Sprawozdanie z ćwiczenia nr 56 i 57

Pomiar indukcji magnetycznej

za pomocą fluksometru.

Badanie zjawiska „halla”.

Krzysztof Wesoły

Marek Wałecki

Politechnika Wrocławska

kwiecień 1996.

Politechnika Wrocławska
Instytut Fizyki	Sprawozdanie z ćwiczenia nr 56 i 57
Wesoły Krzysztof	Temat: Pomiar indukcji magnetycznej fluksometrem.
Wałecki Marek	Badanie zjawiska Halla.
wydz. Elektroniki Rok I	Data: 1996-04-01 Ocena:..............

1.Wyznaczanie indukcji magnetycznej za pomocą fluksometru.

1.1.Wstęp teoretyczny :

Jedną z często stosowanych metod pomiaru pola magnetycznego jest metoda, w której w badanym polu umieszczamy cewkę pomiarową Cs , zwaną sondą bądź czujnikiem , połączoną z galwanometrem specjalnego typu G. W cewce pomiarowej pod wpływem wywołanej przez nas w jakiś sposób zmiany strumienia magnetycznego powstaje impuls prądu indukcyjnego powodujący wychylenie galwanometru.

Równanie różniczkowe ruchu ramki obracającej się w szczelnie magnesu w galwanometrze jest równaniem wahadła sprężystego z dodatkowym momentem siły, z jaką pole magnetyczne w szczelinie działa na uzwojenie ramki z prądem. Oprócz tłumienia mechanicznego dochodzi też tłumienie elektromagnetyczne, spowodowane powstaniem prądu indukcyjnego w cewce galwanometru w czasie jej ruchu w polu magnetycznym.

W omawianym ćwiczeniu jest stosowany fluksometr. Fluksometr jest galwanometrem bez momentu zwrotnego, tj. D = 0. Gdy nie płynie prąd przez uzwojenie cewki, zajmuje ona dowolne położenie wokół osi obrotu. Do sprowadzenia cewki w dowolne położenie zerowe służą specjalne urządzenia mechaniczne bądź elektryczne, obracając ruchomy system fluksometru.

Fluksometr pracuje przy małej rezystancji obwodu cewki Rg + R, a zatem przy dużym tłumieniu elektromagnetycznym r2 >> r1. Pod wpływem tego dużego tłumienia ruch cewki bywa w bardzo krótkim czasie zahamowany. Dzięki wspomnianym właściwością fluksometru równanie ruchu jego cewki ma następującą postać :

przy czym :

I - moment bezwładności ramki galwanometru; dϕ/dt, d²ϕ/dt - prędkość i przyspieszenie kątowe ramki

Φ₀=n₁BQ - stała galwanometru; n₁ - liczba zwojów cewki galwanometru;

Q - powierzchnia ramki galwanometru; R - rezystancja zew. obwodu galwanometru;

Rg -rezystancja wnętrza galwanometru; B - indukcja magnetyczna w szczelinie magnesu galwanometru;

Wychylenie fluksometru jest proporcjonalne do zmiany strumienia magnetycznego ,przenikającego przez uzwojenie cewki pomiarowej. Fluksometry są bezpośrednio wycechowane w jednostkach strumienia indukcji magnetycznej (w weberach [Wb] = [ V * s] ) .

1.2.Schemat układu pomiarowego:

gdzie:

ATr - autotransformator;

EM - elektromagnes;

F - fluksometr;

Z - zasilacz elektromagnesu;

C_s - cewka promieniowa /sonda/

1.3.Przebieg pomiarów:

W ćwiczeniu zmierzyliśmy indukcję magnetyczną pola między nabiegunnikami elektromagnesu dla różnych wartości natężenia prądu zasilającego elektromagnes. W tym celu między nabiegunnikami elektromagnesu ustawiliśmy cewkę pomiarową (sondę) powierzchnią uzwojenia prostopadle do linii sił i następnie włączaliśmy i wyłączaliśmy zasilanie elektromagnesu. Na fluksometrze odczytywaliśmy wartość strumienia przenikającego przez uzwojenie sondy dla wartości prądu magnesującego od 0.5A do 4.0A. Ściśle biorąc, odczytaliśmy wartość zmiany strumienia, ale zakładamy że strumień po wyłączeniu zasilania elektromagnesu jest równy zeru. Wartość indukcji magnetycznej B określiliśmy ze wzoru :

[T];

w którym :

n - liczba zwojów sondy; S - powierzchnia zwoju;

