ŻEGLUGA

LOKSODROMICZNA

ZLICZENIE ANALITYCZNE

Wacław Morgaś - INiHM

Zagadnienia

•

Loksodroma

•

Zliczenie matematyczne

•

Zliczenie matematyczne wg. średniej

szerokości – trójkąt drogowy

•

Zliczenie matematyczne wg. powiększonej

szerokości – trójkąt Merkatora

•

Zliczenie matematyczne złożone

1. LOKSODROMA

Okręt utrzymujący stały kurs przemieszcza się po

loksodromie, która jest linią przecinającą wszystkie
południki pod jednakowym kątem. Loksodromę
(gr.loksós – ukośna, dromos – linia) opisał w 1624 r.
holenderski astronom i matematyk Willebrord Snell
(1580-1626) znany jako Snellius.

Południki ziemskie nie są
równoległe, dlatego linia
przecinająca ich pod
jednakowym kątem nie jest
prostą ale jest logarytmiczną
spiralą – linią podwójnej
krzywizny asymptotycznie
dążącą do bieguna
ziemskiego.

Rys. Loksodroma na pow.
Ziemi

1.1. Trójkąt loksodromiczny i nawigacyjny

Loksodroma przechodząca przez dwa punkty na powierzchni kuli

Ziemskiej jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego zwanego
trójkątem loksodromicznym. Mały trójkąt loksodromiczny
przedstawiony na płaszczyźnie nazywany jest trójkątem nawigacyjnym
(drogowym). Elementami trójkąta loksodromicznego i nawigacyjnego
są:
l – zboczenie nawigacyjne,
 – różnica szerokości geograficznej,
D – droga okrętu po loksodromie,
KR – kurs rzeczywisty (a ściślej, kąt drogi względem dna – KDd).

D

A

B



l

KDd

C

B

N

A

B





l

D

KDd

KDd



B



A

R



B



A

C



1.2. Równanie loksodromy

Z małego trójkąta ABC, który można przyjąć jako płaski

wynika:

• Przechodząc od elementarnie małych przyrostów do

nieskończenie małych otrzymamy równanie
różniczkowe:

• Całkując w przedziale zmian φ i λ standardową całkę:

• Otrzymujemy równanie loksodromy na kuli (1):















cos

cos























tgKDd

l

tgKDd









d

i

d















cos

d

tgKDd

d 







2

1

2

1

cos

tan















d

KDd

d















































2

45

ln

2

45

ln

1

0

2

0

1

2









tg

tg

tgKDd

1.2. Równanie loksodromy – cd.

Dla elipsoidy (z uwzględnieniem spłaszczenia Ziemi) (2):

gdzie: φ

1

, λ

1

– współrzędne punktu początkowego loksodromy P

1

;

– φ

2

, λ

2

– współrzędne punktu początkowego loksodromy P

2

;

– KDd – kąt drogi nad dnem lub kurs rzeczywisty loksodromy;
– e – pierwszy mimośród elipsoidy ziemskiej.

Z analizy równania loksodromy wynika, że:

• loksodroma przecina każdy południk nieskończoną

ilość razy, ale każdy raz na innej szerokości (spirala);

• gdy KDd = 0

0

(180

0

) to loksodroma pokrywa się z

południkiem;

• gdy KDd = 90

0

(270

0

) to loksodroma pokrywa się z

równoleżnikiem,

a przy φ

2

= φ

1

= 0

0

- z równikiem.































































































2

1

1

1

0

2

2

2

2

0

1

2

cos

1

sin

1

2

45

ln

cos

1

sin

1

2

45

ln

e

e

e

e

tg

e

e

tg

tgKDd

















1.2. Równanie loksodromy – cd.

Wyrażenia w nawiasach kwadratowych równań (2) i (3)

są różnicami powiększonej szerokości w radianach na
kuli i elipsoidzie, a mianowicie:

ΔV = V

2

– V

1

(3)

Wzory do obliczania powiększonej szerokości w milach

morskich mają postać: - na kuli (4):

- na elipsoidzie (5):

Równanie loksodromy (1) i (2) z uwzględnieniem (3) ma

postać (6):



















2

45

tan

lg

70447

.

7915



o

k

V



























































sin

1

sin

1

2

45

tan

lg

70447

.

7915

e

e

V

o

e

KDd

V

V

V

KDd

tan

lub

)

(

tan

1

2

1

2























2. ZLICZENIE MATEMATYCZNE

Zliczenie drogi okrętu prowadzone sposobem

wykreślnym na mapie nawigacyjnej nazywane jest
zliczeniem graficznym, a jeżeli jest realizowane w
oparciu o zależności matematyczne lub tablice –
analitycznym (matematycznym).

