PRZYPOMNIENIE: Interesują nas następujące funktory

... i... (koniunkcja)

...lub... (alternatywa)

nieprawda, że.... (negacja)

jeśli...to... (implikacja)

...wtedy i tylko wtedy, gdy... (równoważność)

∧ - ... i... (koniunkcja)

∨ - ...lub... (alternatywa)

¬ - nieprawda, że.... (negacja)

⇒ - jeśli...to... (implikacja)

⇔ - ...wtedy i tylko wtedy, gdy... (równoważność)

REPREZENTOWANIE INFORMACJI W KRZ.

PRZYKŁAD. Firma X poszukuje pracowników.

Wśród cech, które bywają wymagane są:

(i) znajomość niemieckiego;

(ii) posiadanie prawa jazdy;

(iii) umiejętność obsługi arkusza Excel.

ANTONI: nie zna niemieckiego, nie ma prawo jazdy, a na dodatek nie zna Excela.

BARNABA: wprawdzie nie zna niemieckiego, nie ma też prawa jazdy, jednak zna Excela.

CEZARY: nie zna niemieckiego, i choć ma prawo jazdy, to niestety nie zna Excela.

DAMIAN: nie zna niemieckiego, ale za to nie tylko ma prawo jazdy, lecz również zna Excela.

EWARYST: zna niemiecki, niestety nie ma prawa jazdy, i na domiar złego nie zna Excela.

...

CEL: CZYTELNA REPREZENTACJA WIEDZY

Oznaczmy

N - dana osoba zna niemiecki;

P - dana osoba ma prawo jazdy

E - dana osoba zna Excela.

TABELA:

N P E

A 0 0 0

B 0 0 1

C 0 1 0

D 0 1 1

E 1 0 0

F 1 0 1

G 1 1 0

H 1 1 1

Potencjalni pracodawcy mają następujące wymagania:

1. Ma znać niemiecki lub Excela.

2. Jeśli nie zna niemieckiego, to musi mieć prawo jazdy i znać Excela.

3. Jeśli nie zna niemieckiego ani Excela, musi mieć prawo jazdy

4. Jeśli nie ma prawa jazdy, to musi znać niemiecki i Excela

5. Jeśli ma prawo jazdy, to nie może znać niemieckiego.

6. Jeśli nie ma prawa jazdy, to nie może znać Excela

PYTANIE: skąd wiemy, którzy kandydaci spełniają stosowny warunek?

ODP: bo wiemy, co znaczy słowo i, lub, nie, ....

FUNKTORY KRZ

UWAGA: to są rzeczy znane...

Czy rozumiemy następujące zdania:

(1) Podaj mi mleko i cukier.

(2) Nie ma tu ani Piotra, ani Michała.

(3) Proszę sok pomarańczowy lub papajowy.

PROSZĘ ROZWAŻYĆ RÓŻNICĘ MIĘDZY:

(1) Jeśli wygram ten konkurs, to będę bardzo szczęśliwy.

(1a) Jeśli wygram ten konkurs, to będę bardzo szczęśliwy - ale tylko wtedy!!!

- czy w myśl (1) brak wygranej uniemożliwia szczęście?

- a w myśl (1a)?

(2) Jeśli dostanę awans, to na pewno kupię nowy samochód.

(2a) Jeśli dostanę awans, to na pewno kupię nowy samochód - w przeciwnym wypadku nie zrobię tego!

- czy w myśl (2) brak awansu uniemożliwia zakup samochodu?

- a w myśl (2a)?

(3) Jeśli spadnie świeży puch, to na pewno wybiorę się na narty.

(3a) Jeśli spadnie świeży puch, to na pewno wybiorę się na narty - inaczej nie.

- czy w myśl (3) brak świeżego puchu wyklucza narty?

UWAGA!!! UWAGA!!! UWAGA!!!

• IMPLIKACJA nie jest tym samym co RÓWNOWAŻNOŚĆ!!!

• ⇒ to nie to samo, co ⇔ !!!

PO CO SĄ TABELKI?

• niekiedy mamy wątpliwości co do tego, w jakim sensie użyty został dany funktor

→ czy „...lub...” to:

(i) przynajmniej jedno z dwojga?

(ii) dokładnie jedno z dwojga?

→ czy „jeśli...to...” pełni funkcję

(i) „pociągania” jednej rzeczy przez drugą (ale druga może zajść po prostu, niezależnie od pierwszej)

(ii) ścisłego powiązania tych dwóch zjawisk (żadne nie może zajść bez drugiego, ale każde wymusza drugie)

• konieczne jest przyjęcie pewnej jednolitej konwencji, ustalenie, co funktory robią z wartościami logicznymi zdań

→ jak wartość logiczna wypowiedzi złożonej zależy od wartości logicznych wypowiedzi składowych

UWAGA: to nie zależy od treści!!!

