol ‘1-Cls’)

zachodzi wtedy, gdy najwyżej jeden przedmiot pozostaje w

tej relacji do innych przedmiotów. Przykładem takiej relacji

jest stosunek bycia ojcem lub matką: jeden ojciec - wiele

dzieci.

R 1-Cls x, y, z (xRz yRz x = y)

Równość (x = y) wykazuje, że dziedzinę relacji tworzy tylko

jeden przedmiot. Za ‘z’ natomiast możemy sobie

podstawiać nazwy różnych przedmiotów.

f. Relacja prawostronnie jednoznaczna (symbol ‘Cls-
1’
) zachodzi wtedy, gdy dany przedmiot pozostaje w tej
relacji najwyżej do jednego przedmiotu. Relacja bycia
dzieckiem jest przykładem takiej relacji, gdyż każde dziecko
ma jedynie jednego ojca i jedna matkę.

R Cls-1 x, y, z (xRy xRz y = z)

W

relacji

prawostronnie

jednoznacznej

identyczny

przedmiot tworzy przeciwdziedzinę tej relacji: ‘y = z’.

background image

Rodzaje relacji

g. Relacja wzajemnie jednoznaczna (symbol

‘1-1’), nazywana inaczej jedno-jednoznaczną lub

doskonałą, ma miejsce wtedy, gdy jest zarazem

lewostronnie

i

prawostronnie

jednoznaczna.

Przykładem

takiej

relacji

małżeństwa

monogamiczne: jednemu mężowi odpowiada tylko

jedna żona i odwrotnie.

R 1-1 R 1-Cls R Cls-1

h. Izomorfizm relacji zachodzi wtedy, gdy

istnieje jakaś relacja R, która odwzorowuje w

sposób jedno-jednoznaczny relację S na relacji T.

Mamy tutaj do czynienia z trzema różnymi

relacjami, które przedstawia następujący rysunek.

background image

Izomorfizm relacji

s

s1

s2

s3

sSs1, s1Ss2, s2Ss3; S = leży na lewo

Prosta a

R sRt, s1Rt, s2Rt2; R = leży na tej samej

prostej

Prosta b

t3

t2

t1

t tTt1, t1Tt2, t2Tt3 ; T = leży na

prawo

Izomorfizm relacji przedstawiony na rysunku możemy zapisać następująco:

S izmRT R 1-1 Dl (R ) = C(S) Dp(R ) = C(T)

s, s1, t, t1 (sRt s1Rt1 (sSs1 tTt1))

Przytoczoną definicję czytamy: Relacja ‘R’ odwzorowuje izomorficznie

relację ‘S’ na relację ‘T’ wtedy i tylko wtedy, gdy relacja ‘R’ jest relacją wzajemnie

jednoznaczną, której lewą dziedzinę stanowi pole relacji ‘S’, a prawą dziedzinę pole

relacji ‘T’. Ponadto dla każdego s, s1, t, t1 jeśli relacja ‘R’ przyporządkowuje

punktowi ‘s’ punkt ‘t’ oraz punktowi ‘s1’ punkt ‘t1’, to punkt ‘s’ leży na lewo od

punktu ‘s1’ wtedy i tylko wtedy, gdy punkt ‘t’ leży na prawo od punktu ‘t1’.

background image

Rozdz. IV

Rachunek

nazw

Istnieją cztery rodzaje zdań kategorycznych, które

pozostają względem siebie w różnych relacjach. Relacje

owe przedstawia model graficzny nazywany kwadratem

logicznym.

Zdania ogólnotwierdzące:

SaP = Każde S jest P = x(x S x P)

Zdania szczegółowotwierdzące:

SiP = Niektóre S są P = x(x S x P)

Zdania ogólnoprzeczące:

SeP = Żadne S nie jest P = x(x S x

P)

Zdania szczegółowoprzeczące:

SoP = Niektóre S nie są P = x(x S x P)

background image

Kwadrat logiczny

Wzajemne powiązania zachodzące pomiędzy
zdaniami kategorycznymi ukazywane są przy
pomocy modelu graficznego nazywanego
kwadratem logicznym.

SaP przeciwne ( / ) SeP

wykluczają się, nie dopełniają się

 sprzeczne (  ) 

wykluczają się i dopełniają się

podprzeciwne (  )

SiP nie wykluczają się, dopełniają się SoP

background image

Zdania

Zdania sprzeczne (oppositio contradictoria) wyznaczają
przekątne kwadratu. Tworząc cztery prawa:

SaP ~ SoP

SeP ~ SiP
SiP
~ SeP
SoP
~ SaP

Skoro zdania sprzeczne nie mogą zarazem być ani

prawdziwe, ani fałszywe, stąd jeśli jedno z nich jest

prawdziwe, drugie musi być fałszywe i odwrotnie.

Zdania podporządkowane (subalternatio):

SaP SiP; SeP SoP

Ze zdań ogólnych zarówno twierdzących, jak i przeczących,

wynikają zdania szczegółowe, lecz nie odwrotnie.

background image

Zdania

Zdania przeciwne (oppositio contraria):

SaP ~ SeP; SeP ~ SaP

Zdania przeciwne nie mogą być równocześnie prawdziwe. Mogą
być natomiast obydwa fałszywe.

