Wytrzymałość

zmęczeniowa

Wytrzymałość zmęczeniowa

Z wytrzymałością zmęczeniową mamy do czynienia wówczas gdy

naprężenia zmieniają się cyklicznie w czasie

amplituda naprężeń

naprężenie średnie

min

max

m

wsp. asymetrii cyklu

a

R

s

s

s

k

s

=

=

wsp. stałości obciążenia

Definicja wytrzymałości

zmęczeniowej

Wytrzymałością zmęczeniową nazywamy takie
naprężenie dla danego cyklu naprężeń przy
którym konstrukcja nie ulegnie zniszczeniu po
osiągnięciu umownej granicznej liczby cykli

Jeżeli dla pewnego naprężenia maksymalnego
konstrukcja może przenieść nieograniczoną
liczbę cykli obciążeń to naprężenie to nazywamy
granicą zmęczenia

G

Z

max

s

G

N

max

s

G

Z

�

Wykresy zmęczeniowe

Krzywa Wӧhlera

- zależność pomiędzy naprężeniem maksymalnym
a liczbą cykli obciążenia N

max

s

,

G

G

Z N

- trwała wytrzymałość zmęczeniowa,
- ograniczona wytrzymałość zmęczeniowa, niskocyklowa ,
wysokocyklowa

7

10

=

G

N

3

10

�

N

N

5

10

�

N

N

,

N

N

Z N

dla stali i cyklu wahadłowego

Wykresy zmęczeniowe

Wykres Smitha

- to zależność pomiędzy naprężeniem maksymalnym i minimalnym
a naprężeniem średnim

max

s

min

s

m

s

Wykres Smitha jest symetryczny tylko wówczas jeżeli własności wytrzymałościowe
materiału dla rozciągania i ściskania są takie same.

R

�

- wytrzymałość długotrwała utożsamiana z wytrzymałością na pełzanie

Uproszczony wykres

Smitha

Na podstawie znajomości: wytrzymałości zmęczeniowej dla cyklu
wahadłowego , odzerowo-tętniacego i granicy plastyczności
wyznaczamy:

o

Z

j

Z

max

,

s

min

s

e

R

Uproszczony wykres Smitha dla danych: , , ,

o

Z

j

Z

e

R

Wykres Haigha

- zależność pomiędzy a dla stałego współczynnika asymetrii
cyklu R. Jest to obrócony o kąt wykres Smitha.

a

s

m

s

o

45

Uproszczony wykres

Higha

Dla danych: wyznaczamy:

, ,

o

j

e

Z Z R

,

a

s

m

s

m

a

s

k

s

=

Zadanie

270MPa
480MPa

520MPa

o

j

e

Z
Z

R

=
=

=

Narysować uproszczony wykres Smitha i Higha dla danych:

Warunek wytrzymałości zmęczeniowej

Warunek wytrzymałości zmęczeniowej

Wytrzymałość zmęczeniowa.

Zadania

Stal 45 to stal węglowa wyższej jakości zawierająca 0,45% węgla
Ulepszanie cieplne: hartowanie (nagrzewanie powyżej linii GSK na wykresie
żelazo-cementyt, około 800 st C i szybkie chłodzenie) + wysokie odpuszczanie
(nagrzewanie do temp. 500 do 700 st C i wolne chłodzenie)

Wykres żelazo-cementyt

Fragment

układu żelazo-cementyt

, ukazującego zakresy

stosowania różnych
rodzajów wyżarzań.
Kolor jasno zielony - zakres temperatur wyżarzania
normalizującego

