Podstawy
ekonometrii
Prof. dr hab. Izabella Kudrycka
Podstawy
ekonometrii
Prof. dr hab. Izabella Kudrycka
Definicja prof. Oskara Lange („Wstęp do ekonometrii”
Warszawa 1965)
„Ekonometria to nauka zajmująca się ustalaniem za
pomocą metod statystycznych konkretnych
ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu
gospodarczym”.
Definicja prof. Zbigniewa Pawłowskiego („Ekonometria” PWN
Warszawa 1966)
„Ekonometria jest nauką o metodach badania
ilościowych prawidłowości występujących w
zjawiskach ekonomicznych, za pomocą odpowiednio
wyspecjalizowanego aparatu matematyczno-
statystycznego”.
Definicje
Termin „ekonometria” wystąpił w pracy Pawła Ciompy
„Przegląd ekonometrii i rzeczywistej teorii buchalterii,”
Lwów 1910, ale nie dotyczył ekonometrii jako nauki.
Pierwszy model ekonometryczny to tzw. „Barometr
Harwardzki” zbudowany w 1919 roku – Pearson W.W.
„Indices of Business Conditions” , „Review Economics
and Statistics” (1919). Celem barometru
harwardzkiego było przewidywanie cyklów
koniunktury.
Ragnar Frisch w 1926 roku wprowadził termin
„Ekonometria”.
MODEL - reprezentuje te cechy, które wydają się
być ważne ze względu na określony cel lub cele.
Model ekonometryczny jest uproszczonym
odzwierciedleniem części, lub całości pewnego
wycinka (aspektu ) rzeczywistości ekonomicznej.
Cechy (składniki) modelu ekonomicznego:
-
obiekty (jednostki podstawowe),
-
zmienne,
-
relacje.
Model ekonometryczny
Podstawy ekonometrii
Zjawiska ekonomiczne to w większości
zjawiska mierzalne i wobec tego modele
ekonomiczne są odzwierciedlane za pomocą
reguł matematycznych, lub stwierdzeń
logicznych, np. jak poniżej:
Y = f ( K, L )
Gdzie: Y jest wielkością produkcji,
K jest nakładem kapitału,
L jest nakładem pracy,
f jest funkcją określającą relację pomiędzy
wielkością produkcji, a nakładami czynników
produkcji.
Zapis Y = f ( K, L, u ) oznacza, że nakłady
kapitału i pracy nie w pełni wyjaśniają
zmienność produkcji i stąd u jest
zmienną losową o pewnym rozkładzie.
Modele ekonomiczne dla których została
wyspecyfikowana postać analityczna funkcji (f
) i został określony składnik losowy są
modelami ekonometrycznymi.
Funkcja produkcji
Charakterystyczna cecha ekonometrii – brak możliwości
prowadzenia eksperymentów (tak jak np. w biologii),
stąd wiele komplikacji i problemów związanych ze
stosowaniem metod ekonometrycznych.
Analiza ekonometryczna jest statystyczną analizą
zjawisk ekonomicznych. Oznacza to, że kryteria
wnioskowania są zarówno natury statystycznej , jak i
ekonomicznej i może wystąpić konflikt między nimi.
Dane statystyczne wykorzystywane w ekonometrii nie są
gromadzone w warunkach eksperymentu prowadzonego
dla celów badania. Stąd problem mierzalności
zmiennych ekonomicznych i błędów pomiaru.
Analiza ekonometryczna
1.Określenie celu analizy – co chcemy badać
i w jaki sposób wykorzystać wyniki.
2.Specyfikacja modelu:
◦
Model jednorównaniowy,
◦
Model wielorównaniowy,
◦
Postać zależności np. liniowa czy tez inna
(potęgowa ,logarytmiczna..)
◦
Charakter modelu
np.: prosty, rekurencyjny, czy o równaniach
współzależnych?
statyczny, lub dynamiczny?
kompletny?
Etapy analizy
ekonometrycznej
3.Mierzalność zmiennych:
◦
czy odpowiadają ich ekonomicznym definicjom,
◦
czy są obciążone błędami pomiaru,
◦
czy można je zmierzyć w inny sposób.
4.Identyfikacja:
◦
Czy relacje między równaniami modelu są zgodne
z teorią ekonomii,
◦
Czy numeryczna ocena parametrów modelu
odpowiada relacjom ekonomicznym i nie jest
zbiorem liczb bez ekonomicznej interpretacji.
