Ćwiczenia z sieci komputerowych. Semestr VI. 15-02-1999.

Nałożenie informacji na sygnał nośny następuje w wyniku określonej zmiany parametrów fizycznych procesów, stanów, kombinacji elementów. Procesy fizyczne o których mowa zwane są sygnałami. Fakt zmiany parametru sygnału zgodnie z przenoszoną informacją nazywa się modulacją, zaś odzyskanie informacji z wartości określonego parametru sygnału nazywane jest demodulacją.

Czasowa forma przedstawienia sygnału, tj. opis jego zmian lub zmian odwzorowujących go parametrów modulacji w funkcji czasu, pozwala określić takie charakterystyki sygnału jak: energia, moc i czas trwania. Najważniejszą charakterystyką sygnału są jego własności częstotliwościowe. Badanie takich charakterystyk najlepiej przeprowadzić na widmie sygnału. Widmo sygnału to nic innego jak transformata Fouriera czasowej reprezentacji sygnału. Ze względów praktycznych przy badaniu charakterystyk widmowych największą uwagę zwraca się na szerokość widma tj. zakres częstotliwości jakich należy użyć do przedstawienia sygnału. Dla uniknięcia strat informacji trzeba tak dobierać kanał transmisyjny by jego parametry, czyli tzw. pasmo przepustowe było nie mniejsze od szerokości widma sygnału. Dla sygnału okresowego widmo sygnału określone przez transformatę Fouriera przybiera postać:

gdzie:

A_k - zespolony współczynnik szeregu Fouriera

A₀ - składowa stała (wartość średnia sygnału)

T - okres sygnału

 - podstawowa częstotliwość kątowa (=2/T)

U_x(t) - sygnał czasowy rozkładany w analizie Fouriera

Funkcja A_k(j) nosi nazwę widma zespolonego, przy czym  jest całkowitą wielokrotnością podstawowej częstotliwości kątowej, =k, k=0,±1,±2,.. . Jej moduł |A_k(j)| nosi nazwę widma amplitudowego sygnału. Ze względu na skwantowany zbiór argumentów funkcji oba widma są widmami dyskretnymi.

Mówimy więc, że widmo sygnału okresowego jest widmem dyskretnym. Dla dwóch zespolonych współczynników A_k i A_-k zachodzi równość amplitud, więc dla przedstawienia widma na wykresie wystarczy tylko pasmo dodatnich częstotliwości i taka jest też umowna definicja szerokości widma: szerokość widma jest określona pasmem dodatnich częstotliwości , w którym |A_k(j)| przyjmuje znaczące wartości.

Uwaga. Widmo dyskretne nie musi zawsze oznaczać sygnału okresowego. Jest nim wówczas gdy odległości między prążkami są wielokrotnością częstotliwości podstawowej.

Aby przeprowadzić analizę sygnału nieokresowego, określonego na nieskończonym przedziale czasu wykorzystuje się następującą postać przekształcenia Fouriera:

W przypadku sygnałów nieokresowych rozpatruje się nie widmo sygnału lecz jego gęstość widmową tj. funkcję S(j). Moduł | S(j)| również nazywany jest widmem. Widmo takie ma charakter ciągły.

Widma podstawowych sygnałów okresowych.

Widma podstawowych sygnałów okresowych, w postaci niemodulowanej przedstawione są na arkuszu Ćwiczenia z sieci komputerowych materiały.xls - widma01. Pierwszy przykład dotyczy sygnału stałego i jest banalny. Analiza Fouriera tego sygnału ma postać:

Postać sygnału czasowego:

Obliczenie poszczególnych współczynników zespolonych Fouriera:

Jak łatwo zauważyć, kolejne (k=2, 3 ..) współczynniki podobnie jak A₁ przyjmują wartość 0.

W drugim przykładzie analizowany jest przebieg sinusoidalny o amplitudzie U₀. W analizie ważnym jest by pamiętać, iż okres funkcji sinus wynosi T= 2. Postać czasowa przebiegu jest następująca:

Współczynniki szeregu Fouriera:

Jak łatwo obliczyć kolejne współczynniki zespolone szeregu przyjmują wartość 0.

Zadanie 1.

Wyznaczyć widmo sygnału przedstawionego na wykresie. Przebieg ma charakter sinusoidalny.

Dane:

W rozwiązaniu podać:

1. postać czasową przebiegu

2. współczynniki zespolone szeregu Fouriera dla k=0, 1, 2;

3. wykres |A_k|=f()

Widma sygnałów z impulsowym sygnałem nośnym.

Rozpatrzmy widma pojedynczych impulsów o różnej formie. Niech dany będzie impuls prostokątny o następującym opisie analitycznym:

Uwaga. Proszę zauważyć iż użyte określenie T nie oznacza jakiegoś okresu przebiegu (przebieg jest nieokresowy - pojedynczy impuls) a szerokość impulsu. Aby określić widmo tak przedstawionego sygnału należy podstawić analityczną formę opisu do wzoru całkowego Fouriera w wyniku czego otrzymujemy:

Widmo wyznaczone jest przez moduł:

a jego wykres przedstawiony jest na arkuszu Ćwiczenia z sieci komputerowych materiały.xls - widma02. Jak łatwo zauważyć jeśli impuls zmieni położenie na osi czasu to widmo zmieni tylko wartość parametru zaś jego moduł pozostanie taki sam.