Zliczenie matematyczne jest to obliczanie

współrzędnych pozycji albo kursu i przebytej
drogi okrętu za pomocą zależności analitycznych
bez użycia mapy.

Zliczenie matematyczne zazwyczaj stosuje się:
• przy braku odpowiedniej mapy nawigacyjnej z dala od

brzegu gdy są dostępne mapy nawigacyjne w zbyt
małych skalach (mapy generalne),

• w czasie częstych zmian kursu (manewrowania

okrętu),

• do rozwiązywania specjalnych zadań nawigacyjnych,
• w komputerach nawigacyjnych (automatycznych

nakreślaczach drogi)

2. ZLICZENIE MATEMATYCZNE – kont.

Zliczenie matematyczne nazywane jest prostym, jeżeli

dotyczy jednego prostego (bez zmiany kursu) odcinka
drogi okrętu po loksodromie. Zliczenie matematyczne
złożone występuje przy zmianach kursu np. w czasie
manewrowania okrętu.

Zadania zliczenia matematycznego rozwiązuje się za

pomocą:

• średniej szerokości - trójkąt nawigacyjny,
• powiększonej szerokości - trójkąt Merkatora,

3. ZLICZENIE MATEMATYCZNE wg. ŚREDNIEJ

SZEROKOŚCI – TRÓJKĄT NAWIGACYJNY

Istota zliczenia analitycznego polega na obliczeniu

współrzędnych pozycji okrętu w określonym momencie czasu
wg znanych zależności:

φ

2

= φ

1

+Δφ oraz λ

2

= λ

1

+ Δλ

Współrzędne początkowe φ

1

i λ

2

są zazwyczaj znane, dlatego

zadanie zliczenia sprowadza się do obliczenia Δφ i Δλ. W tym
celu wykorzystywane są zależności wynikające z trójkąta
nawigacyjnego (drogowego)(rys. 3), a mianowicie (7):

Powyższe zależności służą do rozwiązywania zadań „wprost” i

zadań „odwrotnych” .

























l

KDd

KDd

D

l

KDd

D

1

tan

sin

cos

Zadanie „wprost” – I problem żeglugi po loksodromie

Zadanie wprost ma miejsce wówczas, kiedy znane są

współrzędne pozycji wyjścia (początkowej) P

1 

(

1

,

1

)

oraz kurs (KDd – kąt drogi nad dnem) i droga okrętu
(D), a należy obliczyć współrzędne pozycji przybycia
(końcowej) P

2

(

2

,

2

). Służą do tego zależności:





























































1

2

1

1

2

.

6

cos

.

5

2

.

4

sin

.

3

.

2

cos

.

1

sr

śr

l

KDd

D

l

KDd

D

Zadanie to można
rozwiązać przy pomocy
Tablic nawigacyjnych
(TN-89) wybierając z
tabeli 8 wartości  i l
a następnie
przeliczając l na  w
oparciu o tabelę 9.

Średnia szerokość

Rozwiązanie zadania wg średniej szerokości (φ

śr

) wymaga

przeliczania różnicy długości geograficznej (Δλ) na
zboczenie nawigacyjne (Δl) (i odwrotnie) z zależności:

Δl = Δλ cos φ

śr

i odwrotnie Δλ = Δl/cos φ

śr

(8)

Zadanie to można rozwiązać różnymi sposobami, na przykład:

60

0

Δλ=5

o

55

0

57

0

3

0’

Δl=150,0Nm

Δl=172,07Nm

Δl=161,19

Nm

A

B

φ

A

φ

B

φ

sr

λ

A

=010

0

E

λ

B

=01

5

0

E

P

N

D

C

Dane A: φ

A

= 55

0

N, λ

A

=

010

0

E

B: φ

B

= 60

0

N, λ

B

=

015

0

E

Rozwiązanie:

Mała różnica 161,19-161,04=0,15Nm (tj. ~0,1%) potwierdza zasadność

stosowania średniej szerokości geograficznej: φ

śr

=(φ

1

+φ

2

)/2 do obliczeń

na płaszczyźnie.
Dokładny wzór na szerokość średnią tzw. średnią szerokość matematyczną
φ

śrm

:

φ

śrm

=cos

-1

(Δφ/ΔV) (9)

można otrzymać z porównania zależności: (6) i (8) z uwzględnieniem (7), tj.:

Δλ = ΔV tan KDd i Δλ = Δl/cosφ

śr

gdy tan KDd = Δl/Δφ

c) φ

śrm

=cos

-1

(Δφ/ΔV) = cos

-1

(300/559,40165) = 57

o

34,125’

Δl = Δλ cos φ

śrm

= 300 cos 57

o

34,125’ = 160, 886 Nm

Różnica 160,89 – 161,19 = -0,30 (tj. ~0,2%) także potwierdza możliwość

stosowania średniej szerokości geograficznej (φ

śr

)

Nm

l

b

Nm

l

l

l

Nm

l

Nm

l

a

E

E

sr

B

A

sr

B

A

A

B

19

,

161

'

30

57

cos

300

'

30

57

2

60

55

).