B - indukcja magnetyczna; Φ- strumień przenikający przez uzwojenie sondy;

1.4.Wyniki pomiarów :

I	I	I	Φ	ΔΦ	δΦ	B	B	B
[A]	[A]	[%]	[mWb]	[mWb]	[%]	[mT]	[mT]	[%]
0.500	0.004	0.8	1.2	0.3	25	63	17	27
1.000	0.008	0.8	2.4	0.3	12	127	18	14
1.500	0.008	0.5	3.5	0.3	8	186	19	10
2.000	0.020	1.0	4.7	0.3	6	250	21	8
2.500	0.020	0.8	5.8	0.3	5	308	22	7
3.000	0.020	0.7	6.7	0.3	4	356	23	6
3.500	0.040	1.1	7.5	0.3	4	398	24	6
4.000	0.040	1.0	8.1	0.3	3	430	25	6

Zależność indukcji magnetycznej B od natężenia prądu magnesującego I.

1.5.Przykładowe obliczenia:

;

;

[mWb];

;

;

;

;

1.6.Wnioski i dyskusja błędów :

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z jedną z metod pomiaru indukcji magnetycznej stałego pola magnetycznego. Ćwiczenie było doświadczalną ilustracją zjawiska indukcji elektromagnetycznej i wielu innych zjawisk fizycznych z pogranicza mechaniki i elektrodynamiki.

Pomiary indukcji magnetycznej metodą fluksometru opierają się na bezpośrednich odczytach wskazań mierników, to też błędy popełnione podczas pomiarów wynikają z klasy przyrządów pomiarowych. W przeprowadzonym doświadczeniu użyliśmy do ustalania natężenia prądu magnesującego amperomierza o klasie 0.5, który wprowadzał bardzo nieznaczne błędy do pomiarów /rzędu 4mA/, oraz fluksometru o klasie 2.5. Właśnie ta duża klasa miernika miała wpływ na niedokładność pomiarów. Błędy wynikające z klasy, sięgające nawet 25% wartości mierzonej, niezbyt dobrze świadczą o tej metodzie pomiarów. Pewien wpływ na wynik pomiarów miała na pewno też niedokładność wykonania elektromagnesu. Błąd spowodowany tą niedokładnością miał jednak w porównaniu z klasą miernika prawie nieznaczący wpływ, gdyż był od niego o jeden rząd mniejszy.

Znacznym niedogodnością pomiarów była konieczność wykazania się sporym refleksem podczas odczytu wartości z fluksometru, który po maksymalnym wychyleniu szybko spadał do 0. Proponowałbym więc zastosowanie jakiegoś mechanizmu blokującego, a przede wszystkim zmianę miernika na bardziej dokładny.

Pomimo tak znacznych błędów dobrze udało nam się ukazać charakter zjawiska, czego najlepszym dowodem jest wykres funkcji B=f(I). Z wykresu odczytaliśmy, że indukcja magnetyczna B wprost proporcjonalnie zależy od natężenia prądu magnesującego. W początkowych sześciu pomiarach obserwujemy wręcz liniową zależność, dopiero dalsze pomiary nieznacznie deformują wykres.

2.Badanie efektu Halla.

2.1.Wstęp teoretyczny :

Jeżeli płytkę z metalu włączymy w obwód prądu stałego i umieścimy w polu magnetycznym , którego wektor indukcji B jest prostopadły do powierzchni płytki i do kierunku płynącego prądu elektrycznego , to między punktami A i B wytworzy się różnica potencjałów U_H, zwana napięciem Halla, lub zjawiskiem galwanometrycznym.

Załóżmy, że nośnikami prądu są elektrony. Jeżeli do punktów C i D przyłożymy napięcie, to w razie braku pola magnetycznego przez próbkę będzie płynął prąd o natężeniu I. Wytworzone w próbce pole elektryczne o natężeniu Ex będzie skierowane zgodnie z kierunkiem płynącego prądu , natomiast elektrony poruszać się będą w kierunku przeciwnym polu z prędkością Vx. Gęstość prądu płynącego przez płytkę jest określona wzorem : j=enVx.

Natężenie prądu I można określić jako iloczyn gęstości prądu j i powierzchni S prostopadłej do wektora gęstości prądu , czyli : I = enV_xad.

W obecności pola magnetycznego o indukcji B , na elektrony poruszające się w tym polu z prędkością Vx , działa siła Lorentza : .

