IX Tradycyjna logika formalna. Rachunek nazw

1. Formy wnioskowania bezpośredniego

1.1. Klasyczne zdania kategoryczne

Drugi dział logiki formalnej - to rachunek nazw (inaczej: teoria, albo wprost logika nazw). Rachunek nazw cechuje się tym, że jego wzory zawierają wyłącznie zmienne nazwowe. Logika europejska, u swego zarania w starożytnej Grecji, zaczęła swój naukowy żywot właśnie od rachunku nazw. Przedstawimy go teraz i to w jego szacownej, historycznej wersji, w jakiej funkcjonował na europejskich uniwersytetach jeszcze do niedawna, i w jakiej nadal jest wykładany, choć jego znaczenie już nieco zmalało. Współczesny rachunek nazw przybrał postać rachunku kwantyfikatorów. Przedstawimy go również, ale trochę później. Tymczasem zajmiemy się jego tradycyjną postacią.

Tradycyjna logika formalna, bo tak właśnie przyjęło się nazywać rachunek nazw w jego tradycyjnym kształcie, bada relacje logiczne, jakie zachodzą między klasycznymi zdaniami kategorycznymi i na tej podstawie formułuje wzorce oraz reguły wnioskowania bezpośredniego oraz pośredniego. Filozofem, któremu logika tradycyjna zawdzięcza najwięcej, był Arystoteles.

Tradycyjna logika zajmuje się klasycznymi zdaniami kategorycznymi, które już poznaliśmy przy okazji omawiania różnych rodzajów zdań prostych. Przypomnijmy, że są to zdania oparte na jednym z czterech schematów:

1. S a P - zdania ogólno-twierdzące (czyt.: każde S jest P),

2. S i P - zdania szczegółowo-twierdzące (czyt.: niektóre S jest P),

3. S e P - zdania ogólno-przeczące (czyt.: żadne S nie jest P),

4. S o P - zdania szczegółowo-przeczące (czyt.: niektóre S nie są P).

Warto wiedzieć, że zastosowane tu symbole pochodzą od stosownych nazw łacińskich:

„S” - od „subiectum” (pol. „podmiot”),

„P” - od „praedicatum” (pol. „orzecznik”),

„a” - pierwsza samogłoska w wyrazie „affirmo” (pol. „twierdzę”),

„i” - druga samogłoska w wyrazie „affirmo”,

„e” - pierwsza samogłoska w wyrazie „nego” (pol. „zaprzeczam”),

„o” - druga samogłoska w wyrazie „nego”.

W klasycznych zdaniach kategorycznych występuje zawsze podmiot „S” i orzecznik „P”. Nazwy odgrywające w zdaniach kategorycznych rolę podmiotu i orzecznika nazywamy terminami tych zdań. Oprócz terminów w zdaniach kategorycznych występuje łącznik „jest” lub „są”. Łączy on podmiot z orzecznikiem - i stąd jego nazwa. Poza tym mamy tu jeszcze słowa kwantyfikujące: „każdy”, „niektóre”, „żadne”. Słowa kwantyfikujące decydują o tzw. jakości zdania i ilości. „Jakość” dotyczy tego, czy zdanie jest twierdzące czy przeczące. Dwa zdania mają tę samą jakość, gdy oba są twierdzące lub przeczące. „Ilość” z kolei wskazuje, czy zdanie jest ogólne czy szczegółowe. Dwa zdania mają tę samą ilość, gdy np. oba są ogólne lub oba są szczegółowe, niezależnie od tego, czy są przy tym przeczące czy też twierdzące (czyli niezależnie od ich jakości). Dodamy jeszcze, że słówka kwantyfikujące możemy czytać dość dowolnie, zachowując oczywiście jakość i ilość zdań. Zamiast „niektóre S są P”, możemy mówić „pewne S są P”, „są takie S, które są P” itp.

Przypomnijmy jeszcze, że nazwy podstawiane za podmiot S i orzecznik P nie mogą być puste. Innymi słowy mówiąc, symbole S i P reprezentują nazwy niepuste.

1.2. Kwadrat logiczny. Prawa kwadratu logicznego - związki logiczne między klasycznymi zdaniami kategorycznymi.

Związki zachodzące między klasycznymi zdaniami kategorycznymi w tradycyjnej logice formalnej przyjęto obrazować graficznie za pomocą tzw. kwadratu logicznego, którego wierzchołki stanowią zdania kategoryczne, a boki i przekątne przedstawiają stosunki między tymi zdaniami.

