W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

ELEMENTY LOGIKI FORMALNEJ

24. Język klasycznego rachunku zdań. Prawa logiczne

Klasyczny rachunek zdań (skrótowo k.r.z.) jest podstawowym działem logiki

formalnej. W k.r.z. występują dwie wartości logiczne: prawda i fałsz, oznaczane
odpowiednio liczbami „1” i „0”. Rachunek ten zajmuje się związkami, które zachodzą
między zdaniami łączonymi za pomocą takich wyrażeń, jak: „nieprawda, że...”, „i”,
„lub”. Wyrażenia te zwane są funktorami prawdziwościowymi, a należą do szerszej
kategorii wyrażeń, zwanych stałymi logicznymi. Do stałych logicznych oprócz
funktorów prawdziwościowych należą między innymi wyrażenia: „każdy”, „żaden”,
„jest”, „...jest identyczny z...”. W klasycznym rachunku zdań chodzi o badanie takich
prawidłowości dotyczących zdań złożonych, które nie zależą od treści tych zdań. Dlatego
nie bierze się tu pod uwagę konkretnych zdań, tylko operuje się zmiennymi zdaniowymi.
Zmienne zdaniowe to litery reprezentujące dowolne zdania w sensie logicznym, a
zapisuje się je w następujący sposób: p, q, r, s, p

, q

, r

, s

, p

, q

, r

, s

... itd. Pomocniczą

rolę w klasycznym rachunku zdań pełnią różnego rodzaju nawiasy.

Kolejnym ważnym pojęciem związanym z klasycznym rachunkiem zdań i w

ogóle z logiką formalną jest „formuła zdaniowa” lub „funkcja zdaniowa” (zwroty te
najczęściej są stosowane zamiennie). Formułą zdaniową jest wyrażenie zawierające
zmienne, przy czym wyrażenie to zamienia się w zdanie po podstawieniu w miejsce tych
zmiennych odpowiednich wyrażeń. Formułami zdaniowymi są na przykład następujące
wyrażenia: „x + 2 = 8”, „Jeżeli p, to q”, „Każde S jest P”. Formuły te przechodzić będą w
zdania prawdziwe lub fałszywe w zależności od tego, jakie wyrażenia podstawi się w
miejsce zmiennych. Wyrażenia, które mogą być podstawiane za zmienną określonego
typu, określa się jako stałe pozalogiczne. W przypadku zmiennych zdaniowych stałymi
pozalogicznymi są wyłącznie dowolne zdania w sensie logicznym. Klasyczny rachunek
zdań rozpatruje tylko takie formuły zdaniowe, które składają się ze zmiennych
zdaniowych, funktorów prawdziwościowych oraz nawiasów.

Jeszcze innym kluczowym pojęciem logiki formalnej jest prawo logiczne, inaczej

tautologia logiczna, teza logiki lub twierdzenie logiki formalnej. Ogólnie można
powiedzieć, że prawo logiczne to wyrażenie prawdziwe w każdej dziedzinie. Jednak ze
względu na odmienność budowy wyrażeń poszczególnych rachunków logicznych prawo
logiczne najdogodniej jest definiować w związku z jakimś określonym rachunkiem
logicznym (rachunki logiczne to np. klasyczny rachunek zdań, tradycyjny rachunek nazw
czy rachunek predykatów). W przypadku klasycznego rachunku zdań określenie prawa
logicznego może być następujące: prawem logicznym k.r.z. jest wyrażenie składające się
wyłącznie z funktorów prawdziwościowych, zmiennych zdaniowych oraz nawiasów,
które po podstawieniu w miejsce zmiennych zdaniowych dowolnych zdań przechodzi
zawsze w zdanie prawdziwe. Prawem logicznym k.r.z. jest na przykład następująca
formuła zdaniowa: „p lub nieprawda, że p”. Formuła ta zamieni się zawsze w zdanie
prawdziwe, gdy w miejsce zmiennej p podstawi się dowolne zdanie w sensie logicznym.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

25. Matryce funktorów prawdziwościowych

Funktory prawdziwościowe, które będą tutaj omówione, to funktory: negacji,

koniunkcji, alternatywy, dysjunkcji, implikacji oraz równoważności. Funktory te można
scharakteryzować za pomocą tabel zwanych matrycami. Każda z matryc ukazuje
zależności pomiędzy wartością logiczną wyrażenia utworzonego za pomocą określonego
funktora a wartościami logicznymi zmiennych wchodzących w skład tego wyrażenia.
Przyjmuje się, że omawiane niżej funktory odpowiadają określonym wyrażeniom języka
potocznego. Jednak znaczenie tych wyrażeń jest trochę inne niż to, które przysługuje im
w języku potocznym.

Funktor negacji zapisuje się za pomocą symbolu „~”, a odpowiada on wyrażeniu

„nieprawda, że...” lub „nie jest tak, że...”. Wyrażenie „~ p” czyta się „nieprawda, że p”.
Warto pamiętać, że określenia: negacja, koniunkcja, alternatywa itd. stosują się do całych
wyrażeń w których występują funktory negacji, koniunkcji itd., a nie do samych
funktorów. Na przykład symbol „~” to funktor negacji, natomiast negacja to np. zdanie
„Nieprawda, że Ziemia jest satelitą Księżyca” lub formuła „~p”.

~ p

Matryca funktora negacji

Matryca funktora negacji ukazuje, że gdy poprzedzi się tym funktorem dowolne

zdanie prawdziwe (czyli wtedy, gdy zaneguje się dowolne zdanie prawdziwe), to uzyska
się zdanie fałszywe; natomiast gdy funktorem tym poprzedzi się zdanie fałszywe, to
uzyska się zdanie prawdziwe. Gdy np. zanegujemy zdanie prawdziwe „Warszawa jest
stolicą Polski”, to uzyskamy zdanie fałszywe, które brzmi „Nieprawda, że Warszawa jest
stolicą Polski” (lub „Nie jest tak, że Warszawa jest stolicą Polski”). Gdy natomiast
zanegujemy zdanie fałszywe, np. zdanie „Poznań jest stolicą Polski”, to uzyskamy zdanie
prawdziwe: „Nieprawda, że Poznań jest stolicą Polski”. Zdania względem siebie
sprzeczne to zdania o postaci: „p” i „~ p”, czyli zdania, z których jedno powstaje przez
zanegowanie drugiego.

Funktor koniunkcji jest oznaczany przez symbol „

”, funktor ten odpowiada

wyrażeniom „i”, „oraz” rozumianym jako spójniki międzyzdaniowe. Wyrażenie „p

 q”

czyta się „p i q”.

 q

Matryca funktora koniunkcji

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Z matrycy funktora koniunkcji wynika, że gdy za pomocą spójnika „i” połączy

się dwa dowolne zdania prawdziwe, to całość też będzie prawdziwa. Gdy na przykład
ktoś stwierdziłby o sobie „Jestem studentem i urodziłem się w Krakowie”, to takie zdanie
złożone byłoby prawdziwe jedynie w takim przypadku, gdyby prawdziwe były oba jego
zdania składowe, tzn. o ile osoba ta rzeczywiście jest studentem oraz urodziła się w
Krakowie. Jeżeli którekolwiek ze zdań składowych połączonych funktorem koniunkcji
jest fałszywe, to cała koniunkcja również jest fałszywa. Z czysto logicznego punktu
widzenia nie ma znaczenia ani treść zdań składowych koniunkcji, ani kolejność tych
zdań. Ta zasada będzie dotyczyła wszystkich omawianych funktorów z wyjątkiem
funktora implikacji, gdzie znaczenie ma kolejność zdań składowych. Prawdziwe będzie
na przykład zdanie „Książę Józef Poniatowski urodził się w Wiedniu i rok przestępny ma
366 dni”.

Funktor alternatywy symbolicznie zapisuje się za pomocą znaku „

”, a

wyrażenie, któremu on odpowiada, to „lub”. Wyrażenie „p

 q” czyta się jako „p lub q”.

 q

Matryca funktora alternatywy (nierozłącznej)

Matryca funktora alternatywy pokazuje, że do tego, aby alternatywa była

prawdziwa, wystarczy prawdziwość jednego z jej zdań składowych. Przywołując jeden z
poprzednich przykładów, można powiedzieć, że gdy jakaś osoba stwierdza: „Jestem
studentem lub urodziłem się w Krakowie”, to dla prawdziwości tego stwierdzenia
wystarczy prawdziwość jednego z jego zdań składowych. Wypowiedź ta będzie
prawdziwa oczywiście również wtedy, gdy prawdziwe będą oba jej zdania składowe.
Tego rodzaju alternatywa to tzw. alternatywa nierozłączna (lub niewyłączająca)

. Inny

rodzaj alternatywy to alternatywa rozłączna (wyłączająca), która jest prawdziwa wtedy i
tylko wtedy, gdy jedno z jej zdań składowych jest prawdziwe, a drugie fałszywe (w
dowolnej kolejności). Funktorowi alternatywy rozłącznej odpowiada zwrot „albo”.
Zwykle jest tak, że gdy używa się terminów „alternatywa” i „funktor alternatywy” bez
żadnych dodatków, to ma się na myśli odpowiednio alternatywę nierozłączną i funktor
alternatywy nierozłącznej.

Funktor dysjunkcji pod względem odpowiadającego mu wyrażenia jest zbliżony

do funktorów alternatywy nierozłącznej i rozłącznej. Funktor dysjunkcji zapisuje się za
pomocą symbolu „/”, a funktor ten odpowiada wyrażeniu „bądź...., bądź...”. Wyrażenie

Za pomocą funktorów koniunkcji i alternatywy nierozłącznej można łączyć większą ilość
zmiennych lub zdań. Koniunkcja, która składa się z więcej niż dwóch członów, jest prawdziwa
tylko w takim przypadku, gdy wszystkie jej człony są prawdziwe. Alternatywa nierozłączna
składająca się z większej ilości członów jest prawdziwa, gdy przynajmniej jeden z jej członów
jest prawdziwy.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

„p / q” czyta się jako „bądź p, bądź q”.

p / q

Matryca funktora dysjunkcji

Dysjunkcja jest fałszywa jedynie w takim przypadku, gdy oba jej człony są

prawdziwe. We wszystkich pozostałych przypadkach dysjunkcja jest prawdziwa.
Powiedzmy, że pewna osoba stwierdza „Wieczorem bądź poczytam książkę, bądź
posłucham muzyki” i używa przy tym zwrotu „bądź..., bądź....” zgodnie ze znaczeniem,
jakie zwrot ten posiada na gruncie logiki. W takiej sytuacji osoba ta ma na myśli, że nie
nie zrobi zarazem jednego i drugiego, natomiast może być tak, że będzie czytać książkę,
może być tak, że będzie słuchać muzyki, ale może też być i tak, że nie będzie ani czytać
książki, ani słuchać muzyki.

Konsekwentne posługiwanie się wyrażeniami odpowiadającymi funktorom

alternatywy nierozłącznej, alternatywy rozłącznej i dysjunkcji pozwala na jasne ujęcie
następujących sytuacji: prawdziwe jest przynajmniej jedno z dwóch zdań (alternatywa
nierozłączna), prawdziwe jest jedno i tylko jedno z dwóch zdań (alternatywa rozłączna),
prawdziwe jest co najwyżej jedno z dwóch zdań.

Kolejnym funktorem, który zostanie omówiony, jest funktor implikacji. Za

wyrażenie odpowiadające temu funktorowi uznaje się zwrot „jeżeli..., to...”. Funktorowi
implikacji odpowiada znak „

”. Wyrażenie „p  q” czyta się jako „jeżeli p, to q”.

 q

Matryca funktora implikacji

Zdanie złożone z dwóch zdań połączonych za pomocą wyrażenia „jeżeli..., to...”

nazywa się okresem warunkowym lub zdaniem warunkowym. Z powyższej tabeli widać,
że w przypadku implikacji nie jest obojętna kolejność zdań (lub zmiennych). Wyrażenie
znajdujące się po lewej stronie funktora implikacji to poprzednik implikacji, natomiast
wyrażenie, które znajduje się po prawej stronie funktora implikacji, to następnik
implikacji. Implikacja jest fałszywa jedynie w takim przypadku, gdy jej poprzednik jest
prawdziwy, a następnik fałszywy. W każdym innym przypadku implikacja jest
prawdziwa, ponadto nie ma tu znaczenia treść składających się na implikację zdań.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Prawdziwe będą zatem następujące implikacje: „Jeżeli w baku zabraknie benzyny, to
silnik przestanie pracować”, „Jeżeli długo pada deszcz, to na ulicy tworzą się kałuże”,
„Jeżeli kwadrat ma cztery boki, to Księżyc jest satelitą Ziemi”, „Jeżeli II wojna światowa
wybuchła w 1950 roku, to stolicą Polski jest obecnie Warszawa”. , „Jeżeli Ziemia jest
satelitą Księżyca, to Polska jest największym krajem świata”. Jak widać z powyższych
przykładów, zwrot „jeżeli..., to...” jest w mowie potocznej używany inaczej – jedynie
bowiem dwa pierwsze zdania są przez język potoczny akceptowalne jako sensowne. W
języku potocznym za pomocą zwrotu „jeżeli..., to...” (lub „jeśli..., to...”) łączy się
zasadniczo takie zdania, które mają ze sobą jakiś związek. Chodzi tu o związek w tym
sensie, że stan rzeczy stwierdzany w poprzedniku wiąże się jakoś ze stanem rzeczy
stwierdzanym w następniku. Zagadnienie odmiennego znaczenia funktora implikacji w
logice i w języku potocznym ponadto komplikuje to, że zwrot o postaci „p

 q” można

też odczytywać „z p wynika q”. Wtedy – przy akceptacji matrycy implikacji – trzeba
przyjąć na przykład to, że z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie
fałszywe, bo skoro implikacja jest prawdziwa przy fałszywości poprzednika i następnika,
to prawdą jest też, że z dowolnego fałszywego poprzednika wynika dowolny fałszywy
następnik.

Tak zwany „paradoks implikacji” bywa rozwiązywany na różne sposoby. Dobrą

drogą wydaje się poszukiwanie tego, co wspólne dla logicznego i potocznego rozumienia
implikacji. Tym wspólnym momentem jest założenie, że prawdziwość okresu
warunkowego wyklucza jednoczesną prawdziwość poprzednika i fałszywość następnika.
Inaczej mówiąc, prawdziwy okres warunkowy nie dopuszcza sytuacji, w której
prawdziwy poprzednik implikuje fałszywy następnik. Pokazują to wymienione przed
chwilą przykłady prawdziwych zdań warunkowych języka potocznego. Na przykład
jeżeli jest tak, że długo pada deszcz, to nie może być tak, że na ulicach nie będą się
tworzyć kałuże. Gdyby pomimo padającego długo deszczu kałuże na ulicach się nie
tworzyły, to zdanie warunkowe „Jeżeli długo pada deszcz, to na ulicach tworzą się
kałuże” byłoby fałszywe. Może być jednak tak, że wcale nie padał deszcz, a na ulicy są
kałuże, na przykład z powodu wcześniejszej awarii wodociągu. Wtedy jest tak, że
poprzednik omawianego okresu jest fałszywy, a następnik prawdziwy. To jednak nie
przesądza, że fałszywe jest zdanie: „Jeżeli długo pada deszcz, to na ulicach tworzą się
kałuże”. O fałszywości tego zdania warunkowego nie przesądza też sytuacja, w której
fałszywe są oba jego zdania składowe, to znaczy wtedy, gdy ani nie było deszczu, ani na
ulicach nie tworzą się kałuże. O fałszywości omawianego zdania warunkowego
przesądzać może wyłącznie sytuacja, w której pomimo długotrwałego deszczu nie tworzą
się kałuże na ulicach. Warto mieć na uwadze, że zarówno w praktyce potocznej, jak i w
naukowej używa się zasadniczo takich okresów warunkowych, na które składają się
zdania powiązane ze sobą, a dla takich zdań matryca funktora implikacji – co pokazuje
wyżej rozpatrzony przykład – nie budzi zastrzeżeń. Jeżeli jakieś zdania tworzą
prawdziwy okres warunkowy, to zdanie będące poprzednikiem tego okresu nazywa się
racją, a zdanie stanowiące następnik – następstwem.

Ostatnim omawianym tu funktorem jest funktor równoważności. Funktor ten

zapisuje się za pomocą symbolu „

”. Funktor równoważności odpowiada wyrażeniu

„...wtedy i tylko wtedy, gdy...” lub „...zawsze i tylko, gdy...”. Wyrażenie „p

 q” czyta się

„p wtedy i tylko wtedy, gdy q”.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

 q

Matryca funktora równoważności

Równoważność jest prawdziwa jedynie w takiej sytuacji, gdy oba jej człony mają

jednakową wartość logiczną. Nie ma żadnego znaczenia treść zdań składowych. W
języku potocznym zwrot „wtedy i tylko wtedy, gdy” występuje niezbyt często. Można
jednak stwierdzić, że z punktu widzenia języka potocznego wyrażenie utworzone za
pomocą tego zwrotu powinno zawierać zdania w jakiś sposób ze sobą powiązane.
Przeciętny użytkownik języka polskiego nie będzie skłaniał się do uznania, że sensowne
jest zdanie „Warszawa jest stolicą Polski wtedy i tylko wtedy, gdy kot jest ssakiem”.
Uzna natomiast za sensowne zdanie: „Dzisiaj jest wtorek wtedy i tylko wtedy, gdy jutro
będzie środa”, które pokazuje określoną wzajemną zależność pomiędzy stanami rzeczy
ujmowanymi w obu zdaniach. Jest bowiem tak, że gdy równoważność



jest prawdziwa, to

prawdziwe są również wzajemne implikacje zdań składowych tej równoważności. Inaczej
mówiąc, gdy wyrażenie o postaci p

 q jest prawdziwe, to prawdziwe są implikacje p 

q oraz q

p. Można pokazać to na ostatnim przykładzie równoważności „Dzisiaj jest

wtorek wtedy i tylko wtedy, gdy jutro będzie środa”. W tym przypadku prawdziwe są
zdania „Jeżeli dzisiaj jest wtorek, to jutro będzie środa” oraz „Jeżeli jutro będzie środa, to
dzisiaj jest wtorek”. Zarówno omawiana równoważność, jak i wzajemne implikacje jej
zdań składowych są prawdziwe bez względu na to, czy dzisiaj jest wtorek, czy nie.
Załóżmy, że dzisiaj jest wtorek. Wtedy zarówno pierwszy, jak i drugi człon
równoważności jest prawdziwy, a więc cała równoważność jest prawdziwa. Prawdziwe
będą też implikacje zdań składowych, gdyż oba te zdania są prawdziwe. Załóżmy, z
drugiej strony, że dzisiaj nie jest wtorek. Wtedy oba zdania składowe omawianej
równoważności są fałszywe, bo skoro dzisiaj nie jest wtorek, to nie może być tak, żeby
jutro była środa. W tym przypadku równoważność także jest prawdziwa. Prawdziwe są
też implikacje jej zdań składowych, bo oba te zdania są fałszywe, a implikacja dwóch
zdań fałszywych jest prawdziwa.

26. Metoda zero-jedynkowa

Niektóre wyrażenia klasycznego rachunku zdań są prawami logicznymi

klasycznego rachunku zdań, czyli takimi formułami zdaniowymi, które będą się
zamieniać w zdania prawdziwe po podstawieniu w miejsce zmiennych zdaniowych
dowolnych zdań w sensie logicznym. Na sprawdzenie, czy dowolna formuła zdaniowa
jest tautologią, pozwala metoda zero-jedynkowa, inaczej matrycowa. Aby przeprowadzić
takie sprawdzenie, należy w danej formule podstawić w miejsce zmiennych zdaniowych
wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych i określić wartość logiczną formuły
zdaniowej dla każdego z tych podstawień. Jeżeli wartość logiczna formuły wynosi 1 dla
każdego możliwego podstawienia, to formuła ta jest tautologią (prawem logicznym)

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

klasycznego rachunku zdań. Jeśli choć w jednym przypadku wartość logiczna wynosi 0,
to formuła nie jest tautologią. W przypadku, gdy formuła zdaniowa zawiera tylko jedną
zmienną, liczba możliwych podstawień wynosi 2. Można to przedstawić za pomocą
tabeli, w której drugi i trzeci wiersz reprezentują kolejne podstawienia:

Tabela podstawień dla formuły zdaniowej z jedną zmienną

Chcemy na przykład sprawdzić, czy formuła ~ (p

 ~p) jest prawem logicznym.