Etapy analizy
ekonometrycznej
Weryfikacja teorii ekonomicznych, a więc
sprawdzanie hipotez poprawności modeli
odzwierciedlających rywalizujące teorie
ekonomiczne.
Określenie relacji ilościowych pomiędzy
wielkościami ekonomicznymi
Identyfikacja mechanizmów rozwoju gospodarczego
Ocena efektywności oddziaływania określonych
bodźców na zmiany w poszczególnych dziedzinach
gospodarki
Prognozowanie zjawisk ekonomicznych.
Cele analiz
ekonometrycznych.
Model ekonometryczny – hipoteza, lub zbiór
hipotez dotyczących związków przyczynowych
pomiędzy zbiorem wielkości ekonomicznych
traktowanych jako zmienne.
Zmienne objaśniane przez model to zmienne
endogeniczne.
Zmienne objaśniające występujące w modelu
to zmienne egzogeniczne, przyczynowe.
Zależność przyczynowo-skutkowa jest
rozpatrywana w czasie – przyczyna występuje
pierwsza niż skutek.
Model ekonometryczny
Zmienne endogeniczne opóźnione w czasie
mogą pełnić rolę zmiennych objaśniających.
Zmienne z góry ustalone obejmują zbiór
zmiennych egzogenicznych (nie wyjaśnianych
przez model) i wszystkich zmiennych
endogenicznych opóźnionych.
Nadając modelowi określoną postać tworzymy jego
postać strukturalną, odzwierciedlającą
wzajemne relacje między zmiennymi
endogenicznymi oraz zależności między
zmiennymi endogenicznymi i zmiennymi
objaśniającymi
Model ekonometryczny
Jeżeli model zostanie przekształcony tak, że
wyeliminuje się wpływ wzajemnych,
jednoczesnych powiązań między zmiennymi
endogenicznymi, to uzyskana postać jest
formą zredukowana modelu.
W formie zredukowanej modelu zmienne
endogeniczne wyrażone są jako funkcje
zmiennych z góry ustalonych, a więc
opóźnionych zmiennych endogenicznych i
zmiennych egzogenicznych.
Model ekonometryczny
DC
t
= D( PC
t
, Y
t
,U
t
) (1)
◦
DC
t
- popyt na kawę,
◦
Y
t
- dochód światowy,
◦
PC
t
- cena kawy w Nowym Jorku,
◦
U
t
- składnik losowy pierwszego równania.
SC
t
= QC
t
+ STC
t-1
(2)
◦
SC
t
podaż kawy, QC
t
produkcja kawy,
STC
t-1
zapasy z roku poprzedniego.
Przykład modelu
wielorównaniowego.
QC
t
= Q ( PC
t
, U
t
) (3)
◦
U
t
składnik losowy trzeciego równania
PC
t
= P( SC
t
, DC
t
, U
t
) (4)
◦
U
t
składnik losowy czwartego równania
STC
t
= STC
t-1
+ ( QC
t
- DC
t
) (5)
◦
STC
t
poziom zapasów.
Przykład modelu
wielorównaniowego
Dwie zmienne losowe skokowe X i Y są niezależne wtedy i
tylko wtedy, kiedy funkcja dwuwymiarowego rozkładu tych
zmiennych jest równa iloczynowi funkcji rozkładów
brzegowych.
p (x, y) = p (x) p (y)
Dwie zmienne losowe ciągłe X i Y są niezależne wtedy i
tylko wtedy, kiedy funkcja gęstości prawdopodobieństwa
dwuwymiarowego rozkładu tych zmiennych jest równa
iloczynowi funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla
rozkładów brzegowych tych zmiennych.
f ( x, y) = f (x) f (y)
Zmienne które nie są niezależne są zmiennymi losowo
zależnymi.
Kowariancja - moment centralny rzędu 1 + 1
C ( X Y ) = E { [ X -E(X)] [ Y – E(Y) ] }
jest równa zeru, jeśli zmienne losowe są niezależne.
Regresja I-go i II-go rodzaju.