S a P S e P

S i P S o P

Stosunek sprzeczności

Przekątne kwadratu przedstawiają stosunek sprzeczności między zdaniami ogólno-twierdzącymi S a P i zdaniami szczegółowo-przeczącymi S o P, oraz między zdaniami ogólno-przeczącymi S e P i zdaniami szczegółowo-twierdzącymi S i P. Wskazane zdania odpowiednio się wykluczają wzajemnie (tzn. nie mogą być jednocześnie prawdziwe), ale zarazem się dopełniają (tzn. nie mogą być jednocześnie fałszywe). Stosunek sprzeczności między odpowiednimi zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie S i orzeczniku P, ale o różnej jakości i ilości, możemy przedstawić zapisać symbolicznie następująco:

1. S a P → ~ (S o P) - jeśli prawdą jest, że każde S jest P, to nieprawda, że niektóre S nie są P,

2. S e P → ~ (S i P) - jeśli prawdą jest, że żadne S nie jest P, to nieprawda, że niektóre S są P,

3. S o P → ~ (S a P) - jeśli prawdą jest, że niektóre S nie są P, to nieprawda, że każde S jest P,

4. S i P → ~ (S e P) - jeśli prawdą jest, że niektóre S są P, to nieprawda, że żadne S nie jest P.

5. ~(S o P) → S a P - jeśli nieprawda, że niektóre S nie są P, to jest prawdą, że każde S jest P,

6. ~(S i P) → S e P - jeśli nieprawda, że niektóre S są P, to jest prawdą, że żaden S nie jest P,

7. ~(S a P) → S o P - jeśli nieprawda, że każde S jest P, to jest prawdą, że niektóre S nie są P

8. ~(S e P) → S i P - jeśli nieprawda, że żadne S nie jest P, to jest prawdą, że niektóre S są P.

Strzałka w powyższym zapisie oznacza wynikanie. Czytamy ją zazwyczaj jako „wynika” lub jako „jeśli..., to”. Symbol „~” przed nawiasem, czyli przed całym zdaniem, znaczy „nieprawda, że”. Przy pojedynczym symbolu nazwy (S lub P) oznacza zwykłe zaprzeczenie czytane jako „nie”.

W ten sposób otrzymaliśmy pierwsze schematy niezawodnego wnioskowania bezpośredniego, które opierają się na twierdzeniu o wzajemnym wykluczaniu i dopełnianiu się zdań ogólno-twierdzącym S a P ze szczegółowo-przeczącymi S o P oraz zdań ogólno-przeczących S e P ze zdaniami szczegółowo-twierdzącymi S i P. Wskazane zdania, o tym samym podmiocie i orzeczniku, nie mogą być parami jednocześnie prawdziwe i nie mogą być jednocześnie fałszywe.

Nie trudno zauważyć, że podane schematy (i twierdzenia) opierają się na swego rodzaju oczywistości, w sumie dość łatwo wyczuwalnej (co można powiedzieć o całości, można i o części, a jeśli czegoś nie można powiedzieć o części, to tym bardziej nie można i o całości).

Stosunek podporządkowania

Boki kwadratu przedstawiają pozostałe relacje zachodzące między zdaniami kategorycznymi. Między zdaniami typu S i P i zdaniami S a P, oraz zdaniami typu S o P i S e P zachodzi stosunek podporządkowania. Zdania szczegółowe są odpowiednio podporządkowane zdaniom ogólnym o tej samej jakości. I tak zdania szczegółowo-twierdzące S i P są podporządkowane zdaniom ogólno-twierdzącym S a P; a zdania szczegółowo-przeczące S o P są podporządkowane zdaniom ogólno-przeczącym S e P. Odwróceniem relacji podporządkowania są relacje nadrzędności. Możemy powyższe stosunki wyrazić jeszcze inaczej. Możemy mianowicie powiedzieć: jeśli prawdą jest, że każde S jest P, to wynika stąd, że prawdą jest również i to, że niektóre S są P. I podobnie możemy powiedzieć: jeśli prawdą jest, że żadne S nie jest P, to prawdą jest również, że niektóre S nie są P. Innymi słowy mówiąc, jeśli prawdziwe są zdania ogólne, to prawdziwe są również zdania szczegółowe o tej samej jakości, pod warunkiem, że mają one ten sam podmiot i orzecznik. Krócej możemy to samo wyrazić następująco: z prawdziwości zdań ogólnych możemy wnosić o prawdziwości odpowiadających im zdań szczegółowych o tej samej jakości (i tym samym podmiocie i orzeczniku).

Relacje podporządkowania zapiszemy następująco:

9. S a P → S i P,

10. S e P → S o P.

Otrzymaliśmy tym samym dwa następne niezawodne schematy wnioskowania bezpośredniego, oparte tym razem na twierdzeniu o wynikaniu zdań szczegółowych ze zdań ogólnych o tej samej jakości (i naturalnie tym samym podmiocie i orzeczniku).

Na bokach kwadratu logicznego możemy zauważyć jeszcze inne stosunki między klasycznymi zdaniami kategorycznymi, a mianowicie odpowiednio między zdaniami ogólnymi oraz między zdaniami szczegółowymi. Chodzi tym razem o relacje między zdaniami, które różnią się parami jakością, ale mają tę samą ilość. Inaczej mówiąc, badamy wzajemne związki między zdaniami ogólno-twierdzącymi typu S a P i zdaniami ogólno-przeczącymi typu S e P, oraz związki między zdaniami szczegółowo-twierdzącymi typu S i P i zdaniami szczegółowo-przeczącymi typu S o P. Tu również kierujemy się w dużej mierze swego rodzaju oczywistością odczuwalną niemal intuicyjnie (wkrótce jednak poznamy metodę, która pozwoli nam poniekąd „naukowo” stwierdzać prawdziwość pewnych tez ujmujących relacje między określonymi zdaniami).

Stosunek przeciwieństwa

Między zdaniami typu S a P oraz S e P zachodzi stosunek przeciwieństwa. Zdania typu S a P i zdania typu S e P, o tym samym podmiocie i orzeczniku, nie mogą być jednocześnie prawdziwe. Jeśli prawdziwe jest zdanie, które mówi, że każde S jest P (S a P), nie może być prawdziwe zdanie mówiące, że żadne S nie jest P (S e P). I podobnie: jeśli prawdziwe jest zdanie, które głosi, że żadne S nie jest P (S e P), to nie może być zarazem prawdziwe zdanie oznajmujące, że każde S jest P (S a P).

Powyższe twierdzenia zapiszemy następująco:

11. S a P → ~ (S e P),

12. S e P → ~ (S a P).

Znowu otrzymaliśmy niezawodne schematy wnioskowania bezpośredniego.

Należy w tym miejscu zauważyć, że zapisane relacje nie zachodzą w drugą stronę. Z fałszywości zdania ogólno-twierdzącego nie możemy wnosić o prawdziwości zdania ogólno-przeczącego. Na tej samej zasadzie, z fałszywości zdania ogólno-przeczącego nie możemy wyciągać wniosku o prawdziwości zdania ogólno-twierdzącego. Zdania ogólno-twierdzące (S a P) i ogólno-przeczące (S e P) nie mogą być wprawdzie jednocześnie prawdziwe (tzn. wykluczają się), ale mogą być jednocześnie fałszywe, (tzn. nie dopełniają się). Nieprawdziwe na przykład jest zdanie obwieszczające, że każdy Polak jest blondynem. Z tego jednak wcale nie wynika, że prawdziwe jest zdanie, zgodnie z którym żaden Polak nie jest blondynem. Oba zdania mogą być jednocześnie fałszywe.

Stosunek podprzeciwieństwa

Wiemy już, że zdania ogólne (o różnej jakości, ale o tym samym podmiocie i orzeczniku) nie mogą być jednocześnie prawdziwe, ale mogą być jednocześnie fałszywe. Teraz z kolei zobaczmy, jakie relacje zachodzą między zdaniami szczegółowymi o tej samej jakości, czyli między zdaniami typu S i P a zdaniami S o P. Łatwo zauważymy, że wiąże je stosunek odwrotny do poprzednio omówionego. Zauważamy mianowicie, że zdania szczegółowo-twierdząc (S i P) oraz zdania szczegółowo-przeczące (S o P), mające ten sam podmiot i orzecznik, mogą być zarazem prawdziwe (tzn. nie wykluczają się), ale nie mogą być jednocześnie fałszywe (tzn. dopełniają się). Powiada się, że te zdania nie wykluczają się wzajemnie, ale się dopełniają. Fałszywość jednego z tych zdań pociąga za sobą prawdziwość drugiego. Taki stosunek nazywa się podprzeciwieństwem i zapisuje następująco:

13. ~ (S i P) → S o P

14. ~ (S o P) → S i P

Wracając do poprzedniego przykładu, możemy jednocześnie uznać za prawdziwe zdanie, iż niektórzy Polacy są blondynami, i zdanie, że niektórzy Polacy nie są blondynami. Oba zdania mogą być jednocześnie prawdziwe. Jeśli natomiast uznamy za fałszywe na przykład zdanie, iż niektórzy Polacy są (lub nie są) kosmitami, to musimy tym samym uznać za prawdziwe zdanie, że niektórzy Polacy nie są (lub są) kosmitami.

1.3. Konwersja zdań kategorycznych

Do tej pory badaliśmy relacje między zdaniami kategorycznymi, zakładając tożsamość terminów tych zdań, tzn. uznając, że zarówno podmiot, jak i orzecznik w tych zdaniach jest odpowiednio taki sam. Konwersja (inaczej: odwrócenie, łac. conversio) zdań polega na zamianie niejako ról podmiotu i orzeczenia. Przestawiamy mianowicie w zdaniu podmiot z orzecznikiem, pozostawiając bez zmian jego jakość (tzn. zdanie twierdzące pozostaje nadal twierdzącym, a przeczące - przeczącym). Ilość zdania może ulec zmianie podczas jego konwersji. Konwersją, czyli odwróceniem, zdania S a P jest zdanie P a S, ale również zdanie P i S. Pierwszy rodzaj konwersji, tzn. konwersję bez zmiany ilości, nazywamy konwersją prostą. Drugi typ konwersji, to jest konwersję ze zmianą ilości, nazywamy konwersją ograniczoną. Dla zdania typu S a P, czyli dla zdania ogólno-twierdzącego, konwersją prostą jest zdanie typu P a S, czyli również zdanie ogólno-twierdzące. Natomiast konwersją ograniczoną tego samego zdania S a P jest zdanie typu P i S, czyli zdanie szczegółowo-twierdzące.

Prawa konwersji

Tradycyjna logika formalna bada klasyczne zdania kategoryczne, sprawdzając, czy i w jaki sposób poddają się one konwersji, i z jakim wynikiem. Rezultatem tych badań są tzw. prawa (czy reguły) konwersji. Poniżej podamy sobie te reguły.

Jedna z reguł konwersji brzmi następująco: Ze zdania szczegółowo-twierdzącego S i P wynika jego konwersja prosta P i S. Jeśli niektóre S są P, to i niektóre P są S. Prawdziwość powyższej reguły można stosunkowo łatwo dowieść za pomocą diagramów Venna, rysując dwa przecinające się koła. Wspólny dla obu kół obszar wyznacza konwersję prostą zdania S i P w zdanie P i S.

S i P

P i S

Zauważamy, zdaniu S i P oraz jego prostej konwersji P i S odpowiada na diagramie Venna ten sam obszar. Formułę

15) S i P → P i S

można więc uznać za niezawodny schemat wnioskowania bezpośredniego. Prawdziwe jest np. zdanie: niektórzy Polacy są obywatelami USA, ale również jego konwersja: niektórzy obywatele USA są Polakami.

Następna reguła głosi, że ze zdania ogólno-przeczącego S e P wynika jego konwersja prosta P e S, tzn. mają one takie same diagramy Venna. Otrzymujemy tym samym następny niezawodny schemat wnioskowania bezpośredniego:

16) S e P → P e S

Jako przykład można podać zdanie: żaden Polak nie był prezydentem USA i jego konwersję prostą: żaden prezydent USA nie był Polakiem.

Trzecia z kolei reguła powiada, że ze zdania ogólno-twierdzącego S a P nie wynika prosta konwersja, lecz konwersja ograniczona P i S. Innymi słowy mówiąc, Jeśli prawdziwe jest zdanie „każde S jest P”, to prawdziwe jest również zdanie „niektóre P są S”, które jest konwersją ograniczoną zdania pierwszego. Jeśli np. przyjmiemy za prawdziwe zdanie „każdy gad jest zwierzęciem”, to musimy uznać za prawdziwe również ograniczone odwrócenie tego zdania, to jest zdanie: „niektóre zwierzęta są gadami”. Łatwo to potwierdzić na diagramach Venna.

