Podstawy

ekonometrii

Prof. dr hab. Izabella Kudrycka



Definicja prof. Oskara Lange („Wstęp do ekonometrii”
Warszawa 1965)



„Ekonometria to nauka zajmująca się ustalaniem za
pomocą metod statystycznych konkretnych
ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu
gospodarczym”.



Definicja prof. Zbigniewa Pawłowskiego („Ekonometria” PWN
Warszawa 1966)



„Ekonometria jest nauką o metodach badania
ilościowych prawidłowości występujących w
zjawiskach ekonomicznych, za pomocą odpowiednio
wyspecjalizowanego aparatu matematyczno-
statystycznego”.

Definicje



Termin „ekonometria” wystąpił w pracy Pawła Ciompy
„Przegląd ekonometrii i rzeczywistej teorii buchalterii,”
Lwów 1910, ale nie dotyczył ekonometrii jako nauki.



Pierwszy model ekonometryczny to tzw. „Barometr
Harwardzki” zbudowany w 1919 roku – Pearson W.W.
„Indices of Business Conditions” , „Review Economics
and Statistics” (1919). Celem barometru
harwardzkiego było przewidywanie cyklów
koniunktury.



Ragnar Frisch w 1926 roku wprowadził termin
„Ekonometria”.



MODEL - reprezentuje te cechy, które wydają się
być ważne ze względu na określony cel lub cele.



Model ekonometryczny jest uproszczonym
odzwierciedleniem części, lub całości pewnego
wycinka (aspektu ) rzeczywistości ekonomicznej.



Cechy (składniki) modelu ekonomicznego:

-

obiekty (jednostki podstawowe),

-

zmienne,

-

relacje.

Model ekonometryczny

Podstawy ekonometrii

Zjawiska ekonomiczne to w większości
zjawiska mierzalne i wobec tego modele
ekonomiczne są odzwierciedlane za pomocą
reguł matematycznych, lub stwierdzeń
logicznych, np. jak poniżej:

Y = f ( K, L )



Gdzie: Y jest wielkością produkcji,



K jest nakładem kapitału,



L jest nakładem pracy,



f jest funkcją określającą relację pomiędzy
wielkością produkcji, a nakładami czynników
produkcji.



Zapis Y = f ( K, L, u ) oznacza, że nakłady
kapitału i pracy nie w pełni wyjaśniają
zmienność produkcji i stąd u jest
zmienną losową o pewnym rozkładzie.



Modele ekonomiczne dla których została
wyspecyfikowana postać analityczna funkcji (f
) i został określony składnik losowy są
modelami ekonometrycznymi.







Funkcja produkcji



Charakterystyczna cecha ekonometrii – brak możliwości
prowadzenia eksperymentów (tak jak np. w biologii),
stąd wiele komplikacji i problemów związanych ze
stosowaniem metod ekonometrycznych.



Analiza ekonometryczna jest statystyczną analizą
zjawisk ekonomicznych. Oznacza to, że kryteria
wnioskowania są zarówno natury statystycznej , jak i
ekonomicznej i może wystąpić konflikt między nimi.



Dane statystyczne wykorzystywane w ekonometrii nie są
gromadzone w warunkach eksperymentu prowadzonego
dla celów badania. Stąd problem mierzalności
zmiennych ekonomicznych i błędów pomiaru.

Analiza ekonometryczna



1.Określenie celu analizy – co chcemy badać
i w jaki sposób wykorzystać wyniki.



2.Specyfikacja modelu:

◦

Model jednorównaniowy,

◦

Model wielorównaniowy,

◦

Postać zależności np. liniowa czy tez inna
(potęgowa ,logarytmiczna..)

◦

Charakter modelu



np.: prosty, rekurencyjny, czy o równaniach
współzależnych?



statyczny, lub dynamiczny?



kompletny?

Etapy analizy
ekonometrycznej



3.Mierzalność zmiennych:

◦

czy odpowiadają ich ekonomicznym definicjom,

◦

czy są obciążone błędami pomiaru,

◦

czy można je zmierzyć w inny sposób.



4.Identyfikacja:

◦

Czy relacje między równaniami modelu są zgodne
z teorią ekonomii,

◦

Czy numeryczna ocena parametrów modelu
odpowiada relacjom ekonomicznym i nie jest
zbiorem liczb bez ekonomicznej interpretacji.