1. Określenie rodzaju

obciążenia zmęczeniowego

2. Dobór wzoru na zmęczeniowy współczynnik

bezpieczeństwa

str. 38 do 40, cz. II skryptu

3. Dobór wytrzymałości zmęczeniowej dla stali 45

Tablica 2.1, str. 41

0,45

0,45 670 301,5MPa,

,

go

r

r

m

go

o

Z

R

R

R

Z

Z

=

=

� =

�

�

670MPa

m

R =

4. Obliczenie

a

s

5. Wyznaczenie współczynnika

kształtu

k

a

1

2

k

k

k

a

a a

=

�

1

k

a

-

pochodzi od koncentracji naprężenia

wywołanej zmianą średnicy wału, wykres
2.12, str. 53

-

pochodzi od koncentracji naprężenia

wywołanej naciskiem piasty na wał,
wykres 2.21, str. 58

2

k

a

6. Wyznaczenie minimalnego promienia

karbu

dla

670MPa,

0,57

m

m

R

r

=

=

m

r

wykres2.8,str.51

7. Wyznaczenie współczynnika kształtu

wykres 2.12, str. 53

1

k

a

1

50

1,25

0,2 0,05

40

(interpolacja)

1,85 1,86

2,57

0,8

0,06

40

2 0,57 2,57

2

k

k

m

k

D

d

d

r

a

r

r

r

r

r

�

=

=

�

�

�

=

+

@

�

�

=

@

�

�

= +

= +

=

= =

interpolacja

8. Wyznaczenie współczynnika kształtu

wykres 2.21, str. 58

60

1,2

(ekstrapolacja)

50

0,17

1,23

0,1 1,32

0,1

0,2

k2

n

a

l

b

d D

p

p

a

s

s

�

= =

=

=

�

�

�= +

@

�

=

@

�

�

2

k

a

ekstrapolacja

9. Wyznaczenie całkowitego

współczynnika kształtu

k

a

1

2

1,86 1,32 2,46

k

k

k

a

a a

=

� =

� =

10. Wyznaczenie współczynnika wielkości prz

edmiotu

Rys. 2.1, str. 49

g

301,5MPa

2,46

40mm

8

go

k

Z

d

a

g

=

=

=

=1,3

11. Wyznaczenie współczynnika stanu powierzchni

Rys. 2.6, str. 51

p

b

(

)

1

1

p

k

b b

h a

= �+

- �

�

�

670MPa

1,25

dokadnetoczenie

1,15

r

a

p

R
R

b

=

=

-

=

12. Wyznaczenie współczynnika

wrażliwości materiału na działanie

karbu

Rys. 2.9, str 52

h

301,5MPa

ulepszonie cieplne

go

Z

h

=

=0,86

(

)

1

1

p

k

b b

h a

= �+

- �

�

�

13. Obliczenie zmęczeniowego

współczynnika spiętrzenia naprężeń

(

)

(

)

1

1

1,15 1 0,86 2,46 1

2,59

p

k

b b

h a

= �+

- �=

�+

- �=

�

�

�

�

b

14. Obliczenie zmęczeniowego

współczynnika bezpieczeństwa

301,5

0,71

2,59 1,38 119,13

o

z

a

Z

x

b g s

=

=

=

��

� �

(

)

4

4

32

o

g

d

d

W

d

p

-

=

Wskaźnik wytrzymałości na zginanie obliczyć wg wzoru:

Zmęczeniowy współczynnik

bezpieczeństwa

Wyznaczenie współczynnika kształtu

Rys. 2.26 str. 60

Wytrzymałość na rozciąganie

stali 45

Koncentracja naprężenia w analizie wytrzymałości

zmęczeniowej

Rzeczywisty i teoretyczny rozkład naprężenia w próbce z karbem poddanej rozciąganiu

Ze względu na różnice pomiędzy teoretycznym i rzeczywistym

rozkładem stanu naprężenia wprowadzono w analizie wytrzymałości

zmęczeniowej współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu

1

h <

Wytrzymałość zmęczeniowa materiału w

miejscu karbu

Naprężenie momentowe

Voigt W., Theoretishe Studien über die Elastizitätsverhältnisse der

Kristalle, Abh. Ges. Wiss. Göttning, 43, 1887.