Oparty na ostatnim stwierdzeniu schemat

17) S a P → P i S

możemy również uznać za niezawodny schemat wnioskowania bezpośredniego.

1.4. Obwersja zdań kategorycznych

Obwersja (łac. obversio) zdania kategorycznego (w którym S jest podmiotem, a P orzecznikiem) polega na zastąpieniu orzecznika P terminem, który jest jego (czyli tego orzecznika) zaprzeczeniem, z jednoczesną zmianą jakości zdania - z twierdzącej na przeczącą lub odwrotnie. Krótko mówiąc, z obwersją danego zdania mamy do czynienia, gdy zastępujemy w nim orzecznik P na nie-P i zarazem zmieniamy jakość tego zdania z twierdzącej na przeczącą lub odwrotnie. W wyniku obwersji jakiegoś zdania otrzymuje zdanie jemu równoważne. Za równoważne uznamy zdania: „każde S jest P” oraz „żadne S nie jest nie-P”; podobnie zdania: „żadne S nie jest nie-P” oraz „każde S jest nie-P”; a dalej: „niektóre S są P” oraz „niektóre S nie są nie-P”; „niektóre S nie są P” oraz „niektóre S są nie-P”. Równoważne zdania mają takie same diagramy Venna. W wyniku obwersji otrzymamy zatem dalsze niezawodne schematy wnioskowania bezpośredniego, które możemy zapisać następująco:

18) S a P → S e nie-P,

19) S e P → S a nie-P

20) S i P → S o nie-P,

21) S o P → S i nie-P.

Podsumowując powyższe rozważania dotyczące obwersji, możemy powiedzieć, że każde klasyczne zdanie kategoryczne da się przekształcić się w zdanie równoważne, jeśli tylko zmieni się jego jakość (z twierdzącej na przeczącą lub odwrotnie), a orzecznik P zastąpi przez nie-P, (czyli przez jego dopełnienie).

Podana reguła nosi nazwę prawa obwersji.

Obwersji można poddać zdanie otrzymane przez konwersję. Np. konwersją zdania S a P jest zdanie P i S. Poddawszy obwersji wynik konwersji, otrzymamy zdanie P o nie-S.

Podane schematy - oparte na prawach kwadratu logicznego, konwersji i obwersji - w tradycyjnej logice formalnej są uznawane za niezawodne, choć ich wykorzystanie jest raczej ograniczone. Ich wspólną cechą jest to, że wyprowadzają one wniosek - na zasadzie implikacji - z jednej tylko przesłanki. Dlatego wnioskowanie oparte na tych schematach nazywane jest wnioskowaniem bezpośrednim. Tradycyjna logika zna jeszcze jeden rodzaj wnioskowania, a mianowicie wnioskowanie, w którym wniosek wyprowadza się - również na zasadzie implikacji - z koniunkcji dwóch lub większej ilości przesłanek. Dlatego ten drugi typ wnioskowania nazywa się wnioskowaniem pośrednim. Ta część logiki tradycyjnej nosi nazwę sylogistyki, a postać wnioskowania, którą tu się wykorzystuje, nazwano sylogizmem.

2. Formy wnioskowania pośredniego. Sylogistyka

2.1. Pojęcie i podstawowe formy sylogizmu

Sylogizm jest to wnioskowanie, w którym z dwóch (rzadziej z większej liczby) przesłanek wynika w sposób konieczny i niezawodny wniosek. Mniej więcej tak właśnie definiował sylogizm Arystoteles (384-322), który jako pierwszy zajmował się teorią sylogizmu. Szczególnym uznaniem cieszyła się sylogistyka w średniowieczu wśród filozofów chrześcijańskich, którzy wnieśli duży wkład w jej rozwój. Sylogistyka stanowiła podstawowy trzon europejskiej logiki aż do początków dwudziestego wieku, kiedy jej miejsce zajęła współczesna logika formalna zdań.

