Logika. Zadania z tematu 3.

Tautologie i kontrtautologie

Zadanie 1. Metodą wszystkich możliwych podstawień (metodą tabelkową) sprawdzić, czy podana formuła jest
tautologią:
a) p

⇒ ( p ⇒ q ), b) ( p ∧ q ) ⇒ ( p ∨ q ), c) ( p ∧ q ) ∨ ( p ⇒ q ), d) ( p ⇒ q) ⇔ (~ q ⇒ ~ p),

e) [( p

⇒ q ) ∧ q ] ⇒ ( p ⇔ q ).

Zadanie 2. Sprawdzić, czy podana formuła jest tautologią, stosując metodę skróconą:

a) p

⇒ ( p ⇒ q ) b) ( p ∧ q ) ⇒ ( p ∨ q )

c)

( p

∧ q ) ∨ ( p ⇒ q ) d) (

p

⇒ q ) ⇒ ( ~ p ∨ q )

e)

( p

∧ ~ q ) ⇒ ~ ( p ⇒ q )

[ ( p

⇒ q ) ∧ q

]

⇒ ( p ⇔ q )

f)

[( p

⇒ q ) ⇔ (

~ q

⇒ ~ p )

g)

h)

(

~ p

⇒ q ) ⇔ (

q

⇒ ~ p )

Zadanie 3. Metodą wszystkich możliwych podstawień (metodą tabelkową) sprawdzić, czy podana formuła jest
kontrtautologią:
a) p

∧ ~ ( p ⇒ q ), b) ( p ∧ q ) ∧ ( p ⇒ ~ q ), c) ~ [ p ⇒ ( p ⇒ q ) ], d) ( p ⇔ q ) ∧ ~ ( p ⇒ q ).

Zadanie 4. Sprawdzić, czy podana formuła jest kontrtautologią, stosując metodę skróconą:

a) p

∧ ~ ( p ⇒ q ) b) ( p ∧ q ) ∧ ( p ⇒ ~ q )

c) ~

[ p

⇒ ( p ⇒ q ) ]

d) ( p

⇔ q ) ∧ ~ ( p ⇒ q )

Zadanie 5. Sformułować zaprzeczenie zdania:
a) Lech nie zrobi kolacji.
b) Nieprawdą jest, że Ala nie zrobi kolacji.
c) Alicja zrobi obiad, a Cezary zrobi kolację.
d) Bogdan nie zrobi obiadu, a co więcej Cezary nie zrobi kolacji.
e) Zarówno Alicja jak i Bogdan z ochotą zrobią obiad.
f) Kolację zrobi albo Lech albo Ala.
g) Lech zrobił kolację, a pomimo tego jest głodny.
h) Albo Boguś nie zda logiki albo nie zda prawa karnego.
i) Albo Czesia zda prawo karne albo Damian lub Boguś zdadzą prawo karne.

Logika. Zadania z tematu 3

2

j) Albo Ala zda logikę i matematykę albo Boguś zda logikę i prawo karne.
k) Jeżeli Danusia zrobi obiad, to Cezary nie zrobi obiadu.
l) Jeżeli Ala nie pracuje do późna, to ona robi kolację.
m) Cezary zrobi obiad, jeśli Danusia nie zrobi obiadu.

Zadanie 6. Sprawdzić, czy podane zdanie jest prawdą logiczną:
a) Józef zostanie prezesem lub nie zostanie prezesem.
b) Albo Józef będzie uczciwy i nie zostanie prezesem, albo jeśli Józef nie będzie uczciwy, to zostanie prezesem.
c) Jeżeli Jan skłamał lub Piotr skłamał, to jeśli Jan nie skłamał, to Piotr skłamał.
d) Jeżeli Kolumb odkrył Amerykę lub Marco Polo był w Ameryce, to jeśli Kolumb odkrył Amerykę, to Marco

Polo nie był w Ameryce.

Odpowiedzi

Zadanie 1.

a) p q p

⇒ q

p

⇒ ( p ⇒ q ) e) p q p ⇒ q

(p

⇒ q ) ∧ q p ⇔ q [(

p

⇒ q ) ∧ q ] ⇒ ( p ⇔ q )

0

0 1

1

0

0 1

0

1

1

1

0 0

0

1

0 0

0

0

1

0

1 1

1

0

1 1

1

0

0

1

1 1

1

1

1 1

1

1

1

Formuła nie jest tautologią. Formuła nie jest tautologią.

b)

p q p

∧ q

p

∨ q (

p

∧ q ) ⇒ ( p ∨ q ) c)

p q p

∧ q

p

⇒ q (

p

∧ q ) ∨ ( p ⇒ q )

0

0 0 0

1

0

0 0

1

1

1

0 0 1

1

1

0 0

0

0

0

1 0 1

1

0

1 0

1

1

1

1 1 1

1

1

1 1

1

1

Formuła jest tautologią.

