id1088937 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 5. Wartoœci wùasne i wektory wùasne macierzy Niech A bêdzie macierz¹ kwadratow¹ stopnia n.
Liczbê ë nazywamy wartoœci¹ wùasn¹ macierzy A gdy istnieje niezerowy wektor v wartoœã wùasna
(o rzeczywistych lub zespolonych wsp
óùrzêdnych) taki, ¿e Av v .
macierzy
Dowodzi siê, ¿e wartoœci wùasne s¹ pierwiastkami równania charakterystycznego tej macierzy.
Niezerowy wektor
wektor
v nazywamy wektorem wùasnym macierzy A odpowiadaj¹cym wùasny warto
œci wùasnej tej macierzy, je¿eli speùniony jest warunek: Av v .
macierzy
a 11
a 12
a 1
v
n
1
a 21
a 22
a
v
Zatem dla macierzy
2 n
2
A
wektor wùasny
v
odpowiadaj¹cy
a 1
a 2
a
v
n
n
nn
n
wartoœci wùasnej tej macierzy musi speùniaã równanie
1
a 1
1
a 2
1
a
v
n
1
0
a 21
a 22
a
v
0
2 n
2
.
a
a
a
v
0
1
n
n 2
nn
n
UWAGA.
Wektor w
ùasny v odpowiadaj¹cy wartoœci wùasnej jest okreœlony z dokùadnoœci¹
v 1
v
do sta
2
ùej to znaczy: jeœli
v
jest wektorem wùasnym odpowiadaj¹cym wartoœci
vn
cv 1
cv
w
2
ùasnej to równie¿
v
c
jest wektorem wùasnym odpowiadaj¹cym wartoœci
cvn
wùasnej .
............................................................................................
PRZYK£AD
0
2
Wyznaczy
ã wartoœci wùasne i wektory wùasne macierzy A
.
2
3
Rozwi¹zanie
Szukamy pierwiastków równania charakterystycznego macierzy A
0
2
1
0
2
2
det A I det
det
3 4
2 3
0 1
2
3
3 4 0 ,
1 4
1
2
Dla ka
¿dej wartoœci wùasnej obliczamy odpowiadaj¹cy jej wektor wùasny v .
Dla wartoœci 1 mamy
1
( A I
1
v
A
czyli
v
)
0
1
1
v
1
1
1
2
v
0
v
2 v
0
11
11
12
v
2 v
0
2 4
v
0
2 v 4 v 0
11
12
12
11
12
Powy¿szy ukùad jest ukùadem jednorodnym, co oznacza, ¿e gdy ukùad ma dokùadnie jedno rozwi¹zanie to musi to byã rozwi¹zanie zerowe. Jednak takie rozwi¹zanie nie speùnia warunków zadania (wektor wùasny nie mo¿e byã wektorem zerowym).
Zatem ukùad ten jest ukùadem nieoznaczonym – ma nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ zale¿nych od 1 parametru.
Przyjmujemy v
1 i w
v
2
.
21
ówczas
v
2
22
21
2
v 1
1
Zatem v
.
2
v
2
22
Dla wartoœci
4 mamy
2
Av
czyli ( A I ) v 0
2 2 v 2
2
2
4
2
v
0
4 v
2 v
0
21
21
22
2 v
v
0
2
1
v
0
2 v v 0
21
22
22
21
22
Ukùad ten ma nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ zale¿nych od 1 parametru.
Przyjmujemy v
1 i w
v
2
.
21
ówczas
v
2
22
21
2
v 1
1
Zatem v
.
2
v
2
22
...........................................................................................
PRZYK£AD
1
0
0
Wyznaczy
ã wartoœci wùasne i wektory wùasne macierzy B 0
1
1 .
0
1
1
Rozwi¹zanie
Szukamy pierwiastków równania charakterystycznego macierzy B:
1
0
0
1
0
0
1
0
0
det B ëI
det
0
1
1
0
1
0
det
0
1
1
0 1
1
0
0
1
0
1
1
3
3 2
4 2
3
2
3 4 2 0
1
,
1 2 1 i, 3 1 i
¿dej wartoœci wùasnej obliczamy odpowiadaj¹cy jej wektor wùasny v .
Dla wartoœci
1 mamy
1
A
( A I
1
v
czyli
v
)
0
1
1
v
1
1
0
0
0 1
v 1
0
0 0
0
0
1
1
v 2 0 1
v 3 0
0
1
0 v
0
v
0
13
12
Ukùad ten ma zatem nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ zale¿nych od 1 parametru, przy czym parametrem tym musi byã 1
v . Poniewa
1
¿ wektor wùasny nie mo¿e byã wektorem zerowym a zarówno v 0 jak i v
0 to przyjmujemy v
1 .
12
13
11
1
v 1
1
W
ówczas
1
v
1
v 2
0
v
0
13
Dla wartoœci
1
mamy
2
i
v
A
( A I )
2
czyli
v 0
2
v 2
2
2
i
0
0 v
0
iv
0
21
21
iv
0
v
0
21
21
0
i
1
v
0
iv
v
0
22
22
23
v
iv
0
22
23
2
v 2 i 2
v 3
0
1
i v
0
v
iv
0
23
22
23
Ukùad ten ma nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ zale¿nych od 1 parametru.
Przyjmujemy v
1.
23
Wówczas v
.
22 iv 23 i
2
v 1
0
Zatem
v
.
2
v 22 i
v
1
23
Dla wartoœci
1
mamy
3
i
( A I )
3
v
A
czyli
v 0
3
3
v
3
3
i
0
0 v
0
iv
0
31
31
iv
0
v
0
31
31
0
i
1
v
0
iv
v
0
32
32
33
v
iv
0
32
33
3
v 2 i 3
v 3
0
1
i v
0
v
iv
0
33
32
33
Ukùad ten ma nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ zale¿nych od 1 parametru.
Przyjmujemy v
1 i w
.
33
ówczas v 32 i
v 33 i
3
v 1
0
Zatem
.
3
v
3
v 2 i
v
1
33
...........................................................................................