Elbąg, PWSZ 2007r.

1

Wartości i wektory własne

W  przypadku,  gdy  macierz  A  jest  kwadratowa  stopnia  n  można 
zdefiniować przekształcenie n-wymiarowe wektorów x:

Dla  każdej  macierzy  istnieją  takie  wektory  v,  które  po 
przekształceniu dają się wyrazić jako iloczyn wektora v i pewnej 
zespolonej liczby 



, co można zapisać jako:

Wektor  v



0  nazywamy  wektorem  własnym  macierzy  A, 



  - 

wartością własną macierzy A. 
Wszystkie  wartości  własne  macierzy  A  są  pierwiastkami 
wielomianu charakterystycznego:

Ax

y 

v

Av









0

det



 I

A



Elbąg, PWSZ 2007r.

2

Wartości i wektory własne

Niech 



i

  będzie  k-krotną  wartością  własną.  Klatka  Jordana 

odpowiadająca  tej  wartości  własnej  ma  postać  macierzy 
kwadratowej o wymiarze k:

Jeśli  znanych  jest  l  wartości  własnych  i  znane  są  ich  krotności 
można  zestawić  klatki  tworząc  postać  kanoniczną  Jordana 
danej macierzy:



































i

i

i

i

i

J









1

1

0

1





Elbąg, PWSZ 2007r.

3

Wartości i wektory własne

Postać  kanoniczna  Jordana  jest  najprostszą  postacią,  z  której 
można odczytać wartości własne danej macierzy. Jeśli wszystkie 
wartości własne są jednokrotne, to postać kanoniczna Jordana tej 
macierzy jest macierzą diagonalną.

Macierz  A  jest  podobna  do  B  wtedy,  gdy  istnieje 

nieosobliwa macierz P taka, że: 



























l

J

J

J

J

0

0

2

1





BP

P

A

1





Elbąg, PWSZ 2007r.

4

Wartości i wektory własne

Własności macierzy podobnych:
• wartości własne macierzy są identyczne ponieważ identyczne są 

wielomiany charakterystyczne tych macierzy,

• każda  macierz  A  jest  podobna  do  odpowiadającej  jej  macierzy 

Jordana, przy czym elementy macierzy P mogą być zespolone,

• jeśli macierz A ma różne wartości własne, to jest ona podobna do 

macierzy  diagonalnej  z  wartościami  własnymi  na  przekątnej, 
macierz  podobieństwa  złożona  jest  natomiast  z  wektorów 
własnych odpowiadających poszczególnym wartościom własnym.

Metody  wyznaczania wartości i wektorów własnych
Metoda 

polegająca 

na 

znajdowaniu 

zer 

wielomianu 

charakterystycznego  jest  rzadko  stosowana.  Jeśli  nawet 
zadanie wyznaczenia wartości własnych macierzy  A jest dobrze 
uwarunkowane (małe odchylenia wartości elementów macierzy 
A  nie  powodują  dużych  zmian  wartości  własnych),  to 
wyznaczenia  zer  równania  charakterystycznego  może  być  źle 
uwarunkowane.

Elbąg, PWSZ 2007r.

5

Wartości i wektory własne

Powszechniej  stosowany  jest  algorytm  QR  dla  macierzy 
Hessenberga.  Macierzą  Hessenberga  nazywa  się  macierz 
będącą sumą macierzy trójdiagonalnej i trójkątnej górnej.
Każda  macierz  kwadratowa  jest  podobna  do  macierzy 
Hessenberga (ma te same wartości własne). Stosując algorytm 
QR można dojść do takiej postaci macierzy, dla której łatwo jest 
odczytać wartości własne.

A = [ 3     -2      -.9    2*eps
     -2      4       1    -eps
     -eps/4  eps/2  -1     0
     -.5    -.5      .1    1   ];

Obliczanie wartości własnych macierzy A składa się z 3 etapów:
1) sprowadzenie macierzy A do postaci Hessenberga, np.:

H=hess(A)

Elbąg, PWSZ 2007r.

6

Wartości i wektory własne

2) wykonanie odpowiedniej liczby iteracji algorytmu QR,
3) pobranie wartości własnych z wyznaczonej macierzy.

[Q,R]=qr(A)

Algorytm  QR  polega  na  rozkładzie  macierzy  A  na  iloczyn 
macierzy  ortogonalnej  Q  oraz  macierzy  trójkątnej  R,  takich  że: 
A=QR.

[Q,R,E]=qr(A)

Powyższe  polecenie  wyznacza  macierz  E  przekształcenia 
zamieniającego  kolejność  kolumn,  dzięki  czemu  uzyskuje  się 
macierz trójkątną górną R o malejących elementach na diagonali 
oraz macierz Q, spełniające równanie:

R

Q

E

A

*

* 

Elbąg, PWSZ 2007r.