04

,

161

2

0

,

150

07

,

172

2

0

,

150

60

cos

300

;

07

,

172

55

cos

300

).

'

300

5

010

015

0

0

0

0

0

0

0

0

0





































































Zadanie „wprost” – I problem żeglugi po loksodromie – kont.

Rozwiązanie zadania zliczenia matematycznego wprost z

uwzględnieniem średniej szerokości matematycznej
φ

śrm

:











































































1

2

1

1

0

2

1

2

.

7

)

10

(

cos

.

6

cos

.

5

)

2

45

tan(

)

2

45

tan(

log

'

7045

,

7915

.

4

sin

.

3

.

2

cos

.

1

.

srm

k

srm

o

k

l

V

V

KDd

D

l

KDd

D

Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po loksodromie

Zadanie odwrotne ma miejsce wówczas, kiedy znane

są współrzędne pozycji wyjścia P

1

(

1

,

1

) oraz pozycji

przybycia P

2

(

2

, 

2

), a należy obliczyć kurs KR (KDd) i

drogę D łączącą te punkty.

Służą do tego
następujące zależności:

KDd

l

D

KDd

D

l

KDd

l

śr

śr

sin

lub

cos

.

6

)

11

(

tan

.

5

cos

.

4

.

3

2

.

2

.

1

1

1

2

2

1

1

2



































































Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po loksodromie

– kont.

Rozwiązanie zadania z zastosowaniem średniej

szerokości matematycznej φ

śrm

KDd

D

l

KDd

l

V

V

srm

k

srm

o

k

cos

.

11

)

12

(

tan

.

10

cos

.

9

cos

.

8

)

2

45

tan(

)

2

45

tan(

log

7045

,

7915

.

7

1

1

1

0

2





















































4. ZLICZENIE MATEMATYCZNE WG POWIĘKSZONEJ

SZEROKOŚCI - TRÓJKĄT MERKATORA

Wzory trójkąta nawigacyjnego w żegludze praktycznej

stosuje się z wyłączeniem wysokich szerokości
geograficznych (rejonów polarnych), gdy:

  3 – 5 lub D  300 – 500 n. mile

Dolne wartości (3

o

i 300 n. mile) odnoszą się do małych

szerokości geograficznych (rejonów podzwrotnikowych)
natomiast górne (5

o

i 500 n. mile) do szerokości

średnich.

Jeżeli powyższe warunki nie będą spełnione to obliczenia

w oparciu o wzory trójkąta nawigacyjnego będą
obarczone znaczącymi niedokładnościami i dlatego w
praktyce stosuje się wzory trójkąta Meraktora.

TRÓJKĄT MERKATORA

Trójkąt Merkatora powstaje w wyniku odwzorowania

trójkąta loksodromicznego na pobocznicę walca
(odwzorowanie Merkatora) posiada następujące
elementy (rys):

 - różnica długości geograficznej,
V - różnica powiększonej szerokości,
KDd (KR) - kurs okrętu




D

l



K
R

V

)

13

(

tan

1

V

KDd











Zadanie „wprost” – I problem żeglugi po loksodromie

Rozwiązanie zadania wprost w oparciu o wzory trójkąta Merkatora:

Przedstawione rozwiązanie zadania w oparciu o wzory trójkąta Merkatora

stosuje powiększoną szerokość (V), która w tablicach nawigacyjnych
jest obliczana dla wybranej elipsoidy ziemskiej. Szerokość
geograficzna (φ

2

) pozycji docelowej (a w konsekwencji całe zadanie)

jest obliczana bez uwzględnienia spłaszczenia kuli Ziemskiej.
Dokładne rozwiązanie zadania wymaga obliczania długości łuku
południka elipsoidy Ziemskiej, np. wg wzoru:

S

[Nm]

=60,006994*Δφ

o

- 8,660102(sin2φ

2

– sin2φ

1

) (15)





















































1

2

1

1

2

2

1

2

.

5

.

4

)

14

(

)

(

)

(

.

3

.

2

cos

.

1

tgKDd

V

V

V

V

KDd

D

Rozwiązanie
zadania
wprost
w oparciu
o wzory
trójkąta
Merkatora na
elipsoidzie WGS84:



















































































































































1

2

1

1

2

2

)

4

(

2

2

)

3

(

2

2

)

3

(

2

)

4

(

2

)

3

(

2

)

3

(

2

)

3

(

2

)

2

(

2

2

)

2

(

2

)

3

(

2

)

2

(

2

)

2

(

2

)

2

(

2

)

1

(

2

2

)

1

(

2

)

2

(

2

)

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

2

2

)

1

(

2

2

1

2

)

(

)

84

(

1

.