Klasyczny sylogizm, którym operował Arystoteles a potem filozofowie średniowieczni, zbudowany jest z trzech zdań kategorycznych. Dwa z nich stanowią przesłanki. Trzecim jest wniosek. Dlatego mówimy, że sylogizm zbudowany jest z dwóch przesłanek i wynikającego z nich - w sposób konieczny i niezawodny - wniosku. Zarówno przesłanki, jak i wniosek - to znane nam zdania kategoryczne. Tym, co jest szczególne w sylogizmie i co sprawia, że dany układ zdań stanowi właśnie sylogizm, jest budowa tych zdań. Jak wiadomo, główne elementy zdania kategorycznego - to podmiot i orzecznik. Nazywamy je terminami. Charakterystyczne dla sylogizmu jest to, dwie przesłanki mają jeden termin wspólny. Ten wspólny termin nazywa się terminem średnim. W tradycyjnym zapisie sylogizm wygląda następująco:

M P

S M

---------

S P

Na schemacie termin średni oznaczono literą M (od łac. medius terminus). W pokazanym schemacie termin średni w pierwszej przesłance pełni rolę podmiotu (ale być w niej orzecznikiem), a w drugiej jest orzecznikiem (ale może być podmiotem). Widzimy na rysunku, że we wniosku powtarzają się terminy występujące w przesłankach, ale nie ma wśród nich terminu średniego.

Przesłanki sylogizmu mogą występować w dowolnej kolejności. Tę pierwszą z nich, tzn. pisaną u góry, przyjęto nazywać przesłanką większą, a drugą - mniejszą. Stosownie do tego, termin P w przesłance większej nazywamy terminem większym, a termin S w przesłance mniejszej - mniejszym. Zauważamy przy tym, że termin mniejszy S występuje we wniosku jako jego podmiot. Natomiast termin większy P w tymże wniosku jest orzecznikiem (i stąd symbolika S oraz P, która, jak już wiemy, pochodzi od łacińskich nazw tych terminów subiectum i praedicatum). Wszystkie te terminy w sylogizmie mogą i powinny występować tylko po dwa razy każdy. Siłą rzeczy, terminy występujące we wniosku (na schemacie oznaczono je jako S oraz P) mogą powtórzyć się w przesłankach tylko raz. Termin średni M nie powinien znaleźć się we wniosku. Za to w przesłankach może on pełnić zarówno funkcję podmiotu, jak i orzecznika. W zależności od tego właśnie, jaką rolę gra termin średni w przesłankach, w tradycyjnej logice wyróżnia się cztery podstawowe figury sylogistyczne:

I II III IV

M P P M M P P M

S M S M M S M S

---------- ----------- ------------- ------------

S P S P S P S P

Jak powiedziano wyżej, przesłanki i wniosek - to znane nam już klasyczne zdania kategoryczne. Pamiętamy, że mogą to być zdania ogólno-twierdzące (zdanie typu S a P), szczegółowo-twierdzące (typu S i P), ogólno-przeczące (typu S e P) i szczegółowo-przeczące (typu S o P). W sumie, przynajmniej teoretycznie (ale, jak się niebawem okaże, tylko teoretycznie), rolę przesłanek i wniosku może w sylogizmie odgrywać każdy z tych czterech typów klasycznych zdań kategorycznych. Biorąc to pod uwagę i kombinując ze sobą każdą z możliwych postaci przesłanek i wniosku, otrzymalibyśmy dla każdej z czterech figur sylogistycznych 64 kombinacji, czyli w sumie aż 256 różnych trybów sylogistycznych. Jednak spośród nich tylko 24 tryby są niezawodne, po 6 w każdej figurze. Z tych 24 trybów, 19 uznano za podstawowe. 5 pozostałych trybów wynika z tych 24 podstawowych - z relacji podporządkowania z kwadratu logicznego. Wszystkie niezawodne tryby sylogistyczne otrzymały w średniowieczu swoje nazwy tak skomponowane, by kolejne trzy samogłoski występujące w tych nazwach wskazywały typ zdania kolejno: przesłanki większej, mniejszej i wniosku. Dla łatwiejszego zapamiętania 19 podstawowych (i najczęściej wykorzystywanych) trybów sylogistycznych, ułożono heksametrem z ich nazw wiersz mnemotechniczny. Jego autorstwo przypisuje się wybitnemu filozofowi trzynastowiecznemu, Piotrowi Hiszpanowi, późniejszemu papieżowi Janowi XXI). Przytoczymy poniżej jedną z wersji tego wiersza:

Barbara, Celarent, Darii, Ferioque prioris

Cesare, Camestres, Festino, Baroco secundae

Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton,

Bocardo, Ferison habet. Quarta insuper addidit

Bamalip, Camenes, Dimatis, Fesapo, Fresison.

