SYSTEMY BINARNE

Przykłady liczenia w systemach binarnych

16

10

8

2

Co to są systemy liczbowe

Systemy liczbowe są sposobami nazywania oraz zapisywania liczb. Rozróżniamy systemy
pozycyjne oraz systemy niepozycyjne (addytywne). Systemy liczbowe pozycyjne
przedstawiają każdą liczbę jako kombinację ciągu cyfr. Wielkość liczby zależy od pozycji
poszczególnych cyfr wchodzących w jej skład. W ramach systemów pozycyjnych
wyróżniamy następujące popularne systemy liczbowe: dwójkowy, ósemkowy, dziesiętny
oraz szesnastkowy. Do systemów liczbowych addytywnych wchodzą systemy
alfabetyczny, rzymski i hieroglificzny, w których wartość przyporządkowana danej liczbie
zależy od sumy wartości znaków cyfrowych wchodzących w jej skład.
Systemem liczbowym stosowanym przez całą ludzkość na codzień jest system dziesiętny,
czyli system pozycyjny, którego podstawa równa się 10. W technologiach cyfrowych
korzysta się praktycznie wyłącznie z systemów dwójkowych, o podstawie 2, oraz
heksadecymalnych o podstawie 16. W systemie heksadecymalnym cyfry oznaczające
liczby od 10 do 15 zapisywane są w postaci kolejnych liter alfabetu począwszy od A, na F
skończywszy. Informacja o tym, w jakim systemie została zapisana dana liczba
umieszczana jest zazwyczaj w nawiasie umieszczonym w dolnym indeksie danej liczby.
Dawniej stosowano systemy liczbowe niepozycyjne.

Rodzaje systemów liczbowych

•jedynkowy system liczbowy

•dwójkowy system liczbowy

•siódemkowy system liczbowy

•ósemkowy system liczbowy

•dziesiętny system liczbowy

•dwunastkowy system liczbowy

•szesnastkowy system liczbowy

•sześć dziesiątkowy system liczbowy

System szesnastkowy

System szesnastkowy-

jest

systemem liczbowym w

którym za podstawę przyjmuje się kolejne potęgi szesnastu. Do
zapisu wszystkich liczb tego systemu wymaganych jest szesnaście
cyfr. Oprócz cyfr pochodzących z systemu dziesiętnego zawartego w
przedziale od 0 do 9, używanych jest sześć pierwszych liter alfabetu
łacińskiego: A, B, C, D, E oraz F.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
A-10
B-11
C-12
D-13
E-14
F-15

Przykład

0

0000

1

0001

2

0010

3

0011

4

0100

5

0101

6

0110

7

0111

8

1000

9

1001

A

1010

B

1011

C

1100

D

1101

E

1110

F

1111

Przykłady liczenia
Szesnastkowy na dwójkowy

A7B2

(16)

-1010011110110010

(2)

8FB4

(16)

-1000111110110100

(2)

System ósemkowy

W systemie ósemkowym występuje osiem cyfr:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się
tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi
liczby będącej podstawą systemu, np. liczba zapisana w
dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w ósemkowym
przybiera postać 144, gdyż:
1×8

2

+ 4×8

1

+ 4×8

0

= 64 + 32 + 4 = 100.

Przykłady

Przykłady liczenia
Ósemkowy na dwójkowy

377 274 20 4

(8)

-011111111 010111100 010000 100

(2)

1101

(8)

-001 001 000 001

8421

to liczby które warto zapamiętać. Po

podstawieniu ich do szablonu systemu dwójkowego
łatwo obliczymy wynik.

System dwójkowy

System dwójkowy(binarny)-

Do zapisu liczb w systemie dwójkowym

używamy zaledwie dwóch liczb: 0, 1

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.

Dwójkowy na dziesiętny

1-1
2-10
3-11
4-100
5-101
6-110
7-111
8-1000
9-1001
10-1010

Np.

1100101 = 1*2

0

+ 0*2

1

+ 1*2

2

+ 0*2

3

+ 0*2

4

+ 1*2

5

+ 1*2

6

= 1+ 0+ 4+ 0+ 0+ 32+ 64 = 101

System dziesiętny

System dziesiętny-

Jest

to podstawowy

system prezentacji liczb

prawie we wszystkich krajach na świecie.
  Do zapisu licz w tym systemie wykorzystuje się 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9.  Podstawą pozycji zaś są kolejne potęgi liczby 10. Jak w każdym
systemie pozycyjnym o wartości cyfry stanowi pozycja na której ona stoi,
więc cyfrę stojącą na pierwszej pozycji  mnożymy razy 10

0

. Cyfrę na 2

pozycji mnożymy razy 10

1.

Itd. Można pokazać to na przykładzie 10 na 2.

Aby to zrobić wystarczy dzielić liczbę w systemie dziesiętnym przez 2 tak
długo aż zostanie nam liczba jeden (jedynkę tez dzielimy)  i przy każdym
dzieleniu zapisywać resztę z tego dzielenia
 ( 1 albo 0 ). Potem zapisujemy reszty w odwrotnej kolejności jako ciąg cyfr.
 

Przykłady

1644

(10)

dzielimy na 2 aż zostanie 1

822 411 205 102 51 25 12 6 3 1 zapisujemy resztę

0 0 1 0 0 1 1 0 0 1

Zapisujemy to w kolejności odwrotnej:

1001100100

Tak więc 1644

(10)

w sys. dziesiętnym jest równe 1001100100

(2)

w

systemie dwójkowym.

Koniec