Pierwszym krokiem jest przepisanie całej formuły, przy czym w miejsce zmiennej
wstawia się wartość logiczną z pierwszego wiersza. Taka operacja daje wyrażenie o
następującej postaci: ~ (1

 ~1). Następnie, korzystając z matryc funktorów

prawdziwościowych, sprowadzamy całe wyrażenie do jednej z dwóch wartości
logicznych: 1 lub 0. Analogicznie postępujemy, podstawiając za zmienną p wartość
logiczną 0, co daje wyrażenie o postaci: ~ (0

 ~0). Oto kompletne sprawdzenie

powyższej formuły, które składa się z dwóch podstawień. Kolejne podstawienia będą
oznaczone za pomocą „1)” i „2)”:

~ (p

 ~p)

~ (1

 ~1)

~ (1

 0)

~ 0
1

~ (0

 ~0)

~ (0

 1)

~ 0
1

Przy obu podstawieniach formuła ta przybiera wartość 1, a więc można

stwierdzić, że jest ona prawem logicznym klasycznego rachunku zdań. Sprawdźmy
następującą formułę zdaniową z jedną zmienną: p

 ~ p.

~ p

 ~ 1

 0

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

 ~ 0

 1

Wartość logiczna formuły dla każdego z podstawień wynosi 1, a więc formuła ta

jest tautologią. Można jeszcze sprawdzić następującą formułę: p

 ~ p

 ~ 1

 0

Formuła ta przybiera wartość 0 już przy pierwszym podstawieniu, a więc można

stwierdzić, że nie jest ona tautologią. Nie ma potrzeby dokonywania drugiego
podstawienia. Sprawdzenie formuły zdaniowej klasycznego rachunku zdań, która zawiera
dwie zmienne, będzie składało się co najwyżej z 4 podstawień. Oto tabela
przedstawiająca wszystkie możliwe podstawienia dla formuły zdaniowej z dwoma
zmiennymi.

Tabela podstawień dla formuły zdaniowej z dwoma zmiennymi

Niech celem będzie sprawdzenie następującej formuły zdaniowej z dwoma

zmiennymi:

 q)  (~ q  ~ p)

 1)  (~1  ~ 1)

(0  0)

1

 1)  (~1  ~ 0)

(0  1)

1

 0)  (~ 0  ~ 1)

(1  0)

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015



 0)  (~0  ~ 0)

(1  1)

1

Formuła ta jest prawem logicznym, ponieważ przy każdym podstawieniu

uzyskujemy wartość logiczną 1. Można jeszcze sprawdzić dwie inne formuły z dwoma
zmiennymi.

 q)  (~ p  ~ q)

 1)  (~ 1  ~ 1)

(0  0)



 1)  (~ 0  ~ 1)

(1  0)



Przy drugim podstawieniu otrzymujemy 0, a więc formuła powyższa nie jest

tautologią. Ewentualne dalsze podstawienia mogłyby być wykonywane np. w celu
ćwiczenia umiejętności sprawdzania formuł zdaniowych za pomocą metody zero-
jedynkowej, ale oczywiście już nie w celu sprawdzenia, czy formuła jest tautologią.

 q)  [(p  q)  (q  p)]

 1)  [(1  1)  (1  1)]

1  (1  1)

1  1

 1)  [(0  1)  (1  0)]

 0  (1  0)

0  0

 0)  [(1  0)  (0  1)]

  (0  1)

   0

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

 0)  [(0  0)  (0  0)]

  (1  1)

   1

Przy wszystkich podstawieniach formuła przyjmuje wartość 1, a więc jest ona

tautologią. Formuła ta oddaje charakter równoważności jako obustronnej implikacji.

Sprawdzanie metodą zero-jedynkową może przybierać też nieco inną postać.

Polega ona na tym, że w ramach określonego podstawienia nie zapisuje się kolejnych
wierszy, z których ostatni stanowi wartość logiczną dla tego podstawienia. Zamiast tego
wszystkie wartości logiczne z danego podstawienia wypisane są w jednym wierszu. Za
pomocą tej metody zostaną sprawdzone powyższe, sprawdzone już, formuły zdaniowe.

~ (p

 ~p)

1 1 0 0 1
1 0 0 1 0

 ~ p

1 1 0 1
0 1 1 0

 ~ p

1 0 0 1

 q)  (~ q  ~ p)

1 1 1 1 0 1 1 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 1 1 0 1 1 0

 q)  (~ p  ~ q)

1 1 1 1 0 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0 0 0 1

 q)  [(p  q)  (q  p)]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Sprawdzanie za pomocą drugiego sposobu zabiera mniej miejsca, jednak nie

uwzględnia graficznego obrazu kolejnych kroków w ramach danego podstawienia i
dlatego bywa uznawane za trudniejsze. W istocie druga odmiana sprawdzania różni się od
pierwszej jedynie tym, że pominięte są znaki funktorów i nawiasów oraz wszystkie
wartości logiczne z danego podstawienia umiejscowione są w jednym wierszu. Łatwo
przekonać się o tym na przykładzie jeszcze innego, trzeciego sposobu sprawdzania, który

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

jest kompromisem między dwoma poprzednimi.

 q)  (~ q  ~ p)

 1 1 1

0 

1 1

Jest obojętne, za pomocą którego z wyżej wymienionych sposobów sprawdza się,

czy określona formuła zdaniowa jest tautologią. Rezultat sprawdzania za pomocą
każdego z tych sposobów musi być ten sam, a różnice między przedstawionymi
sposobami dotyczą pominięcia niektórych elementów lub ich graficznego
rozmieszczenia. Dalej będzie stosowany, jako najkrótszy, sposób drugi.

W przypadku formuł zdaniowych z dwoma zmiennymi stosunkowo trudno

pomylić się przy dobieraniu właściwych podstawień. Jednak jeżeli formuła zawiera
więcej zmiennych zdaniowych, to dobranie prawidłowych podstawień może być
czasochłonne. Liczba podstawień (wierszy podstawieniowych) dla formuły zdaniowej o
n zmiennych zdaniowych wyraża się wzorem 2

, przy czym liczba 2 to liczba wartości

logicznych, a n – liczba zmiennych zdaniowych w danej formule. Tak więc np. formuła
zawierająca 3 zmienne zdaniowe będzie miała 2

podstawień, czyli 8. Tabele podstawień

dla formuł zdaniowych zawierających kolejno jedną, dwie, trzy i więcej zmiennych
najłatwiej zapamiętać w następujący sposób. Tabela dla formuły zawierającej jedną
zmienną składa się z jednej kolumny, w której najpierw występuje 1, a następnie 0.

Tabela podstawień dla formuły zdaniowej z jedną zmienną

Tabela podstawień dla formuły zdaniowej z dwoma zmiennymi składa się z

dwóch kolumn, przy czym w pierwszej kolumnie występują na przemian 1 i 0, a w
drugiej kolumnie na przemian po dwie jedynki i po dwa zera.

Tabela podstawień dla formuły zdaniowej z dwoma zmiennymi

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Tabela podstawień dla formuły z 3 zmiennymi składa się z 3 kolumn. W

pierwszej kolumnie występują na przemian 1 i 0; w drugiej po dwie jedynki i po dwa
zera; w trzeciej natomiast – kolejno 4 jedynki i 4 zera.

Widać, że kolejne tabele powstają poprzez powtórzenie już istniejącej tabeli w

pionie oraz dołączenie po prawej stronie kolumny, która zawiera kolejno taką samą ilość
jedynek i taką samą ilość zer. Oto przykłady sprawdzeń formuł zdaniowych
zawierających trzy zmienne:

 q)  [(q  r)  (p  r)]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

Przy wszystkich możliwych podstawieniach formuła przybiera wartość 1, a więc

jest tautologią.

[(p

 q)  r] p (q  r)]

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1
0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Również i ta formuła zdaniowa jest prawem logicznym.

27. Skrócona metoda zero-jedynkowa

Niektóre formuły zdaniowe można łatwo sprawdzić skróconą metodą zero-

jedynkową. Istotą tej metody jest opuszczenie takich podstawień, przy których formuła
przybiera wartość 1. Do takiego sprawdzania nadają się przede wszystkim formuły
mające postać implikacji. Wiadomo, że implikacja zawsze będzie prawdziwa przy
fałszywym poprzedniku i prawdziwym następniku. Podstawienia dające takie wartości
logiczne poprzednika i następnika można zatem opuścić. Wiadomo natomiast, że
implikacja może okazać się fałszywa jedynie przy prawdziwym poprzedniku i fałszywym
następniku. Wystarczy więc wykonać tylko takie podstawienia, przy których poprzednik
jest prawdziwy. Jeśli przy każdym z takich podstawień następnik będzie również
prawdziwy, to sprawdzana formuła jest tautologią. Z drugiej strony można też wykonać
wyłącznie takie podstawienia, przy których następnik jest fałszywy. Gdy przy każdym z
takich podstawień okaże się, że poprzednik też jest fałszywy, to sprawdzana formuła jest
tautologią. Zastosowanie skróconej metody zero-jedynkowej warto pokazać na kilku
przykładach.

 q)  (~ q  ~ p)

Chcąc sprawdzić w sposób skrócony formułę o postaci implikacji, należy przede

wszystkim zastanowić się, czy lepiej będzie założyć prawdziwość poprzednika, czy
fałszywość następnika. W powyższym przykładzie lepiej założyć fałszywość następnika.
Poprzednik jest tutaj prawdziwy przy trzech różnych kombinacjach wartości logicznych,
więc założenie prawdziwości poprzednika pozwoliłoby na opuszczenie tylko jednego
podstawienia. Korzystniejsze będzie założenie fałszywości następnika, gdyż następnik
będzie tu fałszywy tylko przy jednej kombinacji wartości logicznych: p=1 i q=0. Wobec
tego wystarczy sprawdzić, jaką wartość logiczną przybiera formuła zdaniowa przy tej
właśnie kombinacji wartości logicznych. Za pomocą skrótu „skr.” wskazuje się na to, że
sprawdzenie przebiega według metody skróconej. Wstępne założenie prawdziwości lub
fałszywości jakiegoś wyrażenia można zaznaczyć za pomocą podkreślenia:

 q)  (~ q  ~ p)

skr. 1 0 0 1 1 0 0 0 1

Jak widać, przy powyższym podstawieniu formuła przybiera wartość logiczną 1,

a więc jest ona tautologią. Sprawdźmy inną formułę zdaniową.

~ (p

 q)  ( ~ p  ~ q)

Najpierw trzeba ustalić, czy lepiej będzie założyć prawdziwość poprzednika, czy

fałszywość następnika. Poprzednik jest prawdziwy tylko przy jednym podstawieniu: p=0
i q=0. Natomiast następnik jest fałszywy przy trzech różnych podstawieniach. Wobec
tego zakładamy prawdziwość poprzednika i sprawdzamy wartość formuły.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

~ (p

 q)  ( ~ p  ~ q)

skr. 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0

Okazuje się, że formułą ta jest tautologią. Sprawdzanie skrócone jest przydatne

zwłaszcza dla takich formuł, które posiadają trzy lub więcej zmiennych. Bywa wtedy tak,
że nie da się, jak w powyższych przykładach, zredukować całego sprawdzenia do
dokonania jednego podstawienia. Często jednak udaje się skrócić sprawdzenie do dwóch
podstawień. Rozpatrzmy następującą formułę.

[(p

 q)  (q  r)]  (p  r)

Od razu widać, że poprzednik jest prawdziwy przy kilku różnych podstawieniach,

natomiast następnik jest fałszywy tylko przy jednym: p=1 i r=0. Pozostaje jeszcze
zmienna q, która może przybrać dwie wartości logiczne. W związku z tym wystarczy
wykonać dwa podstawienia: p=1, q=1 i r=0 oraz p=1, q=0 i r=0.

[(p

 q)  (q  r)]  (p  r)

skr. 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0
skr. 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0

Okazuje się, że formuła ta nie jest prawem logicznym.

28. Wybrane prawa logiczne klasycznego rachunku zdań.

Rola praw logicznych polega na tym, że ujmują pewne stałe związki między

zdaniami, a dzięki temu na podstawie tych praw można przeprowadzać poprawne
rozumowania. Jest to szczególnie widoczne w przypadku praw o postaci implikacji, gdyż
uznając za prawdziwe zdanie, które ma strukturę poprzednika takiego prawa, trzeba też
uznać za prawdziwe zdanie mające strukturę następnika tego prawa. Weźmy na przykład
wcześniej przedstawione prawo logiczne: (p

 q)  (~ q  ~ p). Zdaniem mającym

strukturę poprzednika tego prawa jest na przykład zdanie „Jeżeli jest silny mróz, to staw
zamarza”. Jeżeli zdanie to uzna się za prawdziwe, to na mocy praw logiki trzeba też
uznać za prawdziwe zdanie „Jeżeli staw nie zamarza, to nie ma silnego mrozu”. W
przypadku praw logicznych mających postać równoważności będzie tak, że uznając za
prawdziwe zdanie mające strukturę dowolnego członu takiego prawa, trzeba uznać za
prawdziwe zdanie mające strukturę drugiego jej członu. Można wziąć pod uwagę
następujące prawo logiczne: ~ (p

 q) (~ p ~ q). Uznając za prawdziwe zdanie,

którego struktura odpowiada pierwszemu członowi tej równoważności, np. „Nieprawda,
że (zostanę w domu i pójdę do kina)”, trzeba też uznać zdanie o strukturze drugiego
członu: „Nieprawda, że zostanę w domu lub nieprawda, że pójdę do kina” i odwrotnie.
Gdy struktura zdania Z jest zgodna z jakąś formułą zdaniową F, to mówi się, że zdanie Z
jest podstawieniem formuły zdaniowej F. Na przykład podstawieniami formuły
zdaniowej p

 q są zdania „Jeżeli pójdę na spacer, to nie oglądnę telewizji”, „Jeżeli lód

zostanie ogrzany, to lód się rozpuści” itp. Najprostszą formułą zdaniową klasycznego
rachunku zdań jest pojedyncza zmienna, która może mieć postać „p”, a jej podstawieniem
jest dowolne zdanie w sensie logicznym.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Niektóre prawa logiczne klasycznego rachunku zdań są wyróżniane w szczególny

sposób, co wyraża się między innymi w tym, że posiadają one swoje nazwy. Oprócz
nazewnictwa poniższych praw zostaną również podane ich przykładowe podstawienia.

1. p

 p

Jest to p r a w o t o ż s a m o ś c i . Głosi ono, że dla jakiegokolwiek zdania prawdziwy
będzie okres warunkowy, którego zarówno poprzednikiem, jak i następnikiem jest to
samo zdanie, np. „Jeżeli Warszawa jest stolicą Polski, to Warszawa jest stolicą Polski”.

2. p

 ~ p

To prawo określane jest jako p r a w o w y ł ą c z o n e g o ś r o d k a . Stwierdza ono,
że spośród dwóch zdań sprzecznych zawsze jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe, np.
„Warszawa jest stolicą Polski lub Warszawa nie jest stolicą Polski”.

3. ~ (p

 ~p)

Jest to p r a w o s p r z e c z n o ś c i (czasami bywa określane jako prawo
niesprzeczności), które stwierdza, że nie może być jednocześnie prawdziwe jakieś zdanie
oraz zaprzeczenie tego samego zdania. Przykład: „Nieprawda, że Warszawa jest stolicą
Polski i Warszawa nie jest stolicą Polski”.

4. p

 ~ (~ p)

Powyższe p r a w o p o d w ó j n e g o p r z e c z e n i a głosi, że dowolne zdanie jest
równoważne podwójnemu zaprzeczeniu tego zdania, np. „Warszawa jest stolicą Polski
wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski”.

5. (p

 q) 



 p)

Prawo przemienności koniunkcji stwierdza, że koniunkcja dwóch zdań jest równoważna
koniunkcji tych samych zdań występujących w odwrotnej kolejności, np. „Jestem
studentem i mieszkam w Krakowie wtedy i tylko wtedy, gdy mieszkam w Krakowie i
jestem studentem”. Inaczej mówiąc, omawiane prawo stwierdza, że kolejność członów
koniunkcji jest dowolna.

6. (p

q) (q p)

Powyższe prawo przemienności alternatywy jest podobne do prawa przemienności
koniunkcji. Głosi ono, że alternatywa dwóch zdań jest równoważna alternatywie tych
samych zdań występujących w odwrotnej kolejności, np. „Jestem studentem lub
mieszkam w Krakowie wtedy i tylko wtedy, gdy mieszkam w Krakowie lub jestem
studentem”.

7. (p

 q)  (~ q  ~ p)

Jest to prawo transpozycji (prostej). Stwierdza ono, że dowolna implikacja jest
równoważna implikacji powstającej przez zaprzeczenie i zamianę miejscami poprzednika
i następnika. Na przykład zdanie „Jeżeli dzisiaj jest piątek, to jutro będzie sobota” jest
równoważne zdaniu „Jeżeli nie jest tak, że jutro będzie sobota, to nie jest tak, że dzisiaj
jest piątek”. Prawo transpozycji bywa też ujmowane jako implikacja: (p

 q)  (~ q 

~ p).

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

8. [(p

 q)  p]  q

To prawo nosi nazwę modus ponendo ponens (łac. sposób przez stwierdzenie
stwierdzający). Stwierdza ono, że o ile prawdziwa jest jakaś implikacja oraz poprzednik
tej implikacji, to prawdziwy będzie również następnik tej implikacji, np. „Jeśli: jeżeli Jan
ma wysoką temperaturę, to Jan jest chory i Jan ma wysoką temperaturę, to: Jan jest
chory”. Można też spotkać się ze skróconą nazwą tego prawa: modus ponens.

9. [(p

 q)  ~ q]  ~ p

Jest to prawo modus tollendo tollens (łac. sposób przez zaprzeczenie zaprzeczający,
krócej: modus tollens), które ustala, że o ile prawdziwa jest jakaś implikacja oraz
fałszywy jest następnik tej implikacji, to fałszywy będzie także poprzednik tej implikacji.
Pokazuje to następujący przykład: „Jeśli: jeżeli jest ciepło, to śnieg topnieje i śnieg nie
topnieje, to: nie jest tak, że jest ciepło”. Skrócona nazwa tego prawa to modus tollens.

10. [(p / q)

 p]  ~ q

To prawo logiczne nosi nazwę modus ponendo tollens (łac. sposób przez stwierdzenie
zaprzeczający). Stwierdza ono, że jeżeli prawdziwa jest jakaś dysjunkcja oraz jeden z
członów tej dysjunkcji, to fałszywy będzie drugi człon tej dysjunkcji, np. „Jeżeli: bądź
pójdę do kina, bądź zostanę w domu i pójdę do kina, to: nie zostanę w domu”. Prawem
tym będzie również formuła: [(p / q)

 q]  ~ p.

11. [(p

 q)  ~ p]  q

Prawo powyższe to modus tollendo ponens (łac. sposób przez zaprzeczenie
stwierdzający). Jeżeli prawdziwa jest pewna alternatywa i fałszywy jest jeden z członów
tej alternatywy, to drugi jej człon będzie prawdziwy, np. „Jeżeli: pójdę do kina lub
zostanę w domu i nie pójdę do kina, to: zostanę w domu”. Formuła: [(p

q)  ~ q]  p

jest również prawem modus tollendo ponens.

12. ~ (p

 q) (~p ~ q)

Jest to pierwsze prawo de Morgana. Stwierdza ono, że negacja koniunkcji jest
równoważna alternatywie zanegowanych członów tejże koniunkcji. Na przykład zdanie
„Nieprawda, że studiuję i mieszkam w Warszawie” jest równoważne zdaniu „Nieprawda,
że studiuję lub nieprawda, że mieszkam w Warszawie”.

13. ~ (p

 q) (~p ~ q)

Powyższa formuła zdaniowa to drugie prawo de Morgana, które stwierdza, że negacja
alternatywy jest równoważna koniunkcji zanegowanych członów tej alternatywy. Zdanie
„Nieprawda, że pada śnieg lub świeci słońce” jest równoważne zdaniu „Nieprawda, że
pada śnieg i nieprawda, że świeci słońce”.

14. (p

 q)  [(q  r)  (p  r)]

Jest to prawo sylogizmu hipotetycznego bezkoniunkcyjnego. Przykładowe zastosowanie
może być następujące, przy czym poszczególne zdania są ujęte w nawiasy dla większej
przejrzystości: „Jeżeli: (Jeżeli nie nastawię budzika, to nie obudzę się o 6:00), to: [Jeżeli
(Jeżeli nie obudzę się o 6:00, to nie zdążę na pociąg), to (Jeżeli nie nastawię budzika, to

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

nie zdążę na pociąg)].

15. [(p

 q)  (q  r)]  (p  r)

Powyższe prawo sylogizmu hipotetycznego koniunkcyjnego ma budowę zbliżoną do
poprzedniego prawa. Można tutaj również użyć zdań występujących w poprzednim
przykładzie: „Jeżeli: [(Jeżeli nie nastawię budzika, to nie obudzę się o 6:00) i (Jeżeli nie
obudzę się o 6:00, to nie zdążę na pociąg)], to: (Jeżeli nie nastawię budzika, to nie zdążę
na pociąg).

Powyżej zostały wyszczególnione wybrane prawa logiczne oraz zdania

odpowiadające ich strukturze, czyli podstawienia tych praw. Oba te rodzaje wyrażeń –
prawa logiczne oraz ich podstawienia – są określane jako prawdy logiczne. Inaczej
mówiąc: wyrażenie W jest prawdą logiczną wtedy i tylko wtedy, gdy W jest prawem
logicznym bądź podstawieniem prawa logicznego. Na przykład prawdą logiczną jest
zarówno tautologia „p

 ~ p”, jak i zdanie: „Teraz pada deszcz lub nieprawda, że teraz

pada deszcz”, które jest jednym z możliwych podstawień tej tautologii. Pojęcie prawdy
logicznej może być użyte do zdefiniowania wynikania logicznego.