Tak więc każdy elektron w płytce , poruszający się z prędkością Vx , zostaje odchylony od swego początkowego kierunku ruchu zgodnie z powyższym wzorem. Wskutek zmiany torów elektrony gromadzą się na jednej krawędzi płytki , natomiast na drugiej wytwarza się niedobór elektronów. Dzięki temu powstaje pole elektryczne o natężeniu :

Proces gromadzenia się ładunków trwa tak długo , aż powstałe pole poprzeczne Ey , działające na elektrony z siłą : Fy =-eEy , zrównoważy siłę Lorentza , czyli Fy =F_L.

Pamiętając , że wektory Vx oraz B są do siebie prostopadłe oraz korzystając z powyższych zależności , otrzymujemy wyrażenie określające napięcie Halla :

, w którym
.

Mierząc natężenie prądu I płynącego przez płytkę , napięcie Halla U_H oraz znając współczynnik , można wyznaczyć indukcję magnetyczną B.

Urządzenie służące do wyznaczania indukcji magnetycznej nazywa się HALLOTRONEM , współczynnik zaś nazywamy czułością hallotronu. Zjawisku Halla towarzyszy wiele innych zjawisk fizycznych , które mogą wpływać na wartość mierzonego napięcia Halla. Jednym z nich jest zjawisko tzw. asymetrii pierwotnej , wiążące się z poprawnym wykonaniem elektrod hallowskich. Polega ono na tym , że gdy elektrody nie leżą dokładnie naprzeciwko siebie , tzn. nie leżą na tej samej linii ekwipotencjalnej , wówczas gdy brak pola magnetycznego, lecz prąd I płynie przez hallotron , między elektrodami hallowskimi wytwarza się różnica potencjałów U_A, zwana napięciem asymetrii pierwotnej , które sumuje się z napięciem Halla i utrudnia pomiar.

2.2 Schemat układu pomiarowego:

Schemat układu zasilającego elektromagnes:

Schemat układu zasilającego hallotron

-elektromagnes EL - 01;

- autotransformator,

- zasilacz elektromagnesu ZT - 980 - 4, - woltomierz cyfrowy V 530,

- miliamperomierze : LM - 1 , LM - 3, - zasilacz ZT - 980 - 3,

- hallotron, - adapter hallotronu.

2.3.Przebieg pomiarów:

W wyznaczeniu napięcia Halla wykorzystaliśmy zestaw pomiarowy wg schematu poniżej. Na wstępie usunęliśmy ramkę z hallotronem z obszaru nabiegunnika magnesu i włączyliśmy woltomierz V-530 wraz z zasilaczem ZT-980-3. Następnie ustaliliśmy prąd zasilania hallotronu I_S=5mA, oraz potencjometrem P umieszczonym w adapterze hallotronu skompensowaliśmy napięcie asymetrii pierwotnej tak aby U_H = 0 V. Następnie wprowadziliśmy ramkę z hallotronem w obszar nabiegunników i obserwowaliśmy wskazania V-530, po czym włączyliśmy zasilacz elektromagnesu. Przeprowadziliśmy pomiar zależności napięcia Halla od indukcji magnetycznej U_H= f(B) przy ustalonym prądzie I_S. Zależność indukcji magnetycznej B od prądu magnesującego I_m odczytaliśmy na oddzielnym wykresie. Pomiary wykonaliśmy dla I_S = 5mA , a indukcję B zmienialiśmy od 0,10,5T co 0,05T. Drugim pomiarem było zbadanie zależności napięcia Halla od prądu sterującego hallotronu U_H=f(I_S) przy ustalonej indukcji B=0,5T. Prąd I_S zmienialiśmy od 15mA co 0,5mA.

2.4. Wyniki pomiarów :

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI U_H= f (B)

IS= (5.000.04) [mA]
IM	ΔIM	δIM	B	ΔB	δB	UH	ΔUH	δUH
[mA]	[mA]	[%]	[T]	[T]	[%]	[mV]	[mV]	[%]
30.0	0.4	1.3	0.100	0.002	2	57.1	0.1	0.23
45.0	0.4	0.9	0.150	0.003	2	84.8	0.1	0.16
59.0	0.4	0.7	0.200	0.004	2	110.4	0.1	0.14
74.0	0.4	0.5	0.250	0.005	2	138.4	0.2	0.12
88.0	0.8	0.9	0.300	0.006	2	164.9	0.2	0.11
103.0	0.8	0.8	0.350	0.007	2	194.7	0.2	0.10
118.0	0.8	0.7	0.400	0.008	2	223.4	0.2	0.09
133.0	0.8	0.6	0.450	0.009	2	254.5	0.2	0.09
148.0	0.8	0.5	0.500	0.01	2	278.6	0.2	0.09

błędy względne i bezwzględne U_H i B jak w tabeli wyżej.