Współczynnik korelacji – miara
zależności zmiennych
Jeżeli zmienne losowe X,Y są
niezależne to współczynnik
korelacji jest równy zeru. Odwrotne
twierdzenie nie jest prawdziwe a
więc, kiedy współczynnik korelacji
jest równy zeru można mówić
wyłącznie o nieskorelowaniu
zmiennych.
Współczynnik korelacji
Regresją I-go rodzaju nazywamy wartość
oczekiwaną µ warunkowego rozkładu (Y / X)
zmiennej losowej Y, traktowanej jako funkcja
zmiennej X.
Funkcją regresji II rodzaju zmiennej Y względem
zmiennej X nazywamy funkcję o postaci
Y = α
0
+ α
1
X , której parametry dobrano tak,
aby:
E [ Y – (α
0
+ α
1
X) ]
2
→ minimum
Jednorównaniowy model ekonometryczny.
Y
t =
α
0
+ α
1
X
1t
+α
2
X
2t
+ …..+ α
k
X
kt
+ϵ
t
Y
t
- zmienna objaśniana, endogeniczna,
X
it
- zmienne objaśniające,
ϵ - składnik losowy.
Regresja drugiego rodzaju
Y
t
= α
0
+
Macierz obserwacji dla zmiennych
objaśniających:
Wektor obserwacji dla zmiennej
objaśnianej
y =
Wektor ocen parametrów [a] i
wektor reszt [e]
-1
wektor ocen parametrów,
wektor reszt.
Wariancja ocen parametrów:
Ocena wariancji parametrów:
D
2
(a) 0, kiedy n ∞
Statystyka t-Studenta: =
Statystyka Durbina-Watsona
D-W =
Wariancja ocen
parametrów
-
jest składnikiem resztowym,
jest składnikiem losowym (po
wyeliminowaniu autokorelacji reszt).
Zmienne objaśniające X
j
są nielosowe i
nieskorelowane ze składnikiem losowym
Rząd macierzy X równa się k+1
i jest ≤ n, gdzie n jest liczbą obserwacji,
k +1 jest liczbą szacowanych
parametrów.
Rozkład składnika losowego jest
rozkładem normalnym o wartości
oczekiwanej równej zeru i skończonej
wariancji
Wariancja składnika losowego
= E .
Założenia metody najmniejszych
kwadratów MNK
Równanie regresji liniowej dla
jednej zmiennej objaśniającej
Regresja liniowa.
2
Po podzieleniu przez 2 otrzymujemy
układ równań normalnych dla 1
zmiennej objaśniającej i dwóch
szacowanych parametrów oraz
+
Estymatory MNK są nieobciążone co oznacza,
że
E , ponieważ
E(a) =α + E[(X
T
X)
-1
X
T
ϵ] i E( = 0.
Estymatory MNK są zgodne co oznacza, że
wariancje estymatorów D
2
(a)
Jeżeli zmienne objaśniające X
ij
są nielosowe to
rozkład Y
i
jest określony przez rozkład Y
i
jest
określony przez rozkład składnika losowego ϵ
i
.
Jeżeli ϵ
i
mają rozkład normalny to i Y
i
ma
rozkład normalny.
Właściwości estymatorów MNK:
Mnożąc lewostronnie przez macierz
odwrotną do macierzy obserwacji
mamy
(X
T
X)
-1
(X
T
X) a = (X
T
X)
-1
X
T
y skąd
a = =(X
T
X)
-1
X
T
y ponieważ
(X
T
X)
-1
(X
T
X) jest macierzą
jednostkową.
Zapis modelu jednorównaniowego w
postaci macierzowej
1.Istotność ocen parametrów:
Statystyka t-Studenta:
ma rozkład t-Studenta z n-(k+1)
stopniami swobody.
Hipoteza zerowa H
0
: α
j
=0
Hipoteza alternatywna H
1
: α
j
≠ 0.
Weryfikacja modelu.
Wartość krytyczna testu t-Studenta
przy poziomie istotności i 10
stopniach swobody wynosi t
0
= 2,2281.
Jeżeli obliczona bezwzględna wartość
statystyki t-Studenta dla oceny
parametru α
j
hipotezę H
0
odrzucamy i oznacza to, że
ocena parametru istotnie różni się od
zera, a więc zmienna przy której stoi
oszacowany parametr pełni
rolę w objaśnianiu zmiennej
endogenicznej Y. W przeciwnym
przypadku należy zmienną objaśniającą
usunąć z modelu.