29. Pojęcie wynikania logicznego

Wynikanie logiczne jest szczególnego rodzaju relacją między zdaniami. Definicja

wynikania logicznego może być sformułowana w następujący sposób: ze zdań Z

, Z

,..., Z

wynika logicznie zdanie Z

n+1

wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja „Jeżeli (Z

i Z

i...i Z

), to Z

n+1

” jest podstawieniem jakiegoś prawa logicznego. Przypadek, w którym

n=1, będzie polegał na tym, że z jakiegoś zdania Z

będzie wynikało logicznie zdanie Z

Zwrot „podstawieniem jakiegoś prawa logicznego”, który znajduje się w powyższej
definicji, można zastąpić słowami „prawdą logiczną”. Do sformułowania przykładów
wynikania logicznego mogą być użyte zdania składające się na wymienione wcześniej
prawdy logiczne. Na przykład ze zdań Z

„Jeżeli Jan ma wysoką temperaturę, to Jan jest

chory” i Z

: „Jan ma wysoką temperaturę” wynika logicznie zdanie Z

: „Jan jest chory”.

Jest tak dlatego, że zdanie złożone „Jeżeli: [(Jan ma wysoką temperaturę, to Jan jest
chory) i (Jan ma wysoką temperaturę)], to: (Jan jest chory)” jest podstawieniem prawa
logicznego

modus ponendo ponens

. Przekonamy się o tym, gdy zastąpimy

poszczególne zdania odpowiednimi zmiennymi, a zwrot „jeżeli..., to...” funktorem
implikacji, wskutek czego otrzymamy formułę [(

 q

)

 p

]

 q

. Inny przykład: ze

zdań „Pójdę do kina lub zostanę w domu” i „Nie pójdę do kina” wynika logicznie zdanie
„Zostanę w domu”, ponieważ zdanie „Jeżeli: [(pójdę do kina lub zostanę w domu) i (nie
pójdę do kina)], to: zostanę w domu” jest podstawieniem prawa

modus tollendo ponens

czyli formuły zdaniowej [(

 q

)



]

 q

. Gdy ze zdań Z

, Z

,..., Z

wynika

logicznie zdanie Z

n+1

, to zdania Z

, Z

,..., Z

nazywamy racją logiczną, natomiast zdanie

n +1

następstwem logicznym.

W podanej wyżej definicji wynikania logicznego uwzględnione są jedynie prawa

logiczne o postaci implikacji. Trzeba jednak wziąć pod uwagę, że z każdego prawa
logicznego mającego postać równoważności można otrzymać dwa prawa logiczne o
postaci implikacji. Jeżeli formuła zdaniowa o postaci „a

b” jest prawem logicznym, to

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

prawami logicznymi będą też formuły „a

 b” oraz „b  a”. Weźmy na przykład prawo

transpozycji prostej: (p

 q)  (~ q  ~ p). W myśl powyższej zasady prawami

logicznymi są formuły (p

 q)  (~ q  ~ p) oraz (~ q  ~ p) (p  q). W definicji

wynikania logicznego można pominąć odniesienie do praw logicznych mających postać
równoważności jedynie z zastrzeżeniem, że każde prawo logiczne o postaci „a

b”

traktuje się jako dwa prawa logiczne „a

b” oraz „b a”. Definicja wynikania

logicznego, która uwzględnia prawa logiczne o postaci równoważności, może mieć
następującą postać: ze zdań Z

, Z

,..., Z

wynika logicznie zdanie Z

n+1

wtedy i tylko

wtedy, gdy implikacja (Z

 Z

... Z

)

 Z

n+1

lub równoważność (Z

 Z

...

)

 Z

n+1

” jest podstawieniem jakiegoś prawa logicznego.

Aby sprawdzić, czy ze zdań Z

i Z

i...i Z

wynika logicznie zdanie Z

n+1

należy ułożyć formułę zdaniową, której podstawieniem jest Z

i Z

i...i Z

oraz formułę

zdaniową, której podstawieniem jest Z

n+1

. Następnie należy pierwszą formułę jako

poprzednik połączyć z drugą formuła jako z następnikiem za pomocą funktora implikacji.
Jeżeli wyrażenie otrzymane w ten sposób jest prawem logicznym, to ze zdań ze zdań Z

i Z

i...i Z

wynika logicznie zdanie Z

n+1

. Jeżeli natomiast wyrażenie to nie jest prawem

logicznym, to wynikanie logiczne nie zachodzi. Tworzenie przykładu wynikania
logicznego odbywa się w odwrotny sposób: należy najpierw wybrać jakieś prawo
logiczne o postaci implikacji (lub równoważności), a następnie podstawić odpowiednie
wyrażenia w miejsce zmiennych w poprzedniku oraz w następniku. Ze zdania (lub zdań)
będącego podstawieniem poprzednika będzie wtedy wynikało logicznie zdanie będące
podstawieniem następnika. Na przykład wybieramy prawo transpozycji prostej, czyli
formułę zdaniową (p

 q)  (~ q  ~ p), i dobieramy zdanie będące podstawieniem

poprzednika, na przykład „Jeżeli dzisiaj jest poniedziałek, to jutro będzie wtorek”. Wobec
tego zdanie będące podstawieniem następnika będzie brzmiało: „Jeżeli nieprawda, że
jutro będzie wtorek, to dzisiaj nie jest poniedziałek”. Ze zdania „Jeżeli dzisiaj jest
poniedziałek, to jutro będzie wtorek” wynika zatem logicznie zdanie „Jeżeli nieprawda,
że jutro będzie wtorek, to dzisiaj nie jest poniedziałek”.

W dalszej części tekstu wszędzie tam, gdzie będzie chodziło o wynikanie

logiczne, zostanie użyte określenie „wynikanie logiczne”, a nie określenie „wynikanie”.
Także tam, gdzie będzie chodziło o rację logiczną lub następstwo logiczne, stosowane
będą określenia „racja logiczna” i „następstwo logiczne”, a nie „racja” i „następstwo”. To
rozróżnienie jest ważne, ponieważ wynikanie logiczne to coś więcej niż samo wynikanie.
Jeżeli ze zdania Z

wynika logicznie zdanie Z

, to zdania te zawsze tworzą prawdziwy

okres warunkowy, a więc ze zdania Z

wynika zdanie Z

. Natomiast samo wynikanie nie

musi być wynikaniem logicznym. Ze zdania „Temperatura wody wynosi 100°C” wynika
zdanie „Woda wrze”, bo nie zachodzi sytuacja, w której pierwsze zdanie jest prawdziwe,
a drugie fałszywe. Nie występuje tu jednak wynikanie logiczne, ponieważ implikacja,
której poprzednikiem jest pierwsze zdanie, a następnikiem drugie, nie jest podstawieniem
prawa logicznego. Jest podstawieniem formuły zdaniowej p

 q, która prawem

logicznym nie jest. Natomiast ze zdań „Jeżeli temperatura wody wynosi 100°C, to woda
wrze” oraz „Temperatura wody wynosi 100°C” wynika logicznie zdanie „Woda wrze”.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

34. Wnioskowanie. Wnioskowanie dedukcyjne

Wnioskowanie jest to pewien układ zdań, w którym na podstawie co najmniej

jednego zdania uznanego za prawdziwe uznaje się za prawdziwe jakieś inne zdanie.
Zdania, na podstawie których uznaje się za prawdziwe jakieś inne zdanie, to przesłanki,
natomiast zdanie uznane za prawdziwe na podstawie innego zdania lub zdań to wniosek.
Przesłanki dowolnego wnioskowania połączone są zawsze za pomocą słowa „i”, którego
można nie uwzględniać przy zapisywaniu konkretnego wnioskowania. Przesłanki można
poprzedzić słowem „ponieważ” (lub skoro itp.), a wniosek słowem „więc”, „zatem”.
Przykład wnioskowania może być następujący. Ponieważ: jeżeli temperatura wynosi
mniej niż 0

C, to woda zamarza i temperatura wynosi mniej niż 0

C, zatem: woda

zamarza. W logice zapisuje się wnioskowania w taki sposób, że przesłanki wypisuje się
jedna pod drugą, a od wniosku oddziela się je za pomocą poziomej linii:

Jeżeli temperatura wynosi mniej niż 0

C, to woda zamarza

Temperatura wynosi mniej niż 0

Woda zamarza

Na początku podręcznika była mowa o tym, że logika formalna bada schematy

wnioskowań niezawodnych, to jest takich, które od prawdziwych zdań prowadzą zawsze
do innych zdań prawdziwych. Uzyskanie prawdziwego wniosku z prawdziwych
przesłanek jest zagwarantowane wtedy, gdy z przesłanek wniosek wynika logicznie.
Wnioskowanie, w którym wniosek wynika logicznie z przesłanek, to wnioskowanie
dedukcyjne (łac. deductio – wyprowadzenie). Wnioskowanie dedukcyjne jest
wnioskowaniem niezawodnym, co znaczy, że ono przebiega według takiego sposobu
wnioskowania, że prawdziwość przesłanek jest gwarancją prawdziwości wniosku. Logika
formalna nie koncentruje się na wnioskowaniach dedukcyjnych, w których występują
zdania w sensie logicznym, ale na schematach takich wnioskowań. Schemat powyższego
wnioskowania jest następujący:

Jeżeli p, to q
p
q

Formalny schemat wnioskowania to taki schemat, który zawiera wyłącznie

wyrażenia zbudowane ze zmiennych i stałych logicznych (oraz ewentualnie nawiasów).
Schemat jest niezawodny wtedy, gdy prowadzi zawsze od prawdziwych przesłanek do
prawdziwego wniosku, przy podstawieniu tych samych wyrażeń za te same zmienne.
Schemat logiczny to taki schemat, który jest jednocześnie formalny i niezawodny.
Powyższe schematy są schematami logicznymi.

Wnioskowanie podpada pod jakiś schemat formalny wtedy, gdy można to

wnioskowanie otrzymać z tego schematu poprzez podstawienie tych samych wyrażeń za
te same zmienne. Pod poszczególne schematy wnioskowań podpada bardzo wiele
wnioskowań, na przykład pod powyższy schemat podpadają następujące wnioskowania:
„Jeżeli pada deszcz, to ulica jest mokra i pada deszcz, a więc ulica jest mokra”; „Jeżeli
temperatura wody osiąga 100

C, to woda wrze i temperatura wody osiąga 100

C, a zatem

woda wrze” itd. Pod schemat ten nie podpadają natomiast następujące wnioskowania:

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

„Jeżeli pada deszcz, to ulica jest mokra i ulica nie jest mokra, a więc nie pada deszcz”;
„Jeżeli pacjent jest chory, to pacjent ma temperaturę, i pacjent ma temperaturę, a więc
pacjent jest chory” itp.

35. Logiczne schematy wnioskowania a prawa logiczne

Struktura schematów logicznych jest zgodna z określonymi prawami logicznymi.

Na przykład zaprezentowanemu przed chwilą schematowi odpowiada prawo logiczne:
jeżeli (jeśli p to q) i p, to q, czyli prawo modus ponendo ponens. Schematy logiczne noszą
te same nazwy, co odpowiadające im prawa logiczne, a więc schemat, któremu
odpowiada prawo modus ponendo ponens to po prostu schemat modus ponendo ponens.
Schematowi logicznemu o postaci:

(1)

.
.
W

n+1

odpowiada prawo logiczne o postaci:

(2)

Jeżeli (W

i W

i... i W

), to W

n+1

Ta sama zależność dotyczy formalnych schematów wnioskowania w ogóle:

Schematowi formalnemu o postaci (1) odpowiada formuła zdaniowa o postaci (2).
Schemat o postaci (1) jest schematem logicznym wtedy, gdy formuła zdaniowa o postaci
(2) jest prawem logicznym. Aby zatem sprawdzić, czy jakiś formalny schemat
wnioskowania o postaci (1) jest schematem logicznym (czyli nie tylko formalnym, ale
również niezawodnym), wystarczy sprawdzić, czy formuła zdaniowa o postaci (2) jest
prawem logicznym. Można na przykład sprawdzić w ten sposób, czy następujący schemat
formalny jest schematem logicznym:

q

~ p
--------
~ q

Formuła zdaniowa, która odpowiada temu schematowi jest następująca:

[( p

q )  ~ p ]  ~ q

skr. 0 1 1 1 1 0 0 0 1

Okazuje się, że powyższy schemat nie jest schematem logicznym, a więc

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

wnioskując według niego można uzyskać fałszywy wniosek pomimo tego, że przesłanki
będą prawdziwe. Na przykład wnioskując na podstawie przesłanek „Jeżeli jest wojna, to
ludzie cierpią” oraz „Nie ma wojny” uzyskujemy fałszywy wniosek: „Ludzie nie cierpią”.

ELEMENTY OGÓLNEJ METODOLOGII NAUK

36. Uzasadnianie bezpośrednie a uzasadnianie pośrednie

Przedmiotem uzasadniania są w najprostszym przypadku zdania. Uzasadnić

zdanie Z to tyle, co wykazać, że zdanie Z jest prawdziwe lub prawdopodobne. Sposoby
uzasadniania różnią się między sobą w zależności od tego, jaką metodą jest wykazywana
prawdziwość lub prawdopodobieństwo uzasadnianego zdania. Wyróżnia się przede
wszystkim uzasadnianie bezpośrednie oraz uzasadnianie pośrednie. Różnica między tymi
sposobami uzasadniania jest taka, że przy pośrednim uzasadnianiu jakiegoś zdania
następuje odwołanie się do przynajmniej jednego innego zdania uznanego już za
prawdziwe, natomiast odwołanie takie nie zachodzi w przypadku uzasadniania
bezpośredniego. Uzasadnienie bezpośrednie jakiegoś zdania może polegać na odwołaniu
się do spostrzeżeń, obserwacji, eksperymentu lub konwencji terminologicznej. Powyższe
sposoby uzasadniania bezpośredniego mają racjonalny charakter. Obok nich istnieją
również sposoby uzasadniania bezpośredniego, które zasadniczo nie są uwzględniane w
nauce, na przykład odwołanie się do intuicji, autorytetu itd.

37. Sposoby uzasadniania bezpośredniego

Zdanie może być uzasadnione za pomocą spostrzeżenia na przykład w sytuacji,

gdy ktoś, widząc padający za oknem deszcz, sformułuje zdanie „W tej chwili pada
deszcz” lub wtedy, gdy słysząc w pobliżu głośny krzyk stwierdzi: „Ktoś przed chwilą
głośno krzyczał”. Spostrzeżenia są tutaj rozumiane szeroko – nie tylko jako doznania
wzrokowe, ale jako wszelkie doznania zmysłowe. Celowe, ukierunkowane spostrzeganie,
które ma umożliwić odpowiedź na wcześniej postawione pytanie, zwane jest obserwacją.
Inaczej mówiąc: obserwacja jest to takie spostrzeganie, które prowadzi do odpowiedzi na
jakieś wcześniejsze od niej pytanie. Gdy pewna osoba w sposób niezamierzony,
spontaniczny spojrzy przez okno i spostrzeże, że pada deszcz, to nie będzie to jeszcze
obserwacja. Obserwacja zajdzie natomiast wtedy, gdy ta sama osoba zada sobie pytanie:
„Czy pada deszcz?” i w celu udzielenia odpowiedzi na to pytanie spojrzy przez okno.
Eksperyment ma miejsce wtedy, gdy wywołuje się pewne zjawiska lub wpływa się na ich
przebieg w tym celu, aby dokonać obserwacji, np. w warunkach laboratoryjnych
wywołuje się wybuch określonej substancji, aby zaobserwować jego skutki. Obserwacji,
która jest umożliwiana przez eksperyment, towarzyszy często pomiar. Pomiar, w
największym uproszczeniu, to przypisanie badanym zjawiskom pewnych wartości
liczbowych odpowiadających obserwowanym cechom czy relacjom.

Szczególnym sposobem uzasadniania bezpośredniego jest odwoływanie się do

konwencji (umów) terminologicznych. Uzasadnianie tego rodzaju dotyczy tzw.
postulatów znaczeniowych – zdań, których prawdziwość jest zagwarantowana przez
postanowienie, że terminy wchodzące w skład tych zdań odnosić się będą do określonych

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

przedmiotów. Takimi postulatami znaczeniowymi są na przykład zdania: „Metr ma 100
centymetrów”, „Kilogram ma 1000 gramów” itd. Aby uzasadnić tego typu zdanie,
wystarczy powołać się na konwencję terminologiczną, na mocy której jest ono
prawdziwe.

Uzasadnianie pośrednie opiera się zawsze na jakimś rozumowaniu.

Rozumowanie to pewien układ powiązanych ze sobą zdań, w którym od pewnych zdań
prawdziwych lub prawdopodobnych przechodzi się do innych zdań prawdziwych lub
prawdopodobnych. Do podstawowych rodzajów rozumowań należą wnioskowanie,
dowodzenie i sprawdzanie. Warto zwrócić uwagę na to, że chociaż każde uzasadnianie
pośrednie jest rozumowaniem, to nie występuje sytuacja odwrotna. Nie każde
rozumowanie jest uzasadnianiem – na przykład uzasadnianiem nie jest rozumowanie
określane jako wyjaśnianie.

38. Wnioskowanie dedukcyjne jako uzasadnianie pośrednie

Wnioskowanie dedukcyjne, o którym już była mowa, jest wnioskowaniem

niezawodnym, to znaczy takim, że schemat tego wnioskowania przesądza, iż z
prawdziwych przesłanek uzyskuje się zawsze prawdziwy wniosek. Jeżeli prawdziwość
przesłanek jakiegoś wnioskowania nie gwarantuje prawdziwości jego wniosku, to
wnioskowanie takie jest niededukcyjne. Wnioskowania niededukcyjne nie są
niezawodne, tylko co najwyżej uprawdopodobniające – wnioski takich wnioskowań
mogą być uznane za prawdopodobne w różnym stopniu. Wcześniej zostało powiedziane,
że wnioskowanie to taki układ zdań, w którym na postawie przynajmniej jednego zdania
uznanego za prawdziwe uznaje się za prawdziwe jakieś inne zdanie. Każdemu
wnioskowaniu można przypisać następujący schemat:

 Z

---------
Z

n+1

Symbole Z

, Z

,..., Z

oznaczają zdania będące przesłankami, symbol Z

n+1

oznacza

zdanie będące wnioskiem.

Gdy n=1, to wnioskowanie zawiera tylko jedną przesłankę.

Jeżeli ze zdań Z

, ..., Z

wynika logicznie Z

n+1

, to wnioskowanie jest dedukcyjne.

Wcześniejsze informacje dotyczące wnioskowania dedukcyjnego warto uzupełnić jeszcze
kilkoma przykładami.

Jeżeli pada deszcz, to jest mokro
------------------------------------------------
Jeżeli nie jest mokro, to nie pada deszcz

Wnioskowanie to jest oparte na prawie transpozycji i posiada schemat:

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

 q

-----------
~q

 ~p

Jeżeli pada deszcz, to na dworze jest mokro
Nieprawda, że na dworze jest mokro
-----------------------------------------------------
Nieprawda, że pada deszcz

Wnioskowanie to jest oparte na tautologii modus tollendo tollens [(p

 q)  ~ q]  ~ p,

a jego schemat jest następujący:

 q

~ q
-----------
~ p

Jeżeli Andrzej jest chory, to Andrzej nie chodzi do pracy
Jeżeli Andrzej nie chodzi do pracy, to Andrzej nie dostanie premii
--------------------------------------------------------------------------------
Jeżeli Andrzej jest chory, to Andrzej nie dostanie premii

Wnioskowanie to jest oparte na prawie sylogizmu hipotetycznego w postaci
koniunkcyjnej [(p

 q)  (q  r)]  (p  r) i ma następujący schemat:

 q

 r

--------
p

 r

Wnioskowania dedukcyjne mogą przebiegać według różnych schematów, byleby

schematom tym odpowiadały prawa logiczne o postaci implikacji (lub równoważności).
Wynikanie logiczne wniosku z przesłanek gwarantuje, że z prawdziwych przesłanek
uzyska się zawsze prawdziwy wniosek. Jeżeli wniosek nie wynika logicznie z przesłanek
wnioskowania, to wnioskowanie takie jest niededukcyjne. Do wnioskowań
niededukcyjnych zalicza się między innymi wnioskowanie redukcyjne, wnioskowanie
indukcyjne oraz wnioskowanie z analogii (przez analogię).

39. Wnioskowanie redukcyjne

W przypadku wnioskowania dedukcyjnego wniosek wynika logicznie z

przesłanek. Natomiast wnioskowanie redukcyjne (łac. reductio – sprowadzenie,
przyprowadzenie z powrotem) charakteryzuje się tym, że jego wniosek nie wynika
logicznie z przesłanek, ale ponadto odpowiednio dobrany układ wniosku i przesłanek

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

tworzy relację wynikania logicznego. Skoro wniosek nie wynika logicznie z przesłanek,
to oczywiste jest, że nie może on mieć charakteru następstwa logicznego – może jedynie
stanowić rację logiczną lub składać się na rację logiczną. Istotę wnioskowania
redukcyjnego dobrze ukazuje następujące zestawienie dwóch przykładów wnioskowania.
Wiemy, że padał deszcz (p), wiemy też, że jeżeli padał deszcz, to ulica jest mokra (p



q). Możemy zatem wnioskować dedukcyjnie według schematu modus ponens, że ulica
jest mokra (q). Inna sytuacja zajdzie wtedy, gdy wiemy, że ulica jest mokra (q), a
ponadto, że jeżeli padał deszcz, to ulica jest mokra ( p

 q ). Możemy wtedy

wnioskować, że padał deszcz (p). Schemat tego drugiego wnioskowania jest następujący:

 q

----------

Formuła zdaniowa odpowiadająca temu schematowi jest następująca:

[( p

 q )  q ] p

Formuła ta nie jest prawem logicznym, o czym łatwo się przekonać, stosując metodę
zero-jedynkową. Powyższy schemat wnioskowania jest więc zawodny. Natomiast z p



q oraz p wynika logicznie q, a więc z wniosku oraz jednej z przesłanek wynika logicznie
druga przesłanka. Rozpatrywany schemat bardzo często służy do przeprowadzania
wnioskowań redukcyjnych. Oto przykłady:

Jeżeli w baku brakuje paliwa, to silnik samochodu przestaje pracować

Silnik samochodu przestaje pracować

-------------------------------------------------------------------------------------

W baku brakuje paliwa

Zgasło światło w mieszkaniu

Jeżeli elektrownia wyłączyła prąd, to zgasło światło w mieszkaniu

---------------------------------------------------------------------------------------

Elektrownia wyłączyła prąd

Wnioskowanie redukcyjne, tak jak i inne rodzaje wnioskowań, może być

wnioskowaniem entymematycznym (łac. en thymo – w umyśle). Wnioskowanie takie ma
miejsce wtedy, gdy jedna z jego przesłanek, zwana przesłanką entymematyczną, nie jest
wypowiedziana ze względu na jej oczywistość dla wnioskującego. Wyżej
wyszczególnione przykłady wnioskowań mogą mieć charakter wnioskowań
entymematycznych. W nawiasach i drobniejszym drukiem ujęte są przesłanki
entymematyczne:

(Jeżeli w baku brakuje paliwa, to silnik samochodu przestaje pracować)

Silnik samochodu przestaje pracować

------------------------------------------------------------------------

W baku brakuje paliwa

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

(Jeżeli elektrownia wyłączyła prąd, to zgasło światło w mieszkaniu)

Zgasło światło w mieszkaniu

------------------------------------------------------------------------

Elektrownia wyłączyła prąd

40. Wnioskowanie indukcyjne

Wnioskowanie indukcyjne (łac. inductio – wprowadzenie, doprowadzenie)

występuje wtedy, gdy na podstawie jednostkowych przypadków, w których zachodzi
określona prawidłowość, wyciąga się wniosek, że prawidłowość ta obejmuje wszystkie
przypadki danego rodzaju. Nieco inaczej można to powiedzieć następująco: formułuje się
wniosek o zachodzeniu jakiejś ogólnej prawidłowości na podstawie stwierdzenia
poszczególnych przypadków tej prawidłowości. W najprostszym przypadku wniosek
indukcyjny ma postać zdania przypisującego pewną cechę wszystkim przedmiotom
danego rodzaju, a przesłanki – zdań stwierdzających tę cechę u poszczególnych
przedmiotów tego rodzaju. Schemat takiego wnioskowania jest następujący:

jest P

.
.

jest P

-------------------

Każde S jest P

Przykłady takich wnioskowań mogą być następujące. Pierwszy, drugi, trzeci, n-ty łabędź
jest biały, a więc każdy łabędź jest biały. W mieście M obsługa w jednym, drugim,
trzecim, n-tym sklepie jest uprzejma, wobec tego obsługa we wszystkich sklepach w
mieście M jest uprzejma. Pierwszy, drugi, trzeci, n-ty kawałek soli kuchennej rozpuszcza
się w wodzie, a więc każdy kawałek soli kuchennej rozpuszcza się w wodzie.

Należy rozróżnić indukcję niezupełną oraz indukcję zupełną. Jeżeli w

przesłankach wnioskowania indukcyjnego nie bierze się pod uwagę wszystkich
przedmiotów określonego rodzaju (czyli wszystkich przedmiotów, które obejmuje
wniosek), to w takim przypadku wnioskowanie przez indukcję jest wnioskowaniem przez
indukcję niezupełną. Wnioskowanie takie jest zawodne. Przypisujemy bowiem pewną
cechę C wszystkim elementom zbioru Z, ale może przecież okazać się, że jakiemuś nie
wziętemu dotychczas pod uwagę elementowi zbioru Z cecha C nie przysługuje. Na
przykład pomimo tego, że wszystkie napotkane łabędzie były białe, wniosek
stwierdzający, że każdy łabędź jest biały okazuje się błędny, ponieważ istnieją też czarne
łabędzie. Inny charakter ma wnioskowanie przez indukcję zupełną. Występuje ono wtedy,
gdy w przesłankach wzięte są pod uwagę wszystkie przedmioty danego rodzaju.
Wnioskowanie przez indukcję zupełną jest wnioskowaniem niezawodnym, ma charakter
wnioskowania dedukcyjnego. Schemat takiego wnioskowania może być następujący:

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

jest P

.
.

jest P

Nie ma innych S poza S

, S

, ..., S

------------------------------------------------------------------------------------

Każde S jest P

Weźmy pod uwagę drugi z podanych wyżej przykładów wnioskowania

indukcyjnego. Chcemy przekonać się w sposób niezawodny, czy obsługa wszystkich
sklepów w mieście M jest uprzejma. W tym celu robimy zakupy w kolejnych sklepach aż
do tego momentu, gdy w mieście M nie pozostanie już żaden sklep, którego byśmy nie
odwiedzili. Jeżeli okaże się, że w każdym ze sklepów obsługa była uprzejma, to można
wnioskować przez indukcję zupełną, że obsługa każdego sklepu w mieście M jest
uprzejma. Wnioskowanie przez indukcję zupełną jest jednak często niewykonalne, z
powodu zbyt dużej liczby przypadków, jakie należałoby wziąć pod uwagę w
przesłankach tego wnioskowania.

Wnioskowanie przez indukcję niezupełną może być zaliczone do wnioskowań

redukcyjnych z tego względu, że z jego wniosku wynikają logicznie jego przesłanki, ale z
przesłanek nie wynika logicznie jego wniosek. Ze tego, że każde S jest P wynika
logicznie, że pewne poszczególne przedmioty S

, S

, ..., S

są P, ale z tego, że pewne

(nie wszystkie) przedmioty S są P nie wynika logicznie, że każde S jest P.

41. Wnioskowanie z analogii

Wnioskowanie z analogii, inaczej wnioskowanie z podobieństwa (gr. analogia –

podobieństwo, odpowiedniość), przypomina wnioskowanie indukcyjne. Tutaj także
wnioskuje się na podstawie przesłanek stwierdzających prawidłowość zachodzącą w
określonych jednostkowych przypadkach. O ile jednak wniosek indukcyjny dotyczy całej
klasy przedmiotów, to wniosek z analogii odnosi się do jakiegoś jednego przedmiotu
podobnego do przedmiotów ujętych w przesłankach. Nie występuje tutaj również żaden
układ wynikania logicznego pomiędzy zdaniami składającymi się na przesłanki i
wniosek. Ogólne określenie wnioskowania przez analogię może być następujące: na
podstawie jednostkowych przypadków, w których zachodzi określona prawidłowość,
wyciąga się wniosek, że prawidłowość ta obejmuje jakiś inny przypadek, który jest
podobny pod pewnymi względami do przypadków, o których mowa w przesłankach.
Wnioskowanie z analogii jest wnioskowaniem zawodnym – prawdziwość przesłanek nie
gwarantuje prawdziwości wniosku. Wnioskowanie z analogii najczęściej opisuje się za
pomocą dwóch schematów wnioskowania. Pierwszy z nich przedstawia się następująco:

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

jest P

.
.

jest P

---------------------

Każde S

n+1

jest P

Schemat ten stwierdza, że skoro kolejne przedmioty rodzaju S posiadają cechę P, to jakiś
następny przedmiot rodzaju S również będzie posiadał cechę P. Według tego schematu
osoba podróżująca pociągiem mogłaby wnioskować, że skoro na pierwszej stacji
kolejowej znajduje się jest kiosk z gazetami, a także na drugiej, trzeciej, czwartej i piątej,
to na szóstej stacji również będzie kiosk z gazetami. Wniosek ten oczywiście nie wynika
logicznie z przesłanek, może więc być fałszywy. To, że na kolejnej stacji będzie kiosk,
jest jedynie prawdopodobne, pomimo tego, że na każdej z dotychczasowych stacji kiosk
się znajdował. Poniżej znajduje się drugi schemat wnioskowania przez analogię

jest A, B, C... oraz P

jest A, B, C...

---------------------------

jest także P

Drugi schemat stwierdza: przedmiot S

posiada pewien zestaw cech, w tym jakąś jedną

wyszczególnioną cechę P; przedmiot S

posiada wszystkie cechy przedmiotu S

, ale nie

wiadomo, czy posiada cechę P. Wniosek: przedmiot S

posiada (prawdopodobnie) cechę

P. Według tego schematu student mógłby wnioskować w taki sposób: jeden z
pracowników naukowych X jest młody, ma dużą wiedzę, sarkastyczny sposób bycia oraz
dodatkowo jest surowy w ocenianiu osiągnięć studentów, pracownik Y również jest
młody, ma dużą wiedzę, oraz charakteryzuje się sarkazmem. Nie wiadomo, czy jest
surowy, ale na podstawie podobieństwa cech można wnosić, że tak.

Stopień prawdopodobieństwa wniosku z analogii jest tym większy, im więcej

przedmiotów należących do branego pod uwagę zbioru S posiada cechę P (pierwszy
schemat). Jeśli bowiem znaczna część elementów zbioru S posiada cechę P, to
prawdopodobne jest, że jakiś określony przedmiot należący do zbioru S również tę cechę
będzie posiadał. Skoro w Polsce większość łabędzi ma kolor biały, to prawdopodobne
jest, że skoro pierwszy, drugi, trzeci napotkany łabędź był biały, to biały będzie też
następny napotkany łabędź. Prawdopodobieństwo wniosku przez analogię rośnie także w
przypadku, gdy cechy przedmiotu ujmowanego w pierwszej przesłance wnioskowania
(drugi schemat) są wzajemnie powiązane. Weźmy pod uwagę następujące wnioskowanie:
student stwierdza, że wykładowca X był dowcipny, przyjaźnie nastawiony do studentów,
często odbiegał od tematu zajęć, spóźniał się na zajęcia, a nawet je opuszczał, i ponadto
nie był zbyt wymagający podczas egzaminu. Wykładowca Y charakteryzuje się tymi
samymi cechami, z tą różnicą, że jeszcze nie wiadomo, czy będzie wymagający podczas
egzaminu. Można przyjąć jednak ze znacznym prawdopodobieństwem, że wykładowca Y
również będzie niezbyt wymagający. Wskazują na to w dużym stopniu wymienione
cechy: skoro ktoś jest przyjazny, dowcipny, nie wymaga zbyt wiele od siebie (spóźnia się

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

na zajęcia, opuszcza je, odbiega od tematu), to można przyjąć, że prawdopodobnie będzie
też niezbyt wiele wymagał od studentów.

42. Dowodzenie

Dowodzenie jako sposób uzasadniania zdań jest rozumowaniem polegającym na

wykazaniu prawdziwości jakiegoś zdania na drodze wnioskowania dedukcyjnego.
Dowodzenie jakiegoś zdania może mieć dwojaką postać: dowodzenia wprost lub
dowodzenia nie wprost. Udowodnienie wprost jakiegoś zdania polega na znalezieniu
zdań prawdziwych, z których dowodzone zdanie wynika logicznie, a następnie na
przeprowadzeniu wnioskowania dedukcyjnego, którego wnioskiem jest dowodzone
zdanie. Inaczej mówiąc: aby udowodnić zdanie Z

n+1

, należy znaleźć takie prawdziwe

zdania Z

, Z

, ..., Z

, z których zdanie Z

n+1

wynika logicznie, a następnie przeprowadzić

wnioskowanie dedukcyjne, którego przesłankami są zdania Z

, Z

, ..., Z

, a wnioskiem

zdanie Z

n+1

. Chcemy na przykład uzasadnić zdanie, że dany roztwór ma odczyn kwasowy.

Wiemy, że jeżeli po kontakcie z cieczą papierek lakmusowy zabarwia się na czerwono, to
ciecz ma odczyn kwasowy. Papierek lakmusowy zabarwia się na czerwono. A zatem
ciecz ma odczyn kwasowy. Przeprowadzamy więc wnioskowanie, które przebiega
według schematu modus ponendo ponens:

Jeżeli po kontakcie z cieczą papierek lakmusowy zabarwia się na czerwono, to ciecz ma

odczyn kwasowy

Po kontakcie z cieczą papierek lakmusowy zabarwia się na czerwono

Ciecz ma odczyn kwasowy

Inaczej przebiega dowodzenie nie wprost, zwane też dowodzeniem

apagogicznym (gr. apagoge – oddalenie, uchylenie). Punktem wyjścia takiego
dowodzenia jest zaprzeczenie dowodzonego zdania. Dowodzenie nie wprost może
przebiegać następująco. Chcemy udowodnić zdanie Z

i w tym celu zaprzeczamy temu

zdaniu (~ Z

) oraz szukamy jakiegoś zdania Z

n+1

, które z takiego zaprzeczenia wynika –

czyli takiego zdania, które jest następstwem zdania ~ Z

. Uzyskujemy więc okres

warunkowy ~ Z

 Z

n+1

 Jeżeli okaże się, że zdanie Z

n+1

jest fałszywe, to fałszywe także

musi być zdanie ~ Z

. Rozumowanie to wyraża się w schemacie wnioskowania będącym

odmianą schematu modus tollendo tollens (aby otrzymać „czysty” schemat modus
tollendo tollens wystarczy zamienić wyrażenie „~ Z

” na „p”, a wyrażenie „Z

n+1

” na „q”):

~ Z

 Z

n+1

~ Z

n+1

-------------------------------

~ ~Z

Gdy mowa o wynikaniu jednych zdań z drugich w kontekście dowodzenia, sprawdzania czy wyjaśniania,
to chodzić będzie o takie zdania, które są ze sobą powiązane treściowo w tym sensie, że opisują jakieś
związane ze sobą fakty. Chociaż z punktu widzenia logiki formalnej wynikanie zachodzi w przypadku
każdej prawdziwej implikacji, to operowanie zdaniami nie związanymi ze sobą jest bezużyteczne dla
opisywanych tutaj czynności poznawczych.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Skoro jednak prawdą jest zdanie ~ ~ Z

, to – wnioskując według prawa podwójnego

przeczenia – prawdziwe jest zdanie Z

~ ~ Z

---------------------

Na przykład ktoś chce udowodnić nie wprost, że temperatura powietrza jest dodatnia (Z

)

i zakłada w tym celu, że temperatura nie jest dodatnia (~ Z

). Z tego, że temperatura nie

jest dodatnia, wynika że zamarza woda w kałużach (~ Z

 Z

n+1

). Ale woda w kałużach

nie zamarza (~ Z

n+

), a więc nieprawdą jest, temperatura nie jest dodatnia ( ~ ~ Z

), co jest

równoważne stwierdzeniu, że temperatura jest dodatnia (Z

Inny przykład dowodzenia nie wprost: chcemy udowodnić zdanie, że przed

chwilą nie padał deszcz (~ Z

). Zakładamy fałszywość dowodzonego zdania: nie jest

prawdą, że przed chwilą nie padał deszcz ( ~ ~ Z

), co według prawa podwójnego

przeczenia jest równoważne zdaniu, że przed chwilą padał deszcz (Z

). Z tego zdania

(czyli ze zdania Z

wynika zdanie, że ulica jest mokra (Z

n+

). Stwierdzamy więc w

pierwszej przesłance wnioskowania: jeżeli przed chwilą padał deszcz, to ulica jest mokra
(Z

 Z

n+1

). Następnie ustalamy, czy ulica jest mokra i okazuje się, że nie (~ Z

n+

). Skoro

tak, to nie jest prawdą, że przed chwilą padał deszcz (~ Z

). Wnioskowanie to przebiega

według schematu modus tollendo tollens (zamieniamy „Z

” na „p”, a „Z

n+

” na „q”):

 Z

n+1

~ Z

n+1

------------------------

~ Z

W obu powyższych przykładach ma miejsce odwołanie się do schematu modus tollendo
tollens (w pierwszym przypadku – do jednej z odmian tego schematu) oraz prawa
podwójnego przeczenia, różnica polega tylko na tym, że inna jest kolejność ich
stosowania. Efekt dowodzenia nie wprost jest w obu przykładach taki sam – wychodząc
od zaprzeczenia dowodzonego zdania, dochodzimy do potwierdzenia prawdziwości tego
zdania. Intuicyjny sens wyżej przedstawionych rozumowań można ująć w ten sposób:
konsekwencje zaprzeczenia dowodzonego zdania nie zachodzą, więc zaprzeczenie to nie
jest prawdziwe, a zatem dowodzone zdanie jest prawdziwe. Dowodzenie nie wprost może
składać się z większej liczby kroków, czyli z większej liczby poszczególnych
wnioskowań wchodzących w skład całego rozumowania. Może też odwoływać się do
innych niż wyżej przedstawione schematów wnioskowania.

43. Sprawdzanie

Dowodzenie pozwala na uznanie prawdziwości danego zdania na drodze

wnioskowania dedukcyjnego, natomiast sprawdzanie może prowadzić albo do uznania
prawdopodobieństwa sprawdzanego zdania, albo do wykazania fałszywości tego zdania.
Sprawdzając zdanie Z

, szukamy zdań Z

, Z

, ..., Z

, które z niego wynikają. Jeżeli okaże

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

się, że zdania Z

, Z

, ..., Z

są prawdziwe

, to można wnioskować redukcyjnie, że

sprawdzane zdanie jest prawdopodobne:

 (Z

 Z

 ...  Z

)

 Z

 ...  Z

------------------------------------------------------

Wnioskowanie to jest redukcyjne, gdyż z wniosku Z

oraz przesłanki Z

 (Z

 Z

 ... 

) wynika logicznie przesłanka Z

 Z

 ...  Z

. Natomiast wniosek Z

nie wynika

logicznie z przesłanek. Ten schemat wnioskowania podpada pod omawiany wcześniej
schemat wnioskowania redukcyjnego:

 q

-----------

Sprawdzanie występuje na przykład wtedy, gdy egzaminator, chcąc przekonać się, czy
student opanował obowiązujący materiał (Z

), zadaje mu kolejne pytania. Egzaminator

zakłada, że jeśli student opanował materiał, to potrafi odpowiedzieć na większość pytań:
Z

 (Z

 Z

 ...  Z

). Jeżeli okaże się, że student potrafi odpowiedzieć na wszystkie

zadane pytania lub przynajmniej na większość z nich – czyli gdy okaże się, że prawdą
jest Z

 Z

 ...  Z

– to egzaminator może przyjąć z dużym prawdopodobieństwem, że

student opanował materiał. Jeśli jednak student nie potrafi odpowiedzieć na żadne
pytanie, lub potrafi odpowiedzieć jedynie na niewielką ilość pytań, to wykładowca może
stwierdzić, że student nie opanował obowiązującego materiału. Wnioskowanie przebiega
wtedy według schematu modus tollendo tollens:

 (Z

 Z

 ...  Z

)

~ (Z

 Z

 ...  Z

)

---------------------------------------

~ Z

Inny przykład może być następujący: lekarz chce sprawdzić, czy pacjent jest chory na
grypę. Grypa wywołuje szereg objawów, takich jak wysoka temperatura, dreszcze, bóle
głowy, mięśni, gardła, uczucie wyczerpania. Jeżeli objawy te wystąpiły, to można z
dużym prawdopodobieństwem stwierdzić, że pacjent jest chory na grypę. Gdy z kolei
żaden z tych objawów nie wystąpił, to z całą pewnością pacjent nie jest chory na grypę.

Czasem nie wszystkie zdania wynikające ze sprawdzanego zdania muszą być prawdziwe, aby
uznać sprawdzane zdanie za prawdopodobne – wystarczy, że większość tych zdań jest
prawdziwa. Taka sytuacja wystąpi w podanych dalej przykładach.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

44. Wyjaśnianie

Wyjaśnić jakieś uznane za prawdziwe zdanie Z to tyle, co odpowiedzieć na

pytanie: „Dlaczego jest tak, jak zdanie Z głosi?”, „Dlaczego jest tak, że Z?”, „Dlaczego
jest prawdą, że Z?” itd. Potocznie sformułowane pytanie domagające się wyjaśnienia
jakiegoś zdania będzie miało formę „Dlaczego Z?”. Wyjaśnienie zdania Z polega na
podaniu takich zdań Z

, Z

, ..., Z

, z których wyjaśniane zdanie Z wynika logicznie.

