Funkcje trygonometryczne (wzory)

ZALEŻNOŚCI
sin(+)=sincos+cossin
sin(-)=sincos-cossin
sin(2)=2sincos
sin(3)=sin(3-4sin²)
cos(+)=coscos-sinsin
cos(-)=coscos+sinsin
cos(2)=cos²-sin²=1-2sin²=2cos²-1
cos(3)=(4cos²-3)cos
tg(+)=(tg+tg)/(1-tgtg)
tg(-)=(tg-tg)/(1+tgtg)
tg2=2tg/(1-tg²)
tg3=tg(3-tg²)/(1-3tg²)
ctg(+)=(ctgctg-1)/(ctg+ctg)
ctg(-)=(ctgctg+1)/(ctg-ctg)
ctg2=(ctg²-1)/2ctg
ctg3=ctg(ctg²-3)/(3ctg²-1)

sin+sin=2sin((+)/2)cos((-)/2)
sin-sin=2cos((+)/2)sin((-)/2)
cos+cos=2cos((+)/2)cos((-)/2)
cos-cos=-2sin((+)/2)sin((-)/2)
tg-tg=sin(-)/coscos
ctg-ctg=-sin(-)/sinsin
sin²-sin²=cos²-cos²=sin(+)sin(-)

sin=tg/(1+tg²)
sin²=(1-cos2)/2
cos=1/(1+tg²)
cos²=(1+cos2)/2
sin2=2tg/(1+tg²)
cos2=(1-tg²)/(1+tg²)
tg²=(1-cos2)/(1+cos2)=sin²2/(1+cos2)²=(1-cos2)²/sin²2

WZORY REDUKCYJNE
sin(-x)=sin(180°+x)=cos(90°+x)=cos(270°-x)=-sin(x)
cos(-x)=sin(90°-x)=sin(90°+x)=cos(x)
sin(180°-x)=cos(90°-x)=cos(270°+x)=sin(x)
cos(180°-x)=cos(180°+x)=sin(270°-x)=sin(270°+x)=-cos(x)
tg(-x)=tg(180°-x)=ctg(90°+x)=ctg(270°+x)=-tg(x)
ctg(-x)=ctg(180°-x)=tg(90°+x)=tg(270°+x)=-ctg(x)
tg(180°+x)=ctg(90°-x)=ctg(270°-x)=tg(x)
ctg(180°+x)=tg(90°-x)=tg(270°-x)=ctg(x)

WARTOŚCI FUNKCJI
sin(0°)=0, sin(30°)=1/2, sin(45°)=2/2, sin(60°)=3/2, sin(90°)=1
cos(0°)=1, cos(30°)=3/2, cos(45°)=2/2, cos(60°)=1/2, cos(90°)=0
tg(0°)=0, tg(30°)=3/3, tg(45°)=1, tg(60°)=3, tg(90°)
ctg(0°), ctg(30°)=3, ctg(45°)=1, ctg(60°)=3/3, ctg(90°)=0,
sin15°=cos75°=(2-3)/2
cos15°=sin75°=(2+3)/2
tg15°=ctg75°=2-3
ctg15°=ctg75°=2+3
sin(22,5°)=cos(67,5°)=(2-2)/2
cos(22,5°)=sin(67,5°)=(2+2)/2
tg(22,5°)=ctg(67,5°)=2-1
ctg(22,5°)=tg(67,5°)=2+1

Geometria
POLE : P=¹/₂ah (bok i wysokość)
P=¹/₂absin (2 boki i kąt między nimi)
P=abc/4R (R - promień koła opisanego)
P=¹/₂pr (r - promień koła wpisanego), p=¹/₂(a+b+c),
P=(p(p-a)(p-b)(p-c));
z wyznaczników: A=(x_a,y_a), B=(x_b,y_b), C=(x_c,y_c), P=¹/₂(x_ay_b+x_by_c+x_cy_a-x_cy_b-x_by_a-x_ay_c); AB=[a,b], AC=[c,d] - wektory, P=|¹/₂d(u,v)|=|¹/₂(ad-bc)|;
ŚRODKOWE w  przecinają się w stos. 1:2
W : punkty przecięcia środkowych (M), symetralnych (O) i wysokości (H) leżą na jednej prostej i OM:MH=1:2
W  PROSTOKĄTNYM: a+b=2r+2R (przyprostokątne i promienie wpisany (r) i opisany (R)); pole: P=p(p-a)=(p-b)(p-c), gdzie p=(a+b+c)/2
 a WYZNACZNIKI:  z wektorów u=[a,b] i v=[c,d] wychodzących z 1 punktu i kątem  między nimi, P=¹/₂|ad-bc|; sin=|ad-bc|/((a²+b²)(c²+d²)), cos=(ac-bd)/((a²+b²)(c²+d²))
4-KĄT OPISANY NA OKRĘGU: sumy przeciwległych boków równe
4-KĄT WPISANY W OKRĄG: sumy przeciwległych kątów równe po 180°

