2. TRANSFORMATORY
2.1. Informacje wstępne
- budowa rdzenia: kolumnowa, płaszczowa;
- sposób chłodzenia i zakres mocy: transformatory suche (moce od mVA do kilku MVA),
transformatory olejowe (moce od dziesiątek kVA do setek MVA);
a) b)
Rys.2.1. Transformator trójfazowy z uzwojeniami cylindrycznymi: a) rdzeniowy, b) płaszczo-
wy; 1 - cewki dolnego napięcia, 2 - cewki górnego napięcia, 3 - kolumny, 4 - jarzma
- rdzeń składa się z pakietowanych izolowanych blach o grubości 0,35-0,5mm - przez co
ogranicza się straty wiroprądowe. Blachy są walcowane na zimno (anizotropowe) i mają
niską stratność (wąska pętla histerezy, materiał  magnetycznie miękki - krzywa 1 na
rys.2.1) - przez co ogranicza się straty histerezowe.
1
B
2
H
�!
+ +
Rys.2.2. Pętla histerezy blachy transformatorowej i sposób składania rdzenia
- przekrój kolumny: kwadratowy, dla mocy ju\
od kilku kVA - na planie koła, składany z
blach o malejącym przekroju;
Rys.2.3. Przekrój kolumny transformatora
Rys.2.4. Mocowanie jarzma za pomocą ceowników
1
- budowa uzwojeń: cylindryczna (uzwojenie o ni\
szym napięciu jest bli\
ej rdzenia ze
względu na łatwość odizolowania od kolumny) oraz krą\
kowa (cewki rozmieszczone są
na przemian: na wy\
sze GN i ni\
sze napięcie DN, te ostatnie są bli\
ej jarzma);
a) b)
Rys.2.5. Układy uzwojeń transformatora: a) cylindryczny, b) krą\
kowy
- cewki połączone równolegle (dla zapewnienia wymaganej wartości prądu przy
dopuszczalnej jego gęstości) są przeplatane, by miały jednakową indukcyjność (której
wartość zale\
y od poło\
enia cewki względem rdzenia, czyli od przekroju cewki).
Rys.2.7. Przykład przekroju poprzecznego przez
rdzeń transformatora: 1- uzwojenie dolnego
Rys.2.6. Cewka uzwojenia z przeplotem
napięcia, 2 - uzwojenie górnego napięcia, 3 
tuleja izolacyjna, 4  przekładka preszpanowa,
5  rdzeń, 6  cylinder bakelitowy, 7  szczelina
Transformatory trójfazowe mogą być zło\
one z trzech transformatorów jednofazowych lub
zbudowane jako samodzielne jednostki o trzech lub pięciu kolumnach. Schemat budowy
rdzenia transformatora trójfazowego obrazujący przejście od konfiguracji trzech
transformatorów jednofazowych, przez transformator z przestrzennie rozmieszczonym
rdzeniem, do transformatora pięciokolumnowego albo trójkolumnowego jest przedstawiony
na rys.2.8. Symetrię obwodu magnetycznego zapewnia jedynie przestrzenna budowa rdzenia.
Jako niepraktyczna nie znalazła zastosowania. Niesymetria magnetyczna rdzenia wynika z
likwidacji części jarzma i  spłaszczeniu konstrukcji. Zakładając symetrię strumieni
wytworzonych przez fazy uzwojenia, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa dla obwodu
magnetycznego suma strumieni wynosi zero, mo\
na pominąć nieuzwojone kolumny
transformatora. W ten sposób otrzymuje się rdzeń trójkolumnowy, stosowany w
transformatorach energetycznych. Niesymetria obwodu magnetycznego w transformatorze
trójkolumnowym wpływa na wartość prądu fazowego magnesowania - środkowa kolumna
ma inne warunki magnesowania ni\
kolumny skrajne, praktycznie jest widoczna w stanie
2
jałowym pracy transformatora. Dla transformatora zasilanego niesymetrycznie nale\
y
stosować wykonanie płaszczowe rdzenia.
Rys.2.8. Schemat budowy rdzenia transformatora trójfazowego, przejście od konfiguracji
trzech transformatorów jednofazowych, przez transformator z przestrzennie rozmieszczonym
rdzeniem, do transformatora pięciokolumnowego albo trójkolumnowego
W wyniku pozostawienia dodatkowej nieuzwojonej kolumny, zwykle podzielonej na dwie o
mniejszym przekroju, otrzymuje się rdzeń pięciokolumnowy. Rdzenie pięciokolumnowe dla
tej samej wartości strumienia magnetycznego pozwalają zmniejszyć wysokość jarzma
transformatora wielkiej mocy.
Dane znamionowe transformatora wyznaczające jego schemat zastępczy:
- układ połączeń i grupa połączeń, np. Yd 5 ,
- moc znamionowa, moc pozorna SN ,
- napięcia znamionowe międzyfazowe U1N ,U ,
2 N
- napięcie zwarcia uk (%UN ) ,
- częstotliwość znamionowa fN ,
- prądy znamionowe I1N , I2N ,
- znamionowe straty mocy w \
elazie (straty jałowe) "PFe (%SN )
- prąd biegu jałowego I0(%IN ) ,
- znamionowe straty mocy (straty obcią\
eniowe) w uzwojeniach "PwN (%SN ) ,
3
2.2. Zasada działania i schemat zastępczy transformatora jednofazowego
Transformator jest to statyczny przetwornik energii, w którym za pośrednictwem strumienia
magnetycznego następuje zmiana wartości napięcia i prądu w uzwojeniu pierwotnego na inne
wartości napięcia i prądu w uzwojeniu wtórnym. Zasadniczymi elementami transformatora są:
pakietowany rdzeń i izolowane uzwojenia - rys.2.9. Rdzeń składa się z kolumn połączonych
jarzmem. Na kolumnach umieszczone są uzwojenia. Uzwojenie o większej liczbie zwojów
oznaczone indeksem  1 nazywa się uzwojeniem górnego napięcia GN, zwykle jest ono
uzwojeniem strony pierwotnej (strony zasilania). Uzwojenie o mniejszej liczbie zwojów
oznaczone indeksem  2 nazywa się uzwojeniem dolnego napięcia DN, zwykle jest ono
uzwojeniem strony wtórnej (strony odbioru).
jarzmo
1
N1 N2 2
kolumna
Rys.2.9. Układ transformatora jednofazowego
W opisie działania transformatora i przy wyprowadzeniu schematu zastępczego przyjmujemy
stałą wartość przenikalności magnetycznej �Fe oraz pomijamy spadki napięcia
magnetycznego w jarzmie. Rozwa\
my działanie nieobcią\
onego transformatora - rys.2.10.
Śm1(t)
i1(t), I1
u1(t),U1 etr1(t), E1 etr 2(t), E2 20
U
Ś� 1(t)
N1 N2
Rys.2.10. Stan jałowy transformatora
Po przyło\
eniu do zacisków uzwojenia pierwotnego napięcia przemiennego u1(t) o wartości
skutecznej U1 popłynie prąd i1(t) , który płynąc przez N1 szeregowo połączonych zwojów
uzwojenia pierwotnego daje przepływ N1i1(t) wzbudzający przemienny strumień
magnetyczny Ś1(t) = Śm1(t) + Ś� 1(t) . Większa część tego strumienia Śm1(t) zwana
strumieniem głównym płynąć w rdzeniu skojarzy się z obydwoma uzwojeniami. Powstałe
przemienne strumienie skojarzone: �m1(t) = N1Śm1(t) oraz �m2(t) = N2Śm1(t) wytworzą w
tych uzwojeniach zgodnie z prawem indukcji elektromagnetycznej siły elektromotoryczne
(napięcia) transformacji. Jeśli zało\
ymy przebieg prądu jako: i1(t) = 2I1 sin�0t , a zatem
strumienie skojarzone wyniosą: �m1(t) = N1Śm1 sin�0t oraz �m2(t) = N2Śm1 sin�0t to
indukowane napięcia będą miały przebiegi odpowiednio:
4
d�m1(t) d�m2(t)
etr1(t) = = �0N1Śm1 cos�0t i etr 2(t) = = �0N2Śm1 cos�0t (2.1)
dt dt
Zwrot napięć indukowanych wynika z reguły Lenza. Wartości skuteczne tych napięć z racji o
ró\
nej liczby zwojów N1 i N2 , wynoszą:
2Ą 2Ą
E1 = f0N1Śm1 = 4,44 f0N1Śm1, E2 = f0N2Śm1 = 4,44 f0N2Śm1 (2.2)
2 2
Iloraz wartości indukowanego napięcia pierwotnego i napięcia wtórnego określa przekładnię
napięciową K , równą dla transformatora jednofazowego przekładni zwojowej n :
E1 N1
K = = = n (2.3)
E2 N2
Dla przyjętych wstępnie zało\
eń przekładnia zwojowa jest większa od jedności lub jej równa.
Mniejsza część strumienia Ś1(t) zwana strumieniem rozproszenia Ś� 1(t) zamyka się przez
powietrze wokół uzwojenia pierwotnego i skojarzona jest z jego N1 zwojami, indukując w
nim napięcie rozproszenia e�1(t) :
d�� 1(t) dŚ� 1(t)
e� 1(t) = = N1 = �0N1Ś�1 cos�0t (2.4)
dt dt
Strumień skojarzony z danym uzwojeniem �(t) = NŚ(t) wią\
e się z prądem go
wytwarzającym przez indukcyjność własną L (prąd jest prądem tego uzwojenia) albo
indukcyjność wzajemną M (prąd płynie w innym uzwojeniu):
�(t) = Li(t) , �(t) = Mi(t) (2.5)
Na podstawie (2.4) i (2.5) mo\
emy wprowadzić pojęcie indukcyjności rozproszenia:
d�� 1(t) di1(t)
e�1(t) = = L� 1 (2.6)
dt dt
W analizie napięć występujących w obwodzie uzwojenia pierwotnego nale\
y uwzględnić
rezystancję uzwojenia R1 . W ten sposób dla nieobcią\
onego transformatora otrzymamy
następujące równanie napięć:
di1(t)
u1(t) = R1i1(t)+ L� 1 + etr1(t) (2.7)
dt
Poniewa\
zakładamy, \
e przebiegi czasowe napięć i prądu są sinusoidalnie zmienne, mo\
na
stosując metodę symboliczną przedstawić je w postaci wskazów. W ogólnym zapisie
przejście z przebiegu rzeczywistego okresowego do wskazu na płaszczyz
nie zespolonej, ma
formę:
ją j�0t j�0t
a(t) = A 2 sin (�0t +ą ) �! a(t) = A 2e e = 2e A �! A (2.8)
ją j�0t
d a(t) d(A 2e e )
j�0t
b(t) = = = 2e j�0 A (2.9)
dt dt
Wskaz jest liczbą zespoloną, o module równym wartości skutecznej przebiegu okresowego.
j�0t
W analizach związków pomiędzy wskazami pomijamy stały operator obrotu 2e .
Zatem na podstawie (2.7), (2.8), (2.9) równanie napięć strony pierwotnej transformatora na
biegu jałowym dla wartości skutecznych zespolonych ma postać:
5
U1 = R1I10 + jX� 1I10 + E1 (2.10)
gdzie: reaktancja rozproszenia X�1 = �0L�1 i prąd biegu jałowego I10 .
W stanie jałowym suma spadków napięcia na rezystancji i reaktancji rozproszenia uzwojenia
nie przekracza 0,5% napięcia zasilania. Zatem mo\
na przyjąć, \
e przekładnia napięciowa K
jest równa stosunkowi wartości skutecznej napięcia strony pierwotnej do napięcia strony
wtórnej, które przy braku obcią\
enia jest równe indukowanej po stronie wtórnej sile
elektromotorycznej:
E1 U1
K = H" (2.11)
E2 U20
Równaniu (2.10) odpowiada schemat zastępczy nieobcią\
onego transformatora - rys.2.11.
