Transmitancja

operatorowa

Obwód liniowy i stacjonarny o
zerowych warunkach
początkowych rozpatrywany w
relacji

wejście-wyjście

 

 

 

s

X

s

Y

s

H

def



Sygnał wejściowy (i/u) – x(t) -
X(s)
Sygnał wyjściowy (i/u) – y(t) -
Y(s)

transmitancja
operatorowa

Transmitancje jednorodne:

• napięciowa

• prądowa

Transmitancje niejednorodne:

• napięciowo – prądowa

• prądowo - napięciowa

 

0

2

1

2





i

u

u

s

T

u

 

0

2

1

2







u

i

i

s

T

i

 

0

2

1

2





i

i

u

s

T

ui

 

0

2

1

2







u

u

i

s

T

iu

12

21

22

11

1

1

1

1

a

T

a

T

a

T

a

T

iu

ui

i

u









czwórnik prawidłowy ma wszystkie
transmitancje niezerowe

czwórnik zdegenerowany może nie
mieć wszystkich transmitancji

Transmitancje obwodów liniowych
i stacjonarnych są funkcjami
wymiernymi o rzeczywistych
współczynnikach

 

 

 

0

1

1

1

0

1

1

1

b

s

b

s

b

s

b

a

s

a

s

a

s

a

s

Q

s

P

s

H

m

m

m

m

p

p

p

p

































 

 

s

H

s

H







Zera transmitancji spełniają
równanie

 

0



s

H

zera skończone - pierwiastki
równania

 

0



s

P

p

z

,

,

z 

1

p

m

 

0



s

H





s

dla

zero w nieskończoności

Bieguny transmitancji spełniają
równanie

 







s

H

k

s

s

lim

bieguny skończone - pierwiastki
równania

 

0



s

Q

m

s

,

,

s 

1





s

dla

biegun w nieskończoności

m

p

 





s

H

lim

Transmitancje obwodów liniowych
i stacjonarnych są funkcjami
wymiernymi o rzeczywistych
współczynnikach

zera i bieguny skończone są
liczbami rzeczywistymi lub
zespolonymi sprzężonymi

Transmitancję układu nazywamy

minimalno-fazową

, gdy nie ma ani

biegunów, ani zer po prawej
stronie osi urojonych

Przykład

 

 

   

s

u

s

u

s

T

s

H

u

1

2





R

2

=1

R

1

=1

L=1H

C=1F

u

1

u

2

i

2

i

1

R

2

R

1

sL

1/(sC)

U

1

(s)

I

1

(s)

I

2

(s)=0

U

2

(s)

I

R1

(s)

I

R2

(s)

 

0

2

1

2





i

u

u

s

T

u

 

 

s

U

s

s

s

U

2

2

1

2

2

1



















 

 

 

2

2

2

2

1

2









s

s

s

s

U

s

U

s

H

0

2

1



z

z

j

s

j

s













1

1

2

1

transmitancja minimalno fazowa

Interpretacja fizyczna biegunów transmitancji

liniowy, stacjonarny obwód, w
którym napięcia i prądy źródeł
niezależnych są = 0

 

t

y

- wielkość obwodowa u
lub i

Jeżeli w chwili w obwodzie
istniały niezerowe warunki
początkowe, to wielkość ta
zmienia się w czasie zgodnie z
ogólnym wzorem

0



t

 

t

s

n

t

s

t

s

n

e

K

e

K

e

K

t

y









2

1

2

1

stałe zależne od topologii
(struktury) i wartości elementów
również od warunków
początkowych.

i

K

i

s

i

K

Liczbę (ogólnie zespoloną)
nazywamy pulsacją własną
wielkości obwodowej , jeżeli
przy pewnych warunkach
początko-wych zawiera
składnik .

Liczbę będącą pulsacją własną
jakiegoś napięcia lub prądu w
obwodzie nazywamy

pulsacją

własną obwodu.

i

s

 

t

y

 

t

y

t

s

i

i

e

K

i

s

Można wykazać, że każdy

biegun

transmitancji jest pulsacją własną

odpowiedniego prądu lub napięcia
czwórnika.
W celu interpretacji zer rozpatrzymy
przykładowy
obwód drabinkowy

1



pulsacja rezonansowa sekcji L

1

C

1

2



pulsacja rezonansowa sekcji L

2

C

2

Wykażemy, że

2

2

1

1

j

i

j









z

z

są zerami transmitancji operatorowej

 

s

T

ui

zał. prąd i

1

jest sinusoidalny o pulsacji

1



w stanie ustalonym moduł impedancji gałęzi AB
dąży do nieskończoności, co sprawia, że