Środek okręgu opisanego na  - na przecięciu symetralnych
Środek okręgu wpisanego w  - na przecięciu dwusiecznych
Środkowe w  przecinają się w stos. 1:2

POLE CZWOROKĄTA: P=¹/₂d₁d₂sin (dwie przekątne i (0-90°) między nimi)
TW. SINUSÓW a/sin=b/sin=c/sinγ=2R (stos. boków do kątów naprzeciwko, R - promień koła opisanego na )
TW. COSINUSÓW c²=a²+b²-2abcosγ (kąt γ między a i b)
TW. O ŚRODKOWYCH: a²+b²=2(c/2)²+2x², gdzie a,b,c - boki , x - środkowa opuszczona na bok c
PROSTE mn: m: y=a₁x+b₁, n: y=a₂x+b₂; a₁a₂=-1  mn
WEKTOR  do PROSTEJ k: Ax+By+C=0  u=[A,B]
ODL. PKT OD PROSTEJ k: Ax+By+C=0, P=(x₀,y₀); d=|Ax₀+By₀+C|/(A²+B²)
STYCZNA DO KRZYWEJ: y-y₀=f'(x₀)(x-x₀)

y=ax², wektor u=[p,q], y=a(x-p)²+q - p. kanoniczna (dla b=0 ogólna taka sama),
y=ax²+bx+c - p. ogólna (xR, a0); =b²-4ac - wyróżnik; p=-b/2a, q=-/4a, y=a(x+b/2a)²-/4a;
ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) - p. iloczynowa;
Wzory Viete'a: x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a; ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0 - równanie II stopnia z 2 niewiadomymi
Współrzędne wierzchołka paraboli: W=(-b/2a;-/4a)

Obrót punktu A(x,y) wokół o(0,0)o kąt : A'=(x',y'): x'=xcos-ysin, y'=xsin+ycos; x=x'cos+y'sin, y=-x'sin+y'cos

Iloczynem skalarnym wektorów a i b nazywamy: a^ob=0, gdy a=0 lub b=0 lub a^ob=|a||b|cos|{a,b}|=a₁b₁+a₂b₂

OSTROSŁUP: Jeżeli wszystkie krawędzie boczne (ściany) nachylone są do płaszcz. podstawy pod tym samym kątem, to spodek wysokości leży w środku okręgu opisanego na podstawie (wpisanego w podstawę).

ODLEGŁOŚĆ 2 PROSTYCH RÓWNOLEGŁYCH: k: Ax+By+C=0, m: Dx+Ey+F=0, k||m; d=|C-F|/(A²+B²)
FUNKCJA HOMOGRAFICZNA: y=(ax+b)/(cx+d), adbc; asymptota pionowa: x=d/c, pozioma: y=a/c;
OKRĄG: (x-a)²+(y-b)²=r² (r - promień, O=(a,b) - środek okręgu)
ELIPSA: x²/a²+y²/b²=1 (a,b - "promienie")

FUNKCJE

Funkcja potęgowa
y=xⁿ (nN parz) - parabola;
y=xⁿ (nN n-parz) - krzywa symetr. wzgl. (0,0);
y=x^-n (nN parz) - hiperbole w I i II;
y=x^-n (nN n-parz) - hiperbole w I i III;
y=x^m/n, (m,nN, m<n) - krzywa w prawo,
m>n - krzywa do góry; y=x^-m/n (m,nN) - hiperbola w I

Funkcja wykładnicza
y=c^x, D:xR, cR₊/{1}; wykres: krzywa logarytmiczna przez (0,1) w I i II - dla x>1 rosn., dla x(0,1) malej. - krzywe wykładnicze;
y=exp_1/2x  y=(¹/₂)^x;

Logarytmy
log_ab=x  a^x=b, xR, aR₊/{1}, bR₊; log_a1=0, log_aa=1; log_aa^x=x; a^loga^b=b;
inne własn. jeśli x,y>0, aR₊/{1} to: log_a(xy)=log_ax+log_ay; log_a(x/y)=log_ax-log_ay; log_ax^p=plog_ax
loga=log₁₀a; log_ea=lna, e=lim(1+1/n)ⁿ
log_ac=log_bc/log_ba