• tabelki to skrótowy zapis tego, w jaki sposób rozumiemy zwroty takie jak ...i..., ...lub..., jeśli...to..., nieprawda, że..., ....tylko i wyłącznie wtedy, gdy...

• ponieważ abstrahujemy od treści zdań, to używamy zapisu symbolicznego

NEGACJA (zaprzeczenie).

p ¬p

0 1

1 0

KONIUNKCJA.

p q p∧q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

ALTERNATYWA.

p q p∨q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

IMPLIKACJA.

p q p⇒q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

RÓWNOWAŻNOŚĆ.

p q p⇔q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

UWAGA

• „działanie” funktorów zależy tylko od wartości logicznych zdań prostych.

• Treść zdań prostych nie jest tu w ogóle przedmiotem analizy.

WARTOŚCIOWANIA.

p q r

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

WARTOŚCIOWANIE - przypisanie zdaniom prostym wartości logicznych (prawdy i fałszu; 1 i 0)

IDEA: wartościowanie = dana sytuacja opisana przez odpowiednią ilość parametrów

• każdemu zdaniu przypisana jest pewna wartość logiczna (ustalony pewien fakt na temat świata).

• Zbiór wszystkich wartościowań opisuje klasę możliwych stanów rzeczywistości.

UWAGA: Dane zdanie może być prawdziwe lub fałszywe w zależności od okoliczności

INACZEJ: wartość logiczna =0 lub 1 w zależności od wartościowania

PRZYKŁAD: W jakich sytuacjach prawdziwe, a w jakich fałszywe są zdania:

(1) Mam samochód lub motocykl

(2) Mam samochód i motocykl

(3) Jeśli mam samochód, to mam też motocykl.

(4) Mam samochód wtedy i tylko wtedy, gdy mam motocykl.

PRZYKŁAD: Idę do sklepu. W jakich sytuacjach postąpię zgodnie z deklaracją:

(1) Kupię cebulę tylko i wyłącznie wtedy, gdy kupię śledzie.

(2) Jeśli kupię cebulę, to kupię też śledzie.

(3) Nie kupię ani cebuli, ani śledzi.

(4) Jeśli nie kupię cebuli, to nie kupię śledzi.

PRZYKŁAD: W jakich sytuacjach postąpiono zgodnie z deklaracją:

(1) Kupię sobie samochód, a dziecku motocykl.

(2) Kupię sobie samochód, a dziecku motocykl.

(3) Jeśli kupię sobie samochód, to kupię dziecku motocykl.

(4) Jeśli kupię sobie samochód, to nie kupię dziecku motocykla.

(5) Kupię sobie samochód tylko i wyłącznie wtedy, gdy kupię dziecku motocykl.

(6) Jeśli nie kupię sobie samochodu, to kupię dziecku motocykl.

„MECHANICZNE” LICZENIE WARTOŚCI LOGICZNYCH ZDAŃ ZŁOŻONYCH

PRZYKŁAD: Niech p=0, q=1. Jaka jest wartość logiczna zdań:

1. p⇒q

2. ¬p⇒q

3. p∧¬q

4. p∨q

5. p∨¬q

PRZYKŁAD: Niech p=0, q=1, r=0. Jaka jest wartość logiczna zdań:

1. p⇒(q∨r)

2. (¬p∨q)⇒r

3. (p∧q)⇔r

4. (p∧¬q)⇒r

WYDOBYWANIE INFORMACJI

PRZYKŁAD Piotr i Robert są podejrzani o kradzież. Wiemy że

(1) Dokładnie jeden jest winien

(2) Jeśli winien jest Piotr, to także Robert.

PRZYKŁAD Piotr i Robert są podejrzani o kradzież. Wiemy że

(1) Ktoś jest winien

(2) Jeśli winien jest Piotr, to nie Robert.

(3) Jeśli winien jest Robert, to także Piotr.

PRZYKŁAD. Jest trzech podejrzanych o kradzież: Piotr, Robert i Stanisław. Ustalono, iż:

(1) W kradzieży brał udział przynajmniej jeden z nich.

(2) Jeśli Robert jest winny, to pozostali obaj są niewinni.

(3) Nie jest prawdą, że Piotr i Stanisław są obaj winni.

(4) Jeśli Stanisław jest winien, to Robert też.

(5) Jeśli Piotr jest winien, to Robert też.

Kto jest winien?

PRZYKŁAD 2

(1) Przynajmniej jeden z nich ma psa.

(2) Jeśli Robert ma psa, to pozostali obaj nie.

(3) Nie jest prawdą, że Piotr i Stanisław obaj mają psy.

(4) Jeśli Stanisław ma psa, to Robert też.

(5) Jeśli Piotr ma psa, to Robert też.

TO JEST TEN SAM PROBLEM!