Etapy analizy
ekonometrycznej



Weryfikacja teorii ekonomicznych, a więc
sprawdzanie hipotez poprawności modeli
odzwierciedlających rywalizujące teorie
ekonomiczne.



Określenie relacji ilościowych pomiędzy
wielkościami ekonomicznymi



Identyfikacja mechanizmów rozwoju gospodarczego



Ocena efektywności oddziaływania określonych
bodźców na zmiany w poszczególnych dziedzinach
gospodarki



Prognozowanie zjawisk ekonomicznych.

Cele analiz
ekonometrycznych.



Model ekonometryczny – hipoteza, lub zbiór
hipotez dotyczących związków przyczynowych
pomiędzy zbiorem wielkości ekonomicznych
traktowanych jako zmienne.



Zmienne objaśniane przez model to zmienne
endogeniczne.



Zmienne objaśniające występujące w modelu
to zmienne egzogeniczne, przyczynowe.



Zależność przyczynowo-skutkowa jest
rozpatrywana w czasie – przyczyna występuje
pierwsza niż skutek.

Model ekonometryczny



Zmienne endogeniczne opóźnione w czasie
mogą pełnić rolę zmiennych objaśniających.



Zmienne z góry ustalone obejmują zbiór
zmiennych egzogenicznych (nie wyjaśnianych
przez model) i wszystkich zmiennych
endogenicznych opóźnionych.



Nadając modelowi określoną postać tworzymy jego
postać strukturalną, odzwierciedlającą
wzajemne relacje między zmiennymi
endogenicznymi oraz zależności między
zmiennymi endogenicznymi i zmiennymi
objaśniającymi

Model ekonometryczny



Jeżeli model zostanie przekształcony tak, że
wyeliminuje się wpływ wzajemnych,
jednoczesnych powiązań między zmiennymi
endogenicznymi, to uzyskana postać jest
formą zredukowana modelu.



W formie zredukowanej modelu zmienne
endogeniczne wyrażone są jako funkcje
zmiennych z góry ustalonych, a więc
opóźnionych zmiennych endogenicznych i
zmiennych egzogenicznych.

Model ekonometryczny



DC

t

= D( PC

t

, Y

t

,U

t

) (1)

◦

DC

t

- popyt na kawę,

◦

Y

t

- dochód światowy,

◦

PC

t

- cena kawy w Nowym Jorku,

◦

U

t

- składnik losowy pierwszego równania.



SC

t

= QC

t

+ STC

t-1

(2)

◦

SC

t

podaż kawy, QC

t

produkcja kawy,



STC

t-1

zapasy z roku poprzedniego.

Przykład modelu
wielorównaniowego.



QC

t

= Q ( PC

t

, U

t

) (3)

◦

U

t

składnik losowy trzeciego równania



PC

t

= P( SC

t

, DC

t

, U

t

) (4)

◦

U

t

składnik losowy czwartego równania



STC

t

= STC

t-1

+ ( QC

t

- DC

t

) (5)

◦

STC

t

poziom zapasów.

 

Przykład modelu
wielorównaniowego



Dwie zmienne losowe skokowe X i Y są niezależne wtedy i
tylko wtedy, kiedy funkcja dwuwymiarowego rozkładu tych
zmiennych jest równa iloczynowi funkcji rozkładów
brzegowych.



p (x, y) = p (x) p (y)



Dwie zmienne losowe ciągłe X i Y są niezależne wtedy i
tylko wtedy, kiedy funkcja gęstości prawdopodobieństwa
dwuwymiarowego rozkładu tych zmiennych jest równa
iloczynowi funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla
rozkładów brzegowych tych zmiennych.



f ( x, y) = f (x) f (y)



Zmienne które nie są niezależne są zmiennymi losowo
zależnymi.



Kowariancja - moment centralny rzędu 1 + 1



C ( X Y ) = E { [ X -E(X)] [ Y – E(Y) ] }



jest równa zeru, jeśli zmienne losowe są niezależne.



Regresja I-go i II-go rodzaju.



Współczynnik korelacji – miara
zależności zmiennych





Jeżeli zmienne losowe X,Y są
niezależne to współczynnik
korelacji jest równy zeru. Odwrotne
twierdzenie nie jest prawdziwe a
więc, kiedy współczynnik korelacji
jest równy zeru można mówić
wyłącznie o nieskorelowaniu
zmiennych.

