Oscylator harmoniczny
x
0
Energia potencjalna
F = -Kx
1
V (x) = Kx2
mx = -Kx
2
V(x)
x +É2x = 0
K
É2 a"
m
Klasycznie
x(t) = Asin(Ét +´ )
x
r-nie Newtona
$
Õ = EÕ Hamiltonian
Kwantowo
Ć
p2 1
$
= + Kx2
r-nie Schrödingera
2m 2
Oscylator harmoniczny  operatory a i a+
â â+
Definiujemy Operatory i nie komutuj .
mÉ p p
îÅ‚x + i Ć , x - i Ć Å‚Å‚
operator:
Ć
mÉ p Ć Ć
[â, â+]= =
ëÅ‚ öÅ‚
ïÅ‚ śł
Ć
â a" x + i 2 mÉ mÉ
ìÅ‚ ÷Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 mÉ
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚
mÉ i i 1
ìÅ‚ Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć Ć ÷Å‚
= [x, x]- [x, p]+ [p, x]+ [p, p]öÅ‚ =
2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 mÉ mÉ
(mÉ)
íÅ‚ Å‚Å‚
Ć
mÉ p
ëÅ‚ öÅ‚
Ć
â+ = x - i
ìÅ‚ ÷Å‚
mÉ 2i i
I jego Ć Ć
= - [x, p]= - i = 1
2 mÉ
íÅ‚ Å‚Å‚
2 mÉ
[â,â+]= 1
Hermitowskie sprz enie
1
öÅ‚
Ć Ć
mÉ p mÉ p $
= ÉëÅ‚â+a +
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Ć Ć
â+a = x - i x + i =
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2
Hamiltonian
íÅ‚ Å‚Å‚
2 mÉ 2 mÉ
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
daje si przedstawi za pomoc
ëÅ‚ Ć öÅ‚
mÉ p2 i
ìÅ‚ Ć ĆĆ Ć Ć ÷Å‚
= x2 + + (xp - px)÷Å‚ =
ìÅ‚
tych operatorów w postaci
2 mÉ mÉ
íÅ‚ Å‚Å‚
bardzo wygodnej rachunkowo.
ëÅ‚ Ć öÅ‚
1 mÉ2 p2 iÉ 1 1
ëÅ‚
ìÅ‚ Ć ÷Å‚
= x2 + + i )÷Å‚ = $
- É)öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
É 2 2m 2 É 2
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Oscylator harmoniczny
 warto oczekiwana energii
W dowolnym unormowanym stanie warto oczekiwana energii
jest nie mniejsza
1
$
= (È , $
È)= É(È ,(a+a + )È )=
2
1
ni .
É
2
1
= É(È ,a+aÈ )+ É(È ,È )=
2
1 1 adna z energii własnych
= É(aÈ ,aÈ )+ É e" É
2 2
nie mo e by mniejsza od
1
É
.
2
V (x) çÅ‚x""
çÅ‚
çÅ‚
Ze wzgl du na charakter potencjału
spodziewamy si tylko stanów zwi zanych,
wi c  wył cznie dyskretnych energii własnych.
Oscylator harmoniczny  widmo energii
Załó my, e En jest rozwi zaniem równania Schrödingera
$
Õn = EnÕn
n
Czym s i ?
âÕn â+Õn
1 1
$
âÕn = É(â+â + )âÕn = É(â+ââ + â)Õn =
2 2
1 1
= É([ââ+ -1]â + â)Õn = â É(â+â + )Õn - ÉâÕn =
2 2
= â$
Õn - ÉâÕn = âEnÕn - ÉâÕn = (En - É)âÕn
1 1
$
â+Õn = É(â+â + )â+Õn = É(â+ââ+ + â+)Õn =
2 2
1 1
= É(â+[â+â +1] + â+)Õn = â+ É(â+â + )Õn + Éâ+Õn =
2 2
= â+$
Õn + Éâ+Õn = â+EnÕn + Éâ+Õn = (En + É)â+Õn
â
Operatory i generuj z danego rozwi zania inne, o energii odpowiednio obni onej
â+
É
lub podwy szonej o .
$
âÕn = (En - É)âÕn $
â+Õn = (En + É)â+Õn
Oscylator harmoniczny  widmo energii
E
En + 3 É
â+
En + 2 É
â+
En + É
Õn â+ En
â
En - É
â
En - 2 É
â
En - 3 É
najni szy poziom; stan podstawowy
Eo, Õo
â
â
1
É
2
0
âÕo = 0
Oscylator harmoniczny  widmo energii
E
E
Jaka jest energia Eo
En + 3 É
w stanie podstawowym ?
o
â+
En + 2 É
Eo = Eo(Õo,Õo) =(Õo,EoÕo) =
(Õo,EoÕo)=
â+
En + É En = (1 + n) É
2
=1
= (Õo, $
Õo) =
Õn â+ En
â 1
=
= É[(Õo,â+âÕo) + (Õo,Õo)]
2
En - É
= 0
â 1 =1
= É
2
En - 2 É
â 1
Eo = É
2
En -3 É
E3 = (1 + 3) É
2
â+
E2 = (1 + 2) É
2
â+
stan podstawowy
Eo, Õo E1 = (1 +1) É
2
â
â
â+
1
1
É
Eo = É
2
2
Wył cznie dyskretne energie
0
0
1
âÕo = 0
En = (n + ) É, n = 0,1,2,
2
Oscylator harmoniczny 
 funkcja stanu podstawowego
Stan podstawowy odpowiada najni szej mo liwej energii. Dlatego âÕo = 0 .