8

.

7

)

(

)

(

.

6

.

5

60

]

[

2

sin

660102

,

8

006994

,

60

60

]

[

2

sin

660102

,

8

006994

,

60

60

)

16

(

[

2

sin

660102

,

8

006994

,

60

60

.

1

.

4

.

3

cos

.

2

]

[

2

sin

660102

,

8

006994

,

60

.

1

tgKDd

V

V

V

V

S

S

Nm

S

S

S

Nm

S

S

S

Nm

S

S

iteracyjn

ą

metodą

obliczamy

wzoru

z

S

S

S

KDd

D

S

Nm

S

o

o

o

o

o

o

o

o

o

WGS

Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po loksodromie

Rozwiązanie zadania odwrotnego w oparciu o wzory trójkąta

Merkatora:

Przedstawione rozwiązanie zadania w oparciu o wzory trójkąta

Merkatora, podobnie jak w zadaniu „wprost” nie uwzględnia
spłaszczenia kuli Ziemskiej. Dokładne rozwiązanie zadania
wymaga obliczania długości łuku południka elipsoidy
Ziemskiej.

KDd

D

V

KDd

V

V

V

cos

.

5

tan

.

4

)

17

(

)

(

)

(

.

3

.

2

.

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2



















































Zadanie „odwrotne” – II problem żeglugi po

loksodromie – kont.

Obliczenie kursu (KDd) i przebytej drogi (D) z

uwzględnieniem elipsoidalnego kształtu Ziemi:

KDd

S

D

Nm

S

V

KDd

V

V

V

o

WGS

cos

.

6

]

)[

2

sin

2

(sin

660102

,

8

006994

,

60

.

5

tan

.

4

)

17

(

)

(

)

(

.

3

.

2

.

1

1

2

84

1

1

1

2

2

1

2

1

2

































































O

5. ZLICZENIE MATEMATYCZNE ZŁOŻONE

Zliczeniem matematycznym złożonym nazywa się analityczne obliczanie
współrzędnych pozycji zakończenia manewrowania na podstawie znanych
wartości kursów i przebytych dróg. Stosuje się go gdy prowadzenie zliczenia
graficznego jest niemożliwe, niedokładne lub czasochłonne.

Załóżmy, że okręt z pozycji P

1

rozpoczął manewrowania kursami

zmiennymi i przebywając odpowiednie odcinki drogi przybył do pozycji P

6

(Rys.).

P

4

P

6

P

5

P

2

D

5

D

4

D

3

D

2

D

1

Δl

s

Δl

5

Δl

4

Δl

3

Δl

1

Δφ

4

Δφ

3

Δφ

1

KR

5

KR

4

KR

3

KR

2

KR

1

Δφ

s

Δφ

2

Δφ

5

Δl

2

P

1

P

3

Współrzędne pozycji zakończenia manewrowania można

obliczyć rozwiązując zadania wprost kolejnych trójkątów (tj. 5
-na rys.).

Prostszym sposobem jest rozwiązanie jednego trójkąta P

1

P

6

O:

Przyrosty współrzędnych (Δφ

s

i Δl

s

) obliczamy jako sumę

algebraiczną różnic szerokości (Δφ

i

) i zboczeń nawigacyjnych

(Δl

i

) poszczególnych trójkątów:

Zadanie rozwiązuje się przy użyciu Karty manewrowej (Rys.)

s

s

s

s

sr

s

l

















































1

2

1

1

2

sec

2

ZLICZENIE MATEMATYCZNE ZŁOŻONE –

kont.

n

s

n

s

l

l

l

l

l









































...

...

3

2

1

3

2

1











Lp.

Godz

KK

cp

α

KDw

KDw

[system

ćwiart.]

OL

lub

V

Δlog

lub

T

S

[n.

mile]

Δφ

Δl

[+] N [-] S [+] E [-] W

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

φ

1

= ..........................;

λ

1

=............................; Σ

φ

sr

= φ

1

+0,5Δφ

s

=....................; Δλ=Δl

s

/cos

φ

sr

=........................;

Δφ

s

=...........

Δl

s

=............

φ

2

= φ

1

+Δφ

s

= ...........................; λ

2

=λ

1

+Δλ= .................................;

KARTA MANEWROWA NR..... /wzór/

d=........; K

w

=............; V

w

=...............

...............................................................

Temat następnego wykładu:

„ŻEGLUGA PO ORTODROMIE”