Elbąg, PWSZ 2007r.

1

Wartości i wektory własne

W przypadku, gdy macierz A jest kwadratowa stopnia n można
zdefiniować przekształcenie n-wymiarowe wektorów x:

Dla każdej macierzy istnieją takie wektory v, które po
przekształceniu dają się wyrazić jako iloczyn wektora v i pewnej
zespolonej liczby



, co można zapisać jako:

Wektor v



0 nazywamy wektorem własnym macierzy A,



-

wartością własną macierzy A.
Wszystkie wartości własne macierzy A są pierwiastkami
wielomianu charakterystycznego:

Ax

y 

v

Av









0

det



 I

A



Elbąg, PWSZ 2007r.

2

Wartości i wektory własne

Niech



i

będzie k-krotną wartością własną. Klatka Jordana

odpowiadająca tej wartości własnej ma postać macierzy
kwadratowej o wymiarze k:

Jeśli znanych jest l wartości własnych i znane są ich krotności
można zestawić klatki tworząc postać kanoniczną Jordana
danej macierzy:



































i

i

i

i

i

J









1

1

0

1





Elbąg, PWSZ 2007r.

3

Wartości i wektory własne

Postać kanoniczna Jordana jest najprostszą postacią, z której
można odczytać wartości własne danej macierzy. Jeśli wszystkie
wartości własne są jednokrotne, to postać kanoniczna Jordana tej
macierzy jest macierzą diagonalną.

Macierz A jest podobna do B wtedy, gdy istnieje

nieosobliwa macierz P taka, że:



























l

J

J

J

J

0

0

2

1





BP

P

A

1





Elbąg, PWSZ 2007r.

4

Wartości i wektory własne

Własności macierzy podobnych:
• wartości własne macierzy są identyczne ponieważ identyczne są

wielomiany charakterystyczne tych macierzy,

• każda macierz A jest podobna do odpowiadającej jej macierzy

Jordana, przy czym elementy macierzy P mogą być zespolone,

• jeśli macierz A ma różne wartości własne, to jest ona podobna do

macierzy diagonalnej z wartościami własnymi na przekątnej,
macierz podobieństwa złożona jest natomiast z wektorów
własnych odpowiadających poszczególnym wartościom własnym.

Metody wyznaczania wartości i wektorów własnych
Metoda

polegająca

na

znajdowaniu

zer

wielomianu

charakterystycznego jest rzadko stosowana. Jeśli nawet
zadanie wyznaczenia wartości własnych macierzy A jest dobrze
uwarunkowane (małe odchylenia wartości elementów macierzy
A nie powodują dużych zmian wartości własnych), to
wyznaczenia zer równania charakterystycznego może być źle
uwarunkowane.

Elbąg, PWSZ 2007r.

5

Wartości i wektory własne

Powszechniej stosowany jest algorytm QR dla macierzy
Hessenberga. Macierzą Hessenberga nazywa się macierz
będącą sumą macierzy trójdiagonalnej i trójkątnej górnej.
Każda macierz kwadratowa jest podobna do macierzy
Hessenberga (ma te same wartości własne). Stosując algorytm
QR można dojść do takiej postaci macierzy, dla której łatwo jest
odczytać wartości własne.

A = [ 3 -2 -.9 2*eps
-2 4 1 -eps
-eps/4 eps/2 -1 0
-.5 -.5 .1 1 ];

Obliczanie wartości własnych macierzy A składa się z 3 etapów:
1) sprowadzenie macierzy A do postaci Hessenberga, np.:

H=hess(A)

Elbąg, PWSZ 2007r.

6

Wartości i wektory własne

2) wykonanie odpowiedniej liczby iteracji algorytmu QR,
3) pobranie wartości własnych z wyznaczonej macierzy.

[Q,R]=qr(A)

Algorytm QR polega na rozkładzie macierzy A na iloczyn
macierzy ortogonalnej Q oraz macierzy trójkątnej R, takich że:
A=QR.

[Q,R,E]=qr(A)

Powyższe polecenie wyznacza macierz E przekształcenia
zamieniającego kolejność kolumn, dzięki czemu uzyskuje się
macierz trójkątną górną R o malejących elementach na diagonali
oraz macierz Q, spełniające równanie:

R

Q

E

A

*

* 

Elbąg, PWSZ 2007r.

7

Wartości i wektory własne

A = [ 1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12 ]

W macierzy A elementy środkowej kolumny są średnimi

arytmetycznymi sąsiednich kolumn. W wyniku rozkładu QR

uzyskujemy:

[Q,R] = qr(A)
Q =
-0.0776 -0.8331 0.5444 0.0605
-0.3105 -0.4512 -0.7709 0.3251
-0.5433 -0.0694 -0.0913 -0.8317
-0.7762 0.3124 0.3178 0.4461
R =
-12.8841 -14.5916 -16.2992
0 -1.0413 -2.0826
0 0 0.0000
0 0 0

Elbąg, PWSZ 2007r.

8

Wartości i wektory własne

Macierz R jest macierzą górną trójkątną. Zera na diagonali

wskazują, że rząd macierzy jest równy 2.
Rozkład QR można również wykorzystać do rozwiązania

układu równań liniowych:

b = [1;3;5;7]

W rezultacie otrzymujemy trzy rozwiązania. Najlepsze

rozwiązanie (w sensie najmniejszych kwadratów)

uzyskujemy za pomocą polecenia:

x = A\b
Warning: Rank deficient, rank = 2, tol = 1.4594E-014
x =
0.5000
0
0.1667

O dokładności obliczeń decyduje tolerancja, z którą oceniono czy

diagonalne elementy macierzy R są pomijalnie małe.

Elbąg, PWSZ 2007r.

9

Wartości i wektory własne

Wydając polecenie

[Q,R,E] = qr(A)

dokładność obliczeń możemy ocenić wydając polecenie:

tol = max(size(A))*eps*abs(R(1,1))

Układ równań liniowych przy pomocy rozkładu QR rozwiązujemy
w dwóch etapach:

y = Q'*b;
x = R\y

Elbąg, PWSZ 2007r.

10

Wartości i wektory własne

Algorytm QR generuje ciąg macierzy

Wykonujących iteracji:

gdzie macierze Q

i

oraz R

i

są rozkładem QR macierzy H

i

. Każdą

macierz kwadratową można sprowadzić do postaci iloczynu
macierzy ortogonalnej, spełniającej równanie:

i macierzy trójkątnej górnej R.



H

H

H

,

,

,

2

1



i

i

i

i

i

i

Q

R

H

R

Q

H





1

I

Q

Q

T



Elbąg, PWSZ 2007r.

11

Wartości i wektory własne

Jeśli szukane wartości własne są rzeczywiste i różne, to w trakcie

iteracji elementy pod przekątną macierzy H

i

będą stopniowo

zbiegać do zera, zaś elementy na diagonali będą dążyć do

wyznaczanych wartości własnych.

W programie MATLAB wartości i wektory własne wyznacza funkcja

eig:

A =
0 -6 -1
6 2 -16
-5 20 -10

lambda = eig(A)

lambda =
-3.0710
-2.4645+17.6008i
-2.4645-17.6008i

Elbąg, PWSZ 2007r.

12

Wartości i wektory własne

Wywołanie:

[V,D] = eig(A)
V =
-0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i
-0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i
-0.4248 -0.6930 -0.6930
D =
-3.0710 0 0
0 -2.4645+17.6008i 0
0 0 -2.4645-17.6008i

wyznacza macierz D zawierającą na przekątnej wartości własne
oraz macierz V wektorów własnych odpowiadających tym
wartościom, spełniające zależność: AV=VD.

Elbąg, PWSZ 2007r.

13

Wartości i wektory własne

Istnieją macierze, dla których niemożliwe jest wyznaczenie
wektorów własnych (są to macierze niediagonizowalne):

A =
6 12 19
-9 -20 -33
4 9 15

Dla tej macierzy:

[V,D] = eig(A)

V =
-0.4741 -0.4082 -0.4082
0.8127 0.8165 0.8165
-0.3386 -0.4082 -0.4082

Elbąg, PWSZ 2007r.

14

Wartości i wektory własne

D =
-1.0000 0 0
0 1.0000 0
0 0 1.0000

Powyższa macierz ma podwójną wartość własną. Druga i trzecia
kolumny macierzy V są takie same. Dla tej macierzy nie istnieje
zbiór niezależnych wektorów własnych.