1

Metoda Monte Carlo

n

n

P

0





Eksperyment:
Ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania orła przy rzucie monetą ?

George Leclerc de Buffon (1707-1788)

n = 4040

n

0

= 2048

P = 0.50693

Karl Pearson (1857-1936)

n = 12 000

n

0

= 6 019

P = 0.5016

n = 24 000

n

0

= 12 012

P = 0.5005

– estymator prawdopodobieństwa

awarii
n – liczba prób
n

0

– liczba awarii

P



2

Metoda Monte Carlo

- błąd metody

zmienna losowa A:

rozkład prawdpodobieństwa
zmiennej A:

wartość średnia
zmiennej A:

wariancja
zmiennej A:









awarii

brak

gdy

awaria

gdy

0

1

A

 

 

f

A

f

A

P

0

p

,

P

1

p





 





f

f

f

A

A

P

P

1

0

P

1

A

p

A

E(A)

μ





















 

 









f

f

2

f

f

2

2

2
A

P

1

P

P

P

A

E

A

E

V(A)

σ















3

Metoda Monte Carlo

- błąd metody

Estymator prawdopodobieństwa awarii jest średnią arytmetyczną zmiennej A,
i jest zmienna losową

wartość średnia
estymatora

wariancja
estymatora

współ. zmienności

stąd:

estymatora





n

n

n

0

n

n

1

n

n

A

P

0

0

0

n

f

















ˆ

 

 

f

n

n

f

P

P

A

E

n

n

1

A

E

n

1

n

A

E

P

E

f



















































ˆ

ˆ

 

 





f

f

2

n

2

n

f

2
P

P

1

P

n

1

A

V

n

n

1

A

V

n

1

n

A

V

P

V

σ

f



















































ˆ

ˆ

f

f

P

P

P

P

n

P

1

μ

σ

V

f

f

f









ˆ

ˆ

ˆ

2

ˆ

f

P

f

f

V

P

P

1

n







4

Metoda Monte Carlo

- błąd metody

Zakładamy, że estymator prawdopodobieństwa awarii
ma rozkład normalny o parametrach i

Ile powinna wynosić liczba prób metody Monte Carlo

n

aby procentowy błąd oszacowania prawdopodobieństwa awarii
przekraczał



z prawdopodobieństwem

p

k

?

f

Pˆ

f

Pˆ



f

P

σ

ˆ

f

f

f

P

P

P 

ˆ

f

P

P

μ

f



ˆ

f

P







k

f

f

f

p

1

ε

P

P

P

ε

P



























ˆ

f

P







f

Pˆ

0.5 p

k

0.5 p

k

5

Metoda Monte Carlo

- błąd metody

k

f

f

f

p

1

ε

P

P

P

ε

P



























ˆ

k

P

P

P

P

f

P

P

p

1

ε

P

ε

P

f

f

f

f

f

f









































ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

p

V

ε

σ

μ

P

P

k

P

P

f

f

f

P

f























ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

p

V

ε

k

P

f





















ˆ





















2

p

ε

V

k

P

f

1

ˆ





k

f

f

f

f

p

1

P

ε

P

-

P

P

ε

P

















ˆ

2

ˆ

f

P

f

f

V

P

P

1

n







6

Przykład:

Ile należy przeprowadzić prób metody Monte Carlo
aby oszacować prawdopodobieństwo awarii P

f

rzędu 10

-3

z błędem rzędu ±10% z prawdopodobieństwem 95% ?













000

400

762

383

0.051

999

V

1

P

P

1

n

999

P

P

1

10

P

0.051

1.96

0.1

2

p

Φ

ε

V

1.96

0.025

Φ

2

p

Φ

0.05

0.95

1

p

0.1

ε

2

2

P

f

f

f

f

3

f

k

1

P

1

k

1

k

f

f





















































ˆ

ˆ

7

Metoda Monte Carlo

- generowanie liczb losowych

• rozkład normalny

jeżeli zmienna X ma rozkład normalny o parametrach 

X

i 

X

,

to zmienna Z

ma rozkład normalny standaryzowany

Algorytm:

1. wygenerować liczbę losową

o rozwkładzie równomiernym u

i

2. odwrócić dystrybuantę 
3. obliczyć liczbę losową

o rozkładzie normalnym a

i

X

X

σ

μ

X

Z





 

i

1

i

u

Φ

z





X

i

X

i

σ

z

μ

x





 

1

0,

u

i



8

• rozkład logarytmiczno-normalny

jeżeli zmienna X ma rozkład logarytmiczno-normalny o parametrach 

X

i



X

,

to zmienna lnX ma rozkład normalny o parametrach 

lnX

i 

lnX

,

czyli zmienna Z

ma rozkład normalny standaryzowany.

Algorytm:

1. obliczyć parametry 

lnX

i 

lnX

2. wygenerować liczbę losową u

i

3. odwrócić dystrybuantę 

4. ponieważ

x

i

obliczyć następująco:

lnX

lnX

σ

μ

lnX

Z





 

i

1

i

u

Φ

z









lnX

i

lnX

σ

z

μ

i

e

x





 

X

i

lnX

i

σ

z

μ

x

ln





 

2

lnX

X

lnX

σ

0,5

μ

ln

μ









2

X

2

lnX

V

1

ln

σ





 

1

0,

u

i



9

• rozkład ekstremalny typu I

jeżeli zmienna X ma rozkład ekstremalny typu I o parametrach 

X

i 

X

,

to jej dystrybuanta wyraża się wzorem:

Algorytm:

1. obliczyć parametry  i u

2. wygenerować liczbę losową u

i

3. odwrócić dystrybuantę F

X

(x

i

)

logarytmując ją obustronnie

 

u)

(x

e

X

e

x

F











X

X

σ

1.282

σ

6

π

α





α

0,5772

μ

u

X





 

 





 









u

x

a

u

ln

ln

e

u

ln

e

x

F

u

i

i

u

x

a

i

e

i

X

i

i

u)

i

a(x



























 

1

0,

u

i



 





i

i

u

ln

ln

a

1

u

x





