LABORATORIUM

METODY NUMERYCZNE

Miejsca zerowe

Prowadzący: dr inż. Tomasz Kozłowski

Autor: Przemysław Wojciechowski

Treść zadania:

Dana jest funkcja f(x) = (x−2)². Wyznacz postać wzoru p_k = g(p_k − 1) z metody siecznych. Startując z punktu p₀ = 2, 2 i p₁ = 2, 4 wyznacz ręcznie pierwsze trzy przybliżenia miejsca zerowego p₁, p₂, p₃ metodą siecznych. Następnie wyznacz miejsca zerowe funkcji
z dokładnością δ = 0, 001 (max1=30) używając odpowiedniego skryptu Matlaba dla tych punktów. Skomentuj wyniki i dokładność otrzymanych miejsc zerowych. Używając komendy plot zrób wykres funkcji f(x) na zadanym przedziale oraz zaznacz na nim ręcznie graficzną interpretacje metody siecznych. Wydruk wykresu (wraz z kodem) dołącz do sprawozdania.

Wstęp teoretyczny:

W metodzie tej pochodna funkcji f występująca w metodzie Newtona zastępuje sie ilorazem różnicowym postaci:

$$f^{'}\left( x_{n} \right) = \frac{f\left( x_{n} \right) - f\left( x_{n - 1} \right)}{x_{n} - x_{n - 1}}$$

Wynika z tego następujący wzór rekurencyjny:

$x_{n + 1} = x_{n} - f\left( x_{n} \right)\frac{x_{n} - x_{n - 1}}{f\left( x_{n} \right) - f\left( x_{n - 1} \right)}$ n ≥ 1

Jak widać z powyższego wzoru metoda ta potrzebuje dwóch punktów początkowych. Jest ona wolniejsza od metody Newtona, ale za to zawsze sie zbiega.

Przykład obliczeniowy:

Tab.1 Tabela z wartościami punktów

i	0	1
pi	2, 2	2, 4
f(pi)	0,04	0, 16

Obliczam drugie przybliżenie miejsca zerowego:

$$p_{2} = p_{1} - \frac{f\left( p_{1} \right)\left( p_{1} - p_{0} \right)}{f\left( p_{1} \right) - f\left( p_{0} \right)} = 2,1(3)$$

Obliczam trzecie przybliżenie miejsca zerowego:

$$p_{3} = p_{2} - \frac{f\left( p_{2} \right)\left( p_{2} - p_{1} \right)}{f\left( p_{2} \right) - f\left( p_{1} \right)} = 2,1$$

Kod źródłowy:

clc; clear all; close all; format short

%% Dane

x0=2.2; x1=2.4; delta=0.001; tol=0.0001; max1=30;

xi=linspace(1.5,2.5,1000);

f=inline('(xi-2).^2');

yi=f(xi);

%% Szukanie miejsc zerowych metodą siecznych

[P, it] = sieczne(f, x0, x1, delta, tol, max1);

disp(sprintf('Kolejne przybliżenia {pk}'))

P

disp(sprintf('Ilość iteracji'))

it

%% Rysownie wykresu

yp=f(P);

plot(xi,yi,'k',P,yp,'om')

legend('zadana funkcja','przybliżenia miejsca zerowego')

grid on

Skrypt obliczenia miejsca zerowego metodą siecznych:

function [P, it] = sieczne(f, x0, x1, delta, tol, max1)

r=1; it=0; zero=1;

P(1)=x0;P(2)=x1;

while zero>tol

it=it+1;

x2=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));

r=abs(x2-x1);

zero=abs(f(x2));

x0=x1;

x1=x2;

P(it+2)=x2;

if r<tol

break

elseif it==max1

disp('przekroczono maksymalna ilosc iteracji')

break

end

end

P=P';

Wyniki obliczeń:

Tab.2 Wyniki obliczeń

	p0	p1	p2	p3	p4	p5	p6	p7	p8
Kolejne przybliżenia miejsca zerowego obliczone ręcznie	2, 2	2, 4	2.1(3)	2.1	-	-	-	-	-
Kolejne przybliżenia miejsca zerowego obliczone numerycznie	2, 2	2, 4	2, 1(3)	2.1	2.0571	2.0364	2.0(2)	2.0138	2.0085

Wnioski:

Metoda siecznych jest bardzo prostą metodą obliczania miejsc zerowych, błędy zaokrąglania przy tak prostych obliczeniach nie wpływają w znaczący sposób na otrzymane wyniki. Możliwe że przy 20 iteracji ręcznej błąd ten mógłby wzrosnąć i obserwowalibyśmy rozbieżności miedzy obliczeniami numerycznymi a ręcznymi. Jednak przy 3 przybliżeniach nie jesteśmy w stanie tego stwierdzić. Dokładność otrzymanego ostatecznie wyniku wynika
z założonej dokładności w programie Matlab. Gdyby zwiększyć jeszcze dokładność obliczania miejsca zerowego moglibyśmy otrzymać jeszcze dokładniejszą wartość.