Schematy odpowiedzi na pytanie o wyjaśnienie mogą być następujące: „Jest tak, jak głosi
Z, ponieważ..”, „Z jest prawdą, gdyż...” czy „Z, ponieważ...”. W miejsce kropek wstawia
się w takich odpowiedziach koniunkcję zdań Z

, Z

, ..., Z

, z których zdanie Z wynika

logicznie.

Jeden z prostszych przypadków wyjaśniania odnosi się do sytuacji, w której

zdanie wyjaśniane to zdanie stwierdzające, że zaszedł pewien fakt F

, a zdania

wyjaśniające to: 1. zdanie stwierdzające zajście faktu F

oraz 2. zdanie stwierdzające, że

fakt F

pociąga za sobą fakt F

. W tym przypadku znana jest wartość logiczna zarówno

zdania wyjaśnianego, jak i zdań wyjaśniających. Trzeba natomiast powiązać te zdania w
taki sposób, aby zdania wyjaśniające były racją logiczną dla zdania wyjaśnianego.
Wyjaśniając jakieś prawdziwe zdanie Z

szukamy więc w pierwszej kolejności takiego

prawdziwego zdania Z

, które byłoby dla zdania Z

racją, inaczej mówiąc: takiego zdania

, z którego wynika zdanie Z

. Zauważamy na przykład, że zgasła lampa i chcemy

wyjaśnić zdanie stwierdzające ten fakt. Szukamy więc takiego zdania, z którego wynika
zdanie „Zgasła lampa”. Takich zdań jest sporo: „Elektrownia wyłączyła prąd”, „Zepsuła
się instalacja elektryczna w mieszkaniu”, „Przepaliła się żarówka” itd. Zaistnienie
każdego z faktów opisywanych w tych zdaniach pociąga za sobą fakt zgaśnięcia lampy.
Chodzi teraz o to, aby ustalić, który z faktów opisywanych w powyższych zdaniach
rzeczywiście zaistniał. Zbliżamy się do lampy i widzimy, że przepalona jest żarówka.
Znaleźliśmy więc wyjaśnienie i możemy stwierdzić: „Lampa zgasła, ponieważ przepaliła
się żarówka, a ilekroć przepali się żarówka, lampa gaśnie”. Zdanie wyjaśniane wynika tu
logicznie ze zdań wyjaśniających według prawa modus ponendo ponens. Powyższe
wyjaśnienie potocznie brzmiałoby: „Lampa zgasła, ponieważ przepaliła się żarówka”.
Przyczyną takiej niekompletnej wypowiedzi jest to, że w codziennych rozumowaniach
zazwyczaj nie wypowiada zdań, które wyrażają oczywiste zależności, a więc zdań w
rodzaju „Ilekroć przepali się żarówka, lampa gaśnie”.

Trzeba zwrócić uwagę na to, że wyjaśnianie jest bardzo zbliżone do dowodzenia.

Jest tak dlatego, że zdanie wyjaśniane wynika logicznie ze zdań wyjaśniających. Różnica
pomiędzy dowodzeniem a wyjaśnianiem polega przede wszystkim na tym, że w procesie
dowodzenia dowodzone zdanie jest wątpliwe, a w procesie wyjaśniania zdanie
wyjaśniane jest zdaniem prawdziwym, czyli zdaniem o ustalonej już wartości logicznej.

Inny przykład może dotyczyć sytuacji, gdy chcemy wyjaśnić zdanie „Lód

zanurzony w wodzie nie tonie, tylko pływa”. Szukamy więc dla tego zdania racji
logicznej. Wiemy, że ciało lżejsze od wody nie tonie w wodzie, tylko po niej pływa i
jednocześnie wiemy też, że lód jest lżejszy od wody. Znaleźliśmy więc wyjaśnienie: „Lód
zanurzony w wodzie pływa, ponieważ jest ciałem lżejszym od wody, a każde ciało lżejsze
od wody pływa po niej”. Wynikanie logiczne w tym przypadku zachodzi według jednego
z praw logicznych innego rachunku logicznego – tradycyjnego rachunku nazw. Prawo to
jest następujące: jeżeli każde M jest P oraz każde S jest M, to każde S jest P (jeżeli każde
ciało lżejsze od wody pływa po niej oraz lód jest ciałem lżejszym od wody, to lód pływa

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

po wodzie).

Znajomość jednostkowych faktów stanowi niezbędny składnik wiedzy o świecie.

W poznawaniu świata nie chodzi jednak wyłącznie o opis faktów, ale przede wszystkim o
ich wyjaśnianie. Aby móc wyjaśniać fakty, trzeba wiedzieć, jakie są między nimi związki
– im szersza i gruntowniejsza jest wiedza o tych związkach, tym trafniej i pewniej można
wnioskować, dowodzić, wyjaśniać, przewidywać. W nauce dąży się nie tylko do
wyjaśniania jednostkowych faktów, ale przede wszystkim do wyjaśniania prawidłowości
rządzących faktami. Można na przykład domagać się wyjaśnienia zdania: „Ciało lżejsze
od wody pływa po niej”. Tutaj już wyjaśnienie będzie miało bardziej skomplikowaną
postać: będzie składało się z większej ilości kroków oraz odwoływało się do
specyficznych pojęć i praw fizyki

. Jednak istota wyjaśniania pozostanie taka sama:

wyjaśniane zdanie będzie wynikało logicznie z uznanych na gruncie fizyki
prawidłowości.

45. Hipotezy wyjaśniające

W wielu przypadkach wyjaśniania występuje sytuacja, że któreś ze zdań

wyjaśniających, czyli zdań, z których wynika logicznie zdanie wyjaśniane, nie jest
prawdziwe, a tylko prawdopodobne. Weźmy pod uwagę poprzednio podawany przykład.
Chcemy wyjaśnić zdanie „Lampa zgasła”. Zdanie to wynika ze zdań „Elektrownia
wyłączyła prąd”, „Zepsuła się instalacja elektryczna w mieszkaniu”, „Przepaliła się
żarówka” itd. Fakt opisywany w każdym z tych zdań pociąga za sobą fakt zgaśnięcia
lampy, ale na razie nie wiemy, który z tych faktów rzeczywiście wystąpił. Zakładamy
jednak tymczasowo, „na próbę”, że to elektrownia wyłączyła prąd, zamierzając
jednocześnie przekonać się, czy założenie to jest słuszne. Rozumujemy tak: „Jeżeli
elektrownia wyłączyła prąd, to lampa nie będzie świecić, gdy włączy się ją do innego
gniazdka”. Podłączamy lampę do innego gniazdka. Jeżeli lampa nie świeci, to zdanie
„Elektrownia wyłączyła prąd” staje się bardziej prawdopodobne. Wnioskowanie to ma
charakter redukcyjny:

Jeżeli elektrownia wyłączyła prąd, to lampa nie świeci się w innym gniazdku

Lampa nie świeci się w innym gniazdku

----------------------------------------------------------------------------------------------

Elektrownia wyłączyła prąd

Jeżeli jednak lampa podłączona do innego gniazdka zaświeci się, to zdanie „Elektrownia
wyłączyła prąd” jest na pewno jest fałszywe. Wnioskowanie będzie miało charakter
dedukcyjny (według schematu modus tollendo tollens):

Jeżeli elektrownia wyłączyła prąd, to lampa nie świeci się w innym gniazdku

Nieprawda, że lampa nie świeci się w innym gniazdku

----------------------------------------------------------------------------------------------

Nieprawda, że elektrownia wyłączyła prąd

Hipotezą nazywamy zdanie H, którego wartości logicznej nie znamy, a które w

Wyjaśnienie to można znaleźć w: K. Ajdukiewicz, Logika pragmatyczna..., s. 400-401.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

połączeniu z innymi zdaniami, stanowi poszukiwane przez nas wyjaśnienie zdania Z.
Hipotezę poddaje się sprawdzaniu, które może ją uprawdopodobnić lub obalić.
Sprawdzamy hipotezę w ten sposób, że ustalamy, jakie zdania z niej wynikają, jakie
następstwa ona za sobą pociąga. Jeżeli kolejne następstwa okazują się prawdziwe, to
hipoteza staje się coraz bardziej prawdopodobna. Jeżeli natomiast któreś z następstw jest
fałszywe, to hipoteza zostaje obalona. Tak było w omawianym tu przykładzie:
następstwem wyłączenia prądu przez elektrownię jest to, że lampa nie zaświeci się, gdy
zostanie podłączona do innego gniazdka. Skoro jednak lampa w takiej sytuacji świeci się,
to na pewno nie jest tak, że elektrownia wyłączyła prąd. Gdyby natomiast lampa nie
zaświeciła się po podłączeniu do innego gniazdka, to hipoteza o wyłączeniu prądu przez
elektrownię stałaby się bardziej prawdopodobna. Hipoteza ta może być zresztą
potwierdzona całkowicie, gdyż istnieje możliwość przekonania się, czy rzeczywiście jest
tak, że elektrownia wyłączyła prąd. Inna sytuacja występuje wtedy, gdy hipoteza nie jest
zdaniem opisującym jakiś fakt, który można stwierdzić. Takiej hipotezy nie da się
potwierdzić całkowicie, a więc nie da się orzec, że jest ona prawdziwa, choćby nawet
bardzo wiele jej następstw okazało się prawdziwych. Można co najwyżej przyjmować, że
jest w bardzo wysokim stopniu prawdopodobna.

Formułowanie i sprawdzanie hipotez jest nieodłącznym elementem nauki. Dla

przykładu można przytoczyć elementy rozumowania Izaaka Newtona, które
doprowadziło go odkrycia prawa grawitacji

. Newtonowi chodziło o wyjaśnienie faktu

krążenia Księżyca dookoła Ziemi. Ruch Księżyca można uznać za ruch z
przyspieszeniem dośrodkowym skierowanym do środka Ziemi o wartości 0,27 cm/s

Wyjaśnienie tego ruchu polegało na wskazaniu siły, która go powoduje. Newton założył,
że jest to ta sama siła, która rządzi swobodnym spadaniem ciał na powierzchni Ziemi.
Przyspieszenie spadających ciał, również skierowane do środka Ziemi, wynosi 981 cm/s

Przyspieszenie Księżyca jest mniej więcej 3600 razy – czyli 60

– mniejsze od

przyspieszenia ciał spadających na Ziemi. Odległość Księżyca od Ziemi wynosi
natomiast 60 promieni ziemskich, jest więc 60 razy większa od odległości spadających
ciał od środka Ziemi. Krążenie Księżyca dookoła Ziemi byłoby więc wyjaśnione, gdyby
przyjąć, że wszelkie ciała przyciągają się wzajemnie z siłą odwrotnie proporcjonalną do
kwadratu odległości między nimi (a więc gdy odległość między przyciągającymi się
ciałami rośnie, to siła przyciągania odpowiednio maleje). Zgodnie z tym założeniem
Księżyc, który znajduje się w odległości 60 promieni ziemskich od środka Ziemi,
musiałby mieć 60

= 3600 razy mniejsze przyspieszenie dośrodkowe od przyspieszenia

spadających na Ziemi ciał. Przyspieszenie to wynosiłoby zgodnie z tym założeniem 981
cm/s

: 3600 = 0,27 cm/s

, czyli właśnie tyle, ile faktycznie wynosi.

Te oraz jeszcze inne rozważania złożyły się na sformułowanie przez Newtona

twierdzenia, że wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do
iloczynu ich mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi.
Twierdzenie to wyjaśniało obserwowalne właściwości ruchu Księżyca, ale należało
jeszcze poddać je dodatkowemu sprawdzeniu. Newton ustalił więc, jakie są następstwa
sprawdzanego twierdzenia, a następnie zestawił je z prawami Keplera

opisującymi ruch

planet dookoła Słońca. Okazało się, że następstwa hipotezy powszechnego ciążenia są
całkowicie zgodne z prawami Keplera, a w związku z tym można było hipotezę tę uznać

Przykład przytaczam za: K. Ajdukiewicz, Zarys logiki, Warszawa: Państwowe Zakłady
Wydawnictw Szkolnych, s. 185-186.

Johannes Kepler (1571-1630) – niemiecki matematyk i astronom.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

za prawo. Została ona bowiem w wysokim stopniu uprawdopodobniona na podstawie
prawdziwości jej następstw.

Stwierdzenie, że przy sprawdzaniu hipotez fałszywość następstw pociąga za sobą

fałszywość hipotezy wymaga ważnego uściślenia. Przy sprawdzaniu hipotez na gruncie
różnych nauk zazwyczaj występuje sytuacja, że sprawdzane następstwa nie wynikają
logicznie wyłącznie z samej hipotezy, ale dopiero z hipotezy połączonej z pewnymi
dodatkowymi zdaniami, które jej towarzyszą. W wyżej opisywanym przypadku
twierdzenie, że Księżyc ma przyspieszenie 3600 razy mniejsze od przyspieszenia ciał
spadających na Ziemi nie wynika logicznie tylko z samej hipotezy grawitacji, ale między
innymi także z przyjęcia za prawdziwe zdania stwierdzającego, że odległość Księżyca od
Ziemi jest równa 60 promieniom ziemskim. Gdyby przyjąć, że odległość Księżyca od
Ziemi wynosi na przykład 40 promieni ziemskich, to wyliczenie przyspieszenia Księżyca
według hipotezy grawitacji dałoby wynik 981 cm/s

: 1600 (40

) = 0,61 cm/s

. Wynik ten

oczywiście byłby inny niż faktyczna wartość przyspieszenia z którym porusza się
Księżyc. Następstwo sprawdzanej hipotezy byłoby więc fałszywe, podczas gdy sama
hipoteza jest prawdziwa. Widać więc, że fałszywość następstwa sprawdzanej hipotezy nie
musi wynikać z fałszywości hipotezy, ale może wynikać z fałszywości któregoś ze zdań,
które wraz z hipotezą stanowią rację logiczną dla wyjaśnianego zdania.

46. Cechy nauki

Słowo „nauka” cechuje się wieloznacznością. Inaczej je rozumiemy wtedy, gdy

stosujemy je do współczesnych teorii w zakresie fizyki, a inaczej – gdy mówimy na
przykład o nauce Buddy. W tym drugim znaczeniu nauka to mniej więcej tyle, co
doktryna (łac. doctrina – nauka, nauczanie), czyli zbiór uporządkowanych i wzajemnie
powiązanych poglądów odnoszących się do określonej dziedziny rzeczywistości. Można
mówić o doktrynach filozoficznych, etycznych, religijnych, naukowych, społecznych czy
politycznych. Doktryny takie są związane są z określonymi myślicielami, orientacjami
teoretycznymi czy instytucjami. Jednak nie o to szerokie znaczenie słowa „nauka” będzie
tutaj chodziło, tylko o znaczenie węższe; takie, którym posługujemy się w zwrotach
„nauki przyrodnicze”, „nauki społeczne”, „nauki ścisłe” itp. Jednak i tutaj potrzebne są
jeszcze dodatkowe rozróżnienia. Nauka – w sensie węższym – może być bowiem
rozumiana jako czynność i jako wytwór.

Nauka jako czynność to zorganizowany proces poznawczy, realizowany według

określonych reguł, mający na celu zdobywanie, poszerzanie i doskonalenie wiedzy o
określonej dziedzinie rzeczywistości. Reguły obowiązujące w naukowym poznawaniu
świata mają racjonalny charakter – opierają się na logice i doświadczeniu. Rezultatem
naukowej działalności poznawczej jest nauka rozumiana jako wytwór tej działalności,
czyli wiedza naukowa. Na wiedzę naukową składają się twierdzenia i teorie opisujące i
wyjaśniające określone dziedziny rzeczywistości. Teorię naukową można określić jako
spójny, uporządkowany zbiór zdań spełniający wymogi metodologiczne obowiązujące w
danej nauce. Do ogólnych wymogów teorii naukowych zalicza się zazwyczaj: precyzję
języka, uporządkowanie, racjonalny charakter uzasadniania, intersubiektywną
sprawdzalność. Intersubiektywna sprawdzalność wyników poznania w obrębie danej
nauki polega na tym, że o zasadności tych wyników może przekonać się każdy, kto
posiada odpowiednie przygotowanie w zakresie tej nauki. Postulat ten odnosi się jednak

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

przede wszystkim do nauk przyrodniczych, takich jak fizyka, chemia, biologia, geografia
czy geologia. Trudniej jest o jego realizację w naukach humanistycznych (społecznych) –
psychologii, socjologii, etnografii itp. W naukach tych funkcjonują bowiem odmienne,
konkurujące ze sobą podejścia badawcze. Jednym z ważnych zagadnień w metodologii
nauk humanistycznych jest sposób i zakres stosowania w nich metod nauk
przyrodniczych.

Zarówno nauki przyrodnicze, jak i humanistyczne bywają zaliczane do nauk

empirycznych lub nauk realnych. Nauki realne przeciwstawia się często naukom
formalnym – matematyce i logice matematycznej. Obie te grupy nauk charakteryzuje
bowiem inny sposób budowania teorii. W naukach formalnych teorie zasadniczo mają
postać systemów aksjomatycznych. Przy tworzeniu takich systemów obiera się określone
twierdzenia przyjęte bez dowodu, zwane aksjomatami, a następnie w oparciu o przyjęte
reguły dowodzenia uzasadnia się kolejne twierdzenia, wyprowadzając je z aksjomatów.
Sposób postępowania ma tutaj charakter wyłącznie dedukcyjny. Ze względu na to nauki
formalne bywają określane również jako nauki dedukcyjne. W naukach tych nie chodzi o
opis i wyjaśnianie jakiegoś określonego fragmentu doświadczalnej rzeczywistości, ale o
uchwycenie prawidłowości, które zachodzą w dowolnych strukturach, niezależnie od
miejsca i czasu. Tymi strukturami są dla nauk formalnych przede wszystkim zbiory.

Inaczej niż w naukach formalnych są tworzone teorie w obrębie nauk realnych,

chociaż oczywiście te ostatnie wykorzystują wyniki nauk formalnych. Metodolodzy
nauki mają nieco odmienne zdanie na temat roli poszczególnych procedur badawczych w
naukach realnych. Stanowisko określane jako indukcjonizm głosi, że podstawą wszelkich
nauk jest nagromadzenie jak największej ilości zdań opisujących jednostkowe fakty, czyli
sądów spostrzeżeniowych, a następnie ustalanie na ich podstawie ogólnych
prawidłowości, które określane są jako prawa rejestrujące lub prawa empiryczne.
Hipotetyzm (nazywany też antyindukcjonizmem lub dedukcjonizmem) z kolei stwierdza,
że kluczowe dla budowania teorii naukowych jest stawianie hipotez, które wyjaśniają jak
największą ilość faktów, a następnie poddawanie tych hipotez sprawdzaniu (testowaniu).
Rozwój nauki odbywa się przede wszystkim przez odrzucanie kolejnych hipotez i
jednoczesne uprawdopodobnianie hipotez, które przechodzą pomyślnie przez jak
największą ilość testów. Taka metoda postępowania badawczego jest często określana
jako metoda hipotetyczno-dedukcyjna.

Oba zarysowane stanowiska nie są wbrew pozorom całkiem przeciwstawne. W

rzeczywistej praktyce naukowej rolę odgrywa zarówno indukcja, jak i stawianie hipotez.
Niezastąpionym elementem wiedzy naukowej są z pewnością sądy spostrzeżeniowe i
formułowane na ich podstawie prawa empiryczne. Jednak nauki nie ograniczają się wcale
do formułowania wyłącznie takich praw – zmierzają one bowiem do wyjaśniania faktów
oraz prawidłowości, czego nie da się osiągnąć bez stawiania hipotez, a następnie ich
sprawdzania. Hipotezy, które wytrzymują taki sprawdzian, zostają uznane za
uprawdopodobnione w wysokim stopniu i są często traktowane jako prawa określonej
nauki. Jednak gdy pojawiają się nowe fakty (tzw. anomalie), których dotychczasowe
hipotezy nie wyjaśniają, wówczas trzeba albo szukać całkiem nowych hipotez, albo
wprowadzać pewne hipotezy pomocnicze, które pozwolą na wyjaśnienie nowych faktów.
Hipotezy wyjaśniające mogą same być wyjaśniane za pomocą hipotez wyższego rzędu.
Stanem pożądanym jest uzyskanie jak najmniejszej liczby hipotez, które jednocześnie
wyjaśniałyby jak największy zakres faktów

Zbiór niewielu hipotez, które jednocześnie wyjaśniają wszystkie prawa empiryczne

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Cechą wszystkich nauk jest ich racjonalny charakter. Każda z nauk empirycznych

opisuje pewien fragment doświadczalnej rzeczywistości, a następnie dąży do jego
wyjaśnienia. Nauki traktują przy tym świat jako system rządzony przez stałe, możliwe do
poznania prawidłowości; jako zbiór obiektów, zdarzeń, relacji, w którym obowiązują
przede wszystkim prawa przyczynowo-skutkowe. Część tych prawidłowości jest, co
niezwykle istotne, możliwa do ujęcia za pomocą praw posiadających postać
matematyczną. W nauce nie są akceptowane wyjaśnienia, które nie odwoływałyby się do
naturalnych praw rządzących światem przyrody i światem społecznym, i które nie
mogłyby być poddane empirycznemu sprawdzaniu. Nie ma więc naukowego charakteru
odwoływanie się do czynników wykraczających poza doświadczenie i poza to, co da się
na podstawie doświadczenia w racjonalny sposób ustalić. Nie znaczy to oczywiście, że w
ludzkim świecie nie ma miejsca dla przekonań wykraczających poza ramy tak pojętej
racjonalności. Rozumienie świata odwołujące się do czynników religijnych czy
metafizycznych, choć nieuprawnione w nauce, będzie zapewne zawsze towarzyszyło
człowiekowi.