Funkcja logarytmiczna
y=log_ax, aR₊/{1}, D:xR₊; wykres: krzywa logarytmiczna przez (1,0) w I i IV - dla a>1 rosn., dla a(0,1) mal.; krzywe logarytmiczne są symetryczne do wykładniczych wzgl. prostej y=x)

CIĄGI

ARYTMETYCZNY
r=a_n-a_n-1; a_n=a₁+(n-1)r; S=a₁+a₂+...+a_n=((a₁+a_n)/2)n

GEOMETRYCZNY
q=a_n/a_n-1; a_n=a₁q^n-1; S_n=a₁+a₂+...+a_n=a₁(1-qⁿ)/(1-q)

SZEREG GEOMETRYCZNY
S=a₁+a₂+...+a_n+a_n+1+...=a₁/(1-q), jeśli |q|<1 - wtedy ciąg jest zbieżny

TW. O 3 CIĄGACH (a, b, c - zbieżne)
a_nb_nc_n i lim(a_n)=g (n) i lim(c_n)=g (n)  lim(b_n)=g (n)

GRANICE

lim(nsin(1/n))=1, n→
lim(a^1/n)=1, a>0, n→
lim(n^1/n)=1, n→
lim(n!^1/n)=, n→
lim(aⁿ)=1, a>1, n→
lim(aⁿ)=0, |a|<1, n→
lim(1+a/n)ⁿ=e^a, n→
lim(xsin(1/x))=1, x→0
lim(cos(1/x))=1, x→
lim(e^x/x^m)=, x→
lim(lnx/e^x)=0, x→
lim(1+(a/n))ⁿ=e^a, n→
lim(sinx/x)=1, x→0

Różniczkowanie & całkowanie (wzory)

f'(x₀)=lim((f(x₀+x)-f(x₀))/x), x0

(x^a)'=nx^a-1
(1/x)'=-1/x², x0
(x)'=1/(2x), x>0
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tgx)'=1+tg²x=1/cos²x
(ctgx)'=-1-ctg²x=-1/sin²x
(arcsinx)'=1/(1-x²)
(arccosx)'=-1/(1-x²)
(arctgx)'=1/(1+x²)
(arcctgx)'=-1/(1+x²)
(lnx)'=1/x, x>0
(log_ax)'=1/(xlna)=(1/x)log_ae, a>0, a1, x>0
(a^x)'=a^xlna, a>0
(e^x)'=e^x

(fg)'=f'g+fg'
(f/g)'=(f'g-fg')/g², g0
[g(f)]'=g'(f)f'
f^g=e^glnf

x^adx=(x^a+1/a+1)+C, a-1, x>0;
a^xdx=a^x/lna+C

Całk. przez części: uv'=uv-u'v

Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu wokół osi ox: P=f²(x)dx;
Pole pow. bocznej tej bryły: P_b=2f(x)(1+(f'(x))²)dx;
Długość wykresu: l=(1+(f'(x))²)dx
(wszystkie całki oznaczone w przedziale <a,b>);