I10 R1 jX�
1
U1
E1 E2 U
20
Rys.2.11. Schemat transformatora dla stanu jałowego
Powy\
szy schemat jest niekompletny. Zmienny strumień Śm1(t) wywołuje w rdzeniu straty
mocy, powodowane pętlą histerezy i prądami wirowymi. Straty te, zgodnie z (2.11) zale\
ą od
kwadratu indukcji magnetycznej, zatem od kwadratu napięcia zasilania U1 i uwzględniamy w
schemacie je przez wprowadzenie zastępczej rezystancji RFe - rys.2.12.
I10 R1 jX� 1 m
I
I
Fe
U1
RFe E2 U
E1
20
Rys.2.12. Schemat transformatora dla stanu jałowego z uwzględnieniem strat mocy w rdzeniu
Siłę elektromotoryczną etr1(t) ze wzoru (2.7) mo\
na zgodnie ze wzorem (2.5) związać z
indukcyjnością główną (magnesującą) Lm :
d�m1(t) dim(t)
etr1(t) = = Lm (2.12)
dt dt
przy czym: i10(t) = iFe (t) + im(t) �! I10 = I + I (2.13)
Fe m
oraz: E1 = j�0Lm I = jX I (2.14)
m m m
gdzie: X - reaktancja główna (magnesująca).
m
W stanie obcią\
enia transformatora w uzwojeniu pierwotnym płynie większy ni\
w stanie
jałowym prąd i1(t) , którego przepływ N1i1(t) wytwarza strumień magnetyczny
Ś1(t) = Śm1(t) + Ś� 1(t) . W uzwojeniu wtórnym, pod wpływem indukowanej siły
6
elektromotorycznej etr 2(t) płynie prąd i2(t) , którego przepływ N2i2(t) zgodnie z regułą
Lenza wytwarza strumień magnetyczny Ś2(t) = Śm2(t) + Ś� 2(t) , o przeciwnym zwrocie ni\

zwrot strumienia Ś1(t) - rys.2.13. Wypadkowy strumień płynący w rdzeniu przez oba
uzwojenia Ś0(t) = Śm1(t) - Śm2(t) wynika z ró\
nicy ich przepływów, zwanej przepływem
magnesującym.
Ś0(t) = Śm1(t) - Śm2(t)
i1(t), I1 i2(t), I
2
Ś� 2(t)
u1(t),U1 etr1(t), E1 etr 2(t), E2 2 L 2
U = Z I
Ś� 1(t)
N1 N2
Rys.2.13. Stan obcią\
enia transformatora
Dalsza analiza będzie oparta o zale\
ności zapisane w postaci zespolonej.
Równanie napięć strony wtórnej ma postać:
E2 = R1I + jX� 2 I +U (2.15)
2 2 2
Wypadkowy przepływ magnesujący wią\
emy z liczbą zwojów N1:
N1I = N1I1 - N2 I (2.16)
0 2
W transformatorze idealnym (bez strat mocy czynnej) przepływ wypadkowy jest równy zero.
Stąd:
I2 N1
N1I1 = N2 I �! = = n = K (2.17)
2
I1 N2
Poniewa\
jednocześnie spełniona jest zale\
ność (2.3) otrzymujemy równość mocy pozornej w
obu uzwojeniach:
E1I1 = E2 I (2.18)
2
W oparciu o zasadę zachowania mocy i o równość sił elektromotorycznych, indukowanych w
obu uzwojeniach przeprowadza się przeliczenie napięcia i prądu strony wtórnej na stronę
pierwotną (wartości przeliczone mają indeks górny  prim ).
2
E1 = KE2 = E2 (2.19)
I2 2
I1 = = I2 (2.20)
K
W rzeczywistym transformatorze przepływ wypadkowy jest ró\
ny od zera, lecz jednocześnie:
I0 << I1 (2.21)
Mo\
na zatem utrzymać słuszność związku (2.20) oraz przyjąć, \
e:
2
U1 = KU2 = U2 (2.22)
7
Po wprowadzeniu zastępczych wartości zmiennych obliczamy zastępcze wartości parametrów
strony wtórnej i impedancji obcią\
enia ZL tak, aby straty mocy i moc obcią\
enia nie uległy
zmianie.
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
R2I22 = R2I2 = R2K I22 �! R2 = K R2 , X� 2I22 = X� 2I2 = X� 2K I22 �! X� 2 = K X� 2 (2.23)
2
2
U2 KU2 K U2 2
2
ZL = = = = K ZL (2.24)
2
I2 I2 I2
K
Przedstawione przeliczenia pozwalają zastąpić dwa rozdzielone i sprzę\
one magnetycznie
obwody elektryczne jednym równowa\
nym obwodem rozgałęzionym, przewa\
nie w postaci
czwórnika typu T  rys.2.14.
2
R2
jX� R2 R1 jX� 1 2 2 jX� 2
R1 jX� 1 I1 I 2
I1 I 2
2
I
0
2 L 2 2
U1 Z U
U1
Z 2 2
E2 E1 E
E1
L U
2
a) b)
Rys.2.14. Schemat obcią\
onego transformatora: a) z rozdzielonymi uzwojeniami, b) po
sprowadzeniu uzwojenia wtórnego na stronę pierwotną
Uwzględniając straty mocy w rdzeniu (patrz rys.2.12), na podstawie przeprowadzonych analiz
mo\
na przedstawić wynikowy schemat zastępczy transformatora jednofazowego, zasilanego
napięciem sinusoidalnie zmiennym w warunkach pracy ustalonej:
2 2
jX� R2
2 2
I1 R1 jX� I 2
1
I
0
I I
Fe m
2 2
U1 U
2 2 jXm
RFe E1 E
Rys. 2.15. Schemat zastępczy transformatora jednofazowego
2.3. Model matematyczny transformatora trójfazowego
Zało\
enia modelu:
- pomijamy spadki napięcia magnetycznego w jarzmie;
- przyjmujemy stałą wartość przenikalności magnetycznej �Fe = � = const ;
- zakładamy symetrię uzwojeń - po stronie pierwotnej i po stronie wtórnej rozmieszczone
są po trzy jednakowe dla ka\
dej ze stron, niepołączone galwanicznie uzwojenia;
- zakładamy symetrię obwodu magnetycznego, rdzeń posiada trzy jednakowe kolumny.
Indukcyjności własne i wzajemne uzwojeń wynikają z analizy sprzę\
eń
elektromagnetycznych. Rozwa\
my transformator czterokolumnowy, w którym kolumna
nieuzwojona ma przewodność magnetyczną (permeancję):
8
S0
0 = � (2.25)
l0
zaś trzy pozostałe kolumny, na których nawinięte są po dwa uzwojenia mają przewodność:
Sk
k = � (2.26)
lk
gdzie: Sk , S0 - przekroje kolumn, lk ,l0 - długości kolumn.
Uzwojenia strony pierwotnej oznaczone są indeksami: 1a,1b,1c i mają N1 zwojów ka\
de, a
uzwojenia strony wtórnej odpowiednio: 2a,2b,2c i N2 - rys.2.16.
k
k k 0
i1a
N1
N1 1c
N1 1b
1a
Ś0
Ś1 Ś2 Ś3
N2 2c N2
N2 2b
2a
Rys. 2.16. Model obwodu magnetycznego transformatora trójfazowego
Z prawa przepływu dla jednakowej gęstości strumienia w ka\
dym przekroju kolumny wynika:
r r
Hdl = Hklk + H0l0 = i1a N1 (2.27)
+"
Ś = BS = �HS (2.28)
Ś
H = (2.29)
�S
lk l0 1 1
Zatem: Śk + Ś0 = i1a N1 i dalej: Śk + Ś0 = i1aN1 (2.30)
�Sk �S0 k 0
Obliczmy strumień w kolumnie nieuzwojonej, przy zasilaniu tylko jednego uzwojenia:
ńł
1 1
+ Ś0 = i1aN1
�łŚ1
k 0
�ł
�ł 1 1
+ Ś2 + Ś0 = 0 (2.31)
�ł
k 0
�ł
1 1
�ł
Ś3 + Ś0 = 0
�ł
k 0
ół
Z prawa ciągłości strumienia (odpowiednik I-go prawa Kirchhoffa) wynika związek:
Ś1 + Ś2 + Ś3 - Ś0 = 0 (2.32)
k0
Stąd: Ś0 = i1aN1 (2.33)
3k + 0
9
Strumień płynący w kolumnie na której nawinięte jest uzwojenie wytwarzające ten strumień
wynosi zatem:
2k + 0
Ś1 = i1aN1 k = i1aN1L (2.34)
3k + 0
gdzie: L - przewodność magnetyczna własna.
Strumienie płynące w pozostałych uzwojonych kolumnach wytworzone przez uzwojenie 1a
wynoszą wówczas:
2
Ś2 = Ś3 = -i1aN1 k = i1aN1M (2.35)
3k + 0
gdzie: M - przewodność magnetyczna wzajemna.
Na tej podstawie mo\
na wyró\
nić cztery rodzaje indukcyjności, związane przykładowo z
zasilanym uzwojeniem strony pierwotnej1a :
N1Ś1
- indukcyjność własna uzwojenia: L1 = M1a1a = = N12L (2.36)
i1a
- indukcyjność wzajemna pomiędzy uzwojeniami strony pierwotnej, le\
ącymi na ró\
nych
N1Ś2
kolumnach: M1 = M1b1a = = -N12M (2.37)
i1a
- indukcyjność wzajemna pomiędzy uzwojeniami strony pierwotnej i wtórnej, le\
ącymi na
N2Ś1
tej samej kolumnie: L = M2a1a = = N1N2L (2.38)
i1a
- indukcyjność wzajemna pomiędzy uzwojeniami strony pierwotnej i wtórnej, le\
ącymi na
N2Ś2
ró\
nych kolumnach: M = M2b1a = = -N1N2M (2.39)
i1a
Równania napięć transformatora we współrzędnych fazowych mają postać:
d
u1 R1 0 i1 L11 M12 i1 (2.40)
�ł łł �ł łł�ł łł �ł łł�ł łł
= +
�łu2 śł �ł
0 R2 śł�łi1 śł dt �łM 22 L22 śł�łi2 śł
�ł �ł �ł �ł�ł �ł �ł �ł�ł �ł
Czyli w zapisie skrótowym:
d
u = Ri + Li (2.41)
dt
Występujące w równaniach wektory zmiennych i macierze parametrów opisane są zgodnie z
przyjętymi wy\
ej oznaczeniami:
u1a i1a1 R1
�ł łł �ł łł �ł łł
�łu1b śł, i1 = �łi1b śł, R1 = �ł
u1 = R1 śł (2.42)
�łu śł �ł śł �ł
i1c R1 śł
�ł 1c �ł �ł �ł �ł �ł
u2a i2a R2
�ł łł �ł łł �ł łł
�łu2b śł, i2 = �łi2b śł, R2 = �ł
u2 = R2 śł (2.43)
�łu śł �łi śł �ł
R2 śł
�ł 2c �ł �ł 2c �ł �ł �ł
10
L� 1 + L1 M1 M1
�ł łł
�ł
L11 = M1 L� 1 + L1 M1 śł, L1 = N12L , M1 = -N12M (2.44)
�ł
M1 M1 L� 1 + L1 śł
�ł �ł
L� 2 + L2 M M
�ł łł
2 2
2 2
�ł śł, L2 = N2 L , M 2 = -N2 M (2.45)
L22 = M L� 2 + L2 M
2 2
�ł
M M L� 2 + L2 śł
�ł 2 2 �ł
L M M
�ł łł
M12 = M21 = M L M , L = N1N2L , M = -N1N2M (2.46)
�ł śł
�łM M L śł
�ł �ł
L = L1L2 , M = M1M (2.47)
2
R1, R2 - rezystancje fazy uzwojenia pierwotnego i wtórnego,
L� 1, L� 2 - indukcyjności rozproszeń fazy uzwojenia pierwotnego i wtórnego.