7

Wartości i wektory własne

A =  [ 1     2     3
       4     5     6
       7     8     9
      10    11    12 ]

W  macierzy  A  elementy  środkowej  kolumny  są  średnimi 

arytmetycznymi  sąsiednich  kolumn.  W  wyniku  rozkładu  QR 

uzyskujemy:

[Q,R] = qr(A)
Q =
    -0.0776    -0.8331     0.5444     0.0605
    -0.3105    -0.4512    -0.7709     0.3251
    -0.5433    -0.0694    -0.0913    -0.8317
    -0.7762     0.3124     0.3178     0.4461
R =
    -12.8841    -14.5916    -16.2992
           0     -1.0413     -2.0826
           0           0      0.0000
           0           0           0

Elbąg, PWSZ 2007r.

8

Wartości i wektory własne

Macierz  R  jest  macierzą  górną  trójkątną.  Zera  na  diagonali 

wskazują, że rząd macierzy jest równy 2.
Rozkład  QR  można  również  wykorzystać  do  rozwiązania 

układu równań liniowych:

b = [1;3;5;7]

W  rezultacie  otrzymujemy  trzy  rozwiązania.  Najlepsze 

rozwiązanie                    (w  sensie  najmniejszych  kwadratów) 

uzyskujemy za pomocą polecenia:

x = A\b
Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 1.4594E-014
x =
    0.5000
          0
    0.1667

O dokładności obliczeń decyduje tolerancja, z którą oceniono czy 

diagonalne elementy macierzy R są pomijalnie małe. 

Elbąg, PWSZ 2007r.

9

Wartości i wektory własne

Wydając polecenie

[Q,R,E] = qr(A)

dokładność obliczeń możemy ocenić wydając polecenie:

tol = max(size(A))*eps*abs(R(1,1))

Układ równań liniowych przy pomocy rozkładu QR rozwiązujemy 
w dwóch etapach:

y = Q'*b;
x = R\y

Elbąg, PWSZ 2007r.

10

Wartości i wektory własne

Algorytm QR generuje ciąg macierzy

Wykonujących iteracji:

gdzie  macierze  Q

i

  oraz  R

i 

są  rozkładem  QR  macierzy  H

i

.  Każdą 

macierz  kwadratową  można  sprowadzić  do  postaci  iloczynu 
macierzy ortogonalnej, spełniającej równanie:

i macierzy trójkątnej górnej R. 



H

H

H

,

,

,

2

1



i

i

i

i

i

i

Q

R

H

R

Q

H





1

I

Q

Q

T



Elbąg, PWSZ 2007r.

11

Wartości i wektory własne

Jeśli  szukane  wartości  własne  są  rzeczywiste  i  różne,  to  w  trakcie 

iteracji  elementy  pod  przekątną  macierzy  H

i

  będą  stopniowo 

zbiegać  do  zera,  zaś  elementy  na  diagonali  będą  dążyć  do 

wyznaczanych wartości własnych. 

W programie MATLAB wartości i wektory własne wyznacza funkcja 

eig:

A =
     0    -6    -1
     6     2   -16
    -5    20   -10

lambda = eig(A)

lambda =
     -3.0710         
     -2.4645+17.6008i
     -2.4645-17.6008i

Elbąg, PWSZ 2007r.

12

Wartości i wektory własne

Wywołanie: 

[V,D] = eig(A)
V =
  -0.8326         0.2003 - 0.1394i   0.2003 + 0.1394i
  -0.3553        -0.2110 - 0.6447i  -0.2110 + 0.6447i
  -0.4248        -0.6930            -0.6930          
D =
  -3.0710                 0                 0         
        0           -2.4645+17.6008i        0         
        0                 0           -2.4645-17.6008i

wyznacza macierz  D zawierającą na przekątnej wartości własne 
oraz  macierz  V  wektorów  własnych  odpowiadających  tym 
wartościom, spełniające zależność: AV=VD.

Elbąg, PWSZ 2007r.

13

Wartości i wektory własne

Istnieją  macierze,  dla  których  niemożliwe  jest  wyznaczenie 
wektorów własnych (są to macierze niediagonizowalne):

A =
     6    12    19
    -9   -20   -33
     4     9    15

Dla tej macierzy:

[V,D] = eig(A)

V =
   -0.4741   -0.4082   -0.4082
    0.8127    0.8165    0.8165
   -0.3386   -0.4082   -0.4082

Elbąg, PWSZ 2007r.

14

Wartości i wektory własne

D =
   -1.0000         0         0
         0    1.0000         0
         0         0    1.0000

Powyższa macierz ma podwójną wartość własną. Druga i trzecia 
kolumny macierzy V są takie same. Dla tej macierzy nie istnieje 
zbiór niezależnych wektorów własnych.