Zdania podprzeciwne (subcontraria):

~ SiP SoP; ~ SoP SiP

Obydwa zdania mogą być równocześnie prawdziwe, lecz nie mogą

być jednocześnie fałszywe. Słuszność praw dotyczących zdań

przeciwnych, podporządkowanych i podprzeciwnych możemy także

wykazać w oparciu o zdania sprzeczne.
Sprawdzamy np. zdania podprzeciwne ‘~ SiP  SoP’. Jeżeli ‘SiP’

jest fałszywe, to sprzeczne z nim ‘SeP’ musi być prawdziwe. Jeżeli

‘SeP’ jest prawdziwe, prawdziwe musi być także podporządkowane

mu zdanie ‘SoP’, a zatem prawo jest słuszne. Od ‘SiP’ można iść

także do ‘SaP’, a następnie do ‘SoP’. Ważne jest byśmy za każdym

razem korzystali ze zdań sprzecznych. W ten sposób sprawdzać

możemy wszystkie rodzaje zdań z wyjątkiem sprzecznych.

background image

2. Prawa konwersji

Jeżeli w dowolnym zdaniu kategorycznym przestawimy jego
podmiot z orzecznikiem, wtedy otrzymamy odwrócenie
tego zdania, czyli jego konwersję (łac. converto = obrócić).
Konwersja może być prosta lub ograniczona.

Konwersja prosta ma miejsce wtedy, gdy oba zdania, tj.

odwracane i odwrócone nie różnią się pomiędzy sobą co do
ilości - oba nadal są ogólne lub oba nadal są szczegółowe.

SeP PeS

SiP PiS

Konwersja ograniczona ma miejsce wtedy, gdy jedno

zdanie jest ogólne a drugie szczegółowe.

SaP PiS

background image

3. Prawa obwersji

Prawa obwersji (łac. obverto = odwrócić

się)

stwierdzają,

że

każde

zdanie

kategoryczne można przekształcić w zdanie

mu równoważne, jeżeli zmienimy jego

jakość na przeciwną i zastąpimy orzecznik

‘P’ przez jego dopełnienie, czyli ‘~ P’.

SaP Se~P
SeP
Sa~P
SiP
So~P
SoP
Si~P

background image

4. Prawa kontrapozycji

Prawa kontrapozycji otrzymujemy w ten
sposób, że ze zdania kategorycznego
tworzymy jego obwersję, a następnie z tego,
co otrzymamy tworzymy konwersję lub
odwrotnie.

SaP Se~P (obw.) ~PeS (konw.)

SaP ~PeS

SaP PiS (konw.) Po~S (obw.)

SaP Po~S

background image

5. Sylogizmy

Schemat sylogizmu wygląda następująco:

M a P
( I )

S a M

S a P

W zależności od tego, jakie miejsce zajmuje termin
średni w przesłankach, tzn. czy jest podmiotem czy
orzecznikiem, wyróżniamy cztery figury sylogistyczne:

M P

P M

M P

P M

(1)

S M

(2)

S M

(3)

M S

(4)

M S
S P

S P

S P

S P

background image

Sprawdzanie sylogizmów

Sylogizmy sprawdzać będziemy przy pomocy diagramów Venna.
Schemat do sprawdzenia:

M i P M + P
M a S

+

S i P +

S

Oto przykład konkretnego wnioskowania w oparciu o dany schemat:

M = ludzie

Niektórzy ludzie są zakonnikami

P = zakonnicy

Każdy człowiek jest istotą rozumną

S = istota rozumna

Niektóre istoty rozumne są zakonnikami

W ten sposób wygląda wnioskowanie przeprowadzone w oparciu o

tryby

sylogistyczne.

background image

Logika modalna

Na

bazie

logiki

trójwartościowej

tworzy

J.

Łukasiewicz logikę modalną, która zajmuje się pojęciem

możliwości

i

konieczności.

Oznaczając

pojęcie

możliwości przez ‘M’ oraz pojęcie konieczności przez ‘K’

podaje dla nich następujące definicje:
p Mp p Kp
0 0 0 0
½ 1

½ 0

1 1 1 1

Z przytoczonych tablic wynika, że zdarzenie

opisywane przez zdanie ‘p’ jest możliwe wtedy, gdy

zdanie ‘p’ jest prawdziwe lub, jeśli posiada wartość .

Natomiast zdarzenie opisywane przez zdanie ‘p’ jest

konieczne tylko wówczas, gdy zdanie to jest prawdziwe.

background image

Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Logika języka i logika formalna102013
Logika języka i logika formalna"
Logika formalna, logika-zadania
Logika formalna
Logika formalna i języka cz2112013
IX Tradycyjna logika formalna, Logika
Logika języka i logika formalna 1013
Logika formalna 1
Logika Formalna I Metodologia i Nieznany
Logika formalna i języka cz1112013
Logika języka i logika formalna102013
Katarzyna Budzyńska Budzyńska Czy logika formalna opisuje dedukcyjne argumentacje
Logika języka i formalna102013
Logika języka i formalna0

więcej podobnych podstron