Niżej podano schematy dziewiętnastu podstawowych trybów sylogistycznych:

Tryby figury I:

Barbara Celarent Darii Ferio

M a P M e P M a P M e P

S a M S a M S i M S i M

---------- ----------- ----------- ----------

S a P S e P S i P S o P

Tryby figury II:

Cesare Camestres Festino Baroco

P e M P a M P e M P a M

S a M S e M S i M S o M

---------- ----------- ----------- ------------

S e P S e P S o P S o P

Tryby figury III:

Darapti Disamis Datisi Felapton Bocardo Ferison

M a P M i P M a P M e P M o P M e P

M a P M a P M i P M a P M a P M i P

---------- ----------- ------------ ----------- ----------- ----------

S i P S i P S i P S o P S o P S o P

Tryby figury IV:

Bamalis Camenes Dimatis Fesapo Fresison

P a M P a M P i M P e M P e M

M a S M e S M a S M a S M i S

----------- ------------ ----------- ----------- ------------

S i P S e P S i P S o P S o P

2.2. Warunki poprawności trybów sylogistycznych

Mając na uwadze niezawodność trybów sylogistycznych, tradycyjna logika podaje warunki, które powinny spełniać owe tryby, by można je było uznać za niezawodne. Najważniejsze z tych reguł można sformułować następująco:

1. Obie przesłanki nie mogą być przeczące. Przynajmniej jedna z nich musi być zdaniem twierdzącym.

2. Jeśli jedna z przesłanek jest zdaniem przeczącym, wniosek musi być również zdaniem przeczącym.

3. Jeżeli obie przesłanki są zdaniami twierdzącymi, to i wniosek musi być zdaniem twierdzącym.

Podane wyżej reguły dotyczyły jakości przesłanek i wniosku. Niżej omówione zostaną reguły dotyczące samych terminów występujących w trybie.

4. Termin średni musi przynajmniej w jednej przesłance wystąpić jako podmiot zdania ogólnego (M a P lub M e S) lub jako orzecznik zdania przeczącego (S e M lub S o M). O terminie, który występuje jako podmiot zdania ogólnego lub jako orzecznik zdania przeczącego, mówi się, że jest to „termin wzięty ogólnie” lub „termin rozłożony”. Zatem ostatnią regułę można sformułować krócej następująco: termin średni w przynajmniej w jednej przesłance powinien być wzięty ogólnie (inaczej mówiąc: rozłożony).

5. Termin, który we wniosku występuje jako podmiot zdania ogólnego (S a P lub S e P) lub jako orzecznik zdania przeczącego (S e P lub S o P), czyli jest wzięty ogólnie, musi być wzięty ogólnie w przesłance, tzn. musi wystąpić w niej jako podmiot zdania ogólnego (S a M lub S e M) lub orzecznik zdania przeczącego (M e P lub M o P). Innymi słowy mówiąc, termin tylko wtedy może być wzięty ogólnie we wniosku, jeśli był wzięty ogólnie w przesłance. I odwrotnie: termin, który nie był wzięty ogólnie w przesłance, nie może być wzięty ogólnie we wniosku.

Oprócz tych pięciu przedstawionych logika tradycyjna zna jeszcze inne reguły, które jednakże pozwalają się wywieść z tamtych. Szczególnie ważne są te, które dotyczą tzw. „ilości” przesłanek i wniosku (ilość mówi o tym, czy zdanie jest szczegółowe czy ogólne). Wymienimy parę najważniejszych reguł, które o tym mówią.

6. Obie przesłanki nie mogą być zdaniami szczegółowymi. Przynajmniej jedna z nich musi być zdaniem ogólnym (ogólno-twierdzącym lub ogólno-przeczącym).

7. Jeżeli chociaż jedna z przesłanek jest zdaniem szczegółowym (szczegółowo-twierdzącym lub szczegółowo-przeczącym), to i wniosek musi być zdaniem szczegółowym. Innymi słowy: jeżeli tryb sylogistyczny ma być niezawodny, to nie może on mieć wniosku ogólnego, jeśli jedna z jego przesłanek jest zdaniem szczegółowym.

Tryby sylogistyczne, które czynią zadość wymienionym regułom, są poprawne. Wszystkie pozostałe nie mogą być uznane za prawidłowe.

Powyższe reguły można wykorzystać do sprawdzenia prawidłowości pewnych wnioskować. Procedura postępowania sprawdzającego w takich przypadkach jest następująca: 1) danemu wnioskowaniu nadaje się postać sylogizmu, 2) a następnie sprawdza się, czy jest to sylogizm prawidłowy, tzn. czy spełnia podane reguły.