Celem uproszczenia układu równań opisujących transformator wprowadzamy transformację
S współrzędnych do składowych symetrycznych:
0 0
�łu1 łł
�ł łł�ł
u1a �łi1 łł i1a
1 1 1 łł �ł łł
1
�łu1 śł
�ł1 a a2 śł�łu1b śł, �łi1 śł = S �" �łi1b śł (2.48)
= Su1 =
1
�ł śł
�ł śł�łu śł �ł 1 śł �łi śł
2 3 2
�łu1 śł
�ł1 a2 a �ł�ł 1c �ł �łi1 śł �ł 1c �ł
�ł �ł �ł �ł
�łu0 łł
u2a �łi0 łł i2a
�ł łł �ł łł
2 2
�ł śł
1 1
�łu śł, �ł śł = S �" �łi śł
= S �" (2.49)
2 2
�łu śł 2b �łi śł 2b
�ł śł �ł śł
�łu 2 śł �łi2 śł
�ł śł �ł śł
2 �łu2c �ł 2 �łi2c �ł
�ł �ł �ł �ł
Układ równań (2.22) po wprowadzeniu macierzy transformacji S przekształci się do postaci:
d
Su = SRi + SLi (2.50)
dt
d
i dalej: Su = (SRS-1 )Si + (SLS-1)Si (2.51)
dt
Macierze indukcyjności mają następującą strukturę:
A B B
�ł łł
�łB
L = A Bśł (2.52)
�ł śł
�ł śł
�łB B A�ł
W wyniku przemno\
enia przez macierze transformacyjne S i S-1 otrzymujemy macierze, w
których niezerowe są jedynie elementy le\
ące na głównej przekątnej:
A + 2B 0 0
�ł łł
SLS-1 = 0 A - B 0 (2.53)
�ł śł
�ł 0 0 A - Bśł
�ł �ł
11
Wprowadz
my dalej oznaczenia dla indukcyjności głównych uzwojeń:
- dla strony pierwotnej:
2k + 0 2
2 2
k
L� 1 + L1 + 2M1 = L� 1 + N1 (L - 2M ) = L� 1 + N1 ( k - 2 ) =
3k + 0 3k + 0
(2.54)
k0
2
= L� 1 + N1 = L� + L0
3k + 0 1 m
2k + 0 2
2 2 2
k
L1 - M1 = N1 (L + M ) = N1 ( k + ) = N1 k = Lm (2.55)
3k + 0 3k + 0
- dla strony wtórnej:
2k + 0 2
2 2 k
L� 2 + L2 + 2M2 = L� 2 + N2 (L - 2M ) = L� 2 + N2 ( k - 2 ) =
3k + 0 3k + 0
2
k0 �ł �ł
N2 2 k0 1
2
�ł �ł
= L� 2 + N2 = L� + N1 = L� + L0 (2.56)
3k + 0 2 �ł N1 �ł 3k + 0 2 n2 m
�ł łł
2
2k + 0 2 �ł N �ł
1
2 2 k 2 2
L2 - M = N (L + M ) = N ( k + ) = �ł �ł N1 k = Lm (2.57)
2 2 2
3k + 0 3k + 0 �ł N1 �ł n2
�ł łł
N1
gdzie: n = (2.58)
N2
n - jest to przekładnia zwojowa pozwalająca sprowadzić parametry strony wtórnej na
pierwotną, a tym samym u\
yć w równań napięć tych samych wartości indukcyjności dla
składowej  0 - L0 i dla pozostałych składowych  1 , 2 - Lm .
m
Składowe symetryczne indukcyjności wzajemnych pomiędzy stroną pierwotną i wtórną
przyjmą wtedy postacie:
�ł �ł
2k + 0 2 �ł N2 �ł 2 k0 1
k
L + 2M = N1N2(L - 2M ) = N1N2( k - 2 ) = = L0
m
3k + 0 3k + 0 �ł N1 �łN1 3k + 0 n
�ł łł
(2.59)
2k + 0 2 �ł N �ł 1
k 2 2
L - M = N1N (L + M ) = N1N2 ( k + ) = �ł �ł k = Lm (2.60)
2
3k + 0 3k + 0 �ł N1 �łN1 n
�ł łł
Jeśli przez wy\
ej zdefiniowaną przekładnię n przemno\
ymy składowe symetryczne napięć i
prądów strony wtórnej:
�łu 2 łł �łu0 łł �łi 2 łł �łi0 łł
2 0 2 0
2 2
�ł śł �ł śł �ł śł 1 �ł śł
1 1 1
= n�łu1 śł, �łi2 2 śł = (2.61)
2
�łu2 2 śł �łi 2 śł
n
�łu2 2 śł �łu2 śł �łi2 2 śł �łi 2 śł
2 2 2 2
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
to otrzymamy ostateczną postać równań:
12
0 0
�łu1 łł R1 �łi1 łł
�ł łł
�ł śł �ł śł
śł
u1 �ł R1 i1
1 1
�ł śł �ł śł
�ł śł
2 2
�łu1 śł �łi1 śł
�ł śł
R1
= +
�ł śł �ł śł
�ł śł
0 0
2
R2
�łu2 śł �łi2 śł
2 �ł śł 2
�łu2 1 śł
�ł
2
R2 śł�łi2 1 śł
2 2
�ł śł �ł śł
�ł śł
2
2
R2 �ł�ł 2 śł
2 2 �ł
�ł śł�łi
�ł śł
�ł
�łu2 2 �ł
0
�łi1 łł
�ł łł
L� 1 + L0 0 0 L0 0 0
m m
�ł śł�ł śł
0 L� 1 + Lm 0 0 Lm 0
i1
1
�ł śł
�ł śł
2
�ł
0 0 L� 1 + Lm 0 0 Lm śł�łi1 śł
d
+ (2.62)
�ł śł
�ł śł
0
2
dt L0 0 0 L� 2 + L0 0 0
�łi2 śł
�ł m m śł 2
�ł śł�łi2 1 śł
2
0 Lm 0 0 L� 2 + Lm 0
2
�ł śł
�ł śł
2
2
0 0 Lm 0 0 L� 2 + Lm �ł�łi2 2 �ł
�ł śł�ł śł
�ł
Wprowadzenie transformacji współrzędnych do składowych symetrycznych pozwala w
wyniku diagonalizacji macierzy indukcyjności na rozdzielenie układu wyjściowego na trzy
niezale\
ne układy równań.
I tak dla składowej zerowej  0 :
0 0
�łu1 łł R1 0 �łi1 łł �ł łł
�łi1 łł
�ł łł L� 1 + L0 L0 0
d
m m
= + (2.63)
�ł śł śł �ł śł
�ł śł
�ł
0 0
2
0 R2śł�łi 2�ł dt 2
2 0 �ł L0 L� 2 + L0 �ł�łi2 2 �ł
�ł �ł
�łu2 2�ł �ł m m
dla składowej zgodnej  1 :
�ł łł R1 0 �ł łł �ł łł
�ł łł
L�1 + Lm Lm 1
u1 �ł łł i1 d i1
1 1
= + (2.64)
�ł śł śł �ł śł
�ł śł
�ł
1 1
2
0 R2śł�łi 2�ł dt 2
2 1 �ł Lm L� 2 + Lm �ł�łi2 2 �ł
�ł �ł
�łu2 2�ł �ł
dla składowej przeciwnej  2 :
2 2
�łu1 łł R1 0 �łi1 łł �ł łł
�łi1 łł
�ł łł L�1 + Lm Lm 2
d
= + (2.65)
�ł śł �ł śł
�ł śł
�ł
2 2
2
0 R2śł�łi 2śł dt 2
2 2�ł �ł Lm L� 2 + Lm �ł�łi2 2 �ł
�ł �ł
�łu2 2�ł �ł
Macierze parametrów ró\
nią się wartościami indukcyjności głównych L0 i Lm .
m
W przybli\
eniu mo\
na przyjąć, \
e:
k
2 2
L0 = N1 0 H" N1 0 (2.66)
m
3k + 0
Zatem o wartości tej składowej decyduje przewodność 0 , której wartość zale\
y od budowy
rdzenia.
- dla transformatorów pięciokolumnowych i czterokolumnowych przyjmuje się:
0 = k �! L0 H" Lm (2.67)
m
Wtedy wszystkie składowe indukcyjności mają wartości jak składowa zgodna.
- dla transformatorów trójkolumnowych z racji znacznej ró\
nicy przenikalności
magnetycznej powietrza i \
elaza:
13
0 << k �! L0 << Lm (2.68)
m
2
przyjmuje się, \
e: L0 H" L� 1 = L� 2 (2.69)
m
W tym przypadku składowa zerowa indukcyjności głównej ma wartość porównywalną z
wartością indukcyjności rozproszenia uzwojenia (przyjmuje się ją ok. 3�5 razy większą
ni\
L� 1 ).
2.4. Równania stanu ustalonego transformatora
Zakładamy zasilanie strony pierwotnej lub wtórnej trójfazowym symetrycznym trójfazowym
układem napięć:
cos(�0t + ą )
�ł łł
u1a
�ł łł
�łu1b śł
u1 = = 2U1 �łcos(�0t + ą -1200 )śł (2.70)
�ł śł
�łu śł
�ł 1c �ł
0
�łcos(� t + ą - 2400 )�ł
cos(�0t + � )
�ł łł
u2a
�ł łł
�łcos(�0t + � -1200 )śł (2.71)
�łu2b śł
u2 = = 2U
2
�ł śł
�łu śł
�ł 2c �ł
0
�łcos(� t + � - 2400 )�ł
Dla symetrycznego układu napięć trójfazowych mamy: Ua = Ub = Uc = U oraz ą = ą0 .
ją
e + e- ją
Na podstawie wzoru Eulera ( cosą = ) mo\
na zapisać:
2
ua(t) ńł 1 1 �ł
�ł łł �ł łł �ł łł
"
�ł
2
�łu (t)śł = 2 �ł �ła śłe j�0t �ł śłe- j�0t
(2.72)
�łU �ł śł +U �ł a śł żł
b
�ł śł
2
2
�ł
�ł śł �ł śł �ł śł
(t)�ł �ł �ł a
�łuc �ł �ła �ł
ół �ł
"
ją
gdzie: U = Ue , U = Ue- ją , e- j1200 = a2 , e- j 2400 = a , 1+ a + a2 = 0 (2.73)
Mno\
ąc wektory napięć przez macierz S , czyli transformując je do składowych
symetrycznych, otrzymujemy:
ńł
�łu0(t)łł �ł1+ a2 + a łł
ua (t) 1 1 1 ńł 1 1 �ł
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
"
�ł
�ł śł �ł śł
1 2 �łU �ł 2
1 2
�ł1 śł �ła śłe j�0t �ł śłe- j�0t j�0t
�łu (t)śł = S�łub(t)śł = 3 �ł a a2 śł 2 �ł �ł śł +U �ł a śł żł = 2 3 �łU �ł1+ a3 + a3śłe +
�ł śł
2
�ł �ł �ł
�łu2(t)śł �ł1+ a + a2śł
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
(t)�ł �ł1 a2 a a
�łuc �ł �ł �ł �ła �ł
ół �ł
�ł �ł �ł �ł
ół
ńł 0 �ł
�ł �ł łł ńł �ł
�ł1+ a + a2łł �ł łł �ł łł
0 0 0
�ł łł
"
�ł
�ł
�ł śł �ł śł �ł śł
3 2 �ł�łU śł j�0t + 0 - j�0t �ł = �ł j�0t + 0 j�0t �ł
�ł 3
1 �ł śłe-
- j�0t
+U a2 + a
�ł śłe "
�ł1+ śłe żł = 2 3 �ł �ł śłe żł 2 �ł�łU śłe �ł " śł żł
�ł �ł�ł śł �łU śł �ł
�ł śł
�ł1+ a3 + a3śł �ł �ł 0 1
0
�ł�ł �ł �łU śł �ł �ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
�ł ół �ł
ół �ł
(2.74)
1
Moduł składowej symetrycznej U jest równy wartości skutecznej napięcia fazowego.