0

2



u

 

0

j

2

1

1







U

I

T

ui

0

1



I

 

0

j

1





ui

T

zał. prąd i

1

jest sinusoidalny o pulsacji

2



w stanie ustalonym napięcie u

BD

=0,

co sprawia, że

0

2



u





0

j

2

1

2







U

I

T

ui

0

1



I





0

j

2





ui

T

Wykazaliśmy, że dla obu pulsacji transmitancja
widmowa T(j)=0, czyli

2

2

1

1

j

i

j









z

z

są zerami transmitancji operatorowej

 

s

T

Jeżeli ponadto zero transmitancji
operatorowej
znajduje się na osi urojonych, to w
stanie ustalonym przy pobudzeniu
sinusoidalnym o pulsacji
odpowiadającej temu zeru sygnał
wyjściowy jest tożsamościowo równy
zeru.

Transmitancja widmowa

Dokonując w transmitancji operatorowej H(s)
podstawienia s=j otrzymujemy transmitancję

widmową H(j)

Transmitancja widmowa jest stosunkiem
wartości symbolicznej sinusoidalnego sygnału
wyjściowego do wartości symbolicznej
sinusoidalnego sygnału wejściowego.

 

 

 









j

H

j

e

j

H

j

H

arg

wykres modułu w funkcji f jest charakterystyką
amplitudową

wykres argumentu w funkcji f jest
charakterystyką fazową

Pomiarowe wyznaczanie transmitancji
widmowej

zasilamy czwórnik sygnałem





x

m

t

X

x









sin

i mierzymy sygnał wyjściowy





y

m

t

Y

y







 sin

 





x

y

j

m

m

e

X

Y

X

Y

j

H













Odpowiedź jednostkowa i impulsowa

Odpowiedzią impulsową lub funkcją
przejściową czwórnika SLS nazywamy
przebieg wielkości wyjściowej
wywołany, przy zerowych warunkach
początkowych przez impuls Diraca na
wejściu.

Odpowiedzią jednostkową czwórnika
SLS nazywamy przebieg wielkości
wyjściowej wywołany, przy zerowych
warunkach początkowych przez sygnał
jednostkowy na wejściu.





1

)

t

(





L

 

 

1

0

)

(

2

1

2

s

R

i

u

u

s

H

s

T

u











 

 





)

(

1

s

H

t

r

t

h









L

 

s

1

)

t

1( 

L

 

 

s

s

R

i

u

u

s

H

s

T

u

1

0

)

(

1

1

2

2









 

 

















s

s

H

t

r

1

1

L

 

 

1

)

(

s

R

s

H

s

T

u







 

 

s

s

R

s

H

s

T

u

1

)

(

1





 

 

s

s

R

s

R





1

 

 

s

s

R

s

R





1

z twierdzenia
o transformacie
całki

 

 









d

h

t

r

t

0

1

Jeżeli sygnałem wymuszającym na wejściu jest
x(t) to odpowiedź y(t) można wyznaczyć na
podstawie znajomości odpowiedzi
impulsowej lub jednostkowej

 

   





   







  



  

































d

h

t

x

d

x

t

h

s

X

s

R

s

X

s

H

t

y

t

t

-

-

0

0

Borela

tw.

1

1

L

L

 

   







  



  













d

r

t

x

dt

d

d

x

t

r

dt

d

s

X

s

sR

t

y

t

t

-

1

0

0

1

Duhamela

wzor

1

1















L

Przykład

 





 

 

 

 

?

1

1

5

.

0

1

5

.

0

1













t

y

t

e

t

x

t

e

t

r

t

t

 

























 

t

e

e

e

e

dt

d

e

e

e

dt

d

d

e

e

e

dt

d

d

e

e

dt

d

t

y

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

1

5

.

0

1

1

2

5

.

0

5

.

0

5

.

0

1

5

.

0

5

.

0

0

5

.

0

0

0

5

.

0

0

5

.

0













































































































 

   















 

t

e

e

e

e

s

s

e

s

s

s

s

s

s

s

s

X

s

sR

t

y

t

t

t

t

-

t

-

-

-

1

5

.

0

5

.

0

1

2

5

.

0

1

5

.

0

1

5

.

0

1

5

.

0

1

1

1

1

5

.

0

1

5

.

0

1

5

.

0

5

.

0

1

1

1

1

1











































































































L

L

L

L