Współczynnik korelacji



Regresją I-go rodzaju nazywamy wartość
oczekiwaną µ warunkowego rozkładu (Y / X)
zmiennej losowej Y, traktowanej jako funkcja
zmiennej X.





Funkcją regresji II rodzaju zmiennej Y względem
zmiennej X nazywamy funkcję o postaci



Y = α

0

+ α

1

X , której parametry dobrano tak,

aby:



E [ Y – (α

0

+ α

1

X) ]

2

→ minimum





Jednorównaniowy model ekonometryczny.



Y

t =

α

0

+ α

1

X

1t

+α

2

X

2t

+ …..+ α

k

X

kt

+ϵ

t



Y

t

- zmienna objaśniana, endogeniczna,



X

it

- zmienne objaśniające,



ϵ - składnik losowy.

Regresja drugiego rodzaju





Y

t

= α

0

+



Macierz obserwacji dla zmiennych
objaśniających:













Wektor obserwacji dla zmiennej
objaśnianej



y =

Wektor ocen parametrów [a] i

wektor reszt [e]



-1

wektor ocen parametrów,

wektor reszt.



Wariancja ocen parametrów:





Ocena wariancji parametrów:



D

2

(a) 0, kiedy n ∞



Statystyka t-Studenta: =



Statystyka Durbina-Watsona



D-W =

Wariancja ocen
parametrów

-



jest składnikiem resztowym,



jest składnikiem losowym (po

wyeliminowaniu autokorelacji reszt).





Zmienne objaśniające X

j

są nielosowe i

nieskorelowane ze składnikiem losowym



Rząd macierzy X równa się k+1
i jest ≤ n, gdzie n jest liczbą obserwacji,
k +1 jest liczbą szacowanych
parametrów.



Rozkład składnika losowego jest
rozkładem normalnym o wartości
oczekiwanej równej zeru i skończonej
wariancji



Wariancja składnika losowego
= E .

Założenia metody najmniejszych
kwadratów MNK



Równanie regresji liniowej dla
jednej zmiennej objaśniającej

Regresja liniowa.

2



Po podzieleniu przez 2 otrzymujemy
układ równań normalnych dla 1
zmiennej objaśniającej i dwóch
szacowanych parametrów oraz

+



Estymatory MNK są nieobciążone co oznacza,
że



E , ponieważ



E(a) =α + E[(X

T

X)

-1

X

T

ϵ] i E( = 0.



Estymatory MNK są zgodne co oznacza, że
wariancje estymatorów D

2

(a)



Jeżeli zmienne objaśniające X

ij

są nielosowe to

rozkład Y

i

jest określony przez rozkład Y

i

jest

określony przez rozkład składnika losowego ϵ

i

.



Jeżeli ϵ

i

mają rozkład normalny to i Y

i

ma

rozkład normalny.

Właściwości estymatorów MNK:



Mnożąc lewostronnie przez macierz
odwrotną do macierzy obserwacji
mamy



(X

T

X)

-1

(X

T

X) a = (X

T

X)

-1

X

T

y skąd



a = =(X

T

X)

-1

X

T

y ponieważ



(X

T

X)

-1

(X

T

X) jest macierzą

jednostkową.

Zapis modelu jednorównaniowego w
postaci macierzowej



1.Istotność ocen parametrów:



Statystyka t-Studenta:



ma rozkład t-Studenta z n-(k+1)
stopniami swobody.



Hipoteza zerowa H

0

: α

j

=0



Hipoteza alternatywna H

1

: α

j

≠ 0.

Weryfikacja modelu.



Wartość krytyczna testu t-Studenta
przy poziomie istotności i 10
stopniach swobody wynosi t

0

= 2,2281.

Jeżeli obliczona bezwzględna wartość
statystyki t-Studenta dla oceny
parametru α

j



hipotezę H

0

odrzucamy i oznacza to, że

ocena parametru istotnie różni się od
zera, a więc zmienna przy której stoi
oszacowany parametr pełni



rolę w objaśnianiu zmiennej
endogenicznej Y. W przeciwnym
przypadku należy zmienną objaśniającą
usunąć z modelu.