47. Błąd formalny i materialny

Błąd formalny występuje w sytuacji, gdy określone wnioskowanie jest

traktowane przez kogoś jako dedukcyjne, podczas gdy w rzeczywistości z przesłanek
tego wnioskowania nie wynika logicznie jego wniosek (gdy wnioskowanie niededukcyjne
jest traktowane jako dedukcyjne). Czasem mówi się o błędzie formalnym jako błędzie
wnioskowania dedukcyjnego, ale ściśle rzecz biorąc, wnioskowanie obarczone błędem
formalnym nie jest wnioskowaniem dedukcyjnym. Gdyby poniższe wnioskowanie było
uznawane za dedukcyjne, to zawierałoby błąd formalny:

Wieczorem będę czytał gazetę lub będę oglądał telewizję

Będę czytał gazetę

------------------------------------------------------------------------

A więc nie będę oglądał telewizji

Wnioskowanie to przebiega według schematu:

 q

-----------

~ q



Schematowi temu odpowiada następująca formuła zdaniowa: [( p

 q )  ( p )]  ~ q.

Formuła ta nie jest prawem logicznym, a więc powyższy schemat wnioskowania jest
zawodny.

Błąd materialny polega na tym, że co najmniej jedna przesłanka wnioskowania

jest fałszywa. Błąd taki może występować zarówno we wnioskowaniach dedukcyjnych,
jak i niededukcyjnych. Fałszywość przesłanki wnioskowania nie przesądza o fałszywości

sformułowane w danej dziedzinie może być nazwany teorią w węższym znaczeniu. W tym
sensie mówi się o teorii grawitacji czy kinetycznej teorii gazów (por. K. Ajdukiewicz, Zarys
logiki..., s. 188)

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

wniosku, ale z drugiej strony nie gwarantuje prawdziwości tego wniosku. Błąd materialny
występuje w poniższym wnioskowaniu:

Jeżeli temperatura wynosi +5 °C, to woda zamarza

Temperatura wynosi +5°C stopni

----------------------------------------------------------------

Woda zamarza

Sprawdzamy przesłanki wnioskowania. Zakładamy, że temperatura wynosi rzeczywiście
+5°C. Jednak nie jest prawdziwe zdanie będące pierwszą przesłanką, bo jego poprzednik
jest prawdziwy, a następnik fałszywy – skoro temperatura wynosi +5°C, to woda nie
może zamarzać. Wnioskowanie jest zatem obarczone błędem materialnym, chociaż
przebiega według schematu modus ponendo ponens.

Sprawdzenie, czy dane wnioskowanie jest dedukcyjne, polega nie tylko na

ustaleniu, czy jego schemat jest niezawodny, ale także na przekonaniu się, czy
wnioskowanie to nie jest obarczone błędem materialnym. Jeżeli zauważymy, że
przesłanka jakiegoś wnioskowania jest fałszywa, to stwierdzamy, że wnioskowanie to
zawiera błąd materialny. Nie ma wtedy znaczenia, czy wnioskowanie przebiega według
jakiegoś niezawodnego schematu, czy też nie – wystąpienie błędu materialnego jest
wystarczającym powodem odrzucenia wnioskowania.

48. Zaprzeczenie poprzednika i potwierdzenie następnika

Przy omawianiu zagadnienia błędów w rozumowaniach na uwagę zasługują

pewne szczególne postacie błędu formalnego. Zostały one opatrzone osobnymi nazwami
ze względu na ich częste występowanie w praktyce wnioskowania. Należą do nich
zaprzeczenie poprzednika oraz potwierdzenie następnika. Zaprzeczenie poprzednika to
sposób rozumowania według schematu:

 q

~ p

----------

~ q

Schemat ten, choć pozornie może wydawać się niezawodny, nie jest oparty na prawie
logicznym. Rozumowania według niego zdarzają się stosunkowo często:

Jeżeli silnik samochodu pracuje, to w baku jest paliwo

Silnik samochodu nie pracuje

----------------------------------------------------------------------

A więc w baku nie ma paliwa

Oczywiście może zaistnieć sytuacja, że wniosek okaże się prawdziwy, może też jednak
okazać się fałszywy. Zbliżony do schematu zaprzeczenia poprzednika jest schemat:

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

 q

--------------

~ p

 ~ q

Formuła zdaniowa odpowiadająca temu schematowi, czyli (p

 q) (~ p ~ q), nie

jest prawem logicznym, a więc wniosek sprawdzanego wnioskowania nie wynika
logicznie z jego przesłanek. Przykład wnioskowania według tego schematu może być
następujący:

Jeżeli zostanę w domu, to będę się nudził

--------------------------------------------------------------------------------------

Jeżeli nieprawda, że zostanę w domu, to nieprawda, że będę się nudził

Potwierdzenie następnika polega na rozumowaniu według omawianego już

schematu wnioskowania redukcyjnego, przy jednoczesnym traktowaniu tego
rozumowania jako niezawodnego:

 q

-----------

Wnioskowanie redukcyjne jest oczywiście niezbędne w nauce, a często również
przydatne w potocznej praktyce wnioskowania. Jednak jeśli jest traktowane jako
dedukcyjne, to mamy wtedy do czynienia z błędem formalnym. Błąd potwierdzenia
następnika wystąpiłby w sytuacji, gdyby ktoś potraktował poniższe wnioskowanie jako
niezawodne:

Jeżeli rośliny doniczkowe nie są podlewane, to rośliny te usychają

Rośliny usychają

----------------------------------------------------------------------------------

A więc rośliny nie są podlewane

Jeśli w tym przypadku wniosek okaże się prawdziwy, to oczywiście nie dlatego, że
wynika on logicznie z przesłanek. Równie dobrze wniosek ten może okazać się fałszywy
– na przykład w sytuacji, gdy rośliny są podlewane, a usychają dlatego, że zaatakowała je
choroba.

49. Błędy petitio principii i ignoratio elenchi

Do błędów w rozumowaniach należy błąd petitio principii. Zwrot petitio

principii znaczy dosłownie „żądanie zasady” (łac.). Błąd tego rodzaju występuje wtedy,
gdy któraś z przesłanek wnioskowania jest niedostatecznie uzasadniona czy mało
prawdopodobna, chociaż nie można o niej stwierdzić, że jest fałszywa. Wniosek
formułowany w oparciu o taką przesłankę nie musi być fałszywy, wystarczy jednak, że
jest niepewny. Weźmy pod uwagę wnioskowanie:

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Jeżeli będę grał systematycznie w Lotto, to wytypuję szóstkę

Będę grał systematycznie w Lotto

----------------------------------------------------------------------------

Wytypuję szóstkę

Pod względem formalnym wnioskowanie jest bez zarzutu – przebiega według schematu
modus ponendo ponens. Jednak ze względu na niepewność pierwszej przesłanki
wnioskowania, równie niepewny jest jego wniosek.

Za odmianę błędu petitio principii można uznać błędne koło w dowodzeniu (łac.

circulus vitiosus – dosł. wadliwe koło, także circulus in probando – koło w dowodzie).
Błąd ten występuje na przykład wtedy, gdy w celu wykazania prawdziwości zdania Z

ktoś powołuje się na przesłankę Z

, a następnie do uzasadnienia przesłanki Z

używa

zdania Z

. Wnioskowania takie często mają charakter entymematyczny. Omawiany błąd

występuje w poniższym przykładzie (przesłanki entymematyczne w nawiasach), w
którym wniosek pierwszego wnioskowania służy jako przesłanka w drugim
wnioskowaniu:

(Jeśli ktoś pisze wybitne książki, to jest genialnym pisarzem)

Henryk Sienkiewicz pisał wybitne książki

---------------------------------------------------------------------------

Henryk Sienkiewicz był genialnym pisarzem

(Jeżeli ktoś jest genialnym pisarzem, to pisze wybitne książki)

Henryk Sienkiewicz był genialnym pisarzem

---------------------------------------------------------------------------

Henryk Sienkiewicz pisał wybitne książki

Błędne koło w dowodzeniu może być trudne do wykrycia wówczas, gdy rozumowania, w
których ono występuje, nie są wypowiedziane bezpośrednio po sobie, a ponadto są
elementami jakiejś dłuższej wypowiedzi.

Inny błąd w rozumowaniu nosi nazwę ignoratio elenchi, co oznacza

nieznajomość tezy dowodzonej, a dokładniej – nieznajomość sposobu odparcia tezy,
twierdzenia czy argumentu (łac. ignoratio – nieznajomość, niewiedza, elenchus –
wykazanie fałszywości jakiegoś twierdzenia, odrzucenie argumentu). Błąd ten popełnia
się wówczas, gdy dowodzi się czegoś innego niż miało być dowiedzione. Błąd ten
szczególnie dotyczy sytuacji, gdy osoba mająca na celu wykazanie fałszywości jakiegoś
twierdzenia czy zarzutu rozumuje w taki sposób, że w rzeczywistości odpiera nie to
twierdzenie, które miało być odparte. Ktoś na przykład zarzuca pracownikowi
naukowemu X oszustwo, a odparcie zarzutu polega na rozumowaniu:

Jeżeli ktoś posiada wysoki tytuł naukowy, to jest wykształcony

X posiada wysoki tytuł naukowy

-----------------------------------------------------------------------------

X jest wykształcony

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

Wnioskowanie to jest jednak bezwartościowe dla odparcia postawionego zarzutu –
należało wykazać, że X nie popełnił oszustwa, a nie, że jest człowiekiem wykształconym.
W tym przypadku może występować dodatkowo próba przeforsowania nieuzasadnionej i
jednocześnie ukrytej przesłanki „Jeżeli ktoś jest wykształcony, to nie oszukuje”.

50. Nieuzasadniona generalizacja i post hoc ergo propter hoc

Można wyróżnić jeszcze wiele innych błędów rozumowania, które są

spowodowane rozmaitymi przyczynami i mają zróżnicowany charakter. Niektóre z nich
będą omówione w związku z zagadnieniem nierzeczowych sposobów przekonywania w
dyskusji. W tym miejscu wspomniane zostaną jeszcze dwa stosunkowo często popełniane
błędy. Pierwszy z nich to błędna generalizacja, nazywana też nieuprawnioną,
nieuzasadnioną lub przedwczesną (ang. hasty generalization). Błąd ten dotyczy
wadliwego posługiwania się indukcją niezupełną – wyciąga się wniosek ogólny
dotyczący jakiejś prawidłowości na podstawie zbyt małej liczby przypadków, w których
ta prawidłowość występuje. Na przykład ktoś przyjeżdża po raz pierwszy do Poznania i
pyta inną osobę o drogę. Spotyka się z uprzejmą odpowiedzią. Druga napotkana osoba
także jest uprzejma. Podróżny wyciąga wniosek, że w Poznaniu mieszkają sami uprzejmi
ludzie. Nieuzasadniona generalizacja jest częstym błędem popełnianym przez
przeciętnego człowieka i dotyczy wielu sfer życia: polityki (np. „Każdy polityk jest
nieuczciwy”), uwarunkowań ludzkiego postępowania (np. „Wszystko, co ludzie robią, ma
na celu ich własną korzyść”), stosunków społecznych (np. „Ktoś zajmujący wysokie
stanowisko będzie zawsze traktował z góry tego, kto stoi niżej”) itd.

Błąd noszący nazwę post hoc ergo propter hoc (łac. po tym, a więc wskutek tego)

dotyczy stwierdzania związków przyczynowo-skutkowych. Można przyjąć, że gdy
zjawisko A jest przyczyną zjawiska B, to zjawisko A poprzedza w czasie zjawisko B.
Jednak samo takie poprzedzanie w czasie nie świadczy o tym, że A jest przyczyną B, gdyż
poprzedzanie to może mieć charakter przypadkowy. Jeśli nawet zjawisko B zawsze jest
poprzedzane przez zjawisko A, to może być też tak, że oba zjawiska są wywołane przez
jakąś jedną przyczynę i dlatego zbiegają się w czasie. Błąd post hoc ergo propter hoc
polega na stwierdzeniu istnienia związku przyczynowego między zjawiskami wyłącznie
na podstawie tego, że jedno z tych zjawisk poprzedza drugie. Przykładem tego błędu jest
stwierdzenie, że dzień jest przyczyną nocy, gdyż dzień zawsze poprzedza noc lub uznanie
śpiewu ptaków za przyczynę wschodu słońca.

51. Argumentowanie

Argumentowanie jest to takie wypowiadanie się, które zmierza do przekonania

kogoś o prawdziwości (prawdopodobieństwie) jakiegoś twierdzenia lub wywołania u
kogoś określonych postaw, dążeń, ocen czy przeświadczeń. O argumentowaniu mówi się
w szczególności wtedy, gdy dotyczy ono uzasadniania czy obrony niezgodnych
twierdzeń, stanowisk czy poglądów. Słowo „argument” (łac. argumentum – dowód,
środki dowodowe, podstawa dowodzenia) bywa rozumiane na dwa sposoby: po pierwsze
jako twierdzenie służące do uzasadnienia określonego stanowiska; po drugie – jako
całość złożona zarówno z twierdzeń popierających określone stanowisko, jak i ze zdania

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

wyrażającego to stanowisko. Przyjmujemy tu pierwszy sposób rozumienia, gdyż jest on
bardziej zbliżony do języka potocznego.

Argumentowanie może być rzeczowe lub nierzeczowe. W pierwszym przypadku

jego istotą jest poprawne uzasadnianie twierdzeń czy poglądów. Rzeczowo argumentuje
ten, komu zależy przede wszystkim na prawdzie w jakiejś kwestii, i ze względu na to
odwołuje się do doświadczenia, poprawnego rozumowania, wiarygodnej wiedzy, faktów
itd. Nierzeczowe argumentowanie występuje wtedy, gdy uzasadnienie bronionych
przekonań jest – z punktu widzenia logiki – błędne lub niewystarczające. Takie
argumentowanie może być spowodowane chęcią narzucenia innym własnego poglądu,
pragnieniem realizacji interesów indywidualnych lub grupowych, brakiem należytego
krytycyzmu, brakiem dostatecznej wiedzy w jakiejś kwestii, potrzebą potwierdzenia
wyznawanych wartości. Dlatego nierzeczowe argumentowanie odwołuje się do ludzkich
dążeń i postaw, do emocji, uczuć, uprzedzeń, stereotypów, myślenia życzeniowego

itp.

Argumentowanie nierzeczowe ma często nieuświadomiony charakter – argumentujący
nie zdaje sobie sprawy z tego, że uzasadnienie jego poglądu jest błędne. Warto zwrócić
uwagę na to, że znaczna część ludzi – a może nawet większość – nie rozumuje w sposób
czysto racjonalny, tylko uznaje za prawdę to, co jest zgodne z ich przyzwyczajeniami,
pragnieniami, obawami, utrwalonymi przeświadczeniami, wyznawanymi wartościami czy
cechami osobowości. W związku z tym w wielu przypadkach skuteczne okazuje się
argumentowanie nierzeczowe. Jeżeli na przykład dziecko nie chce zażyć lekarstwa, to
zdarza się, ze trudno je do tego przekonać w sposób racjonalny. Nie da się też często w
sposób rzeczowy przekonać ucznia, że powinien przeczytać zadaną lekturę czy odrobić
zadanie domowe. Argumentowanie odwołujące się do pozytywnych skutków zalecanego
zachowania lub negatywnych konsekwencji braku podjęcia takiego zachowania jest
czasem jedynym sposobem nakłonienia kogoś do działania. Rzetelne argumentowanie
występuje między innymi w rzeczowej dyskusji, o nierzetelnych sposobach
przekonywania uczy z kolei erystyka, czyli sztuka prowadzenia sporów.

52. Reguły rzeczowej dyskusji

Dyskusja jest to uporządkowana wymiana myśli między uczestnikami, których

przekonania lub dążenia są zwykle niezgodne. Sztuka dyskutowania, czyli dialektyka,
była znana już w starożytności, a związana była z retoryką – sztuką wymowy. Za wzór
rzeczowej dyskusji można przyjąć dyskusję naukową i reguły takiej właśnie dyskusji
zostaną tutaj zaprezentowane

Cele dyskutujących osób mogą być zgodne i wtedy dyskusja jest formą

współpracy. Jest tak na przykład wtedy, gdy celem dyskutujących jest rozważenie
różnych poglądów w jakiejś kwestii po to, aby wybrać taki, który jest najbardziej
uzasadniony. Jeśli cele uczestników dyskusji są niezgodne, to dyskusja jest postacią
sporu. Wtedy dyskutanci dzielą się na zwolenników i przeciwników jakiegoś poglądu lub

Myślenie życzeniowe (ang. wishful thinking) polega na przyjmowaniu za prawdziwe tych
twierdzeń, które odpowiadają potrzebom czy pragnieniom, np. „Trzeba uznać, że ludzie są z
gruntu dobrzy, bo w przeciwnym razie nie można byłoby nikomu zaufać”.

Reguły naukowej dyskusji przestawiam w oparciu o: T. Czeżowski, O dyskusji i
dyskutowaniu, [w:] T. Czeżowski, Odczyty filozoficzne, Toruń: Towarzystwo Naukowe w
Toruniu 1958.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

bronią różnych niezgodnych ze sobą poglądów. Reguły dyskusji są jednak takie same bez
względu na to, czy w dyskusji przeważa współpraca, czy spór. Niezbędną cechą dyskusji
jest wymiana myśli – nie ma więc dyskusji tam, gdzie taka wymiana nie następuje, czyli
na przykład w sytuacji, gdy ktoś narzuca innym swoje zdanie, nie dopuszczając do
krytyki swojego stanowiska i wygłaszania poglądów z nim niezgodnych. Dyskusja może
być teoretyczna lub praktyczna. Celem dyskusji teoretycznej jest ustalenie twierdzeń
naukowych; celem praktycznej – ustalenie zasad działania.

Reguły rzeczowej dyskusji można ująć w trzech grupach wymogów. Są to

wymogi naukowe, parlamentarne oraz konstrukcyjno-krytyczne. Wymogi naukowe
dyskusji są następujące. Po pierwsze, punktem wyjścia rzeczowej dyskusji musi być
wyraźnie sformułowane zagadnienie. Po drugie, uczestnicy dyskusji powinni posługiwać
się wzajemnie zrozumiałym językiem danej dyscypliny naukowej, zawierającym terminy
o znaczeniach na tyle określonych, że nie dochodzi do nieporozumień terminologicznych
i sporów słownych. Ten, kto posługuje się terminem niejasnym dla innych uczestników
dyskusji, ma obowiązek usunąć tę niejasność, na przykład za pomocą definicji. Po
trzecie, wygłaszane twierdzenia powinny być uzasadnione w sposób właściwy dla nauki,
do której należy temat dyskusji.

Do wymogów parlamentarnych dyskusji należą zasady dyscypliny obowiązującej

w dyskusji oraz wymóg jej prowadzenia przez przewodniczącego. Na dyscyplinę dyskusji
składa się to, że dyskutanci zabierają głos w ustalonej kolejności i tylko wtedy, gdy mają
do powiedzenia coś istotnego, a przy tym wypowiadają się jasno i zwięźle. Nikt nie
powinien przerywać komuś jego wypowiedzi ani w niej przeszkadzać, zakazane są także
osobiste ataki w postaci złośliwości, docinków itp. Wypowiedzi powinny być tak
formułowane, aby nie zawierały elementów drażniących innych uczestników dyskusji, a z
drugiej strony nikt nie może mieć pretensji o to, że ktoś inny zajmuje odmienne
stanowisko. Dyskusja powinna być prowadzona przez przewodniczącego, którego
zadaniem jest dopilnowanie przestrzegania wyżej wymienionych zasad dyscypliny
dyskusji. Przewodniczący powinien również zwracać uwagę na to, czy dyskusja nie
zbacza z tematu i w razie potrzeby korygować jej przebieg. Do jego zadań należy też
przypominanie, jakie zagadnienia były już poruszone i jakie są dotychczasowe rezultaty
dyskusji. Czasami przewodniczący dokonuje również podsumowania dyskusji.

