5. WYBÓR POSTACI RÓWNANIA

Kolejny etap to ustalenie zależności między zmienną objaśnianą (y) a zmiennymi objaśniającymi (x). Od tego zależy specyfikacja równania regresji.

Aby ustalić, jaka jest zależność między zmienną objaśnianą i zmiennymi objaśniającymi, należy sporządzić wykres przedstawiający punktowy rozkład kolejnych obserwacji, a następnie wykreślić krzywą najlepiej dopasowaną do tych obserwacji (linię trendu). Od kształtu tej krzywej zależy specyfikacja równania regresji.

Podstawowe rodzaje zależności są następujące:

ZALEŻNOŚĆ LINIOWA

Rozkład obserwacji układa się w linię prostą.

Przykładowe obserwacje, wykres oraz linia trendu

x	y
1	15
2	20
3	25
4	27
5	30
6	35
7	34
8	39
9	43
10	47

Ogólna postać takiego równania jest następująca:

y = ₀ + ₁x

y = ₀ + ₁x₁ + ₂x₂ + ₃x₃

Przykładowe równania popytu:

Q = ₀ + ₁P

Q = ₀ + ₁P + ₂P_k + ₃Y

Q - popyt na produkt danego przedsiębiorstwa

P - cena produktu w tym przedsiębiorstwie

P_k - cena produktu w konkurencyjnej firmie

Y - dochód realny nabywców

ZALEŻNOŚĆ KWADRATOWA

Rozkład obserwacji układa się w parabolę.

Przykładowe obserwacje, wykres oraz linia trendu

x	y
1	5
2	7
3	7
4	8
5	10
6	12
7	15
8	20
9	30
10	41

Ogólna postać takiego równania jest następująca:

y = ₀ + ₁x + ₁x²

y = ₀ + ₁x₁ + ₂x₂ + ₃x₁² + ₄x₂²

Przykładowe równania popytu:

Q = ₀ + ₁P + ₂P²

Q = ₀ + ₁P + ₂P² + ₃P_k + ₄P_k²

ALEŻNOŚĆ WYKŁADNICZA

Rozkład obserwacji przypomina funkcję wykładniczą.

Przykładowe obserwacje, wykres oraz linia trendu

x	y
1	5
2	7
3	7
4	8
5	10
6	12
7	15
8	20
9	30
10	41

Ogólna postać takiego równania jest następująca:

y = ₀e^1x

Równanie takie - po zlogarytmowaniu - możemy szacować za pomocą regresji liniowej:

lny = ln₀ + ₁xlne, czyli:

z = ₂ + ₁x

gdzie z = lny oraz ₂ = ln₀

Przykładowe równanie popytu:

Q = ₀e^1P

ALEŻNOŚĆ ZAKŁADAJĄCA STAŁE ELASTYCZNOŚCI

Zakładamy, że elastyczność popytu względem poszczególnych zmiennych jest stała.

Przykładowe obserwacje, wykres oraz linia trendu

x	y
1	15
2	20
3	25
4	27
5	30
6	35
7	34
8	39
9	43
10	47

Ogólna postać takiego równania jest następująca:

y = ₀x^1

y = ₀x₁^1x₂^2x₃^3x₄^4

Równanie takie - po zlogarytmowaniu - możemy szacować za pomocą regresji liniowej:

Na przykład: lny = ln₀ + ₁lnx₁ + ₂lnx₂+ ₃lnx₃ + ₄lnx₄, czyli:

z = ₅ + ₁w₁ + ₂w₂ + ₃w₃ + ₄w₄

gdzie z = lny; ₅ = ln₀; w₁ = lnx₁ … w₄ = lnx₄

Przykładowe równania popytu:

Q = ₀P^1

Q = ₀P^1P_k^2Y^3

Pokażemy teraz, dlaczego dla równania określonego wzorem Q = ₀P^1P_k^2Y^3 elastyczność popytu względem poszczególnych zmiennych jest stała.

Wzór na prostą cenową elastyczność popytu jest następujący:

.

Gdy przechodzimy na przyrosty nieskończenie małe, delty () zamieniają się w różniczki (d):

.

Składnik dQ/dP w powyższym równaniu jest pochodną funkcji popytu względem ceny.

Dla funkcji popytu Q = ₀P^1P_k^2Y^3 mamy:

.

Po podstawieniu do wzoru na elastyczność uzyskujemy:

Jak widać, prosta cenowa elastyczność popytu jest stała i równa wykładnikowi potęgi przy zmiennej P.

W ten sam sposób można wykazać, że elastyczność popytu względem każdej zmiennej objaśniającej jest stała i równa potędze odpowiedniej zmiennej w równaniu regresji.

Na przykład, elastyczność dochodowa popytu _D wynosi:

.

3A/1

4/2

4/4

4/5

4/6

---