Cosserat E. et F., Théorie des corps déformables, A. Hermann, Paris 1909

0

=lim

dA

d

dA

�

p

P

0

=lim

dA

d

dA

�

m

M

(

)

(

)

(

)

,

,

,

,

,

,

�s s s

�s s s

�s s s

( )

( )

( )

p

p

p

x

xx

xy

xz

y

yx

yy

yz

z

zx

zy

zz

(

)

(

)

(

)

,

,

,

,

,

,

z

�m m m

�m m m

�m m m

( )

( )

( )

m

m

m

x

xx

xy

xz

y

yx

yy

yz

zx

zy

zz

Oddziaływanie momentowe

Oddziaływanie momentowe na

poziomie elektronu

( )

N

P

k

k

kl

l k

U

�

=-

�

�

P

r

k

k

1

k

Z

k

z

z =

=

�

P

P

couple

couple

k

k

k

k

k

z

z

z

z

z

ρ

ω

M = ×P =

×j

Oddziaływanie momentowe na poziomie atomu

Cosserat

couple

couple

1

=

k

k

k

k

Z

k

k

k

z

z

z =

=

�

�

ρ

ω

M

×P

J

1,2,3,...

k

k

Z

z =

n

n

=1,2,3,...

n

couple

couple

1

=

0

k

k

k

Z

k

z

z =

=

�

M

M

0

k

=

J

Atom o budowie symetrycznej:

Atom o budowie niesymetrycznej:

2

2

k

Z =

n

n

2

2

k

Z �

n

n

0

k

�

J

Opis kwantowy

Kwantowe

oddziaływanie momentu

ˆ

S

M

S

M

k

k

k

k

M F =M F

(

)

(

) (

)

( )

( )

couple

couple

couple

ˆ

ˆ

,

+

,

z

z

z

S

S

S

S

k

k

y

x

z

k

k

z

k

k

k

k

S

S

�

�

=

�

=

w

- w

=

�

�

ω

r

r

M

S

M

i

j

M

W

1

0

ˆ

,

0 1

2

z

S

�

�

= �

�

-

�

�

h

1

1

,

0

2

0

1

1

2

M

z

S

M
z

M

z

S

�

�

�

��

F

=

=

�

��

�

��

F

=�

��

�F

=

=-

��

�

��

�

z

z

mech

,mech

(

)

(

)

(

)

(

)

1

,

2

2

1

,

2

2

z

z

z

z

z

z

S

S

S

k

k

k

S

S

S

k

k

k

+

-

�

=+

M

=+ W

�

�

�

�

=-

M

=- W

�

�

h

h

mech

mech

(

)

z

z

z

S

S

k

k

S

k

M =W h mech

( )

( )

( )

ˆ

z

z

S

S

M

M

k

z

z

k

z

k

k

k

S

W

F

=M F

( )

( )

(

)

( )

ˆ

z

M

M

z

z

S

z

k

k

k

k

S

F

=

F

h mech

(

)

couple

z

z

J

k

k

J

k

M

=W h mech

Opis kwantowy

Kwantowe parametry Cosseratów na poziomie atomu

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

couple

couple

couple

couple

couple

couple

M

U

cos

+1

z

z

z

z

k

k

J

k

k

z

J

k

k

J

k

k

k

k

k

J

k

=

J

J

J

= W

w

�

�

�

�

j

=

=

�

�

�

�

=

h

h

h

mech

mech

mech

mech

J J

Opis statystyczny

Zmienna losowa:

(

)

(

)

U

~exp

k

J

J

N

T

�

�

�

�

-

�

�

�

�

mech

mech

(

)

U

exp

k

J

J

J

N

T

=

=-

�

�

�

�

-

�

�

�

�

�

:

mech

mech

mech

J

J

(

)

(

)

(

)

(

)

U

exp

k

U

exp

k

J

J

J

J

J

J

J

T

N

N

T

=-

�

�

-

�

�

�

�

�

�

�

=

=

�

�

-

�

�

�

�

�

�

�

mech

mech

mech

mech

mech

mech

=J

,

1,...,0,...,

1,

J

=-

- +

-

mech

J

J

J

J

Rozkład kanoniczny:

