Transmitancja 

operatorowa 

Obwód liniowy i stacjonarny o 
zerowych warunkach 
początkowych rozpatrywany w 
relacji 

wejście-wyjście

 

 

 

 

s

X

s

Y

s

H

def



Sygnał wejściowy (i/u) –  x(t)  -  
X(s)
Sygnał wyjściowy (i/u) –  y(t)  -  
Y(s)

transmitancja 
operatorowa

 

 

Transmitancje jednorodne:

 

• napięciowa

• prądowa

Transmitancje niejednorodne:

 

• napięciowo – prądowa

• prądowo - napięciowa

 

0

2

1

2





i

u

u

s

T

u

 

0

2

1

2







u

i

i

s

T

i

 

0

2

1

2





i

i

u

s

T

ui

 

0

2

1

2







u

u

i

s

T

iu

 

 

12

21

22

11

1

1

1

1

a

T

a

T

a

T

a

T

iu

ui

i

u









czwórnik prawidłowy ma wszystkie 
transmitancje niezerowe

czwórnik zdegenerowany może nie
mieć wszystkich transmitancji 

 

 

Transmitancje obwodów liniowych 
i stacjonarnych są funkcjami 
wymiernymi o rzeczywistych 
współczynnikach 

 

 

 

0

1

1

1

0

1

1

1

b

s

b

s

b

s

b

a

s

a

s

a

s

a

s

Q

s

P

s

H

m

m

m

m

p

p

p

p

































 

 

s

H

s

H







 

 

Zera transmitancji spełniają 
równanie

 

0



s

H

zera skończone - pierwiastki 
                            równania

 

0



s

P

p

z

,

,

z 

1

p

m

 

0



s

H





s

dla

zero w nieskończoności

 

 

Bieguny transmitancji spełniają 
równanie

 







s

H

k

s

s

lim

bieguny skończone - pierwiastki 
                                  równania

 

0



s

Q

m

s

,

,

s 

1





s

dla

biegun w nieskończoności

m

p

 





s

H

lim

 

 

Transmitancje obwodów liniowych 
i stacjonarnych są funkcjami 
wymiernymi o rzeczywistych 
współczynnikach 

zera i bieguny skończone są 
liczbami rzeczywistymi lub 
zespolonymi sprzężonymi 

Transmitancję układu nazywamy 

minimalno-fazową

, gdy nie ma ani 

biegunów, ani zer po prawej 
stronie osi urojonych 

 

 

Przykład 

 

 

   

s

u

s

u

s

T

s

H

u

1

2





 

R

2

=1 

R

1

=1 

L=1H 

C=1F 

u

1 

u

2 

i

2 

i

1 

 

 

 

R

2

 

R

1

 

sL 

1/(sC) 

U

1

(s) 

I

1

(s) 

I

2

(s)=0 

U

2

(s) 

I

R1

(s) 

I

R2

(s) 

 

0

2

1

2





i

u

u

s

T

u

 

 

 

 

s

U

s

s

s

U

2

2

1

2

2

1



















 

 

 

2

2

2

2

1

2









s

s

s

s

U

s

U

s

H

 

 

0

2

1



z

z

j

s

j

s













1

1

2

1

transmitancja minimalno fazowa

 

 

Interpretacja fizyczna biegunów transmitancji

liniowy, stacjonarny obwód, w 
którym napięcia i prądy źródeł 
niezależnych są = 0

 

t

y

- wielkość obwodowa u 
lub i 

Jeżeli w chwili              w obwodzie 
istniały niezerowe warunki 
początkowe, to wielkość ta  
zmienia się w czasie zgodnie z 
ogólnym wzorem 

0



t

 

t

s

n

t

s

t

s

n

e

K

e

K

e

K

t

y









2

1

2

1

 

 

              stałe zależne od topologii 
(struktury) i wartości elementów 
                      również  od  warunków 
początkowych.

i

K

i

s

i

K

Liczbę      (ogólnie zespoloną) 
nazywamy pulsacją własną 
wielkości obwodowej          , jeżeli 
przy pewnych warunkach 
początko-wych          zawiera 
składnik                  . 

