Next: Bibliografia Up: Zadania z matematyki dla Previous: Szeregi Fouriera   Contents

Przekształcenia całkowe

1. Wykaż, że funkcja

nie jest bezwzględnie całkowalna, choć istnieje

2. Wskaż przykłady funkcji spełniających założenia Twierdzenia Fouriera, oraz takich które tych założeń nie spełniają.

3. Przedstaw funkcję
   daną wzorem:
   (a)
   
   b)
   , (
   )
   za pomocą (i) sinusowego (ii) kosinusowego wzoru Fouriera.

4. Znajdż widmo, widmo amplitudowe i widmo fazowe funkcji
   .

5. Wykaż, że widmo amplitudowe (
   ) jest funkcją parzystą, zaś widmo fazowe
   funkcją nieparzystą.

6. Podaj transformatę Fouriera funkcji
   . Narysuj wykresy części rzeczywistej i urojonej transformaty.

7. Znajdż funkcję
   , taką, że
   ,
   .

8. Zbadaj które z poniższych funkcji są oryginałami:
   (a)
   
   (b)
   
   (c)
   
   (d)
   
   (e)
   
   (f)
   

9. Wykaż, że jeśli
   jest oryginałem okresowym o okresie
   (tzn takim, że dla
   
   wtedy

10. Oblicz transformaty oryginałów:
    (a)
    
    (b)
    
    (c)
    

11. Dla poniższych równań i układów równań różniczkowych wskaż całki szczególne przy pomocy rachunku operatorowego:
    (a)
    
    
    (b)
    
    (c)
    
    (d)
    
    (f)
    
    (g)
    
    (h)
    
    Dystrybucje

12. Wykaż, że ciąg
    jest podstawowy. Wskaż ciągi jemu równoważne. Podaj inne przykłady ciągów podstawowych i takich które podstawowymi nie są.

13. Uzasadnić fakt, że ciąg
    

jest podstawowym i definiuje dystrybycję delta Diraca.

14. Wykaż, że ciąg
    ,
    jest podstawowy i definiuje dystrybucję
    .
    oblicz pochodną tej dystrybucji. Zauważ, że druga pochodna dystrybucji
    jest równa
    
    Wskazówka: W tym celu najlepiej wykazać, że ciąg
    równoważny jest ciągowi
    

Next: Bibliografia Up: Zadania z matematyki dla Previous: Szeregi Fouriera   Contents

---