Przykład I

Każda planeta jest ciałem niebieskim, każda gwiazda jest ciałem niebieskim, a więc każda gwiazda jest planetą.

Zapiszemy powyższe rozumowanie w postaci trybu. Nie trudno dociec, że otrzymamy następujący tryb:

P a M

S a M

------------

S a P

Uzyskany schemat nie spełnia warunku, który ustala, że termin średni musi przynajmniej w jednej przesłance być wzięty ogólnie, tzn. musi być podmiotem zdania ogólnego (M a P; M e P; M a S; M e S) lub orzecznikiem zdania przeczącego (np. S e M; S o M; P e M; P o M). Nie jest więc poprawny.

Przykład II

Sprawdźmy jeszcze jedno rozumowanie: każda roślina jest żywym organizmem, każdy kwiat jest rośliną, a zatem: każdy kwiat jest żywym organizmem.

Podane wnioskowane można rozpisać następująco:

M a P

S a M

-----------

S a P

Otrzymaliśmy tryb zwany Barbara. Jest to bez wątpienia tryb poprawny.

Przykład III

Sprawdźmy jeszcze jeden przykład wnioskowania: „Wszyscy urzędnicy są pracobiorcami. Wszyscy pracobiorcy są płatnikami podatku od wynagrodzeń. Zatem: niektórzy płatnicy podatku od wynagrodzeń są urzędnikami”.

Zgodnie z przyjętą procedurą, spróbujemy nadać powyższemu rozumowaniu postać trybu sylogistycznego. Uzyskamy następującą postać:

P a M

M a S

------------

S i P

Otrzymaliśmy tryb figury IV (typu a a i), zwany Bamalip (nazywany też Bramantip). Zatem tryb jest poprawny.

2.4. Sprawdzanie trybów za pomocą diagramów Venna

Tryby sylogistyczne można badać również za pomocą, znanych już nam, diagramów Venna. Metoda ta polega na zaznaczeniu na kołach Venna relacji, jakie zachodzą między zakresami terminów występujących w obu przesłankach i sprawdzeniu, czy wynik obu relacji odpowiada wnioskowi.

Procedura postępowania w tym wypadku jest następująca:

1) Kreślimy trzy koła tak, aby każde przecinało się z każdym. Trzy koła przedstawiają zakresy trzech terminów: większego P, mniejszego S, i średniego M.

2) Zaznaczamy na tych kołach relacje zachodzące między zakresami terminów w przesłance ogólnej, zakreślając stosowne pole. Korzystniej jest zacząć od przesłanki ogólnej.

3) Podobnie zaznaczamy stosowne pole, wynikające z relacji między zakresami terminów w przesłance szczegółowej, biorąc pod uwagę wynik z poprzedniej przesłanki.

4) Sprawdzamy, czy pole z obu przesłanek odpowiada wnioskowi. Jeśli tak jest, to tryb jest niezawodny.

Dla przykładu zbadajmy, czy tryb podany niżej tryb jest niezawodny:

M e P

M a S

------------

S o P

Zgodnie z podaną procedurą, na diagramie Venna musimy zaznaczyć jako odrzuconą część wspólną koła M oraz P, pozostawiając tę część koła M, która nie nachodzi na koło P (M e P). Następnie odrzucamy część koła M, która wychodzi poza koło S, pozostawiając tę część koła M, która znajduje się w kole S (M a S), pomijając już odrzucony wspólny obszar koła M oraz P. W wyniku otrzymamy pole, które odpowiada wnioskowi (S o P). Zatem tryb jest niezawodny. Skądinąd wiemy, że jest to tryb III figury, zwany Felapton.

Za: K. Ajdukiewicz, op. cit., s. 105-145. Patrz też: T. Trzęsicki, op. cit., K. Pasenkiewicz, op. cit..; Richard H. Popkin, Avrum Stroll, op. cit., s. 404-436.

Nazwy niektórych trybów, podawane w różnych podręcznikach, mogą się nieco różnić, jednak muszą mieć dokładnie te same samogłoski i w tym samym układzie.

Patrz: K. Ajdukiewicz, op. cit., s. 131-146

Więcej przykładów w: K. Ajdukiewicz, op. cit., s. 131-146.

s

p

P

S

M

---