W równaniach widać, \
e dla składowej pierwszej napięć u1(t) niezerowa jest jedynie
składowa symetryczną zgodna U1 , zaś składowa druga napięć u2(t) z racji sprzę\
enia ze
składową pierwszą nie wnosi \
adnych dodatkowych informacji o zasilaniu.
14
Czyli składowe symetryczne napięć strony pierwotnej i wtórnej transformatora wynoszą:
0
�łu1 łł
0
�ł łł �ł 0 łł
"
�łu1 śł
j�0t
3 3
�ł śł
= Su1 = U e + U �ł 0 śł (2.75)
1 2 1 2 1
�ł śł
2
�ł śł �łe- j�0t śł
0
�łu1 śł �ł �ł �ł �ł
�ł �ł
�łu łł
2 0
0
�ł łł �ł 0 łł
"
�łu2 2 śł
1
j�0t
3 3
2 2 2 �ł śł 2 2
= Su2 = U e + U �ł 0 śł (2.76)
2 2 2
�ł śł
�ł śł �łe- j�0t śł
0
2 2
�łu śł �ł �ł �ł �ł
2
�ł �ł
gdzie:
ją
- U1 = U1e - wartość skuteczna zespolona napięcia fazowego strony pierwotnej,
- U1 - wartość skuteczna napięcia fazowego strony pierwotnej,
j�
2 2 2
- U = U2e - wartość skuteczna zespolona napięcia fazowego strony wtórnej przeliczona
na stronę pierwotną,
2
- U2 - wartość skuteczna napięcia fazowego strony wtórnej przeliczona na stronę
pierwotną.
W stanie ustalonym pracy prądy mo\
na przewidzieć w postaci takiej, jaką mają napięcia
wymuszające, gdy\
układ opisany jest równaniami ró\
niczkowymi o stałych
współczynnikach. Odpowiedzią na sinusoidalne wymuszenia są sinusoidalne prądy, zatem
mo\
na obliczeniach zastosować rachunek symboliczny i za wymuszenie przyjąć jedynie
pierwszą część wektora napięć zespolonych. Stosując procedury rachunku symbolicznego
j�0t
pomijamy tzw. operator obrotu e i mno\
nik 3/ 2 . Przy obliczeniach mocy nale\
y
pamiętać o mno\
niku 3 / 2 . Postacie zespolone wymuszeń pozwalają wykorzystać w
przewidywaniu rozwiązań własności sprzę\
eń liczb zespolonych, wynikające ze wzorów
Eulera:
j�0t j�0t
1
cos�0t = (e + e- j�0t ) oraz e = cos�0t + jsin�0t (2.77)
2
Zatem:
jł
�ł łł I �ł łł
i1 3 �ł 1 łł I1e
1
j�0t j�0t
3
=
�ł śł �łI j� śłe (2.78)
2 2
1 �łI 2 2 śłe = 2 e
�ł �ł
�łi2 2 �ł �ł 2 �ł
Po podstawieniu przewidywanych rozwiązań prądów do równań napięć uzyskujemy:
U1 j�0t R1 0 I L� 1 + Lm Lm 3 I
�ł łł �ł łł �ł 1 łł d �ł łł �ł 1 łł
j�0t j�0t
3 3
(2.79)
2
�łU 2 2 śłe = �ł śł �łI 2 2 śłe + dt �ł
2 2 2 2
0 R2 2 Lm L� 2 + Lm śł 2 �łI śłe
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
czyli:
U1 R1 + j�0(L� 1 + Lm ) j�0Lm I
�ł łł �ł łł�ł 1 łł
= (2.80)
�łU 2 2 śł �ł
2 2 2 2 śł
j�0Lm R2 + j�0(L� 2 + Lm )śł�łI
�ł �ł �ł �ł�ł �ł
zatem:
U1 R1 + j( X� 1 + X ) jX I
�ł łł �ł łł�ł 1 łł
m m
= (2.81)
�łU 2 2 śł �ł
2 2 2 2 śł
jX R2 + j(X� 2 + X )śł�łI
�ł �ł �ł m m �ł�ł �ł
2 2
gdzie: R2 = n2 R2 , X = n2 X (2.82)
� 2 � 2
15
Powy\
szemu układowi równań odpowiada schemat zastępczy  rys.2.17, który w warunkach
symetrii jest opisany wielkościami fazowymi i jest to\
samy ze schematem dla składowej
zgodnej wymuszenia napięciowego, a jego struktura jest identyczna jak w przypadku
schematu zastępczego transformatora jednofazowego (rys. 2.14b) dla współrzędnych
naturalnych.
2
jX� 2 2
R2
R1 jX� 1 2 2
I1 I
I
0
2 2
U1 U
2 2
E1 E
Rys. 2.17. Schemat zastępczy fazowy transformatora
Jedyna ró\
nica pomiędzy schematami z rys.2.17 i z rys.2.14b zawiera się w przyjęciu
odmiennego zwrotu prądu względem napięcia po stronie wtórnej transformatora. Na rys.2.17
2 2
jest to tzw.  strzałkowanie z
ródłowe (prąd I wpływa do transformatora). W dalszych
analizach pracy transformatora wygodniej jest przyjąć  strzałkowanie odbiornikowe (prąd
2 2
I wypływa z transformatora), jak na rys.2.14b. Wtedy układ równań (2.81) przyjmie postać:
U1 R1 + j(X�1 + Xm) jXm I1
�ł łł �ł łł�ł łł
= (2.83)
�łU2 śł �ł
2 2 2 2śł
jXm R2 + j(X� 2 + Xm)śł�ł- I
�ł 2�ł �ł �ł�ł �ł
Wielkości sprowadzone oblicza się analogicznie jak dla transformatora jednofazowego.
Nale\
y tutaj jednak pamiętać, \
e w transformatorach trójfazowych przekładnie zwojowe
mogą być istotnie ró\
ne od napięciowych, zale\
nie od połączenia faz danego uzwojenia w
układ trójfazowy.
Podobnie jak w transformatorze jednofazowym, z bilansu mocy wynika potrzeba
wprowadzenia do schematu zastępczej wartości RFe - rezystancji \
elaza, która odpowiada
stratom mocy czynnej w rdzeniu "PFe , przy zasilaniu transformatora fazowym napięciem
znamionowym:
3(U1Nph )2
RFe = (2.84)
"PFe
Ostatecznie przyjmujemy schemat zastępczy fazowy symetrycznego transformatora
trójfazowego w postaci jak na rys.2.18 (prądy i napięcia uzwojeń oznaczono indeksem  ph ).
2
jX� 1 2
I1ph R1
2
2 2 ph jX� R2
I
I
0
I I
Fe m
2 2 ph
U1ph U
2 2 jXm
RFe E1 E
Rys. 2.18. Pełny schemat zastępczy fazowy transformatora
Wyró\
nia się cztery stopnie uproszczenia pełnego schematu zastępczego transformatora.
10 - pomijamy rezystancję \
elaza, gdy\
: RFe >> X (2.85)
m
16
20 - pomijamy oba parametry gałęzi poprzecznej - RFe i Xm , gdy\
:
2 2
X >> X + X , X H" (10 � 30)Z , X�1 + X� 2 H" (0,02 � 0,05)Z ,
m � 1 � 2 m phN phN
U
phN
R1 H" (0,05 � 0,01)Z , RFe H" 100Z , Z = (2.86)
phN phN phN
I
phN
Z - impedancja fazowa znamionowa transformatora (impedancja odniesienia).
phN
Zakładamy, \
e do wytworzenia strumienia nie potrzeba prądu magnesującego czyli:
� = " . Schemat, w którym uwzględnia się jedynie parametry gałęzi podłu\
nej
(impedancję zwarcia transformatora Zk ) jest podstawowym schematem w analizie pracy
transformatora pod obcią\
eniem jak te\
w warunkach pracy równoległej.
2 2
Z = (R1 + R2) + j(X�1 + X� 2) = Rk + jX (2.87)
k k
30 - pomijamy parametry gałęzi poprzecznej - RFe , X i rezystancję zwarcia - Rk .
m
Przyjmujemy, \
e: Rk << X (2.88)
k
Zało\
enie to stosowane jest w analizie du\
ych jednostek w energetyce.
40 - przyjmujemy transformator idealny (bezstratny), czyli pomijamy wszelkie impedancje
wewnętrzne transformatora.
Schemat stosowany w elektrotechnice, umo\
liwia wyjaśnienie zasad przetwarzania
energii elektrycznej i sprowadzania wielkości jednej strony transformatora na drugą.
2.5. Układy połączeń faz w transformatorze trójfazowym
Schemat zastępczy fazowy transformatora opisany przez układ równań (2.81) lub (2.83)
odnosi się do transformatora, w którym fazy obu stron są nieskojarzone w układ trójfazowy
albo są skojarzone w "gwiazdę z przewodem zerowym" oznaczoną symbolem Y0 - dla strony
pierwotnej oraz y0 - dla strony wtórnej. W zało\
onych warunkach symetrii budowy
transformatora, symetrii zasilania i symetrii obcią\
enia powy\
szy schemat zastępczy odnosi
się równie\
do transformatora, w którym fazy obu stron są skojarzone w "gwiazdę"
oznaczoną symbolem Y - dla strony pierwotnej oraz y - dla strony wtórnej.
Inne rodzaje połączeń faz w układ trójfazowy to:
- D,d - połączenie w trójkąt,
- z, z0 - połączenie w zygzak, które dotyczy strony wtórnej i jest stosowane przy niesymetrii
obcią\
enia, gdy\
poprzez podział fazy uzwojenia na dwie części rozmieszczone na ró\
nych
kolumnach symetryzuje przepływy i strumienie magnetyczne w ka\
dej z kolumn.
Zgodnie z normą PN dotyczącą transformatorów mocy fazy uzwojenia transformatora
oznacza się du\
ymi literami A, B, C, a punkt gwiazdowy literą N. Strony transformatora
oznacza się liczbami arabskimi 1, 2, & przed oznaczeniem literowym, przy czym liczba 1
odpowiada stronie górnego napięcia (GN), a następnymi liczbami naturalnymi oznacza się
kolejne strony napięć od wy\
szych do ni\
szych (DN). Nie rozró\
nia się początków i końców
uzwojeń, wszystkie są końcami oznaczonymi liczbą 1 albo 2, którą wpisuje się po oznaczeniu
literowym fazy. Liczba 1 oznacza koniec uzwojenia fazowego wyprowadzony na tabliczkę
zaciskową, a liczba 2 - koniec uzwojenia fazowego zwierany w układ gwiazdowy lub
zamykające połączenie faz w trójkąt. Kolejnymi liczbami 3, 4, & oznacza się wewnętrzne
końce grup (sekcji) uzwojenia fazowego. Opisany sposób połączeń faz przedstawiono poni\
ej
na rys.2.19.