Formuła nie jest tautologią.

d)

p q p

⇒ q ~ q ~

p

~ q

⇒ ~ p (

p

⇒ q) ⇔ (~ q ⇒ ~ p )

0

0 1 1 1

1

1

1

0 0 1 0

0

1

0

1 1 0 1

1

1

1

1 1 0 0

1

1

Formuła jest tautologią.

Zadanie 2.

a) p

⇒ ( p ⇒ q ) b)

(

p

∧ q ) ⇒ ( p ∨ q )

1 0 1 0 0

1 1 1 0

1 0 1

Brak sprzeczności – formuła nie jest tautologią.

Sprzeczność – formuła jest tautologią

c) ( p

∧ q )

∨

( p

⇒ q ) d)

( p

⇒ q ) ⇒ ( ~ p ∨ q )

1 0 0 0 1 0 0

1

1

0

0 0 1 0 0

Brak sprzeczności – formuła nie jest tautologią.

Sprzeczność – formuła jest tautologią

e)

( p

∧ ~ q ) ⇒ ~ ( p ⇒ q )

1

1

1 0

0

0

1

1

0

Sprzeczność – formuła jest tautologią

[ ( p

⇒ q ) ∧ q

]

⇒ ( p ⇔ q )

0 1 1 1 1 0 0 0 1

f)

Brak sprzeczności – formuła nie jest tautologią.

1 0 0 0 1

0

1

0 1

[(

p

⇒ q ) ⇔ (

~

q

⇒ ~ p )

1

1

0 0 1 0 0 0 1

g)

Sprzeczność – formuła jest tautologią

Logika. Zadania z tematu 3

3

1 0 0 0 0 0 1 1 0

(

~ p

⇒ q ) ⇔ (

q

⇒ ~ p )

1 0 0

h)

Brak sprzeczności – formuła nie jest tautologią.

Zadanie 3.

a)

p q p

⇒ q ~ ( p ⇒ q )

p

∧ ~ ( p ⇒ q ) b)

p q p

∧ q ~ q

p

⇒ ~ q (

p

∧ q ) ∧ ( p ⇒ ~ q )

0

0 1

0

0

0

0 0 1 1

0

1

0 0

1

1

1

0 0 1 1

0

0

1 1

0

0

0

1 0 0 1

0

1

1 1

0

0

1

1 1 0 0

0

Formuła nie jest kontrtautologią.

Formuła jest kontrtautologią.

c)

p q p

⇒ q

p

⇒ ( p ⇒ q ) ~ [ p ⇒ ( p ⇒ q ) ]

0

0 1

1

0

1

0 0

0

1

0

1 1

1

0

1

1 1

1

0

Formuła nie jest kontrtautologią.

d)

p q p

⇔ q

p

⇒ q ~

(

p

⇒ q )

( p

⇔ q ) ∧ ~ ( p ⇒ q )

0

0 1

1

0

0

1

0 0

0

1

0

0

1 0

1

0

0

1

1 1

1

0

0

Formuła jest kontrtautologią.

Zadanie 4.

a) p

∧

~ ( p

⇒ q ) b)

(

p

∧ q ) ∧

(

p

⇒ ~ q )

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

1

0 1

Brak sprzeczności – formuła nie jest kontrtautologią.

Sprzeczność – formuła jest kontrtautologią

c) ~

[ p

⇒ ( p ⇒ q ) ]

d) (

p

⇔ q ) ∧

~ ( p

⇒ q )

1 1 0 1 0 0

1

1

0 1 1 1 0 0

Brak sprzeczności – formuła nie jest kontrtautologią.

Sprzeczność – formuła jest kontrtautologią

Zadanie 5.

a) Lech zrobi kolację.
b) Ala nie zrobi kolacji.
c) Albo Alicja nie zrobi obiadu, albo Cezary nie zrobi kolacji.
d) Bogdan zrobi obiad lub Cezary zrobi kolację.
e) Albo Alicja albo Bogdan nie zrobią kolacji.
f) Ani Lech ani Alicja nie zrobią kolacji.
g) Albo Lech nie zrobił kolacji, albo nie jest głodny.
h) Boguś zda logikę i prawo karne.
i) Zarówno Czesia jaki i Damian oraz Boguś nie zdadzą prawa karnego.
j) Ala nie zda logiki lub matematyki, a Boguś nie zda logiki lub prawa karnego.
k) Zarówno Danusia jak i Cezary zrobią obiad.
l) Ala nie pracuje do późna, a mimo to nie robi kolacji.
m) Ani Danusia ani Cezary nie zrobią obiadu

Zadanie 6.

Schematy poszczególnych zdań:
a) p

∨ ~ p -schemat jest tautologią – zdanie jest prawdą logiczną.

b) ( p

∧ ~ q ) ∨ ( ~ p ⇒ q ) -schemat nie jest tautologią – zdanie nie jest prawdą logiczną.

c) ( p

∨ q ) ⇒ ( p ⇒ q ) -schemat nie jest tautologią – zdanie nie jest prawdą logiczną.

d)

( p

∨ q ) ⇒ ( p ⇒ ~ q ) -schemat nie jest tautologią – zdanie nie jest prawdą logiczną.