IS= (5.000.04) [mA]
B	UH	γ	Δγ	δγ	n	Δn	δn
[T]	[mV]	[m^2/C]	[m^2/C]	[%]	[g] x10^20	[g] x10^20	[%]
0.10	57.1	114.2	3.4	3.0	5.4	0.4	7.9
0.15	84.8	113.1	3.3	2.9	5.5	0.4	7.9
0.20	110.4	110.4	3.2	2.8	5.6	0.4	7.9
0.25	138.4	110.7	3.2	2.9	5.6	0.4	7.9
0.30	164.9	109.9	3.2	2.9	5.7	0.4	7.9
0.35	194.7	111.3	3.2	2.9	5.6	0.4	7.9
0.40	223.4	111.7	3.2	2.8	5.6	0.4	7.8
0.45	254.5	113.1	3.3	2.9	5.5	0.4	7.8
0.50	278.6	111.4	3.2	2.8	5.6	0.4	7.8
	γśr	111.8		nśr	5.6
	Δγśr	1.4		Δnśr	0.1

WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYKI U_H= f (I_S)

IM = (148.00.8) [mA]; B= (0.500.01) [T]
IS	ΔIS	δIS	UH	ΔUH	δUH
[mA]	[mA]	[%]	[mV]	[mV]	[%]
1.00	0.01	1.0	57.8	0.1	0.22
1.50	0.01	0.6	85.3	0.1	0.16
2.00	0.02	1.0	115.0	0.1	0.14
2.50	0.02	0.8	142.5	0.2	0.12
3.00	0.02	0.6	171.0	0.2	0.11
3.50	0.04	1.1	197.1	0.2	0.10
4.00	0.04	1.0	223.7	0.2	0.09
4.50	0.04	0.9	251.8	0.2	0.09
5.00	0.04	0.8	278.2	0.2	0.09

Błędy względne i bezwzględne U_hi I_S jak w tabeli wyżej

UH	IS	γ	Δγ	δγ	n	Δn	δn
[mV]	[mA]	[m^2/C]	[m^2/C]	[%]	[g] x10^20	[g] x10^20	[%]
57.8	0.10	115.6	3.6	3.1	5.4	0.4	8.1
85.3	0.15	113.7	3.2	2.8	5.5	0.4	7.4
115.0	0.20	115.0	3.5	3.1	5.4	0.4	8.0
142.5	0.25	114.0	3.4	2.9	5.5	0.4	7.9
171.0	0.30	114.0	3.2	2.8	5.5	0.4	7.9
197.1	0.35	112.6	3.0	2.7	5.5	0.4	7.7
223.7	0.40	111.8	2.9	2.6	5.6	0.4	7.6
251.8	0.45	111.9	2.8	2.5	5.6	0.4	7.6
	γśr	113.6		nśr	5.5
	Δγśr	1.4		Δnśr	0.1

gdzie:

I_S - prąd zasilania hallotronu;

I_M - prąd magnesujący;

U_H - napięcie Halla;

ΔU_H- błąd bezwzględny wyliczony z klasy przyrządu;

B - indukcja magnetyczna;

δB- błąd względny =2%;

γ- czułość hallotronu;

Δγ- błąd bezwzględny liczony metodą różniczki logarytmicznej;

n - koncentracja elektronów swobodnych w płytce;

Δn- błąd bezwzględny liczony metodą różniczki logarytmicznej;

γ_śr- średnia wartość czułości hallotronu;

Δγ_śr- średni błąd kwadratowy czułości;

n_śr- średnia koncentracja elektronów swobodnych;

Δn_śr- średni błąd kwadratowy koncentracji;

g - jednostka czułości - liczba cząstek/m³;

2.5.Przykładowe obliczenia:

[mA];

[%];

; / z warunków podanych w ćwiczeniu/;

[mV];

;

;

[%];

;

;

2.6. Dyskusja błędów i wnioski :

Celem ćwiczenia było zapoznanie się ze zjawiskiem Halla, wyznaczenie charakterystyki hallotronu, oraz wyznaczenie koncentracji elektronów swobodnych.

Przy wyznaczaniu napięcia Halla popełnialiśmy błąd systematyczny wynikający z klasy przyrządów. Użyte przyrządy pomiarowe: analogowe miliamperomierze o klasie 0.5 i cyfrowy woltomierz /dokładność V-530 0.05% wartości mierzonej + 0.01% zakresu/ pozwoliły na uzyskanie wyników obarczonych nieznacznym błędem. W zestawieniu błędów bardziej znaczącą rolę wnosi błąd miernika analogowego /1.3÷0.5%/, przy tym błędzie błędy powodowane przez woltomierz /rzędu 0.23÷0.09%/ są do pominięcia.

Przy obliczaniu czułości hallotronu γ, oprócz błędów mierników, błąd wyznaczenia powodowany był również błędnym wycechowaniem elektromagnesu. I właśnie błąd spowodowany błędym wycechowaniem miał podstawowe znaczenie w wyznaczeniu błędu czułości, wnosił on błąd prawie dwukrotnie większy niż miliamperomierz i wielokrotnie większy niż woltomierz. Ponadto przyjęto, że δB=2% choć odczytanie wartości B w zależności od I_M z dostarczonego wykresu nie było z całkowitą pewnością możliwe z tak dużą dokładnością. Przyjmując dokładność odczytu z wykresu 1mm co odpowiada 0.01T popełnilibyśmy błędy znacznie większe, wówczas największy błąd wyznaczenie czułości wynosiłby około 12%.

Podczas obliczania koncentracji elektronów swobodnych w płytce wykorzystaliśmy wyznaczoną wcześniej czułość hallotronu. Przy obliczaniu błędów posłużyliśmy się metodą różniczki logarytmicznej. Błąd wnosiły tutaj: wyliczony błąd czułości i błąd wykonania płytki. Oba błędy były porównywalne z sobą, błąd grubości płytki /5%/ był jedynie półtorakrotnie większy od błędu czułości /około 3%/. Ośmioprocentowy błąd jest błędem sporym i dlatego należałoby zastanowić się na możliwościami jego zniwelowania. Można by na przykład wykonać płytkę z większą dokładnością, lub dokładniej wycechować elektromagnes. Ponadto przyjęto, że wartość ładunku elektronu nie jest obarczona błędem, przyjęto e=1,6x10^-19C, co zaniżyło wartość błędu.

Obliczone wartości średnie czułości hallotronu γ i koncentracji elektronów n nieznacznie odbiegają od jednostkowych wyników, toteż średni błąd kwadratowy jest dużo mniejszy od błędów liczonych metodą różniczki logarytmicznej poszczególnych pomiarów. Dlatego za błąd pomiarów należy przyjąć nie średni błąd kwadratowy, lecz średni błąd pomiarów równy dla czułości - 3.2[m²/C], oraz dla koncentracji - 0.4x10²⁰[liczba cząstek/m³] dla obu sposobów wyznaczania, oraz średnią wartość czułości 112.5[m²/C], i koncentracji 5.6x10²⁰ [liczba cząstek/m³].

Otrzymane wykresy zależności U_H=f(B) U_H=f(I_S) dobrze oddają charakter doświadczenia. Potwierdziły one liniową zależność napięcia Halla od wytworzonego wewnątrz elektromagnesu pola, oraz od natężenia prądu przepływającego przez płytkę umieszczoną w elektromagnesie.

Hallotrony znalazły częste zastosowanie w miernictwie wielkości elektrycznych i nieelektrycznych, wykorzystywane są do pomiarów :

- pomiar indukcji magnetycznej ,

- pomiar kąta obrotu ,

- pomiar mocy.

Efekt Halla obserwuje się nie tylko w metalach , ale i w półprzewodnikach. Mając półprzewodnik domieszkowy o jednym rodzaju przewodnictwa lub metal możemy wyznaczyć stałą Halla równą: ; gdzie A-bezwymiarowy współczynnik rzędu jedności; n₀-koncentracja nośników prądu; q-ładunkiem. Znak stałej Halla pokrywa się że ładunkiem q nośników prądu. Pomiar stałej Halla dla półprzewodnika pozwala nam zatem określić typ jego przewodnictwa elektronowego, typ n gdy q= -e i R<0, natomiast w przypadku przewodnictwa dziurowego typu p mamy q=e i R>0. Jeżeli w przewodniku występują obydwa rodzaje przewodnictwa, to znak stałej Halla pozwala określić, jaki rodzaj przewodnictwa przeważa. W takim przypadku wymienione wyżej wyrażenia dla stałej R nie maja zastosowania.

strona 10

C_s

F

EM

Z

ATr

---