Warunki

brzegowe

w

rozwiązywaniu

problemów

transportu

ciepła

i

masy

oraz

problemów

odkształceń

Łukasz Łach

Wydział Inżynierii Metali i Informatyki Przemysłowej

Kraków, 05 styczeń 2011 r.

Wykaz ważniejszych oznaczeń

T - temperatura,
K - macierz funkcji rozkładu współczynnika
przewodzenia ciepła,
Q - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w
wyniku

plastycznego odkształcania się

metalu lub w wyniku przemian

fazowych

zachodzących w materiale,
ρ - gęstość metalu w temperaturze T,
c

p

- ciepło właściwe w tejże temperaturze,

α - współczynnik wymiany ciepła,
T

α

- temperatura otoczenia

v - wektor prędkości.

Transport ciepła i masy

Większość zjawisk zachodzących w procesach
przetwórstwa materiałów jest aktywowanych
cieplnie, a zatem numeryczna symulacja tych
procesów musi uwzględniać pole temperatury.
Transport masy (dyfuzja) również odgrywa
dominującą rolę w zmianach jakie zachodzą w
strukturze odkształcanego i/lub poddawanego
obróbce cieplnej materiału. Transport ciepła i
masy opisany jest jednakowym równaniem
różniczkowym cząstkowym, a różne są tylko
współczynniki

tego

równania

zależne

od

własności materiału.

Równanie Fouriera

Określanie pola temperatur możliwe jest poprzez
rozwiązanie uogólnionego równania dyfuzji – równania
Fouriera. Wielkością podlegającą dyfuzji jest w tym
przypadku ciepło. W ogólnej postaci równanie to zapisane
jest następująco:

gdzie:
T - temperatura,
K - macierz funkcji rozkładu współczynnika przewodzenia
ciepła,
Q - prędkość generowania ciepła, jakie powstaje w wyniku
plastycznego odkształcania się metalu lub w wyniku
przemian fazowych zachodzących w materiale,
ρ - gęstość metalu w temperaturze T,
c

p

- ciepło właściwe w tejże temperaturze,

v – wektor prędkości.

Warunki brzegowe

Równanie przewodzenia ciepła musi spełniać
odpowiednie

warunki

brzegowe.

Brzeg

odkształcanego

materiału

zmienia

swoją

temperaturę w wyniku:

konwekcji (unoszenia ciepła),

promieniowania,

przewodzenia.

Warunek ten jest przyjmowany, jeśli cały brzeg lub
jego część posiada znaną temperaturę określoną
poprzez znaną, zależną od czasu funkcję f(t):

Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (warunek Dirichleta)

Rys.1. Przykład warunku brzegowego
I rodzaju.

Warunek brzegowy drugiego rodzaju
(warunek Neumanna)

Warunek jest przyjmowany, gdy znana jest funkcja
określająca natężenie strumienia cieplnego na
brzegu obszaru:

Rys.2. Przykład warunku brzegowego
II rodzaju.

Warunek jest przyjmowany, gdy następuje
swobodny, niczym nie skrępowany przepływ
ciepła przez powierzchnię brzegową ciała.
Opiera się on na bilansie natężenia strumieni
cieplnych przepływających przez powierzchnię
brzegową:

Warunek graniczny trzeciego rodzaju (warunek Fouriera)

gdzie: α - współczynnik wymiany
ciepła,

T

α

-

temperatura

otoczenia

Rys.3. Przykład
warunku
brzegowego III
rodzaju.

Stosowalność warunków brzegowych

W procesach przetwórstwa materiałów praktycznie nie występuje
warunek brzegowy Dirichleta. Dlatego do celów śledzenia zmian
temperatury wyrobów w trakcie tych procesów w wielu następujących
po sobie operacjach bardzo często należy zastosować połączony
warunek brzegowy drugiego i trzeciego rodzaju zadany na całym brzegu
obszaru, w postaci:

W powyższym równaniu funkcja q może reprezentować strumień ciepła
przekazywany do materiału w wyniku pracy sił tarcia na powierzchni
styku z narzędziem:

gdzie: τ - naprężenie tarcia, Δv – prędkość poślizgu między
odkształcanym materiałem i narzędziem.

Wprowadzanie warunków brzegowych w MES

Wprowadzenie warunków brzegowych następuje poprzez wykonanie
odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz
wektora prawych stron.

Macierz współczynników
elementu

⇗

Globalna macierz współczynników

∥

⇗

⇗

Wprowadzanie warunków brzegowych w MES - przykład

⇗

Wprowadzenie
warunków Neumanna

Wprowadzenie
warunków Dirichleta

⇗

⇗

Warunki brzegowe – automaty komórkowe

(a)

(b)

Rys.4. Początkowa struktura z różnymi warunkami
brzegowymi: a) periodyczne, b) otwarte.

Cięcie i składanie modelu

Rys.5. Operacje cięcia oraz składania w widoku 3D.

Literatura

1. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L, Finite Element Method, T. 1-3,

Elsevier, 2000

2. Pietrzyk M., Metody numeryczne w przeróbce plastycznej metali,

skrypt AGH 1303, Kraków, 1992

3. F. P. Incropera, D. P. DeWitt, Fundamentals of heat and mass

transfer, New York: John Wiley&Sons, 2001.

Dziękuję za

uwagę