Rachunek prawdopodobieństwa
Prawa de Morgana: (AB)'=A'B'; (AB)'=A'B'
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa: A  P(A)=(moc A)/(moc )
Aksjomatyczna def.: P(A)≥0; A,B; A i B wykluczają się P(AB)=P(A)+P(B), P()=1  P(A) to prawdop. zdarzenia A
Własności: P()=0; AB  P(A)P(B); P(A)1; P(A')=1-P(A); P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
Permutacje (ustawienia): ilość wszystkich perm. zbioru n-elementowego P_n=n!
Kombinacje (podzbiory): n-elementowe kombinacje ze zbioru n-elementowego - C_kⁿ=(n po k)=n!/[(n-k)!k!]
Wariacje z powtórzeniami (ciągi): n-elementowe wariacje z powtórzeniami o wartościach ze zbioru m-elementowego = mⁿ;
Wariacje bez powtórzeń (ciągi, w których elementy się nie powtarzają) = (m po n)
Prawdop. warunkowe: P(A|B)=P(AB)/P(B) - zdarzenie A, pod warunkiem, że zajdzie B; A,B, P(B)>0
Prawdop. całkowite: B₁, B₂, ..., B_n, B₁B₂...B_n=, B_iB_j=, ij, i,j=1,2,...,n P(A)=P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+...+P(A|B_n)P(B_n)
Wzór Bayessa: P(B_i|A)=[P(A|B_i)P(B_i)]/[P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+...+P(A|B_n)P(B_n)], założenia - jak wyżej
Zdarzenia A i B są niezależne (A,B), gdy P(AB)=P(A)P(B); jeśli A i B są niezależne, to A i B' też są niezależne
Niezależność N zdarzeń: 4 zdarzenia (A,B,C,D) są niezależne, gdy wszystkie pary (A i B, A i C, A i D, B i C...) są niezależne, wszystkie trójki są niezależne (A i B i C, A i B i D, A i C i D, B i C i D) i P(ABCD)=P(A)P(B)P(C)P(D); ilość warunków dla n zdarzeń: (n po 2)(n po 3)...(n po n)=2ⁿ-n-1;
Schemat Bernoulliego: W schemacie N prób Bernoull. prawdopod. P_N(k) otrzymania dokładnie k sukcesów wyraża się wzorem: P_N(k)=(N po k)p^kq^N-k, gdzie p - prawdopodobieństwo sukcesu, q - prawd. porażki (p+q=1)
Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie N prób Bernoulliego: Jeżeli (N+1)pC to największa k₀<(N+1)p; Jeżeli (N+1)pC to najb. prawdopodobne są wartości (N+1)p-1 i (N+1)p (ich prawdop. są równe)
Zmienna losowa przyjmuje wartości rzeczywiste, to funkcja określona na 
Rozkładem zmiennej losowej "X" nazywamy zbiór par {(x_i, p_i), i=1,2,...,n}, x_i - wartość zmiennej losowej, p_i - prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa przyjmuje wartość x_i
Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) zmiennej losowej: EX=x₁p₁+x₂p₂+...+x_np_n; własności: E(cX)=cEX, cR; EI=1, I - funkcja tożsamościowo równa 1, EI=1p₁+1p₂+...+1p_n=1; jeśli X i Y to zmienne losowe określone na tej samej  to E(X+Y)=EX+EY
Wartość oczekiwana liczby sukcesów w schemacie N prób Bernoulliego: EX=Np
Wariancja zmiennej losowej (rozrzut): D²X=E(X-EX)²=EX²-(EX)²
Gdy X jest zmienną losową o rozkładzie X:{(x_i,p_i), i=1,2,...,n}, to X²(cX)=c²D²X, D²X=0  zmienna losowa X jest f. stałą X:{(x,1)}
W schemacie N prób Bernoulliego: D²S_N=Npq

WIELOMIANY

W(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ
Tw. Bezout
liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W(x), gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-r), W(r)=0 (istnieje wielomian Q(x) i W(x)=Q(x)(x-r)); Jeśli W(x) nie jest podzielny przez dwumian (x-r), to reszta z dzielenia jest równa wartości wielomianu dla liczby r
TWIERDZENIE O PIERW. WYMIERNYCH
Jeżeli wielomian W(x) o współcz. całkowitych ma pierwiastek wymierny w postaci ułamka nieskracalnego p/q (NWD(p,q)=1), to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego (a₀), a q jest dzielnikiem wyrazu przy najwyższe potędze zmiennej (a_n);
WIELOMIAN W(A): reszta z dzielenia przez (x-a)=W(a); wolny wyraz = W(0); suma współczynników = W(1)

ŚREDNIA
n-wyrazowy ciąg: a₁,a₂,...,a_nR
Śr. arytmetyczna: A(a₁,a₂,...,a_n)=(a₁+a₂+...+a_n)/n
Śr. geometryczna: G(a₁,a₂,...,a_n)=(a₁a₂...a_n)^1/n
Śr. harmoniczna: H(a₁,a₂,...,a_n)=n/[(1/a₁)+(1/a₂)+...+(1/a_n)]
Tw. Cauchye'go: H(a₁,a₂,...,a_n)  G(a₁,a₂,...,a_n)  A(a₁,a₂,...,a_n) - równość zachodzi tylko wtedy, gdy a₁=a₂=...=a_n

Inne ciekawe wzory

1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
(a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)
(a³+b³)=(a+b)(a²-ab+b²)
x^x=e^xlnx

Wartości liczb niewymiernych

2=1,41	3=1,73	5=2,24
6=2,45	7=2,65	10=3,16
11=3,32	13=3,61	17=4,12
19=4,36	23=4,80	2^1/3=1,26
3^1/3=1,44	4^1/3=1,59	2^1/4=1,19
3^1/4=1,32	e=2,718	=3,142
log2=0,30	log3=0,48	log5=0,70
loge=0,43	ln2=0,69	ln3=1,10
ln5=1,61	ln10=2,30	log23=1,58

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

---