17
2A 2B 2C
z
2A1 2B1 2C1
1A 1B 1C
1N 1A 1B 1C
1B1 1C1
1A1 1B1 1A1
1C1
2A3 2B3 2C3
1B2 1C2
1A2 1B2 1C2
1A2
2A2 2B2 2C2
Y0
D 2C4
2A4 2B4
a) b) c)
Rys.2.19. Układy połączeń transformatorów trójfazowych: a) gwiazda, b) trójkąt, c) zygzak
2.6. Przekładnia napięciowa i zwojowa
W analizie równań transformatora trójfazowego w miejsce przekładni zwojowej n
wprowadza się pojęcie przekładni napięciowej K , która jest równa stosunkowi napięć
międzyfazowych (przewodowych) strony pierwotnej (zwanej te\
stroną: górnego napięcia,
zasilania) do wtórnej (zwanej te\
stroną: dolnego napięcia, obcią\
enia).
U1
K = , K e" 1 (2.89)
U2
Przekładnia napięciowa mo\
e mieć inną wartość ni\
przekładnia zwojowa n , która jest równa
stosunkowi liczby zwojów czyli w dobrym przybli\
eniu stosunkowi napięć fazowych strony
pierwotnej i wtórnej. Przekładnia napięciowa jest to\
sama z przekładnią zwojową jedynie w
przypadku takiego samego skojarzenia faz obu stron transformatora, co w praktyce dotyczy
skojarzenia: Yy .
I tak dla:
- Yy �! K = n (2.90)
- Yd, Dy,Yz, Dz �! K `" n (2.91)
W zale\
ności od układu połączeń uzwojeń transformatora przekładnię napięciową K mo\
na
wyrazić przez przekładnię zwojową n następująco:
U1 ph
N1
K = kn , przy czym n = lub n = (2.92)
N2 U2 ph
Wartości współczynników k dla ró\
nych układów połączeń są przedstawione w poni\
szej
tabeli.
k dla układu połączeń faz
Strona
wtórna - 2 (DN)
transformatora
d y z
D 1 2/3
1/ 3
pierwotna -
1 (GN)
Y 1
3 2 / 3
18
Zaletą wprowadzenia do opisu transformatora przekładni napięciowej jest prostota analizy
wartości napięć i prądów zasilania i odbioru, opartej na jednym uniwersalnym fazowym
schemacie zastępczym  rys.2.20, niezale\
nie od układu połączeń faz transformatora
(transformator przedstawiony jest w zastępczym układzie połączeń Yy ). Wtedy zawsze
jako wartość napięcia strony pierwotnej i wartość napięcia sprowadzonego strony wtórnej
nale\
y podać wartości międzyfazowe tych napięć podzielone przez 3 . Prądy przedstawione
na schemacie są prądami fazowymi w zastępczym układzie połączeń Yy , lecz jednocześnie są
równe prądom przewodowym (po stronie wtórnej prąd jest sprowadzony przez przekładnię).
Po wyznaczeniu wartości zmiennych przewodowych mo\
na, poprzez proste przeliczenia
" �! Y lub Y �! " wyznaczyć rzeczywiste wartości fazowe tych zmiennych. Parametry
strony wtórnej w uniwersalnym schemacie zastępczym, podobnie jak impedancja
obcią\
enia ZL , są przeliczane na stronę pierwotną przez kwadrat przekładni napięciowej
K , a nie przez kwadrat przekładni zwojowej n . Jeśli fazy obcią\
enia są skojarzone w
trójkąt ( " ) przed sprowadzeniem ZL na stronę zasilania nale\
y je przeliczyć na równowa\
ne
przy skojarzeniu faz impedancji w gwiazdę (Y ). Przy symetrii obcią\
enia spełniony jest
związek: Z = 3ZY . Wartości parametrów gałęzi poprzecznej, niezale\
nie od skojarzenia faz
"
strony pierwotnej obliczamy tak, jakby te fazy były połączone w gwiazdę. Szczegółowe
zale\
ności zostaną podane przy omawianiu poszczególnych stanów pracy transformatora.
I1 R1 jX�1 I jX� R2
2
2 2 2 2
2 L
I
I
0
I I
Fe m
U1
2 2 jXm Z2 L U2 2 = U2 L
RFe E1 E
3
3 3
3 3
Rys.2.20. Pełny uniwersalny schemat zastępczy fazowy obcią\
onego transformatora dla
zastępczego układu połączeń Yy
2.7. Grupa połączeń transformatora
W zale\
ności od sposobu połączenia obu uzwojeń transformatora mo\
na otrzymać ró\
ne
przesunięcia fazowe pomiędzy jednoimiennymi napięciami międzyfazowymi strony
pierwotnej (GN) i wtórnej (DN) - np. pomiędzy U1A1B i U2A2B, lub pomiędzy U1C1A i U2C2A.
Dla ka\
dego transformatora trójfazowego, po symbolu układu połączeń uzwojeń podaje się
liczbę równą jego grupie połączeń. Grupa połączeń jest to kąt przesunięcia fazowego liczony
zgodnie z ruchem wskazówek zegara między napięciem międzyfazowym strony pierwotnej i
odpowiadającym mu napięciem międzyfazowym strony wtórnej. W układach gwiazda,
trójkąt, zygzak kąty przesunięcia fazowego są zawsze wielokrotnością kąta 30�, stąd
wygodnie jest podawać je jako tzw. kąty godzinowe g . Przykładowo - np. 5 oznacza
opóz
nienie fazy napięcia międzyfazowego strony wtórnej względem fazy napięcia
międzyfazowego strony pierwotnej o kąt 150�. Nale\
y przypomnieć, \
e napięcia fazowe obu
uzwojeń na tych samych kolumnach są zawsze w fazie - patrz rys.2.16. Układy połączeń Yy,
Dd, Dz mają parzyste grupy połączeń, zaś Yd, Dy, Yz - nieparzyste grupy połączeń.
Znajomość grupy połączeń ma istotne znaczenia dla prawidłowego doboru transformatorów
do pracy równoległej.
Poni\
ej na rys.2.21  rys.2.23. są przedstawione trzy typowe układy połączeń transformatora i
graficzna metoda wyznaczenia ich grupy połączeń.
19
U1A1B
1A 1B 1C
1A
U1A U1B
U1A U1A1B
U1A1B
U
2 A2B
U1B
U
U
2B 2A
2 A
1B
1C
U U
2 A 2 A2B
ą = 00 �! g = 0
U
2 A2B
Yy0
U
2A 2B
2B 2C
2C 2B
Rys.2.21. Schemat układu połączeń Yy transformatora, wykresy wskazowe napięć
i graficzne wyznaczenie grupy połączeń (kąta godzinowego)
U1A1B
1A 1B 1C
1A
U1A1B
U1A U1B
U1A U1A1B U
2 A2B
U1B
2A
U
U
ą = 3300 �! g = 11
2B
2 A
1C
1B
U
U
2 A2B
2 A
Dy11
U
2 A2B
U
2B
2A
2B 2C
2C 2B
Rys.2.22. Schemat układu połączeń Dy transformatora, wykresy wskazowe napięć
i graficzne wyznaczenie grupy połączeń (kąta godzinowego)
1A
U1A1B
1A 1B 1C
U1A1B
U1A U1A1B
U1C
U1A U1B
U
2 A2B
U1C
U1B
2
2 2
U
U U
2C 1B
2 A 2B
1C
2A
ą
U
2 A2B
U1 A
2
2
U
2C
U1 A U1 U1 2
2 2B 2C
U
U1 2B
2B 2
2B
U
2 A
ą = 3300 �! g = 11
Yz11
U
2 A2B
U1
2C
2A
2B 2C
2C
Rys.2.23. Schemat układu połączeń Yz transformatora, wykresy wskazowe napięć
i graficzne wyznaczenie grupy połączeń (kąta godzinowego)
20
Zalecane przez PN grupy połączeń to:
- dla Yy - g = 0 ,
- dla Dy,Yd - g "{5,11}
2.8. Stany pracy transformatora.
2.8.1.Stan jałowy
Stan jałowy transformatora polega na zasilaniu jednego z uzwojeń transformatora np.
pierwotnego przy rozwartych zaciskach drugiego uzwojenia ( I2 = 0 ). W normalnych
transformatorach energetycznych prąd jałowy I0 wynosi kilka procent prądu znamionowego
(2�12%) I . O jego wartości decyduje przede wszystkim wielkość impedancji gałęzi
N
poprzecznej Z0 , wielokrotnie większej od impedancji uzwojenia pierwotnego Z1 . W stanie
jałowym straty "Pw0 w uzwojeniu pierwotnym, zale\
ne od kwadratu prądu I0 , są pomijalnie
małe i praktycznie całkowita moc czynna "P0 pobrana przez transformator jest równa stratom
w rdzeniu "PFe , na które składają się straty spowodowane histerezą "Ph "Ph ~ B2 , "Ph ~
f0 ) i prądami wirowymi "Pwir ( "Pwir ~ B2 , "Pwir ~ f02 ). Poniewa\
straty mocy w rdzeniu
zale\
ą od kwadratu indukcji B , zale\
ą więc równie\
od kwadratu napięcia zasilania U1 .
"PFe = "Ph + "Pwir (2.93)
Schemat zastępczy dla stanu jałowego mo\
na uprościć do postaci przedstawionej na rys.2.24.
R1 jX�1
I I
0 0
I I
I
Fe m
m
U1 I Fe
U1
jXm �! 3 RFe E1 E2 2
RFe E1 E2 2 jXm
3
3 3 3
3
Rys.2.24. Schemat zastępczy dla stanu jałowego transformatora
Parametry gałęzi poprzecznej transformatora wyznacza się przy zasilaniu napięciem
znamionowym z uproszczonego schematu zastępczego za pomocą zale\
ności:
2
�łU1N �ł 3 U12N U1N U1N
2 2
RFe = �ł �ł �" = , IFe = , Im = I0 - IFe , X = (2.94)
m
"PFe "PFe
3 3RFe 3Im
�ł łł
2.8.2. Wpływ układu połączeń, nasycenia oraz budowy rdzenia na przebieg prądu
magnesującego, strumienia i napięć transformatora
Przy sinusoidalnym napięciu zasilania, przebieg czasowy prądu jałowego i0 (t) będzie
odkształcony, je\
eli magnesowanie rdzenia odbywa się powy\
ej linowej części
charakterystyki magnesowania. Na rys.2.25 przedstawione są przebiegi indukcji
magnetycznej B(t) , prądu jałowego i0(t) i jego składowych: czynnej iFe (t) oraz biernej im(t)
dla nieliniowego magnesowania, przy uwzględnieniu pętli histerezy.
Straty jałowe w rdzeniu, reprezentowane zasadniczo przez pętlę histerezy, powodują
dodatkowe zniekształcenie prądu jałowego i0(t) . Wartość skuteczna tego prądu I0 jest
21
związana z wartościami skutecznymi składowej czynnej IFe i biernej Im (zwanej prądem
2 2
magnesującym) zale\
nością: I0 = IFe + Im . Składowa czynna iFe(t) ma przebieg
proporcjonalny i zgodny w fazie do przebiegu napięcia zasilania - u1(t) = RFeiFe (t) .