Innym przykładem impulsu niech będzie impuls cosinusoidalny. Jego opis analityczny ma postać:

Przeprowadzając analizę Fouriera otrzymujemy:

Na arkuszu przedstawione są najczęściej spotykane formy impulsów wraz z ich widmami. Jak widać widma te mają charakter nieskończony i mają tendencję malenia. Forma widma, jego prędkość i sposób zanikania zależy znacząco od kształtu impulsu. Na szerokość widma (zakres częstotliwości) nie ma natomiast wpływu amplituda sygnału.

Poniżej przedstawiona jest zależność szerokości widma od szerokości impulsu w dowolnej formie. Zwiększmy a-krotnie długość impulsu T. Wiąże się to z a-krotnym zmniejszeniem argumentu funkcji czasu u_x(t/a) (w celu przeprowadzenia analizy porównawczej w tym samym przedziale musi się zmieścić a razy więcej argumentów więc pojedynczy argument musi ulec a-krotnemu zmniejszeniu). Widmo poszerzonego sygnału ma postać:

Widać, że a-krotne zwiększenie szerokości impulsu powoduje a-krotne zmniejszenie szerokości widma względem impulsu pierwotnego. Widać to w najbardziej prostej formie na przykładzie impulsu prostokątnego i przebiegu stałego (przebieg stały traktujemy wtedy jako impuls prostokątny o nieskończonym czasie trwania).

Zadanie 2.

Wyznaczyć widmo sygnału stałego.

Zadanie 3.

Wyznaczyć widmo sygnału trójkątnego.

Zadanie 4.

Wyznaczyć widmo sygnału wykładniczego.

Zadanie 5.

Wyznaczyć widmo sygnału skokowego.

W rozwiązaniu zadań podać:

1. postać czasową przebiegu

2. analityczną oraz graficzną postać widma

Aby przesłać za pomocą medium transmisyjnego któryś z przedstawionych impulsów (poza sygnałem stałym) trzeba w teorii dysponować nieskończonym pasmem przepustowym gdyż szerokości ich widm są nieskończone. W praktyce jest to niemożliwe do osiągnięcia i dlatego szerokość widma ogranicza się do pewnej wartości gwarantującej, że przeniesiona zostanie zrozumiała informacja. Jako kryterium najczęściej przyjmuje się warunek energetyczny, mówiący, że szerokość widma wybiera się tak by energia odciętych części widma była pomijalnie mała w stosunku do wewnętrznej (nie odciętej) części widma.

Zgodnie z tym kryterium szerokość impulsu i szerokość widma ogranicza się do pewnej wartości argumentów tak, że zachodzi związek:

gdzie:  - szerokość impulsu,  - szerokość widma,  - stała łącząca zależność szerokości impulsu od szerokości widma (ściśle zależna od formy impulsu)

Dla określenia granicznych wartości  i  trzeba znać zależność między znaczącą częścią energii impulsu i argumentami t i . Całkowita energia wydzielona przez sygnał na rezystancji jednostkowej wynosi:

Przyjmując, że znacząca część energii określona jest przez współczynnik K (na nasz użytek można stwierdzić, że dobierany dowolnie ale tak by był mniejszy od jedności ale dostatecznie jej bliski np. K=0,95), czyli że E₀=KE możemy wyznaczyć praktyczną szerokość impulsu.

Wzór ten można przeczytać: „żeby energia przeniesiona przez rzeczywisty impuls wynosiła K-tą część impulsu teoretycznego, szerokość impulsu rzeczywistego musi wynosić T”. Możemy więc za pomocą tego wzoru wyznaczyć praktyczną szerokość impulsu.

Kryterium energetycznego możemy także użyć by wyznaczyć praktyczną szerokość widma. Energię sygnału z energią widma wiąże kryterium Parsevala. Przekształćmy wzór na energię:

otrzymaliśmy więc:

co mówi, że energia przypadająca na pasmo częstotliwości jest równa:

Praktyczną szerokość widma określić więc można z zależności:

Z kryterium tego obliczyć można współczynnik  dla dowolnej formy impulsów. Charakteryzuje on ekonomiczność sygnału. Najbardziej ekonomiczny jest z tego punktu widzenia impuls dzwonowy mający przy zadanej szerokości impulsu najmniejszą szerokość widma.

Zadanie 6.

Przyjmując za kryterium ekonomiczność sygnału dla zadanej szerokości impulsu wynoszącej T uszereguj następujące impulsy:

stały, wykładniczy, trójkątny , skokowy, dzwonowy.

impuls dzwonowy (e^-x2), pozostałe impulsy - patrz wyżej

Literatura:

• E.Tiemnikow, W.A.Afonin, W.I.Dmitrijew „Podstawy techniki informacyjnej”

• A.Wolisz „Podstawy lokalnych sieci komputerowych t.1 Sprzęt sieciowy”

Rysunek 1Widma sygnałów okresowych i nieokresowych: a)widmo sygnału okresowego b) widmo sygnału nieokresowego

---