Wykorzystamy ten warunek do znalezienia funkcji .
o
âÕo = 0
Ć
mÉ p
ëÅ‚ öÅ‚Õ = 0
Ć
x + i
ìÅ‚ ÷Å‚
o
2 mÉ Czynnik Ao znajdujemy z warunku unormowania:
íÅ‚ Å‚Å‚
d
" mÉ
- i
ëÅ‚ öÅ‚Õ = 0
- x2
dx
Ć
x + i
ìÅ‚ ÷Å‚
o 1 = (Õo,Õo) =| Ao |2
+"e dx =
mÉ
íÅ‚ Å‚Å‚
-"
"
d
Ä„
=| Ao |2 mÉ - y2dy =| Ao |2 mÉ
Õo = -xÕo
+"e mÉ
4
| Ao |=
Ä„
-"
mÉ dx
dÕo mÉ
= - xdx
Õo
Ostatecznie funkcja:
mÉ
- x2
mÉ
mÉ 2
4
lnÕo = - x2 + c Õo(x) = e
Ä„
2
jest funkcj własn hamiltonianu
mÉ
- x2
2
1
Õo(x) = Aoe
Eo = É
do energii własnej .
2
Oscylator harmoniczny 
 funkcje stanów wzbudzonych
Funkcje stanów wzbudzonych mo na otrzyma ze stanu podstawowego ,
o
â+ Õn ~ (â+)nÕo
poprzez wielokrotne działanie operatora : .
Dla dowolnej ró niczkowalnej funkcji f(x)
n mÉ mÉ
zachodzi:
n
x2 d
2 2
(â+)n f (x) =(- ) e (e- x2 f (x))
2mÉ
dxn
To samo t mo na udowodni indukcyjnie.
mÉ
- x2
2
f (x) = Õo(x) = Aoe
mÉ mÉ
n
x2 d
2
Õn(x) = An e (e- x2)
Funkcja falowa dla stanu n
dxn
1
En = (n + ) É
oscylatora harmonicznego o okre lonej energii .
2
Oscylator harmoniczny 
 normalizacja funkcji falowych
Unormujemy funkcj w postaci
Õn = Cn(â+)nÕo
Skorzystamy z własno ci:
2
[â,(â+ )n]= n(â+ )n-1
1 = (Õn,Õn)= Cn ((â+ )nÕo,(â+ )nÕo)=
2
= Cn (Õo, ân (â+ )nÕo)=
2
= Cn (Õo, ân-1â(â+ )nÕo)=
2
= Cn (Õo, ân-1[(â+ )n â + n(â+ )n-1]Õo)=
2
= Cn [(Õo, ân-1[(â+ )n âÕo)+ n(Õo,ân-1(â+ )n-1Õo)]=
2 2 2
= Cn n(Õo, ân-1(â+ )n-1Õo)= = Cn n!(Õo,Õo)= Cn n!
1
Cn = (â+ )n
Õn = Õo
n!
n!
Oscylator harmoniczny
Funkcje falowe G sto prawdopodobie stwa
V(x) V(x)
E
1
4 É
2
1
3 É
2
1
2 É
2
1
1 É
2
1
É
2
x x
-4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4
Oscylator harmoniczny  symetria
V(x)
G sto prawdopodobie stwa
jest niezmiennicza ze wzgl du
na inwersj współrz dnej,
bo taka jest symetria układu.
V (-x) = V (x)
2 2
Õ(-x) = Õ(x)
x
x
x -4 -2 0 2-2 4-4
-4 -2 0 2 4
0
4 2
G sto prawdopodobie stwa
Oscylator harmoniczny  symetria
V(x)
G sto prawdopodobie stwa
jest niezmiennicza ze wzgl du
Õ4(-x) = Õ4(x)
Õ3(-x) = -Õ3(x)
na inwersj współrz dnej,
bo taka jest symetria układu:
V (-x) = V (x)
2 2
Õ(-x) = Õ(x)
Õ2(-x) = Õ2(x)
Õ1(-x) = -Õ1(x)
Aby to zapewni funkcje mog by
parzyste lub nieparzyste.Takie te s :
Õo(-x) = Õo(x)
te o parzystych numerach s
parzyste Õ2k (-x) = Õ2k (x)
a te o nieparzystych numerach 
x-4 -2
0 x
x
x
x
4 2 -2 -4
-4 -2 0 2 4
-4 -2 0 2 4
-4 -2 0 2 4
0 2 4
 nieparzyste
Õ2k +1(-x) = -Õ2k +1(x)
Funkcje falowe