UWAGA:

• aby rozwiązać, nie trzeba wiedzieć, co to jest kradzież, wina, pies…

• wystarczy znać strukturę logiczną wypowiedzi

• wyciągamy wniosek tylko poprzez analizę struktury przesłanek

jest to przykład sytuacji, gdy stykamy się z konsekwencją logiczną.

JAK POSTĘPUJEMY?

1. Szukamy takiej sytuacji, która byłaby zgodna z wszystkimi przesłankami jednocześnie

2. Wykorzystujemy po kolei przesłanki, eliminując niezgodne z nimi warianty.

3. Efekt końcowy = sytuacje odpowiadające wiedzy zawartej w przesłankach

(4. Zastanawiamy się, czy nasza hipoteza jest prawdziwa w tej sytuacji.)

PRZYKŁAD: Jest trzech podejrzanych o kradzież: Piotr, Robert i Stanisław. Ustalono, iż:

(1) Ktoś z nich jest winien, ale nie wszyscy trzej naraz.

(2) Nie może być tak, że Piotr jest winien, zaś Stanisław nie.

(3) Nie jest prawdą, że Robert i Stanisław są obaj winni.

(4) Robert - jeśli jest winien - to mógł popełnić kradzież tylko samotnie.

(5) Stanisław nie mógł popełnić kradzieży sam.

Kto jest winien?

PRZYKŁAD: Trzech podejrzanych: Piotr, Robert i Stanisław:

(1) W kradzieży brał udział co najmniej jeden, ale co najwyżej dwóch spośród nich.

(2) Jeśli Piotr jest winien, to Stanisław też.

(3) Nie jest prawdą, że Robert i Stanisław są obaj winni.

(4) Robert - jeśli jest winien - to mógł popełnić kradzież tylko samotnie.

(5) Stanisław nie mógł popełnić kradzieży sam.

(6) Piotr jest niewinny.

Kto jest winien?

USTALANIE WARTOŚCI LOGICZNYCH ZDAŃ ATOMOWYCH

PRZYKŁAD: Wiemy, że poniższe zdania są prawdziwe. Czy umiemy odpowiedzieć na pytania?

(1) Nie byłem w górach ani nad morzem.

(a) Czy byłem w górach?

(b) Czy byłem nad morzem?

(2) Jan kupił jabłka i gruszki.

(a) Czy Jan kupił jabłka?

(b) Czy Jan kupił gruszki?

(3) Jan skłamał, mówiąc że przyjdzie w środę lub w czwartek.

(a) Czy Jan przyszedł w środę?

(b) Czy Jan przyszedł w czwartek?

PRZYKŁAD. Wiemy, że prawdziwe są podane zdania A,B,C,D,E. Należy określić wartości logiczne zdań składowych w poszczególnych przypadkach:

A. ¬p∧¬q

B. ¬(p⇒q)

C ¬(p∨q)

D. p∧¬(q⇒r)

E. ¬[p⇒(q∨r)]

PRZYKŁAD Wiemy, że poniższe zdania są fałszywe. Co to znaczy?

1. Jeśli dostanę awans, to kupię ci nowy skuter.

2. Jeśli dostanę awans i podwyżkę, to kupię ci nowy skuter.

3. Jeśli dostanę awans i podwyżkę, to jeśli nie będzie nagłych wydatków to kupię ci nowy skuter.

PRZYKŁAD: Nie dotrzymano następującej obietnicy:

1. Jeśli będzie padał deszcz, to po ciebie przyjadę.

2. Jeśli będzie padał deszcz, to jeśli do mnie zadzwonisz, to po ciebie przyjadę.

3. Jeśli będzie padał deszcz i będzie zimno, to po ciebie przyjadę.

4. Jeśli będzie padał deszcz i będzie zimno, to jeśli do mnie zadzwonisz, to po ciebie przyjadę.

5. Jeśli będzie padał deszcz, to jeśli do mnie zadzwonisz, to po ciebie przyjadę, albo wyślę po ciebie Jana.

6. Jeśli będzie padał deszcz i będzie zimno, to jeśli do mnie zadzwonisz, to po ciebie przyjadę, albo wyślę po ciebie Jana lub Andrzeja.

PRZYKŁAD

Jakie sytuacje są możliwe w świetle wiedzy, iż:

1. Oddział tej firmy znajduje się w Poznaniu lub Gdańsku.

2. Jeśli oddziały tej firmy znajdują się w Poznaniu i Gdańsku, to na pewno nie w Szczecinie.

3. Jeśli otworzymy nowy oddział w Krakowie, to na pewno też w Katowicach.

4. Jeśli nie otworzymy oddziału w Warszawie, to na pewno otworzymy w Poznaniu.

PRZYKŁAD Dla jakich wartościowań prawdziwe są zdania:

1. p∨¬(q⇒r)

2. p⇒(q∧¬r)

3. ¬p∨¬(q⇒r)

13

---