B,im,iFe,i0
Ś
im(t)
B(t)
i0(t)
iFe(t)
I0 t
Rys.2.25. Przebiegi strumienia i prądu jałowego oraz magnesującego z uwzględnieniem pętli
histerezy
Składowa bierna prądu im(t) jest opóz
niona względem siły elektromotorycznej (i praktycznie
napięcia u1(t) ) o kąt (Ą 2 ), a jej przebieg czasowy jest krzywą antysymetryczną, tzn. \
e w
rozwinięciu na szereg Fouriera występują tylko wyrazy z przemiennymi znakami
poszczególnych harmonicznych sinusów nieparzystych rzędów. Przez to krzywa jest w
charakterystyczny sposób wyostrzona, co przedstawione jest na rys.2.26.
im(t) = 2 �"(Im1 �"sin�0t - Im3 �"sin3�0t + Im5 �"sin 5�0t -K) (2.95)
im(t)
im
im1(t)
im3(t)
im5(t)
t
Rys.2.26. Rozkład odkształconego, ze względu na krzywą magnesowania,
prądu magnesującego na składowe harmoniczne
Amplituda prądu magnesującego wynosi: Immax = 2(Im1 + Im3 + Im5 + K) (2.96)
2 2 2
Wartość skuteczna jest określona wzorem: Im = Im1 + Im3 + Im5 +K (2.97)
22
Amplituda prądu magnesującego zale\
y w największym stopniu od pierwszej, trzeciej i piątej
harmonicznej. Na podstawie uzyskanego przebiegu im (t) mo\
na wyznaczyć współczynniki:
Im max Im1 Im
Ks =  szczytu, Kod =  odkształcenia, Kk =  kształtu. (2.98)
Im Im Imśrp
Trzecia harmoniczna w prądzie fazowym ma częstotliwość trzy razy większą ni\

harmoniczna podstawowa i wyraz
nie zwiększa straty na prądy wirowe.
Jak przedstawiono powy\
ej przy nasyceniu obwodu magnetycznego, dla zachowania
sinusoidalnego przebiegu wytworzonego przez uzwojenie pierwotne strumienia (rys.2.25) i
dalej sinusoidalnego przebiegu napięcia indukowanego po stronie wtórnej transformatora,
prąd magnesujący powinien być odkształcony - rys.2.26. Jeśli prąd magnesujący nie będzie
zawierał wy\
szych harmonicznych, w tym szczególnie istotnej trzeciej harmonicznej, to
wytworzony strumień magnetyczny zostanie odkształcony. Poniewa\
trzecie harmoniczne
prądów fazowych są ze sobą w fazie, mogą płynąć jedynie w uzwojeniu, które jest połączone
w gwiazdę z przewodem zerowym lub trójkąt. Dla tych układów połączeń magnesowanie
rdzenia nazywamy magnesowaniem swobodnym. Jeśli oba uzwojenia transformatora będą
połączone w gwiazdę bez przewodu zerowego trzecie harmoniczne prądów nie mogą płynąć,
co spowoduje odkształcenie strumienia - rys.2.27 i napięcia strony wtórnej - rys.2.28. Wtedy
magnesowanie rdzenia jest wymuszone.
Śa,1h(t) u2a (t)
u2a (t)
Śa (t)
Śa (t)
u2a,1h(t)
u2a,3h(t)
Śa,3h (t)
t
t
Rys.2.28. Przebieg wypadkowego napięcia
Rys.2.27. Przebieg strumienia wypadkowego
fazowego oraz jego pierwszej i trzeciej
oraz jego pierwszej i trzeciej harmonicznej, w
harmonicznej, indukowanych po stronie
pierwszej kolumnie transformatora
wtórnej transformatora o układzie połączeń Yy
trójkolumnowego o układzie połączeń Yy
Trzecie harmoniczne strumieni Ś3 wytworzonych w ka\
dej kolumnie oraz indukowanych
napięć fazowych są odpowiednio ze sobą w fazie i mają częstotliwość trzykrotnie większą ni\

częstotliwość sieci. Wartość trzecich harmonicznych napięć mo\
e być znaczna. Przykładowo
jeśli strumień Ś3 stanowi 10% podstawowej harmonicznej strumienia, to indukowana trzecia
harmoniczna napięcia wynosi ju\
30% jego podstawowej harmonicznej.
Dla rdzenia trójkolumnowego wspomniane składowe strumieni zamykają się przez powietrze
i elementy konstrukcyjne transformatora, w tym kadz
, zwiększając straty cieplne od
indukowanych prądów wirowych. Dla rdzenia pięciokolumnowego (oraz dla układu trzech
transformatorów jednofazowych) droga trzecich harmonicznych strumieni przebiega w
całości w rdzeniu, co istotnie zwiększa przewodność magnetyczną i zawartość trzecich
harmonicznych w strumieniu wypadkowym. Przebieg trzecich harmonicznych strumieni
przedstawiony jest na rys.2.29.
Z przedstawionej powy\
ej analizy nale\
y wnioskować, \
e w transformatorach o układzie
połączeń Yy występują niekorzystne zjawiska: zniekształcenie sinusoid napięć fazowych
(większe w transformatorach pięciokolumnowych), a w transformatorach trójkolumnowych
23
dodatkowe straty wiroprądowe (dochodzące do 50% strat w rdzeniu). Stąd w
transformatorach mocy tego układu połączeń nie stosuje się.
Ś3a + Ś3b + Ś3c
Ś3a Ś3b Ś3c Ś3b
Ś3b
Ś3a Ś3b Ś3c
Ś3c +
Ś3a +
2
2
Rys.2.29. Przebieg trzecich harmonicznych strumieni w transformatorze
trójkolumnowym i pięciokolumnowym
Dla zapewnienia swobodnego magnesowania transformatora przy zasilaniu z
trójprzewodowej sieci jedno z uzwojeń powinno być połączone w trójkąt. Uzwojenie to dla
trzecich harmonicznych prądów fazowych stanowi zamknięty obwód elektryczny.
Harmoniczne te płyną jedynie wewnątrz trójkąta, nie ma ich w prądach przewodowych.
Jeśli uzwojenie pierwotne jest połączone w trójkąt, prąd fazowy tego uzwojenia mo\
e być
odkształcony i wytworzyć sinusoidalny strumień. W układzie połączeń Yd w uzwojeniu
pierwotnym wskutek nieliniowości obwodu magnetycznego zostają wytworzone trzecie
harmoniczne strumieni magnetycznych i napięć fazowych. W napięciu międzyfazowym
trzecia harmoniczna napięcia nie występuje, gdy\
suma tych harmonicznych, będących ze
sobą w fazie, dla dwóch dowolnych faz wynosi zero. Prądy fazowe uzwojenia pierwotnego
pozostają sinusoidalne, gdy\
w układzie połączeń Y nie mogą płynąć trzecie harmoniczne
prądów. Trzecie harmoniczne napięć fazowych indukują trzecie harmoniczne prądów
fazowych jedynie w uzwojeniu wtórnym. Prąd w tym uzwojeniu jest zatem odkształcony, co
zapewnia wytworzenie sinusoidalnego strumienia.
Zatem połączenie dowolnego uzwojenia transformatora w trójkąt ( D," ) jest korzystne, gdy\

zapewnia po\
ądany kształt prądu magnesującego, przy czym trzecie harmoniczne prądów
płyną jedynie wewnątrz trójkąta, napięcia międzyfazowe są sinusoidalne, a trzecie
harmoniczne strumieni praktycznie nie występują. Stąd przy połączeniu transformatora Yy
stosuje się dodatkowe uzwojenie bez wyprowadzeń, połączone w trójkąt.
2.8.3. Stan zwarcia
Stan zwarcia pomiarowego przy zasilaniu jednego z uzwojeń transformatora występuje przy
zwartych zaciskach drugiego uzwojenia. Ju\
przy zasilaniu transformatora niewielkim
napięciem w uzwojeniu zasilonym popłynie prąd znamionowy, a w uzwojeniu zwartym prąd
bliski znamionowemu. Napięcie to nazywa się napięciem zwarcia Uk , a stan ten określa się
jako stan zwarcia normalnego. Napięcie zwarcia podaje się zazwyczaj w procentach napięcia
znamionowego i wynosi ono uk = (3 � 6%)U dla transformatorów małej mocy, a
N
(10 �15%)UN dla transformatorów du\
ych mocy. Transformatory specjalne np. do zasilania
neonów, pieców łukowych i spawarek elektrycznych mają zwiększone napięcie zwarcia
poprzez zwiększenie strumieni rozproszenia. W stanie zwarcia normalnego (U1 = Uk ) prąd
magnesujący Im zmieniający się w funkcji napięcia U1 zgodnie z krzywą magnesowania
osiąga małą wartość względem prądu znamionowego IN . Jednocześnie straty w rdzeniu
"PFe , zale\
ne od kwadratu napięcia zasilania U1 , są pomijalnie małe ( I E" 0 ) co oznacza, \
e
Fe
w schemacie zastępczym dla stanu zwarcia mo\
na pominąć gałąz
poprzeczną - rys.2.30.
24
2 2
R1 jX� 1 jX� 2 R2
I1N
I1N Rk jX k
2 2 2 2 N
I E" I
U1k
U1k
�!
3
3
Rys.2.30. Schemat zastępczy dla stanu zwarcia transformatora
W stanie zwarcia normalnego praktycznie całkowita moc czynna "Pk pobrana przez
transformator pokrywa straty mocy w uzwojeniach "Pw . Straty te, zwane stratami
zwarciowymi, równe są tzw. stratom obcią\
eniowym w uzwojeniach PwN , poniewa\
prąd w
stanie normalnego zwarcia równy jest prądowi znamionowemu. Straty obcią\
eniowe w
uzwojeniach mo\
na rozdzielić na straty podstawowe "Pwp i straty dodatkowe "Pd . Straty
podstawowe "Pwp równe są mocy wydzielonej na rezystancjach uzwojeń, mierzonych prądem
stałym. Straty dodatkowe "Pd powstają na skutek nierównomiernego rozkładu prądu w
uzwojeniach i wywoływane są równie\
wewnątrz przewodów i konstrukcji prądami
wirowymi od strumieni rozproszeń.
Parametry zwarciowe transformatora trójfazowego dla przyjętego zastępczego układu
połączeń Yy mo\
na wyznaczyć, na podstawie rys.2.30, z formuł:
uk U12N SN PwN
2 2
Zk = , I1N = , Rk = , Xk = Zk - Rk (2.99)
100% SN 3I12N
3U1N
gdzie:
2
- rezystancja zwarcia Rk wynosi: Rk = R1 + R2 (2.100)
2
- reaktancja zwarcia X wynosi: X = X� 1 + X� 2 (2.101)
k k
Zespolona suma rezystancji i reaktancji zwarcia jest impedancją zwarcia:
Z = Rk + jX (2.102)
k k
Znając napięcie zwarcia Uk oraz jego składowe UkR = Rk IN i UkX = X IN mo\
na określić:
k
- zakres zmian napięcia strony wtórnej transformatora (rozdział 2.8.4),
- przydatność transformatora do pracy równoległej (rozdział 2.9),
UN
- wartość prądu zwarciowego Ik , przy zasilaniu napięciem znamionowym: Ik = IN .
Uk
2.8.4. Stan obcią\
enia symetrycznego
W stanie obcią\
enia do zacisków strony wtórnej transformatora dołączony jest odbiornik o
impedancji ZL . W zale\
ności od charakteru impedancji obcią\
enia ZL (rezystancyjny,
indukcyjny, pojemnościowy) napięcie na zaciskach strony wtórnej U2 zmienia się w funkcji
prądu obcią\
enia I2 (prądu strony wtórnej transformatora tworząc), przy stałym współ-
czynniku mocy obcią\
enia cos�2 = cos�L , charakterystykę zewnętrzną transformatora
U2 = f (I2 ) - rys.2.31. Jednocześnie prąd obcią\
enia powoduje spadki napięcia na
rezystancjach uzwojeń oraz reaktancjach rozproszeń transformatora.
25
U2
cos�cap
U20
cos�L = 1
cos�ind
I2
I2k
I2 N
Rys.2.31. Charakterystyki zewnętrzne transformatora dla trzech obcią\
eń: indukcyjnego o
cos�L = cos�ind , rezystancyjnego o cos�L = 1 i pojemnościowego o cos�L = cos�cap
Do określenia zmian napięcia strony wtórnej u\
ywa się wyra\
onej w % wielkości względnej
�U zwanej zmiennością napięcia transformatora:
U20 -U2
�U% = �"100% (2.103)
U20
gdzie: U20 - napięcie strony wtórnej w stanie jałowym,
U2 - napięcie w danym stanie obcią\
enia.
Dla znamionowej zmienności napięcia napięcie U2 jest mierzone przy prądzie I2 = I2N .
Analizę pracy trójfazowego transformatora w stanie obcią\
enia mo\
na przeprowadzić, na
podstawie schematów zastępczych przedstawionych na rys.2.32 i rys.2.33. Uproszczenie
drugiego schematu polega na pominięciu niewielkiego, w stosunku do prądu obcią\
enia,
prądu biegu jałowego, a tym samym parametrów gałęzi poprzecznej w schemacie
zastępczym. Wtedy impedancja wewnętrzna dla fazy transformatora jest równa impedancji
zwarcia (impedancji gałęzi podłu\
nej).
2 2
jX�1 I2 2 ph jX� 2 R2
I1ph R1
2 Lph
I I
0
I I
m
Fe
U1 ph
RFe E1 ph E2 2 ph
jXm Z2 Lph U2 2 ph = U2 Lph
y
Y
Rys.2.32. Pełny schemat zastępczy fazowy obcią\
onego transformatora w uniwersalnym
układzie połączeń Yy
Rk jXk
2 2 ph
I1ph = I Rk jXk
2 2
I1 = I
2 Lph
I
�!
U1ph
2 Lph 2 2 ph 2 Lph 2 L 2 2 2 L
Z U = U U1 Z U = U
Rys.2.33. Uproszczony schemat zastępczy fazowy obcią\
onego transformatora w
uniwersalnym układzie połączeń Yy
26
Obu przedstawionym schematom odpowiadają wykresy wskazowe prądów i napięć
fazowych, przedstawione na rys.2.34. Dla ułatwienia w opisie zmiennych pominięto, zgodnie
z rys.2.33, indeks  ph .
D
�L
C
jX� 1I1
2 2
jXk I
2 2
jXk I
2 2
Z I
k
2 2
Z I
k B
2 2 R1I1
E1 = E
2 2
jX� 2 I
�L
2 2
Rk I
2 2
Rk I
I
0
U1 A
U1 U1
2 2 2
R2 I
2 2
U
2 2
I1 U
2 2
U
2 2
I
2 2
I
�L = �2
�L
I
0
I
Fe
I
m
a) b) c)
Rys.2.34. Wykres wskazowy fazowy obcią\
onego transformatora: a) pełny, b) uproszczony
oraz c) wyjaśnienie wyprowadzenia uproszczonego wzoru na zmienność napięcia
2 2
Geometryczna ró\
nica "U pomiędzy napięciami U1 i U jest równa napięciu na impedancji
zwarcia. Moduł tej ró\
nicy jest w przybli\
eniu równy długości odcinka AC - rys.2.34c.
Jednocześnie: AC = AB + BC . Z analizy wykresu otrzymujemy zale\
ności:
2
AB = RkI2 cos�L E" RkI1 cos�L = UR cos�L
2
oraz BC = Xk I2 sin�L E" XkI1 sin�L = U sin�L (2.104)
X
Zatem spadek napięcia na impedancji zwarcia jest równy:
"U = UR cos�L +U sin�L (2.105)
X
Kąt przesunięcia fazowego �L pomiędzy prądem i napięciem na fazie obcią\
enia jest kątem
skierowanym i jego znak zale\
y od charakteru obcią\
enia.
I tak:
dla obcią\
enia o charakterze indukcyjnym - � > 0
L
dla obcią\
enia o charakterze pojemnościowym - � < 0 (2.106)
L
Zatem funkcja sin�L mo\
e przyjąć ujemną wartość.
Zmienność napięcia zgodnie z definicją (wzór 2.103) wynosi:
2 2 2
U20 -U2 U20 -U2 U1 -U2 "U UR cos�L +U sin�L
X
�U = = = = = (2.107)
2
U20 U20 U1 U1 U1
27
Jeśli odniesiemy ją do wartości znamionowej napięcia fazowego U1N po przyjęciu, \
e
2 N
I2 E" I1N otrzymamy:
2 2 2 2 2 N 2
Rk I2 cos�L + X I2 sin�L I2 Rk I2N cos�L + X I2 sin�L 3I2N
k k
�U% = �"100% = �" �"100% =
2 N 2
U1N I2 U1N 3I2N
2 2 N 2
I2 PwN cos�L + 3X (I2 )2 sin�L I2
k
= �"100% = (uRN % cos�L + uXN % sin�L)
2 N 2
I2 SN I2N
PwN
2 2
gdzie: uRN % = 100 , uXN % = uk - uRN % (2.108)
SN
uk - napięcie zwarcia w procentach.
Zmienność napięcia mo\
na równie\
wyznaczyć z równowa\
nych zale\
ności:
I2
�U% = (uRN % cos�L + uXN % sin�L ) (2.109)
I2 N
lub
I1
�U% = (uRN % cos�L + uXN % sin�L ) (2.110)
I1N
Na rys. 2.35 są przedstawione uproszczone wykresy wskazowe fazowe dla trzech ró\
nych
obcią\
eń transformatora: a) indukcyjnego, b) rezystancyjnego, c) pojemnościowego. Ilustrują
one jak zmienia się napięcie po stronie wtórnej transformatora w stosunku do napięcia
jałowego w zale\
ności od współczynnika mocy odbiornika.
2 2
Rk I
U1 = const 2 2
jXk I
2 2
jXk I
2 2 2 2
jXk I Z I
k
2 2
Rk I 2 2
U
2 2
Z I
k
2 2
Z I
k
2 2
Rk I
2 2
U
U1 U1 U1
2 2
U
2 2
�L I
2 2
I
�L
2 2
I
a) b) c)
Rys.2.35. Uproszczone wykresy wskazowe fazowe dla U1 = const i trzech ró\
nych obcią\
eń
transformatora: a) indukcyjnego, b) rezystancyjnego, c) pojemnościowego.
Na rys.2.36 jest przedstawiona przykładowa zale\
ność zmienności napięcia od współczynnika
mocy cos�L i rodzaju obcią\
enia dla transformatora o napięciu zwarcia Uk = 6% .
28
�U (%)
uk 6
5
4
3
2
cos�L
1
0cap 0,5 -1 1
0ind
0,5
cos�k
- 2
RC RL
- 3
- 4
Rodzaj obcią\
enia
- 5
- 6
R
Rys.2.36. Zale\
ność zmienności napięcia od współczynnika mocy cos�L i rodzaju obcią\
enia
dla transformatora o napięciu zwarcia uk = 6% .
2.8.5. Sprawność transformatora
Sprawnością transformatora � nazywa się stosunek mocy czynnej P2 oddanej przez
transformator do mocy czynnej P1 , pobranej z sieci zasilającej:
P2
� = (2.111)
P1
Ró\
nica między mocą pobraną P1 a oddaną P2 jest równa sumie strat mocy w
transformatorze: strat jałowych "P0 i strat zwarciowych "Pk .
Sprawność mo\
na więc określić jako:
P2 "P0 + "Pk "P0 + "Pk
� = = 1- = 1- (2.112)
P1 P1 P2 + "P0 + "Pk
Przebieg sprawności w funkcji mocy oddanej P2 przedstawiono na rys.2.37. Maksymalna
sprawność transformatora znajduje się w zakresie 50�70% mocy znamionowej i wówczas
straty zwarciowe "Pk są w przybli\
eniu równe stratom jałowym "P0 . W warunkach
znamionowych straty zwarciowe (straty obcią\
eniowe w uzwojeniach) są 2�4 razy większe
od strat jałowych.
�
�
�max
"Pk
"P0
P2
~ 0,5P2 N P2N
Rys.2.37. Przebieg sprawności transformatora w funkcji mocy oddanej
Znamionowa sprawność transformatora mocy wynosi �N H" 0,95 � 0,99 .
29
2.9. Praca równoległa transformatorów
Praca równoległa transformatorów jest pracą kilku transformatorów, których uzwojenia
pierwotne zasilane są ze wspólnej sieci, a uzwojenia wtórne przyłączone do wspólnych szyn
zasilających odbiorniki - rys.2.38. Układ transformatorów połączonych równolegle pozwala
stosować jednostki o mniejszych mocach znamionowych, przy zachowaniu wymaganej mocy
całego układu transformatorów. Poszczególne transformatory mogą być załączane lub
wyłączane, stosownie do potrzeb.
U1
....
TA TB Ti
I2 A I2B I2i
IL
UL ZL
Rys.2.38. Grupa transformatorów w układzie pracy równoległej
Transformatory pracujące równolegle analizujemy od strony obcią\
enia, sprowadzając
parametry fazowych schematów zastępczych na stronę wtórną. Dla transformatorów
trójfazowych wartości napięć i prądów fazowych oraz parametrów schematu zastępczego
transformatora, niezale\
nie od realnego układu połączeń, najwygodniej jest przedstawić w
zastępczym układzie Yy (zgodnie z formułami przedstawionymi dla przypadków pracy
samotnej transformatora). Podobnie jak przy analizie pracy obcią\
onego transformatora w
opisie zmiennych na schematach zastępczych i we wzorach pomijamy dla ułatwienia indeks
 ph . Sprowadzając parametry strony pierwotnej na wtórną, schemat zastępczy i - tego
transformatora mo\
na przedstawić w postaci dwójnika aktywnego  rys.2.39.
Z
2 2 1i
Z Z ki
2i
2 2 1
U U 2 2 0 i U U
Z U
20i 2i �! 2i
20i
Rys.2.39. Przekształcenie schematu zastępczego transformatora do postaci dwójnika
Napięcie indukowane w uzwojeniu wtórnym i - tego transformatora U20i wynosi:
U1
2 2 1
U = kTi = kTiU (2.113)
20i
Ki
Z
0i
gdzie: współczynnik Thevenina - kTi = H" 1 (2.114)
Z1i + Z
0i
Z oznacza impedancję zwarciową i - tego transformatora sprowadzoną na stronę wtórną:
ki
2 2 1i 2 2 0i
Z Z
2 2 1i
Z = Z + = Z + kTi Z = Rki + jXki (2.115)
ki 2i
2 2 1i 2 2 0i 2i
Z + Z
30
Korzystając z podanego wy\
ej przekształcenia, układ transformatorów z rys.2.38 mo\
na
przedstawić w postaci jak na rys.2.40.
U U U
20 A 20B 20i
&
Z Z Z
kA kB ki
I
I I Z L
2i
2 A 2B
U
L
I
L
Rys.2.40. Schemat zastępczy układu połączonych równolegle transformatorów
Napięcia na zaciskach uzwojeń wtórnych transformatorów w układzie pracy równoległej są
jednakowe.
