Kombinatoryka 98-11-16

Kombinacją k-elementową (bez powtórzeń) zbioru n-elementowego (
) nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru.

Zadanie: Ile prostych wyznacza 5 różnych punktów, z których każde 3 nie są współliniowe.

Permutacją (bez powtórzeń) n różnych elementów nazywamy każdy uporządkowany zbiór (ciąg) n-elementowy, utworzony ze wszystkich tych elementów.

Zadanie: Ile różnych, czterocyfrowych liczb można utworzyć z cyfr: 1,2,3,4 takich, aby żadna cyfra w liczbie nie powtarzała się.

Wariacją k-wyrazową bez powtórzeń zbioru n różnych elementów, nazywamy każdy uporządkowany zbiór (ciąg) k-elementowy o rożnych wyrazach ze zbioru n-elementowego.

Zadanie: Do windy, zatrzymującej się na 10 piętrach, wsiadło 5 pasażerów. Na ile sposobów mogą te osoby opuścić windę, jeżeli każda z nich wysiada na innym piętrze.

Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n różnych elementów nazywamy każdy uporządkowany zbiór (ciąg) k-wyrazowy o wyrazach ze zbioru n-elementowego.

Zadanie: Do windy, zatrzymującej się na 10 piętrach, wsiadło 5 pasażerów. Na ile sposobów mogą te osoby opuścić windę (możliwe jest, że kilka osób wysiada na jednym piętrze).

Pojęcie zdarzenia elementarnego jest pojęciem pierwotnym tzn. takim, którego się nie definiuje. Zdarzenia oznaczamy ₁, ₂, itd. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu oznaczamy .

Przykład: Rzucamy dwukrotnie monetą. Za zdarzenia elementarne przyjmujemy pary w₁=(O,O), w₂=(R,O), w₃=(O,R), w₄=(R,R). Wtedy
co możemy zapisać

Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem. Mówimy, że zdarzenie elementarne w sprzyja zdarzeniu A wtedy i tylko wtedy, gdy
.

Jeżeli
i

1. 
   jest zdarzeniem, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A i B.

2. 
   jest zdarzeniem, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A lub B.

3. 
   jest zdarzeniem, które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenie A i nie zachodzi zdarzenie B.

4. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy zdarzenie A' polegające na tym, że nie zaszło zdarzenie A. A'=-A.

5. Zdarzenia A i B wyłączają się wtedy i tylko wtedy, gdy
   

6. Zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B wtedy i tylko wtedy, gdy
   

Przykład: Niech doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie kostką. Niech zdarzenie A polega na tym, że ilość oczek na pierwszej kostce jest mniejsza niż na drugiej kostce. Niech B będzie zdarzeniem polegającym na tym, że suma otrzymanych oczek jest równa 5.

Zadanie: Niech doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie kostką. Niech zdarzenie A polega na tym, że ilość oczek na pierwszej kostce jest dwa razy większa niż na drugiej kostce. Niech B będzie zdarzeniem polegającym na tym, że iloczyn otrzymanych oczek jest równy 12.

Definicja prawdopodobieństwa. Jeżeli każdemu zdarzeniu
przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę P(A) taką, że:

1. 
   ,

2. dla każdych
   jeżeli
   , to
   ,

3. 
   

to mówimy, że na zdarzeniach zawartych w  określiliśmy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Jeżeli
i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to (wzór Laplace'a)
gdzie
- oznacza ilość elementów zbioru A.

Zadanie: Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy dwukrotnym rzucie kostką suma oczek na obu kostkach jest mniejsza od 7.

Własności prawdopodobieństwa:

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   ,

5. 
   

Niech
. Jeżeli P jest prawdopodobieństwem określonym na podzbiorach zbioru W i P(A)>0, to prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia B pod warunkiem zajścia zdarzenia A nazywamy liczbę:

Zadanie: Jeden raz rzucamy kostką. Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia więcej niż czterech oczek pod warunkiem, że wypadła liczba parzysta.