Liczbę      będącą pulsacją własną 
jakiegoś napięcia lub prądu w 
obwodzie nazywamy 

pulsacją 

własną obwodu. 

i

s

 

t

y

 

t

y

t

s

i

i

e

K

i

s

 

 

Można wykazać, że każdy 

biegun 

transmitancji jest pulsacją własną

 

odpowiedniego prądu lub napięcia 
czwórnika. 
W celu interpretacji zer rozpatrzymy 
przykładowy
obwód drabinkowy 

 

 

1



pulsacja rezonansowa sekcji L

1

C

1

2



pulsacja rezonansowa sekcji L

2

C

2

Wykażemy, że 

2

2

1

1

j

  

i

j









z

z

są zerami transmitancji operatorowej 

 

s

T

ui

 

 

zał. prąd i

1

 jest sinusoidalny o pulsacji

1



w stanie ustalonym moduł impedancji gałęzi AB
dąży do nieskończoności, co sprawia, że

0

2



u

 

0

j

2

1

1







U

I

T

ui

0

1



I

 

0

j

1





ui

T

 

 

zał. prąd i

1

 jest sinusoidalny o pulsacji

2



w stanie ustalonym napięcie u

BD

=0,

 co sprawia, że

0

2



u





0

j

2

1

2







U

I

T

ui

0

1



I





0

j

2





ui

T

 

 

Wykazaliśmy, że dla obu pulsacji transmitancja
widmowa T(j)=0, czyli

2

2

1

1

j

  

i

j









z

z

są zerami transmitancji operatorowej 

 

s

T

Jeżeli ponadto zero transmitancji 
operatorowej
znajduje się na osi urojonych, to w 
stanie ustalonym przy pobudzeniu 
sinusoidalnym o pulsacji 
odpowiadającej temu zeru sygnał 
wyjściowy jest tożsamościowo równy 
zeru.

 

 

Transmitancja widmowa

Dokonując w transmitancji operatorowej H(s)
podstawienia s=j otrzymujemy transmitancję

widmową H(j)

Transmitancja widmowa jest stosunkiem 
wartości symbolicznej sinusoidalnego sygnału
wyjściowego do wartości symbolicznej 
sinusoidalnego sygnału wejściowego.

 

 

 

 

 









j

H

j

e

j

H

j

H

arg

wykres modułu w funkcji  f  jest charakterystyką
amplitudową

wykres argumentu w funkcji  f  jest 
charakterystyką fazową 

 

 

Pomiarowe wyznaczanie transmitancji 
widmowej

zasilamy czwórnik sygnałem





x

m

t

X

x









sin

i mierzymy sygnał wyjściowy





y

m

t

Y

y







 sin

 





x

y

j

m

m

e

X

Y

X

Y

j

H













 

 

Odpowiedź jednostkowa i impulsowa

Odpowiedzią impulsową lub funkcją 
przejściową czwórnika SLS nazywamy 
przebieg wielkości wyjściowej 
wywołany, przy zerowych warunkach 
początkowych przez impuls Diraca na 
wejściu.

Odpowiedzią jednostkową czwórnika 
SLS nazywamy przebieg wielkości 
wyjściowej wywołany, przy zerowych 
warunkach początkowych przez sygnał 
jednostkowy na wejściu.

 

 





1

)

t

(





L

 

 

1

0

)

(

2

1

2

s

R

i

u

u

s

H

s

T

u











 

 





)

(

1

s

H

t

r

t

h









L

 

 

 

s

1

)

t

1( 

L

 

 

s

s

R

i

u

u

s

H

s

T

u

1

0

)

(

1

1

2

2









 

 

















s

s

H

t

r

1

1

L

 

 

 

 

1

)

(

s

R

s

H

s

T

u







 

 

s

s

R

s

H

s

T

u

1

)

(

1





 

 

s

s

R

s

R





1

 

 

 

 

s

s

R

s

R





1

z twierdzenia
o transformacie
całki

 

 









d

h

t

r

t

0

1

 

 

Jeżeli sygnałem wymuszającym na wejściu jest
x(t) to odpowiedź y(t) można wyznaczyć na 
podstawie znajomości odpowiedzi 
impulsowej lub jednostkowej

 

   





   







  



  

































d

h

t

x

d

x

t

h

s

X

s

R

s

X

s

H

t

y

t

t

-

-

0

0

Borela

 

tw.

1

1

L

L

 

 

 

   







  



  













d

r

t

x

dt

d

d

x

t

r

dt

d

s

X

s

sR

t

y

t

t

-

1

0

0

1

Duhamela

wzor

1

1















L

Przykład

 





 

 

 

 

?

1

1

5

.

0

1

5

.

0

1













t

y

t

e

t

x

t

e

t

r

t

t

 

 

 

























 

t

e

e

e

e

dt

d

e

e

e

dt

d

d

e

e

e

dt

d

d

e

e

dt

d

t

y

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

1

5

.

0

1

1

2

5

.

0

5

.

0

5

.

0

1

5

.

0

5

.

0

0

5

.

0

0

0

5

.

0

0

5

.

0













































































































 

 

 

   















 

t

e

e

e

e

s

s

e

s

s

s

s

s

s

s

s

X

s

sR

t

y

t

t

t

t

-

t

-

-

-

1

5

.

0

5

.

0

1

2

5

.

0

1

5

.

0

1

5

.

0

1

5

.

0

1

1

1

1

5

.

0

1

5

.

0

1

5

.

0

5

.

0

1

1

1

1

1











































































































L

L

L

L