Ostatnia grupa wymogów rzeczowej dyskusji może być określona jako

wymagania konstrukcyjno-krytyczne. W dyskusji przeplatają się bowiem dwa elementy:
konstrukcyjny, czyli stawianie twierdzeń i ich uzasadnianie, oraz krytyczny – badanie
prawdziwości i należytego uzasadnienia tych twierdzeń. Osoba, która wygłasza
twierdzenie, to inaczej obrońca tego twierdzenia, czyli defendent. Na defendencie ciąży
obowiązek uzasadnienia bronionego przez niego twierdzenia (tzw. onus probandi – łac.
ciężar dowodu). Krytyka twierdzenia wygłoszonego podczas dyskusji może przebiegać
na dwa sposoby. Pierwszym z nich jest wykazanie niedostatecznego uzasadnienia tego
twierdzenia. Ten, kto wykazuje niedostateczne uzasadnienie jakiegoś twierdzenia, to
oponent. Brak dostatecznego uzasadnienia jest wystarczającym powodem, aby danego
twierdzenia nie przyjmować, choć nie przesądza o jego fałszywości. Oponent nie ma
wobec tego obowiązku wykazywania fałszywości krytykowanego twierdzenia. Defendent
ma natomiast prawo do podjęcia próby lepszego uzasadnienia bronionego twierdzenia.
Drugim sposobem krytyki jest wygłoszenie twierdzenia, które pociąga za sobą
fałszywość krytykowanego twierdzenia. Krytyk nie występuje wtedy w roli oponenta,
tylko jest defendentem swojego własnego twierdzenia, które musi odpowiednio

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

uzasadnić. Osoba, której twierdzenie jest krytykowane w ten sposób, może próbować
wykazywać niedostateczne uzasadnienie twierdzenia sprzeciwiającego się jego
poprzedniemu twierdzeniu (w tej sytuacji osoba ta występuje w roli oponenta wobec
krytykującego twierdzenia). Obrona dowolnego twierdzenia łączy się więc z innymi
wymogami niż podważanie uzasadnienia twierdzenia. Każde twierdzenie musi zostać
należycie uzasadnione, natomiast brak takiego uzasadnienia wystarczy do odrzucenia
twierdzenia bez dalszego uzasadniania takiej postawy. Umiejętność rozróżniania
wypowiedzi polegających na wygłaszaniu twierdzeń od wypowiedzi wykazujących brak
uzasadnienia twierdzeń jest zatem niezbędna do tego, aby uczestniczyć w rzeczowej
dyskusji.

W teorii dyskusji mówi się o zarzutach merytorycznych i formalnych. Zarzut

merytoryczny polega na stwierdzeniu, że teza przeciwnika lub któraś z przesłanek jego
rozumowania jest fałszywa. Z zarzutem takim wiąże się konieczność postawienia
twierdzenia, które pociąga za sobą fałszywość atakowanego twierdzenia. Zarzuty
merytoryczne mają więc charakter konstrukcyjny. Zarzuty formalne nie dotyczą wartości
logicznej twierdzeń przeciwnika, tylko wskazują na niepoprawność form rozumowania,
którymi się on posługuje. Do zarzutów takich należy stwierdzenie, że przeciwnik popełnił
błąd formalny lub zarzut, że sposób jego rozumowania nie zapewnia dostatecznego
prawdopodobieństwa formułowanych wniosków. Zarzuty formalne – poprzez wykazanie
wadliwości form rozumowania – wykazują brak dostatecznego uzasadnienia wniosków
przeciwnika, a więc mają postać krytyki.

Efekt końcowy dyskusji może być rozmaity. Gdy dyskusja jest sporem, to zdarza

się, że jedna ze stron uznaje swój pogląd za nieuzasadniony lub błędny. W wyniku
dyskusji może też nastąpić zbliżenie ścierających się ze sobą stron na skutek wyjaśnienia
nieporozumień, wprowadzenia modyfikacji do pierwotnych twierdzeń czy wspólnego
zaakceptowania pewnych ogólniejszych twierdzeń, w świetle których poprzednie różnice
między dyskutującymi okazują się nieistotne. Często jednak zdarza się, że w trakcie
dyskusji coraz bardziej zarysowują się podstawowe różnice w wyjściowych założeniach,
postawach poznawczych czy światopoglądowych. Taka sytuacja może wystąpić zarówno
w dyskusjach w obrębie nauk przyrodniczych (np. spór o interpretację mechaniki
kwantowej), jak i społecznych (np. zagadnienie odrębności nauk społecznych w stosunku
do nauk przyrodniczych). W jeszcze większym stopniu ma to miejsce w sporach
filozoficznych, religijnych, światopoglądowych czy politycznych, słowem – wszędzie
tam, gdzie wyjściowymi założeniami są przekonania, które trudno uzasadnić w naukowy
sposób lub uzasadnienie takie nie jest w ogóle możliwe. Tego typu przekonania (moralne,
religijne itp.) odgrywają jednak ważną rolę w życiu jednostek i grup społecznych,
stanowiąc drogowskazy życiowe i nadając sens ludzkim poczynaniom. Pożądane jest,
aby ludzie wyznający odmienne czy nawet sprzeczne przeświadczenia dążyli pomimo
tego do wzajemnego zrozumienia i poszanowania cudzych poglądów. W związku z tym
w dyskusji dotyczącej przekonań, o których mowa, należy raczej starać się o pełniejsze
zrozumienie cudzych założeń i szukać tego, co wspólne, niż za wszelką cenę
przekonywać stronę przeciwną o „prawdziwości” własnego stanowiska. Można też
rozważać kwestię przydatności czy skuteczności określonych przekonań lub też korzyści,
jakie dane przekonania przynoszą społeczeństwu. Dyskusja, która zmierza w tym
kierunku, ma charakter praktyczny i może służyć wypracowaniu kompromisu
akceptowanego przez strony sporu.

Reguły rzeczowej dyskusji powinny być przestrzegane bez względu na przedmiot

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

sporu. Można przyjąć, że dyskusja przestaje być rzeczowa wtedy, gdy jej głównym celem
jest przekonanie strony przeciwnej do swoich poglądów lub narzucenie czy wymuszenie
akceptacji tych poglądów – nawet jeśli akceptacja taka miałaby wyłącznie zewnętrzny,
przymusowy charakter. Człowiek wykształcony powinien znać zarówno reguły rzeczowej
dyskusji, jak i najważniejsze nierzeczowe sposoby przekonywania, pozwala to bowiem
na uczestniczenie w dyskusji prowadzonej poprawnie i racjonalnie, a z drugiej strony
zabezpiecza przed uleganiem pozornej, nierzetelnej argumentacji.

53. Erystyka

Erystyka jest zazwyczaj określana jako sztuka prowadzenia sporów (gr. eris –

zwada, spór, kłótnia; Eris – w mitologii greckiej bogini niezgody i chaosu). Wiedza o
sposobach prowadzenia dyskusji rozwinęła się już w starożytności, głównie za sprawą
szkoły megarejskiej i sofistów

. Erystyka szybko nabrała charakteru sztuki stwarzania

pozorów prawdziwości. Przyczynili się do tego przede wszystkim sofiści, którym
zależało na opracowaniu jak najskuteczniejszych sposobów przekonywania. Celem takich
sposobów było psychologiczne przekonanie przeciwnika o prawdziwości
przedstawianych mu poglądów, nakłonienie go do określonego postępowania lub choćby
odniesienie zwycięstwa w słownym pojedynku i wywarcie korzystnego wrażenia na
osobach przysłuchujących się sporowi. Poprawność stosowanych w tym celu zabiegów
nie była istotna. Nierzeczowe sposoby przekonywania występujące w erystyce określa się
jako chwyty erystyczne lub fortele erystyczne. Do tych określeń dodaje się często
przymiotniki „nielojalny” lub „nieuczciwy” (nielojalne chwyty erystyczne, nieuczciwe
fortele erystyczne itp.). Wielu fortelom erystycznym nadano łacińskie nazwy. Poniżej
znajduje się omówienie wybranych nierzeczowych sposobów przekonywania.

Argumentum ad auditorem (łac. argument do słuchacza) polega na wygłaszaniu

wypowiedzi, których celem jest zjednanie sympatii i poparcia osób przysłuchujących się
dyskusji. Ten sposób przekonywania zwykle przybiera postać żartów, które wywołują
śmiech i budzą sympatię dla tego, kto je wygłasza. Żarty mogą też dotyczyć tezy
przeciwnika i mieć na celu jej ośmieszenie. Inną odmianą argumentum ad auditorem jest
wysunięcie zarzutu, którego nierzeczowość może być oczywista dla przeciwnika, ale
który słuchaczom wydaje się trafny. Przykład: podczas publicznej dyskusji na temat
rosnącego zanieczyszczenia środowiska mówi się o potrzebie zwiększenia częstotliwości
wywozu odpadów, a tym samym o podwyższeniu opłat za taki wywóz. Uczestnik
dyskusji (np. jeden z lokalnych polityków), który chce zjednać sobie publiczność, zwraca
się do niej: „Kto z Państwa miałby ochotę płacić więcej za wywóz śmieci?” Stosowaniu
argumentum ad auditorem sprzyja sytuacja, w której osoby wykształcone dyskutują w
obecności niewyrobionej, niewykształconej publiczności.

Istotą argumentum ad baculum (łac. argument do kija) jest odwoływanie się do

negatywnych konsekwencji braku akceptacji jakiegoś poglądu albo braku podjęcia

Nurt sofistyczny rozwinął się w V w. p.n.e., a jego przedstawicielami byli m. in. Protagoras i
Gorgiasz. Sofiści głosili między innymi minimalizm poznawczy i praktycyzm, który polegał na
uznawaniu za najwyższą wartość szeroko rozumianej użyteczności. Szkoła megarejska
powstała w IV w. p.n.e., a jej założycielem był Euklides z Megary. Filozofia szkoły wywodziła
się z filozofii eleackiej, a nabrała erystycznego charakteru przede wszystkim za sprawą innego
jej przedstawiciela – Eubulidesa z Miletu.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

zalecanego zachowania. Stosowanie tego sposobu przekonywania może polegać
wyłącznie na grożeniu albo też na realnym zastosowaniu określonych środków przymusu.
Przykład: za czasów Polski Ludowej krytyka panującego porządku skutkowała
represjami: więzieniem, prześladowaniami, pozbawieniem pracy itp. „Jedynie słuszną”
filozofią była filozofia marksistowska, oczywiście poparta powyższymi „argumentami”,
bez których nie miałaby zbyt dużych szans na powszechną akceptację. Wymuszanie
poglądów czy zachowań za pomocą odwoływania się do negatywnych konsekwencji
odmowy występuje w życiu społecznym częściej, niż by się wydawało. Argumentum ad
baculum używa chociażby ojciec, który za słabe wyniki w nauce zakazuje synowi wyjścia
z domu. Grożenie przykrymi konsekwencjami często występuje razem z odwoływaniem
się do korzyści, jakie przynosi określony pogląd czy działanie. Taka argumentacja nosi
nazwę argumentum ad crumenam (łac. argument do sakiewki). Korzyści, o których tu
mowa, należy rozumieć szeroko – to nie tylko pieniądze, ale na przykład spokój,
bezpieczeństwo, szacunek, możliwości działania itd. Przywołując wspomniane już czasy
PRL-u, można wskazać na sposoby agitacji, które były używane w celu werbowania
nowych członków PZPR. Argumentowano – wprost lub między wierszami – że
przynależność do partii ułatwia zdobycie dobrej pracy, przyspiesza awans zawodowy lub
w ogóle go umożliwia, przysparza szacunku wśród ludzi, daje poczucie bezpieczeństwa.
Inny przykład: ojciec zapewnia syna, że dobre wyniki w nauce będą nagrodzone np.
kupnem nowego smartfona. Połączenie argumentum ad baculum i argumentum ad
crumenam składa się na metodę działania powszechnie określaną jako „metoda kija i
marchewki” (ang. the carrot and stick approach).

Argumentum ad hominem (łac. argument do człowieka) jest sposobem

przekonywania, któremu należy poświęcić więcej miejsca. Argument ten bowiem z
pozoru może wydawać się rzeczowy. Polega on na zakwestionowaniu jakiegoś poglądu
poprzez wskazanie na cechy lub działania osoby, która go głosi. Argumentacja ta może
polegać na przypisywaniu negatywnych cech, takich jak brak kompetencji w jakiejś
dziedzinie, zła wola, nieobiektywność spowodowana dążeniem do realizacji osobistych
interesów. Cechy te mają świadczyć o braku wiarygodności głoszonych twierdzeń. Na
przykład ekspert w dziedzinie farmacji twierdzi, że pewien lek jest najlepszy w
zwalczaniu określonej choroby i spotyka się z zarzutem, że koncern produkujący ten lek
zatrudnia go w charakterze doradcy, oczywiście za odpowiednim wynagrodzeniem.
Wiarygodność twierdzenia zostaje więc osłabiona – nasuwa się przekonanie, że ekspert
przekonuje o skuteczności leku, gdyż czerpie z tego korzyści finansowe. Innym
przykładem zastosowania argumentu odwołującego się do człowieka może być
twierdzenie propagandy hitlerowskiej, że teoria względności musi być fałszywa, gdyż
Einstein był Żydem. Oczywiście w tym drugim przypadku błędność argumentu ad
hominem jest jaskrawa. Omawiany sposób argumentowania polega często na próbie
wykazania, że zachowania danej osoby przeczą głoszonym przez nią poglądom.
Przykład: minister edukacji podczas telewizyjnego wywiadu twierdzi, że szkoły
publiczne stoją na wysokim poziomie. Dziennikarz stwierdza: „Dlaczego więc syn Pana
Ministra uczęszcza do szkoły prywatnej?”. Szczególną odmianą zarzutu braku zgodności
między poglądami a postępowaniem jest zarzucanie przeciwnikowi, że sam czyni to,
czego zakazuje jego pogląd. Tego typu argument określany jest jako tu quoque (łac. ty
także). Przykłady mogą być następujące: „Mówisz, że palenie szkodzi, a sam palisz”,
„Twierdzisz, że powinienem schudnąć, a sam jesteś otyły” itp. Wnioskiem płynącym z
takich stwierdzeń jest często zakwestionowanie wiarygodności danego poglądu. Od razu

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

można stwierdzić, że taki sposób rozumowania jest nierzeczowy: fakt, że ktoś nie nie robi
tego, co sam zaleca, nie świadczy o fałszywości czy niecelowości tych zaleceń. Innym
wnioskiem wyciąganym przez stosującego tu quoque jest stwierdzenie: skoro postępujesz
wbrew poglądowi, który głosisz, to nie masz prawa głosić tego poglądu. Oczywiście
również i taki wniosek jest problematyczny, bo jeśli ktoś jest przekonany o zasadności
pewnych poglądów, to dlaczego miałby zrezygnować z ich głoszenia jedynie z tego
powodu, że sam według nich nie postępuje?

Zastosowanie argumentum ad hominem jest do pewnego stopnia racjonalne w

przypadkach, gdy cecha lub sposób działania danej osoby ma rzeczywisty związek z
wiarygodnością jej poglądów. Gdy ktoś nie będący historykiem stwierdza stanowczo, że
źródła historyczne świadczą o przemożnym wpływie masonów na bieg wydarzeń w XX
wieku, to zasadność takiego poglądu staje pod znakiem zapytania. „Podejrzane” będę też
takie twierdzenia, których głoszenie przynosi komuś określone korzyści. Argumentacja
ad hominem będzie jednak zasadniczo nierzeczowym sposobem przekonywania, gdyby
miała być traktowana jako wystarczający powód do odrzucenia jakiegoś poglądu.
Niezgodność między cechami lub działaniami określonej osoby oraz jej podglądem nie
przesądza bowiem w sposób decydujący o fałszywości tego poglądu – może jedynie w
niektórych przypadkach sugerować, że prawdopodobnie pogląd ten nie ma rzeczowego
uzasadnienia. Wykazanie braku uzasadnienia jakiegoś twierdzenia nie może jednak
polegać na wykazaniu jego niezgodności z postawami, cechami czy działaniami tego, kto
je wygłasza, tylko wymaga osobnego zbadania tego twierdzenia. Inaczej mówiąc: do
obalenia jakiegoś poglądu nie wystarczy wykazanie, że pogląd ten głosi człowiek
niekompetentny, nieobiektywny czy działający niezgodnie z tym poglądem. Dowolny
pogląd może być podważony jedynie poprzez rzeczowe wykazanie jego fałszywości lub
braku uzasadnienia. Rozważmy wcześniej podany przykład eksperta farmaceutycznego
zalecającego pewien lek. Lek ten jest produkowany przez koncern zapewniający
ekspertowi korzyści materialne. Wydawałoby się, że zastosowanie argumentum ad
hominem jest w tej sytuacji zasadne. Istnieje bowiem spore prawdopodobieństwo, że
wygłaszane przez eksperta twierdzenia nie są rzetelne. Ale na skutek obiektywnego
zbadania działania leku może okazać się, że to właśnie on jest najskuteczniejszy spośród
leków dostępnych na rynku. Przykład ten pokazuje zawodność argumentu ad hominem.

Gdy argumentum ad hominem wykazuje niezgodność między czyimś działaniem

a wygłaszanym poglądem, to w rzeczywistości podważa co najwyżej wiarygodność
osoby, która głosi ten pogląd, a nie sam pogląd. Przykład ilustrujący taką sytuację może
być następujący: pewien polityk znany z haseł antykorupcyjnych zostaje przyłapany na
korupcji. Obniża to od razu, i to w sposób drastyczny, wiarygodność osoby polityka, ale
oczywiście nie wpływa na zasadność i celowość samych antykorupcyjnych poglądów.
Zwalczanie korupcji jest bowiem słuszne – nawet wtedy, gdy okaże się, że osoba
oficjalnie potępiająca korupcję wzięła łapówkę. Siła argumentu ad hominem leży w tym,
że ludzie oczekują zgodności między twierdzeniami i zachowaniem, a brak takiej
zgodności postrzegają negatywnie. Często zdarza się, że gdy choć raz zostanie ujawniona
czyjaś niewiarygodność, to osoba taka zaczyna być traktowana jako niewiarygodna w
ogóle. A skoro ktoś jest niewiarygodny, to i jego poglądy są fałszywe lub
nieuzasadnione... Taki sposób rozumowania jest jednak nierzeczowy – jeszcze raz trzeba
podkreślić, że o fałszywości czy braku uzasadnienia danego poglądu powinno przesądzać
zbadanie samego poglądu, a nie wiarygodności czy cech osoby, która go głosi.

Użycie argumentum ad hominem jest całkowicie nieuprawnione, gdy polega na

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

przypisywaniu przeciwnikowi takich cech, które w rzeczywistości mu nie przysługują,
czy na zarzucaniu niezgodności działania z głoszonym poglądem, która wcale nie ma
miejsca. Przykład: jeden z uczestników dyskusji naukowej stwierdza, że publikacje jego
oponenta prezentują niski poziom, co w rzeczywistości jest nieprawdą. Celem
atakującego jest oczywiście zarzucenie oponentowi braku kompetencji, a przez to
osłabienie jego poglądu. Inny przykład: „Twierdzisz, że pożyczanie pieniędzy wśród
przyjaciół nie prowadzi do niczego dobrego, a sam niedawno zaciągnąłeś pożyczkę w
banku”. Czymś innym jednak jest pożyczanie pieniędzy wśród przyjaciół, a czymś innym
pożyczanie w banku, a więc zarzut jest chybiony. Argumentacja ad hominem przybiera
czasem skrajną postać napaści słownej: wygłaszania lekceważących uwag, obrażania,
stosowania wyzwisk czy złorzeczenia przeciwnikowi. Taki sposób dążenia do zwycięstwa
w dyskusji jest określany jako argumentum ad personam (łac. argument do osoby), a brak
jego rzeczowej wartości nie wymaga komentarza.

W literaturze logicznej argument ad hominem bywa również rozumiany jako

wykorzystywanie twierdzeń uznawanych przez przeciwnika do uzasadnienia własnych
poglądów lub osiągnięcia określonych celów, bez względu na to, czy twierdzenia te
samemu uznaje się za prawdziwe, np. „Skoro stwierdziłeś, że trzeba pomagać ludziom, to
pomóż mi w remoncie mieszkania”. Taki sposób argumentowania nosi też nazwę
argumentum ex concesso (łac. ex concesso – z uznanego; argument z tego, co uznał
przeciwnik). Odmianą takiego sposobu argumentowania jest wykorzystanie twierdzeń
przeciwnika przeciwko niemu samemu (łac. retorsio argumenti – odwrócenie kierunku
argumentu).

