Matematyka I

Algebra

Wykład III

09.04.2002

II a) WYZNACZNIE RZĘDU MACIERZY METODĄ PRZEKSZTAŁCEŃ ELEMENTARNYCH. (sprowadzanie do macierzy schodkowej)

Przykład

II b)

Rząd macierzy A można wyliczyć badając jej minory.

II c)

Rząd macierzy A można wyznaczyć stosując metodę macierzy bazowej uzyskiwanej z A w wyniku operacji elementarnych. Macierz bazowa C (kanoniczna) jest to macierz blokowa postaci:

lub

st I_l = L ≤ min (m, n)

Wówczas rg A = 1

Zadanie 1.

Dla jakich wartości x rgA:

a)

Zadanie 2.

Znaleźć rgA.

a)

b)

c)

Zadanie 3

Sprowadzić macierz do postaci bazowej:
lub podobnej.

a)

b)

c)

Zadanie 4.

Rozwiązać r-nie macierzowe (metodą A^-1)

a)

b)

Przykład.

Wyznaczyć rgA poprzez znalezienie postaci bazowej A

rgA = rgI₂ = 2

PRZESTRZEŃ LINIOWA

W E ≠ ∅ jest określona struktura przestrzeni liniowej nad ciałem R, jeżeli w E określone jest działanie:

Ponadto jest określone mnożenie el-tów zbioru E poprzez liczby:

Definicja przestrzeni liniowej

Wówczas E nazywamy przestrzenią liniową (wektorową). Wektor
oznaczamy 0

Przykłady przestrzeni liniowych:

1. Przestrzeń macierzy [a_ij]_{n x m} z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę

2. Zbiór wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na dowolnym zbiorze X ≠ ∅ z działaniami

Twierdzenie 1.

Własności przestrzeni liniowej:

• istnieje tylko jeden wektor 0

• 
  istnieje dokładnie jeden wektor (-x)

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

Definicja równoległości wektorów:

Wektory x, y ≠ 0 są równoległe, jeżeli istnieje taka liczba α∈R, że x = α⋅y

Definicja podprzestrzeni liniowej E:

Zbiór V nazywamy podprzestrzenią przestrzeni liniowej E, jeżeli:

1)

2)

Wniosek 1.

Każda podprzestrzeń przestrzeni E jest też przestrzenią linową.

Przykład 6.

Niech E = R_1xn - macierze o el-tach ∈R postaci [a₁,...,a_n] (wektory w Rⁿ).

Niech V = {x∈E : x = (x₁,...,x_k; 0,...,0)}, wówczas V jest podprzestrzenią E.

Przykład 7.

Zbiór V macierzy
a, b∈R jest podprzestrzenią liniową przestrzeni złożonej z
a,b,c,d∈R

Definicja iloczynu skalarnego (elementarna)

Niech x, y ∈R_n,1(lub R_1,n)

(lub xy^T)

kowektor

Własności iloczynu skalarnego

- W₁

- W₂

- W₃

Nierówność Schwartza:

Twierdzenie 1

Iloczyn (przecięcie) dowolnych podprzestrzeni przestrzeni E jest podprzestrzenią E.

Definicja

Otoczką liniową dowolnego zbioru wektorów A nazywa się najmniejszą podprzestrzeń zawierającą ten zbiór.

Oznaczamy ją:

Mówimy, że podprzestrzeń spanA jest rozpięta na zbiorze A (lub generowana przez A).

Definicja

Mówimy, że zbiór G⊂E generuje przestrzeń E, jeżeli spanG=E.

Definicja

Zbiór wektorów D nazywamy zbiorem wektorów liniowo zależnych, jeżeli istnieje podzbiór właściwy M≠D, M⊂D rozpinający tę samą przestrzeń, co dany zbiór. Możemy to zapisać:

Przykład 1.

Niech:

D={[1, 0, 0] ; [0, 1, 0]}∪{[2, 2, 0]}

Wówczas D≠M={[1, 0, 0] ; [0, 1, 0]}

Definicja

Zbiór wektorów D nazywamy zbiorem wektorów liniowo niezależnych, jeżeli żaden podzbiór właściwy M nie rozpina tej samej podprzestrzeni co dany zbiór.

Uwaga 1.

Wektory x₁;x₂;...;x_n tworzą zbiór wektorów liniowo zależnych wtedy i tylko wtedy (WTW), gdy wektor 0 jest ich nie trywialną kombinacją, czyli:

Uwaga 2.

Wektory x₁;x₂;...;x_n tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych WTW, gdy wektor 0 jest ich trywialną kombinacją, czyli:

Przykład 2.

W przestrzeni Rⁿ wektory e_i=(0,0,...,0,a_i,0,...,0) ; a_i≠0 ; i∈{1,2,...,m} ; n ≥ m tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych.

Przykład 3.

Dowolny różny od zerowego wektor tworzy zbiór wektorów liniowo niezależnych.

1. Dwa wektory nierównoległe tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych.

2. Trzy wektory parami nierównoległe i nieleżące na jednej płaszczyźnie tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych.

Definicja

Podzbiór B⊂E nazywamy bazą, jeżeli generuje całą przestrzeń E i jest zbiorem wektorów liniowo niezależnych.

Definicja

Bazę zapisaną jako skończony ciąg b₁,b₂,...,b_n nazywamy bazą uporządkowaną.

Przykład 4.

W Rⁿ wektory: (1,0,...,0) ; (0,1,0,...,0) ;...;(0,0,...,0,1) tworzą bazę uporządkowaną.

Definicja

Jeżeli przestrzeń wektorowa E ma skończoną bazę, to nazywamy ją przestrzenią skończenie wymiarową. Liczbę elementów tej bazy nazywamy wymiarem przestrzeni i oznaczamy dimE.

Twierdzenie 2.

Jeżeli wektory b₁, b₂,...,b_n tworzą bazę przestrzeni E to dla dowolnego x∈E istnieje dokładnie jeden ciąg liczb α₁,α₂,...,α_n taki, że:

Definicja:

Niech wektory b₁, b₂,...,b_n tworzą bazę uporządkowaną to liczby α_i takie, że
nazywamy współrzędnymi wektora x w tej bazie.

Wniosek 1. (o uzupełnieniu bazy)

Jeśli przestrzeń E ma skończoną bazę i A jest zbiorem wektorów linowo niezależnych w E to istnieje baza zawierająca A.

Wniosek 2.

Każda baza przestrzeni liniowej E, (która ma bazę n - elementową) jest również n - elementowa.

Definicja

Wektory x,y∈E nazywamy ortogonalnymi, gdy (x y)=0.

Definicja

Dowolny układ wektorów a₁, a₂,...,a_n nazywamy układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne wektory tego układu są ortogonalne.

Twierdzenie 3.

Każdy układ wektorów ortogonalnych i niezerowych jest układem wektorów liniowo niezależnych.

Twierdzenie 4.(ortogonalizacja Grama - Schmidta)

Jeżeli e₁,e₂,...,e_k jest układem ortogonalnym różnych od zera wektorów przestrzeni E i wektor x∈E nie jest kombinacją liniową tych wektorów, to istnieje α_i i należy [1, 2,...,k], że:

jest niezerowy i ortogonalny do każdego z wektorów e_i. Wówczas
.

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

E

V 0 x

---