(

)

couple

couple

arccos

arccos

+1

k

J

k

k

k

J

J

�

�

�

�

j

=

=

�

�

�

�

mech

J J

Suma statystyczna wszystkich stanów kwantowych układu atomów :

Ilość stanów kwantowych atomu o energii U(mech ):

J

Wartość średnia w rozkładzie kanonicznym:

(

) (

)

couple

couple

couple

couple

R

R

R

M

, U

, cos

,

J

J

k

k

J

J

J

k

k

k

k

k

J

=-

=

P

-

j

�

mech

mech

mech

mech

=J

mech

J

Opis statystyczny

Wartość oczekiwana parametrów Cosseratów w rozkładzie kanonicznym:

couple

couple

2

1

2

1

1

B

ctgh

ctgh

- funkcja analogiczna do funkcji Brillouina

2

2

k

2

2k

z

z

J

T

T

�

�

�

�

w

w

+

+

=

-

�

�

�

�

�

�

�

�

h

h

J

J

J

J

M

B

k

J

= W

h J

(

)

couple

cos

B

1

k

J

j

=

+

J

J J

couple

B

k

J

J

=hJ

couple

couple

U

B

z

k

J

J

= w

h

J

Opis statystyczny

Statystyczne parametry Cosseratów na poziomie continuum

couple

1

B

k

J

k=

d

=

=

�

MΩ

h

M

N

N

J

(

)

couple

φ

arccos

B

1

J

=

+

J

J J

couple

couple

=1

B

N

k

J

k

J

J

N

=

=

�

hJ

couple

couple

couple

=1

U

B

N

k

z

J

k

U

N

=

=

w

�

h

J

Polaryzacja atomów

w polu oddziaływań wynikających z mechanicznej

zmiany

odległości miedzy atomami

couple

couple

1

1

N B

df

N

k

J

k

dV

=

=

=

�

h

J

J

J

1

1

0

df

N

k

k

dV

=

=

=

�

J

J

WNIOSKI

Interpretacja fizyczna rotacji atomu

Rotację atomu utożsamia się z ruchem precesyjnym wektora momentu pędu atomu w polu wywołanym mechaniczną zmianą

odległości między atomami

(

)

couple

couple

mech

arccos

arccos

+1

k

J

k

k

J

J

j

=

=

J J

WNIOSKI

Interpretacja fizyczna obrotu

Cosseratów

na poziomie continuum

Sens fizyczny obrotu Cosseratów

wynika

z niesymetrycznej budowy atomów,

precesji

orbit elektronowych, własności

kwantowych

ośrodka, statystyki Boltzmana i

związany jest

z polaryzacją mechaniczną atomów

w polu

wywołanym mechaniczną zmianą

odległości

między atomami, w wyniku której

atomy zawarte

w elementarnej objętości dV obracają

się tak, że

ich wektory momentu pędu ustawiają

się prostopadle do kierunku

uśrednionego oddziaływania siłowego.

(

)

couple

couple

couple

z

2

1

2

1

1

arccos

ctgh

ctgh

2

2

k

2

2k

1

z

T

T

�

�

�

�

�

�

w

w

+

+

j

=

-

�

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

�

h

h

J

J

J

J

J

J J

WNIOSKI

Interpretacja fizyczna naprężenia

momentowego

Sens fizyczny naprężenia momentowego wynika z budowy

atomów w których środek masy nie pokrywa się ze

środkiem wynikającym z działania sił kulombowskich co

powoduje powstanie ramienia oddziaływania dla sił

międzyatomowych i powstanie oddziaływania momentów.

Oddziaływania momentów zsumowane statystycznie po

wszystkich atomach wypełniających elementarną powierzchnię

dA i odniesione do tej powierzchni stanowią interpretację

fizyczną naprężenia momentowego:

couple

couple

1

1

B

k

J

k

dA

=

=

=

�

m

MΩ

h

N

J

N

Oddziaływanie momentowe na

poziomie elektronu