Argumentum ad ignorantiam (łac. argument do niewiedzy) opiera się na

wykorzystaniu niewiedzy przeciwnika. Stosujący ten chwyt może na przykład kłamliwie
powoływać się na rzekome fakty czy badania naukowe, które świadczą o słuszności jego
twierdzenia, a których przeciwnik nie może znać, bo nie miały one miejsca. Inną odmianą
argumentu ad ignorantiam jest próba przekonania niezbyt wyrobionego przeciwnika, że
brak możliwości obalenia jakiejś tezy świadczy o prawdziwości tej tezy. Ktoś na przykład
pyta: „Czy potrafisz udowodnić, że nie istnieje magia?”, przeciwnik zaprzecza, na co
słyszy stwierdzenie: „Wobec tego powinieneś uznać, że magia istnieje”. Brak możliwości
obalenia jakiegoś nieuzasadnionego twierdzenia nie daje żadnych podstaw do
przyjmowania tego twierdzenia, podobnie zresztą jak brak uzasadnienia jakiegoś
twierdzenia nie jest wystarczającym powodem uznania, że twierdzenie to jest fałszywe.

Argumentum ad misericordiam (łac. argument do litości) to zjednywanie sobie

przeciwnika poprzez wywoływanie u niego uczuć litości lub współczucia. Na przykład
student, który nie zaliczył egzaminu, prosi wykładowcę, żeby nie wpisywał mu oceny
niedostatecznej, gdyż ostatnio miał kłopoty rodzinne i dlatego nie jest odpowiednio
przygotowany. Inna sytuacja: osoba, która popełniła wykroczenie drogowe, próbuje
przekonać policjanta, żeby odstąpił od nałożenia mandatu. Chcąc wywołać współczucie,
osoba ta stwierdza, że osiąga bardzo małe dochody, ledwo wiąże koniec z końcem, a ma
troje dzieci na utrzymaniu itp.

Argumentum ad populum (łac. argument do ludu) ma zastosowanie przede

wszystkim w polityce. Jest to zjednywanie sobie poparcia przez wywoływanie lub
potęgowanie emocji i uczuć związanych z oczekiwaniami, uprzedzeniami, obawami,
przesądami czy ambicjami określonej grupy ludzi. Stosujący ten sposób przekonywania
stwierdza na przykład: „Partia X chce wykorzeniać polskość, chce zniszczyć wszystkie
najlepsze narodowe tradycje i symbole, naszą kulturę, sprzedaje polskie fabryki, w

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

których później nasi rodacy są bezwzględnie wykorzystywani przez obcych
przedsiębiorców” itd. Celem takich wypowiedzi jest wytworzenie lub podsycenie
zazwyczaj nieracjonalnych, nieuzasadnionych i silnie zabarwionych emocjonalnie
przekonań grupy ludzi, do której te wypowiedzi są kierowane. Można uznać, że
argumentacja ad populum jest w przybliżeniu tym samym, co demagogia (gr. demagogia
– kierowanie ludem), czyli zjednywanie sobie zwolenników za pomocą oddziaływania na
ich emocje poprzez obietnice bez pokrycia, nośne, ale puste hasła, obarczanie winą za
trudności jakiejś innej grupy, schlebianie. Argumentacja ad populum może łączyć w
sobie różne sposoby przekonywania. Demagog może grozić („Jeżeli oni obejmą rządy, to
Polska cofnie się do epoki średniowiecza”), obiecywać korzyści („Naszym priorytetem
będzie mieszkanie dla każdego młodego Polaka”), przytaczać nieznane nikomu wyniki
badań („Ostatnie sondaże pokazują, że poparcie dla naszej partii rośnie”), schlebiać
(„Naród jest mądry i rozsądny, więc doskonale wie, kogo wybrać”). Schlebianie, ze
względu na jego dużą skuteczność, jest w erystyce uznawane za odrębny sposób
przekonywania.

Argumentum ad vanitatem (łac, argument do próżności) wykorzystuje próżność

przeciwnika. W celu doprowadzenia do zaakceptowania własnego poglądu używa się
najpierw takich środków, jak chwalenie, mówienie komplementów, okazywanie
zewnętrznych oznak szacunku czy podziwu, podkreślanie czyjejś wyjątkowości, zasług,
możliwości. Dopiero po takim przygotowaniu wypowiada się własny pogląd, licząc na
jego akceptację. Przykład: pracownik, który chciałby wcześniej wyjść z pracy, zamierza
wywołać pozytywne nastawienie przełożonego do swojej osoby. W związku z tym zanim
poprosi go o zgodę, kieruje do niego wypowiedzi w rodzaju: „Szefie, pan doskonale
poradził sobie w tych ostatnich negocjacjach”, „Cała firma panu bardzo wiele
zawdzięcza, gdyby nie pan, to dawno by zbankrutowała”, „Wszyscy pracownicy powinni
się od pana uczyć”.

Argumentum ad verecundiam (łac. argument do nieśmiałości) wykorzystuje fakt,

że ludzie są skłonni do ulegania presji autorytetów i zazwyczaj nie mają na tyle śmiałości,
aby przeciwstawić się ich opiniom. Argumentacji ad verecundiam nie polega na samym
odwołaniu się do opinii osoby będącej autorytetem. Chodzi tutaj o powoływanie się na
poglądy jakiegoś autorytetu, które wykraczają poza dziedzinę, w której jest on
autorytetem. Osoba stosująca argumentację ad verecundiam stwierdza, że jej pogląd
podziela znany i powszechnie uznawany uczony, polityk, artysta czy duchowny. Tego
rodzaju argumentacja ma na przykład miejsce, gdy zwolennik partii politycznej X
stwierdza: „Program partii X jest najlepszy, gdyż program ten poparł wybitny reżyser Y”.
Wybitny reżyser Y, ściśle rzecz biorąc, jest autorytetem w zagadnieniach związanych ze
sztuką filmową, ale już niekoniecznie w zakresie zagadnień politycznych. Inny przykład:
przeciwnik tezy o istnieniu Boga osobowego dla poparcia swojego poglądu powołuje się
na opinię Alberta Einsteina, który wyrażał przekonanie, że Bóg osobowy nie istnieje.
Argument może wydawać się przekonujący, ale w rzeczywistości Einstein jest ekspertem
w dziedzinie fizyki, a jego przekonania światopoglądowe, filozoficzne czy religijne nie są
wiążące. Aby odwoływanie się do autorytetu było racjonalne, musi spełniać określone
warunki

. Po pierwsze: przywoływana opinia eksperta powinna dotyczyć tej dziedziny, w

której jest on ekspertem. Z pewnością cennym źródłem wiedzy mogą być opinie
wybitnych matematyków dotyczące zagadnień matematycznych, opinie fizyków na temat

Por. K. Szymanek, K.A. Wieczorek, A.S. Wójcik, Sztuka argumentacji. Ćwiczenia w badaniu
argumentów, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN 2003, s. 68-70.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

problemów z zakresu fizyki czy uznanych kompozytorów – na temat muzyki. Po drugie:
opinie te powinny być wiarygodne: zgodne z opiniami innych ekspertów i obiektywne (a
więc zgodne z rzeczywistymi przekonaniami eksperta, a nie wygłaszane dla korzyści, pod
wpływem emocji itd.). Po trzecie: poglądy autorytetów, do których ktoś się odwołuje,
powinny być poprawnie przytoczone i odpowiednio zrozumiane. Nie mogą być
nadmiernie uproszczone, zmienione czy uzupełnione obcymi elementami. Powoływanie
się na opinie bezimiennych ekspertów nie ma oczywiście żadnej wartości – ten, kto
przywołuje opinię bliżej nieokreślonego eksperta stosuje de facto wcześniej omawianą
argumentację do niewiedzy.

W literaturze dotyczącej zagadnień erystyki można spotkać się z określeniem

argumentum ex auctoritate, które oznacza „argument z autorytetu”. Powoływanie się na
autorytet może być nierzeczowe i wtedy przybiera postać odwołania się do nieśmiałości.
Może też być rzeczowe, gdy jest zgodnie z wyżej opisanymi warunkami racjonalnego
powoływania się na autorytet. Warto dodać, że w argumentowaniu zdarza się
przywoływanie autorytetu zbiorowego. Argumentując na rzecz swojego poglądu, można
powoływać się na jakieś grono ekspertów, na grupę znawców jakiegoś zagadnienia.
Można też zapewniać, że podobnie myślą wszyscy ludzie lub ich większość – w tym
przypadku argumentacja na pewno będzie nierzeczowa (tzw. błąd demokratyczny). Fakt,
że większość ludzi żywi określone przeświadczenia, nie przesądza, że przeświadczenia te
są prawdziwe – kiedyś powszechnie wierzono, że Ziemia obraca się wokół Słońca, co
jednak okazało się nieprawdą.

Argumentum a simili (łac. argument z podobieństwa) jest sposobem

argumentowania związanym z wnioskowaniem przez analogię (inna nazwa to
argumentum per analogiam). Podstawowym warunkiem racjonalności wnioskowania z
analogii jest rzeczywiste podobieństwo – pod względem istotnych cech – przedmiotów
czy zjawisk, które bierze się pod uwagę w przesłankach i wniosku. Ten warunek nie
zawsze jest spełniony podczas posługiwania się argumentem z podobieństwa w trakcie
dyskusji. Przykład: „Zabieranie przemocą cudzej własności to rabunek, a państwo
przemocą zabiera mi pieniądze na podatki, ubezpieczenie społeczne itd. A więc państwo
dokonuje rabunku mojej własności”. W tym rozumowaniu uznaje się podobieństwo
pospolitego przestępstwa z działalnością państwa. Rzeczywiście, pod względem
pozbawiania ludzi określonej ilości środków finansowych te dwie sytuacje są podobne.
Ale państwo daje w zamian (a przynajmniej powinno dawać...) pracę, edukację,
bezpieczeństwo, emeryturę, prawa obywatelskie itd. Należności wobec państwa mają
służyć dobru wspólnemu wszystkich jego obywateli (przynajmniej w teorii...). Przestępca
nie daje w zamian niczego i dlatego te dwie sytuacje więcej dzieli niż łączy. Analogia jest
więc w tym przypadku nieuprawniona. Argumentacja odwołująca się do analogii może
oczywiście być racjonalna, choć nigdy nie jest niezawodna. Przykład: X zostaje
ministrem, a jeden z dobrze zorientowanych pracowników ministerstwa argumentuje:
„Skoro X nie potrafił poradzić sobie z kierowaniem jednym z resortów w ministerstwie,
to nie poradzi sobie z kierowaniem całym ministerstwem”. Jeżeli prawdą jest, że X nie
radził sobie dobrze z kierowaniem resortem, to rzeczywiście jest prawdopodobne, że nie
poradzi sobie z kierowaniem ministerstwem. Kierowanie w tych dwóch przypadkach ma
bowiem wiele wspólnych elementów.

Warto jeszcze wspomnieć o kilku spośród licznych niewymienionych tutaj

nierzeczowych sposobów przekonywania. Często spotykanym fortelem jest przekręcanie
tezy przeciwnika za pomocą jej przejaskrawienia, zbytniego uogólnienia lub zmiany jej

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

sensu. Na przykład mąż mówi do żony „Ostatnio wydajesz trochę za dużo pieniędzy” i
słyszy odpowiedź „Ty chciałbyś, żeby najlepiej w ogóle nic nie wydawać”. Z twierdzeń
przeciwnika można też wyciągać nieuzasadnione nimi wnioski, w szczególności takie
wnioski, które z tych twierdzeń nie wynikają logicznie. Można próbować rozzłościć
przeciwnika, gdyż wtedy przestaje on jasno myśleć. Doprowadzaniu przeciwnika do
złości może służyć nie tylko argumentum ad personam, ale na przykład przeciąganie
dyskusji, wygłaszanie żartów i licznych dygresji itp. Czasem skuteczne jest zasypanie
kogoś potokiem bezsensownych słów, co może onieśmielać zwłaszcza kogoś
niewykształconego. W obliczu zwycięstwa strony przeciwnej niektórzy stosują tak zwaną
dywersję, czyli zmianę tematu sporu. Znacznej dozy bezczelności wymaga
utrzymywanie, że przeciwnik zgodził się na nasze twierdzenia, podczas gdy w
rzeczywistości wyraźnie im zaprzeczał.

Jeżeli naszym celem jest poszukiwanie prawdy, to przed podjęciem dyskusji

warto rozważyć, czy przeciwnikowi chodzi o to samo. Jeżeli bowiem jego celem jest
głównie zwycięstwo w sporze, to dyskusja taka będzie jałowa. Jak stwierdza Artur
Schopenhauer: „Trzeba prowadzić dyskusję poprzez argumenty, a nie apodyktyczne
wypowiedzi, trzeba argumentów słuchać i zgłębiać je. [...] potrzebna jest dyskusja z
ludźmi szanującymi prawdę, którzy lubią słuszne argumenty nawet z ust przeciwnika i są
na tyle sprawiedliwi, by uznać, że brak im racji, skoro prawdę głosi przeciwnik. Wniosek
stąd taki: z setki ludzi może tylko jeden zasługuje na podjęcie z nim dyskusji, a reszta
niech gada co dusza zapragnie, gdyż »prawem ludzi jest głupota« (desipere est iuris
gentium)”

54. Kultura logiczna

O znaczeniu i potrzebie kultury logicznej pisali sporo wybitni filozofowie i

logicy z kręgu Szkoły Lwowsko-Warszawskiej. Założycielem Szkoły był Kazimierz
Twardowski (1866-1938), a do jej przedstawicieli należeli między innymi Tadeusz
Kotarbiński (1886-1981), Tadeusz Czeżowski (1889-1981), Kazimierz Ajdukiewicz
(1890-1963). Ich poglądy dotyczące kultury logicznej są aktualne pomimo upływu czasu.
Kulturę logiczną lub wykształcenie logiczne posiada ten, kto wykazuje się sprawnością w
logicznym myśleniu i wypowiadaniu myśli oraz posiada podstawową wiedzę z zakresu
logiki. Oba składniki kultury logicznej – wiedza i umiejętności – są istotne, nie można
bowiem mówić o kulturze logicznej tam, gdzie brakuje choć jednego z nich. Zapewne w
wielu przypadkach wiedza logiczna nie jest niezbędna do poprawnego wnioskowania czy
jasnego i rzeczowego wypowiadania się. Jednak ten, kto posiada zarówno wiedzę, jak i
umiejętności logiczne, nie będzie skazany wyłącznie na swoją „intuicję logiczną”, która
czasem może okazać się zawodna. Człowiek posiadający elementarne wykształcenie
logiczne będzie potrafił świadomie unikać błędów logicznych we własnym myśleniu i
mówieniu; będzie też umiał nie tylko zauważać cudze błędy, ale także wykazywać, że są
one błędami

. Wiedza i umiejętności logiczne mają szerokie zastosowanie, ponieważ

A. Schopenhauer, Sztuka prowadzenia sporów, czyli dialektyka erystyczna, tłumaczenie L.
Lachowiecki, Warszawa: Wydawnictwo Sternik 1996, s. 69.

Por. K. Ajdukiewicz, Zarys logiki..., s. 4-5. Przedstawione tu poglądy dotyczące kultury
logicznej opierają się przede wszystkim na rozważaniach K. Ajdukiewicza, T. Czeżowskiego i
T. Kotarbińskiego.

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

definicje, podziały, pytania i odpowiedzi, rozumowania czy dyskusje występują w wielu
sferach ludzkiej działalności, a logika jest jedyną nauką, która analizuje te czynności z
punktu widzenia ich poprawności w sposób systematyczny i pogłębiony

. Można

powiedzieć, że logika jest ogólną teorią każdego poprawnego myślenia i mówienia.

Tadeusz Czeżowski w jednym ze swoich artykułów nakreśla sylwetkę człowieka

posiadającego kulturę logiczną, pisząc, że osoba taka: „[...] zna granice własnej
kompetencji, zdając sobie sprawę z tego, w jakich granicach posiada wiedzę
wystarczającą dla wygłaszania twierdzeń stanowczych i ich uzasadnienia. Kultura
logiczna czyni go bowiem wrażliwym na prawdę i fałsz, na poprawność myśli i błędy
logiczne, wykształca, moglibyśmy powiedzieć, sumienie logiczne, które jest podstawą
krytycyzmu wobec siebie i wobec innych”

. Taki krytycyzm chroni przed

zniekształcaniem myśli przez uczucia, dążenia czy uprzedzenia. Czeżowski podkreśla, że
oprócz wymiaru indywidualnego kultura logiczna posiada również bardzo istotny wymiar
społeczny. Może wpływać na życie umysłowe, polityczne, organizacyjne poprzez
wprowadzanie w te dziedziny przejrzystego porządkowania według zasad
klasyfikowania, należytego określania opartego na regułach definiowania, wypowiadania
się jak najlepiej oddającego myśl, która ma być przekazana. Kultura logiczna chroni
przed nieuzasadnionymi uogólnieniami i mechanicznym schematyzowaniem, odgrywa
też szczególną rolę w sytuacjach ścierania się ze sobą różnych stanowisk i poglądów.
Może bowiem chronić przed posługiwaniem się w dyskusji nierzetelnymi chwytami
polemicznymi oraz przed dogmatycznym zacięciem i demagogią. Wykształcenie logiczne
sprzyja wzrostowi poziomu wymagań co do jasności i poprawności uzasadniania
twierdzeń, wzajemnemu zrozumieniu, tolerancji, przezwyciężaniu różnic i szukaniu tego,
co wspólne.

Trzeba podkreślić, że kulturę logiczną powinni posiadać zwłaszcza nauczyciele

szkół wszystkich typów. Tadeusz Kotarbiński słusznie zauważa, że pojęcia logiczne, takie
jak definiowanie, klasyfikowanie czy uzasadnianie, są jednocześnie nazwami działań
umysłowych, a wyrobienie umiejętności wykonywania takich działań jest jednym z celów
kształcenia. Logika zatem, zdaniem Kotarbińskiego, łączy się silnie z dydaktyką ogólną
jako jedną z nauk pedagogicznych. Kazimierz Ajdukiewicz stwierdza, że każdy
nauczyciel oprócz znajomości swojego przedmiotu powinien umieć mówić o nim jasno,
odpowiedzialnie i w sposób uporządkowany, a także posiadać biegłość w poprawnym
wykonywaniu zabiegów logicznych, takich jak uzasadnianie twierdzeń, budowanie
definicji czy przeprowadzanie wnioskowań. Obok praktycznej sprawności logicznej
nauczycielowi potrzebna jest także teoretyczna wiedza logiczna. Jednym z celów
kształcenia jest bowiem wyrobienie u uczniów umiejętności poprawnego myślenia, a
zdaniem Ajdukiewicza nauczyciel nie może tego dokonać, nie posiadając samemu
odpowiedniej wiedzy logicznej, w szczególności wiedzy o typowych błędach logicznych.

Teorie dydaktyczne są zgodne co do tego, że ważnym celem kształcenia jest

wyrobienie u uczniów, a zwłaszcza u studentów, umiejętności samodzielnego
dostrzegania, ujmowania i rozwiązywania różnorodnych problemów teoretycznych i
praktycznych, przy czym umiejętność taka powinna być oparta na krytycznym,
racjonalnym myśleniu

. A krytyczne i racjonalne myślenie jest zasadniczo tożsame z

Por. T. Kotarbiński, Kryzys logiki, [w:] T. Kotarbiński, Dzieła wszystkie. Ontologia, teoria
poznania i metodologia nauk, Wrocław-Warszawa-Kraków, Ossolineum 1993, ss. 471-472.

Czeżowski, O kulturze logicznej, [w:] Odczyty filozoficzne..., s. 278.

Por. np. Cz. Kupisiewicz, Podstawy dydaktyki ogólnej, Warszawa, Polska Oficyna

W. Rechlewicz, Wykłady z logiki, logika formalna i metodologia, 2014/2015

myśleniem opartym na regułach szeroko pojętej logiki. Wykształcenie logiczne
przyczynia się nie tylko do lepszego, bardziej poprawnego ujmowania i opracowywania
zagadnień o charakterze szczegółowym. Sprzyja ono również formułowaniu takich
całościowych poglądów na świat i człowieka, które dzięki racjonalnej postawie mają
dojrzałą postać, są wewnętrznie spójne, a jednocześnie pozbawione fanatyzmu,
nietolerancji i pretensji do bycia nieomylnymi.

Wydawnicza BGW 1996, s. 54.

Document Outline

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
metodologia z logika id 295026 Nieznany
metodologia z logika id 295026 Nieznany
Erystyka, Logika i ogólna metodologia nauk
Logika W3 zadania Nieznany
Logika języka i logika formalna102013
Logika języka i logika formalna"
Logika formalna, logika-zadania
Logika formalna
2 Teoria literatury i metodolo Nieznany (2)
Logika Formalnaq
Logika formalna i języka cz2112013
1 Co to jest opis formalnyid 91 Nieznany
LOGIKA I OGÓLNA METODOLOGIA NAUK, Logika i ogólna metodologia nauk
9.formalizm, Metodologia badań literaturoznawczych
IX Tradycyjna logika formalna, Logika
egzamin logika wesserling uksw Nieznany
LOGIKA 6 id 271991 Nieznany
Logika Pragmatyczna WSIZIAzaocz Nieznany

więcej podobnych podstron

Logika Formalna I Metodologia i Nieznany

Document Outline