Stąd: U = U - Z I = U - Z I = K = U - Z I (2.116)
L 20 A kA 2 A 20B kB 2B 20i ki 2i
W przypadku pracy równoległej n transformatorów, prąd obcią\
enia IL jest sumą
geometryczną prądów stron wtórnych poszczególnych transformatorów:
n
U
L 20i L
I = =
L "U Z-U (2.117)
Z
i=1
L ki
n
20i
"U
Z
i=1
ki
Wówczas napięcie na zaciskach szyn odbiorczych wynosi: U = (2.118)
L
n
1 1
+
"
Z Z
i=1
ki L
n
20i
"U
Z
i=1
ki
Prąd obcią\
enia mo\
na określić na podstawie wyra\
enia: I = (2.119)
L
n
1
1+ Z
L"
Z
i=1
ki
n
20i
"U
Z
i=1
ki
W stanie jałowym napięcie na zaciskach szyn odbiorczych wynosi: U = (2.120)
0
n
1
"
Z
i=1
ki
Dla dwóch transformatorów A i B ( n = 2 ) otrzymamy, zgodnie z rys.2.41:
Z
Z
I
I kB
kA
2B
2 A
I
L
U
20 A
U U
L 20B
Z
L
Rys.2.41. Schemat zastępczy dwóch połączonych równolegle transformatorów
31
Prąd obcią\
enia I jest sumą geometryczną prądów przewodowych stron wtórnych obu
L
transformatorów i aby go wyliczyć nale\
y rozwiązać dwuoczkowy układ aktywny. Zwykle w
obliczeniach przyjmujemy wartość współczynnika kTi = 1 (2.114), czyli U = U , stąd:
20i 2 Niph
U
�łU *" 2NA łł
20 A
�ł śł
Z + Z Z I
�ł łł�ł łł
kA L L 2 A
3
= (2.121)
�ł śł
�ł śł�łI śł
Z Z + Z
�ł L kB L �ł�ł 2B �ł
�łU 20B *" U 2NB śł
�ł śł
3
�ł �ł
Stąd wartości zespolone prądów fazowych wynoszą:
Z + Z - Z
�ł łł
kB L L
U
�łU *" 2 NA łł
�ł śł
20 A
�ł śł
I
�ł łł - Z Z + Z
2 A
�ł L kA L �ł 3
=
�ł śł
(2.122)
�łI śł
(Z Z + Z Z + Z Z )
�ł 2B �ł kA kB kA L kB L
�łU 20B *" U 2 NB śł
�ł śł
3
�ł �ł
Napięcie na obcią\
eniu i prąd obcią\
enia są odpowiednio równe:
U U
U U
20 A 20 B
20 A 20B
+
+
Z Z
Z Z
kA kB kA kB
U = , I = I + I = (2.123)
L L 2 A 2B
1 1 1
�ł 1 1 �ł
+ +
1+ Z �ł + �ł
L
�ł �ł
Z Z Z
Z Z
kA kB L
�ł kA kB łł
W stanie jałowym napięcie na zaciskach szyn odbiorczych zgodnie z rys.2.42 wynosi:
Z Z U U
I = "I
kA kB 20 A 20B
w
+
Z Z
kA kB
U = U = (2.124)
0 L0
1 1
+
Z Z
kA kB
U U
U
20 A 0
20B
Z
L
Prąd wyrównawczy I = "I jest równy:
w
U -U U -U
20 A 20B 2 NA 2BN
I = "I = *" (2.125)
w
Rys.2.42. Schemat zastępczy dwóch
Z + Z
3(Z + Z )
kA kB
kA kB
transformatorów w stanie jałowym pracy
równoległej
Dla zastępczego układu połączeń Yy transformatorów jest to równie\
prąd przewodowy.
Wartość tego prądu wynika z ilorazu ró\
nicy napięć wtórnych i sumarycznej impedancji
zwarciowej. Prąd wyrównawczy płynie niezale\
nie od prądu obcią\
enia.
Poniewa\
do pracy równoległej dobiera się transformatory o tym samym układzie i tej samej
grupie połączeń a ich strony pierwotne zwykle zasilane są ze wspólnej sieci, to ró\
nica napięć
jałowych stron wtórnych tych transformatorów wynika z ró\
nicy ich przekładni
napięciowych. Transformator o większej przekładni K ma mniejsze napięcie jałowe U20 , co
powoduje, \
e zgodnie z formułą (2.122) przy pewnej wartości impedancji obcią\
enia ZL
prąd strony wtórnej tego transformatora mo\
e być bliski zeru. Poni\
ej na rys.2.43
przedstawiono charakterystyki zewnętrzne i rozkład prądów stron wtórnych względem prądu
obcią\
enia dla dwóch transformatorów o ró\
nych przekładniach.
32
U2 A,U2B,UL I2 A I2B
A
KA < KB
U20 A
I2 Ax
UL0
U20B
I2Bx
B
A
ULx
Iw
IL
0
B
ILx
2Iw
- Iw
I2 A, I2B
0
- Iw Iw I2Bx I2 Ax
a) b)
Rys.2.43. Praca równoległa dwóch transformatorów o ró\
nych przekładniach:
a) charakterystyki zewnętrzne, b) rozkład prądów stron wtórnych transformatorów względem
prądu obcią\
enia
Schemat z rys.2.41 dotyczy transformatorów, których napięcia jałowe stron wtórnych ró\
nią
się co do amplitudy lub fazy. Jeśli zespolone wartości skuteczne tych napięć będą równe,
czyli:
U20 A = U20B
ńł
�ł
ją ją
A B
U = U �! U20 Ae = U20Be �! '" (2.126)
�ł
20 A 20B
�ł
ąA = ąB
ół
stosując zasadę superpozycji mo\
na w tym przypadku pracy równoległej transformatorów
przypisać schemat zastępczy jak na rys.2.44, w którym impedancje zwarciowe
transformatorów są połączone ze sobą równolegle.
Z
I kA
2 A
I
L
Z
kB
I
2B
Z
U
L
U = U L
20 A 20B
Rys.2.44. Schemat zastępczy dla pracy równoległej dwóch transformatorów o tych samych
napięciach jałowych strony wtórnej
Wartość zespolona prądu fazowego obcią\
enia jest wtedy równa:
U U2N
20
I = = (2.127)
L
Z Z
�ł
kA kB Z Z �ł
kA kB
+ Z
L 3�ł + Z �ł
L
�ł �ł
Z + Z
kA kB Z + Z
�ł kA kB łł
Z rozpływu prądów wynika, \
e:
Z
Z
kA
kB
oraz I = I (2.128)
I = I
2B L
2 A L
Z + Z
Z + Z
kA kB
kA kB
33
Z
k
Analizę mo\
na uprościć przez
jXk
wprowadzenie dla impedancji zwarciowych,
w miejsce liczb zespolonych, ich modułów.
�k
Jest to uzasadnione wtedy, gdy trójkąty
impedancji zwarcia (rys.2.45) dla obu
Rk
transformatorów będą podobne.
Rys.2.45. Trójkąt impedancji zwarcia
Powy\
szy rozkład prądów mo\
na wyznaczyć bezpośrednio z danych znamionowych:
2 2
Z ZkB ukB U2NB U2N
kB
I I ukB
L L
I Z + Z ZkA + ZkB I2 A SA ZkB 100% SNB SNB
2 A kA kB
= E" = = = = = (2.129)
2 2
Z ZkA I2B SB ZkA ukA U2NA U2 N
I
kA
2B
I I
ukA
L L
Z + Z ZkA + ZkB
100% SNA SNA
kA kB
I2 A ukB SNA (2.130)
= �"
I2B ukA SNB
Z powy\
szej zale\
ności (2.130), określającej rozkład prądu obcią\
enia na poszczególne
transformatory wynikają wnioski:
" przy równych mocach znamionowych ( SNA = SNB ) stosunek prądów stron wtórnych
transformatorów jest odwrotnie proporcjonalny do stosunku ich napięć zwarcia - bardziej
będzie obcią\
ony transformator o mniejszym napięciu zwarcia;
" przy równych napięciach zwarcia transformatorów (ukA = ukB ) stosunek prądów stron
wtórnych transformatorów jest wprost proporcjonalny do stosunku ich mocy
znamionowych.
Poni\
ej na rys.2.46 przedstawiono charakterystyki zewnętrzne i rozkład prądów stron
wtórnych względem prądu obcią\
enia dla dwóch transformatorów o równych mocach
znamionowych i ró\
nych przekładniach.
U2 A,U2B ,ULx
ukA < ukB
U20 A = U20B
I2 A I2B
A
ULx
A
I2 Ax
I2Bx
B
B
IL
I2 A, I2B
0 ILx
0
I2Bx I2 Ax
a) b)
Rys.2.46. Praca równoległa dwóch transformatorów o ró\
nych napięciach zwarcia:
a) charakterystyki zewnętrzne, b) rozkład prądów stron wtórnych transformatorów względem
prądu obcią\
enia
34
Przedstawione powy\
ej analizy pozwalają zrozumieć pojęcie poprawnej pracy równoległej
transformatorów i związane z tym warunki zgodności ich danych znamionowych.
Wymagania stawiane transformatorom przy pracy równoległej:
a) w stanie jałowym nie powinny płynąć prądy wyrównawcze,
b) transformatory winny obcią\
ać się proporcjonalnie do swych mocy znamionowych,
c) prądy obcią\
enia winny być ze sobą w fazie.
Warunki jakie muszą te transformatory spełnić, aby sprostać wymaganiom:
ad a) napięcia po stronie wtórnej muszą być równe co do modułu i fazy, co zwykle oznacza:
- ten sam układ połączeń transformatorów,
- tą samą grupę połączeń (kąt godzinowy) - poprzez przełączenie faz mo\
na spełnić ten
warunek dla ró\
nych grup połączeń, a niespełnienie tego warunku jest niezwykle groz
ne z
uwagi na du\
e wartości prądów wyrównawczych,
- równość przekładni (gdy\
przewa\
nie wszystkie jednostki zasilane są z tych samych szyn)
dopuszczalna odchyłka wynosi do 0,5% od wartości średniej;
ad b) napięcia zwarcia mogą ró\
nić się nie więcej ni\
o 10% od ich wartości średniej,
transformator o mniejszej wartości napięcia zwarcia bardziej się obcią\
a;
ad c) moce znamionowe transformatorów winny pozostawać w stosunku wzajemnym nie
większym ni\
3:1, co zapewnia podobieństwo ich trójkątów impedancji zwarcia - rys.2.45.
(zachowanie stosunku wzajemnego reaktancji i rezystancji gałęzi podłu\
nych).
Wyjaśnienie ostatniego warunku:
Wyra\
enie wynikające z warunku równości napięć wtórnych, zgodnie ze wzorem (2.129)
mo\
emy zapisać w postaci:
j�kA j�kB
I2 AZkAe = I2BZkBe
(2.131)
Zk �k
gdzie: - moduł impedancji zwarciowej, - argument impedancji zwarciowej danego
transformatora.
�kA = �kB
Prądy obcią\
enia obu transformatorów I , I będą ze sobą w fazie, je\
eli: ,
2 A 2B
X X
kA kB
czyli: cos�kA = cos�kB lub = (trójkąty impedancji zwarcia - rys.2.45 są podobne).
RkA RkB
Wartość współczynnika mocy zale\
y od wielkości transformatora. Ze wzrostem mocy
znamionowej wartość reaktancji zwarcia rośnie relatywnie szybciej ni\
wartość rezystancji
zwarcia, zatem w praktyce zgodność faz prądów stron wtórnych transformatorów mo\
na
uzyskać wówczas, gdy moce znamionowe tych transformatorów zbytnio się nie ró\
nią.
Literatura podstawowa:
1. J. Skwarczyński, Z. Tertil: Maszyny elektryczne, cz. I - IV, wyd. AGH 1995 -1999.
2. Z. Bajorek: Teoria maszyn elektrycznych, PWN 1982.
3. J.K. Markielowski i in.: Laboratorium maszyn elektrycznych, PK, Kraków 1982.
Opracował: dr in\
. Konrad Weinreb
Kraków, 2014
35