Zad 21

Kostka do gry ma sześć ścian oznaczonych następująco: 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Rzucasz ta kostka tak długo, aż wypadną wszystkie liczby oczek. Znajdź wartość oczekiwana liczby wykonanych rzutów.

Zadanie jest skonstruowane tak, że minimalna liczba rzutów to oczywiście 6, aby spełnić założenia zadania, Rzucając kostką pierwszy raz dostajemy wynik, którego nie było wcześniej z prawdopodobieństwem 1. Z kolei w następnym rzucie chcielibyśmy trafić pozostałe 5 wartości, które nie wypadły wcześniej, trafiamy je z prawdopodobieństwem 5/6, kolejne rzuty niosą za sobą prawdopodobieństwo trafienia liczby, której nie było wcześniej, równe odpowiednio 4/6, 3/6, 2/6, oraz na końcu 1/6, gdy tylko jedna wartość pozostała nam do wyrzucenia. Wartość oczekiwaną obliczymy z odwrotności prawdopodobieństw, bo skoro np. w ostatnim rzucie mamy 1/6 szansy na trafienie jednej z 6 liczb, która pozostała nam do trafienia na samym końcu, więc wartość oczekiwana będzie wynosiła
, zatem wartość oczekiwana całego zadania wynosi:

ODP: Wartość oczekiwana wynosi dokładnie 14,7, zatem należy średnio rzucać kostką 15 razy, aby założenia zadania zostały spełnione.

---