Prawdopodobieństwo całkowite. Niech
są zdarzeniami parami wyłączającymi się takimi, że
dla
wtedy dla każdego zdarzenia
jest:

Zadanie: W pierwszej urnie są trzy kule białe i dwie czarne. W drugiej urnie są cztery kule białe i cztery czarne. Rzucamy kostką. Jeśli wypadło więcej niż cztery oczka, to losujemy kulę z pierwszej urny. W przeciwnym wypadku losujemy kulę z drugiej urny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowano kulę białą.

Schemat Bernouliego. Pewne doświadczenie powtarzamy niezależnie od siebie nie zmieniając warunków n razy. Niech w wyniku tego doświadczenia będziemy mogli otrzymać tylko dwa rezultaty. Jeden z nich przyjmujemy za sukces, drugi za porażkę. Prawdopodobieństwo, że w tych n próbach otrzymamy dokładnie k sukcesów wyraża się wzorem:

gdzie: p - jest prawdopodobieństwem sukcesu w jednym doświadczeniu,

q - jest prawdopodobieństwem porażki w jednym doświadczeniu.

Zadanie: Rzucamy dziesięć razy kostką. Obliczyć prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie dokładnie cztery razy.

Zadania

Kombinatoryka

1. Ile nastąpi powitań jeżeli spotka się 6 osób?

2. Ile różnych płaszczyzn można przeprowadzić przez 4 punkty nie leżące w jednej płaszczyźnie?

3. W ciągu roku klient ma wpłacić do kasy 10 rat miesięcznych. Na ile sposobów może to zrobić? (klient może wpłacić tylko jedną ratę w ciągu miesiąca)

4. Malarz ma pomalować 3 różne przedmioty mając 5 farb kolorowych. Ile układów kolorów może malarz uzyskać, zakładając że każdy przedmiot jest malowany wyłącznie na 1 kolor?

5. Iloma sposobami można ustawić w rzędzie p białych kul i q czarnych (p>q) w taki sposób, aby żadna czarna kula nie sąsiadowała z czarną.

6. Ile można utworzyć liczb pięciocyfrowych z cyfr 4,5,6?

7. Alfabet Morse'a składa się z kreski i kropki. Ile różnych znaków można utworzyć jeżeli każdy znak nie może mieć więcej niż k miejsc.

8. Centrala telefoniczna pracuje na połączeniach 5 cyfrowych. Ilu abonentów centrala może zarejestrować jeżeli numery zaczynające się od zera nie mogą być brane pod uwagę.

9. Ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek z sześciu barw?

10. Cztery kule białe, cztery czarne i cztery zielone numerujemy i układamy obok siebie w szereg tak aby każde 3 kule występujące po sobie były różnego koloru. Na ile sposobów można to zrobić?

11. W urnie są dwie kule o numerze 1, jedna z numerem 2 i dwie z numerem 3. Wyciągamy 5 kul i notujemy numery według kolejności wyciągnięcia. Ile można dostać różnych liczb?

12. Ile różnych słów 6 literowych można ułożyć z liter słowa KROKODYL (słowa niekoniecznie słownikowe)?

13. Przy grze w preferansa każdy z 3 graczy ma 10 kart a dwie zostają w banku. Iloma sposobami można rozdać karty graczom siedzącym na ustalonych miejscach?

Prawdopodobieństwo

14. Na dziesięciu klockach umieszczono litery a,a,k,s,s,t,t,t,y,y. Bawiąc się nimi dziecko ustawia klocki w rząd. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przypadkowo złoży słowo "statystyka".

15. Rzucamy 12 razy kością do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy każdą ściankę dwukrotnie.

16. Student zna odpowiedź na 20 spośród 25 pytań. Podać prawdopodobieństwo, że student odpowie na wszystkie trzy wylosowane pytania a) korzystając ze wzoru Laplace'a; b) posługując się prawdopodobieństwem warunkowym.

17. W trzech urnach znajdują się kule białe i czarne, przy czym w każdej z nich jest tyle samo kul białych co czarnych. Z każdej urny losujemy jedną kulę i nie oglądając je wrzucamy do czwartej pustej urny. Następnie z czwartej losujemy jedną kulę. Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.

1

6

---