1. Skrypt realizujący algorytm eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego dla macierzy kwadratowej stopnia n.

function y=rozkladlu(A)

rozmiar=size(A);

n=rozmiar(2);

U=A;

L=zeros(rozmiar);

L(1,1)=1;

for k=1:n-1

for i=k+1:n

L(i,k)=U(i,k)/U(k,k);

L(i,i)=1;

U(i,k)=0;

for j=k+1:n

U(i,j)=U(i,j)-L(i,k)*U(k,j);

end

end

end

U

L

A oto wyniki dla szczególnej macierzy stopnia trzeciego.

macierz=

0.5377 0.8622 -0.4336

1.8339 0.3188 0.3426

-2.2588 -1.3077 3.5784

Rozkład tu tej macierzy:

U =

0.5377 0.8622 -0.4336

0 -2.6220 1.8215

0 0 3.3647

L =

1.0000 0 0

3.4108 1.0000 0

-4.2012 -0.8827 1.0000

Iloczyn macierzy L i U daje w wyniku macierz wyjściową co jest przesłanką poprawnego działania skryptu.

2. Skrypt realizujący algorytm eleminacji Gaussa z częściowym wyborem elementu głównego.

function y=rozkladlu(A)

rozmiar=size(A);

n=rozmiar(2);

U=A;

L=zeros(rozmiar);

L(1,1)=1;

%czêœæ odpowiedzialna za wybór elementu g³ównego

for k=1:n-1

jeden=abs(max(U(:,k)));

dwa=abs(min(U(:,k)));

element_glowny=max(jeden,dwa);

spr=1;

while(abs(U(spr,k)) ~= element_glowny)

spr=spr+1;

end

if(k ~= n-1)

DD=U(spr,:);

U(spr,:)=U(k,:);

U(k,:)=DD;

end

%koniec czêœci odpowiedzialnej za wybór el. glownego

for i=k+1:n

L(i,k)=U(i,k)/U(k,k);

L(i,i)=1;

U(i,k)=0;

for j=k+1:n

U(i,j)=U(i,j)-L(i,k)*U(k,j);

end

end

end

L*U

U

L

macierz testowa:

2.7694 -0.0631 1.4897 -1.2075

-1.3499 0.7147 1.4090 0.7172

3.0349 -0.2050 1.4172 1.6302

0.7254 -0.1241 0.6715 0.4889

LU =

3.0349 -0.2050 1.4172 1.6302

-1.3499 0.7147 1.4090 0.7172

2.7694 -0.0631 1.4897 -1.2075

0.7254 -0.1241 0.6715 0.4889

U =

3.0349 -0.2050 1.4172 1.6302

0 0.6236 2.0394 1.4423

0 0 -0.2090 -2.9819

0 0 0 -7.9814

L =

1.0000 0 0 0

-0.4448 1.0000 0 0

0.9125 0.1988 1.0000 0

0.2390 -0.1205 -2.7682 1.0000

Macierz L*U jest macierzą wejściową pomnożoną przez macierz permutacji P.

• Zbadanie zależności czasu potrzebnego na wykonanie zadań w programie Matlab.

Mnożenie macierzy A przez samą siebie

Mnożenie macierzy A przez inną macierz B

Mnożenie macierzy A przez wektor kolumnowy B

Obliczanie wyznacznika macierzy

Wyznaczenie śladu macierzy

Eliminacja Gaussa

Rozkład LU

Rozkład QR

Jeden z przykładowych skryptów do generacji wykresów.

for i=1:64

A=randn(i);

B=randn(i);

tic

%tu wklejamy początek operacji, których chcemy obliczyć czas wykonania

A*B;

czas(i)=toc;

j(i)=i;

end

plot(j,czas,'.'),xlabel('stopieñ macierzy'),ylabel('czas w sekundach')

Analiza wrażliwości numerycznej. Porównanie obliczeń na

macierzach źle i dobrze uwarunkowanych.

Za pomocą plików tstmat.m i s tstcnd.m generujemy macierz odpowiednio dobrze i źle uwarunkowaną.

Macierz dobrze uwarunkowana:

Ans = A = 40 77 -4 -113 -68 56 97 42 -31 33 -81 -106 -24 -66 -12 -156

b = 1032 124 985 390

x = -2 7 -2 -5

Wskaźnik uwarunkowania: 3.3504

Macierz źle uwarunkowana:

ans = A 11780 8971 58825 5245 -536 -409 -2681 -238 29184 22189 145567 13017 22161 16857 110572 9880

x = 1 0 1 3

b = -314555 14340 -778271 -591195

Wskaźnik uwarunkowania: 3.0714e+006

Macierz dobrze uwarunkowana; zaburzenie w macierzy b:

Macierz źle uwarunkowana; zaburzenie w macierzy b:

Macierz dobrze uwarunkowana; zaburzenie w macierzy A:

Macierz źle uwarunkowana; zaburzenie w macierzy A:

Przykładowy listing dla macierzy źle uwarunkowanej przy zaburzeniu w macierzy b

for i=1:100

A1 =[40 77 -4 -113; -68 56 97 42; -31 33 -81 -106; -24 -66 -12 -156];

b1 =[1032; 124; 985; 390];

A2 =[11780 8971 58825 5245; -536 -409 -2681 -238; 29184 22189 145567 13017; 22161 16857 110572 9880];

b2 =[1; 0; 1; 3];

eps(i)=0.0001*i;

bez_zaburzen=A2*b2;

b2(1)=b2(1)*(1+eps(i));

zaburz=A2*b2;

norma2(i)=norm(bez_zaburzen-zaburz);

end

plot(eps,norma2,'*'),xlabel('zaburzenie'),ylabel('norma macierzy')

title('Wykres');

;

Wnioski: