Nr ćw. 104	Data			Wydział Elektryczny		Semestr II		Grupa
Prowadząca:				Przygotowanie		Wykonanie		Ocena

Temat: Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu metodą badania przesunięcia fazowego.

1. Rozchodzenie się dźwięku odbywa się w postaci fali mechanicznej i może mieć miejsce tylko w ośrodku sprężystym.

Jeżeli pewien element ośrodka, którego cząstki są ze sobą wzajemnie związane, pobudzimy do drgań, wówczas energia drgań tego elementu będzie przekazywana do punktów sąsiednich i wywoła ich drgania.

Proces rozchodzenia się drgań w ośrodku nazywamy falą. Zauważmy, że w ruchu falowym cząsteczki ośrodka nie podążają za rozchodzącą się falą, lecz drgają wokół ustalonych położeń równowagi.

Jeżeli kierunek drgań cząsteczek i kierunek rozchodzenia się fali są zgodne, falę nazywamy podłużną , jeżeli natomiast drgania cząsteczek odbywają się w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali, falę nazywamy poprzeczną .

Charakter fali rozchodzącej się w ośrodku zależy od jego własności sprężystych. Jeżeli wskutek przesunięcia jednej warstwy ośrodka względem drugiej powstają siły sprężyste dążące do przywrócenia warstwy przesuniętej do położenia równowagi, to w ośrodku mogą się rozchodzić fale poprzeczne i podłużne (na ogół ośrodkiem takim jest ciało stałe). Gdy między przesuniętymi warstwami ośrodka siły sprężyste nie występują, to w ośrodku takim mogą się rozchodzić tylko fale podłużne (tak dzieje się w cieczach i gazach).

Najczęściej spotykanym ruchem drgającym jest ruch harmoniczny, w którym wychylenie y zmienia się w czasie t według równania:

(1)

gdzie: A - amplituda,
- częstość kołowa,
- faza początkowa.

Faza początkowa
określa stan ruchu w chwili t = 0 i jest obrany w sposób dowolny. Obierając np.
= 0 przyjmujemy, że w chwili t = 0 punkt drgający przechodzi przez położenie równowagi na stronę wychyleń dodatnich. Fazę wyrażamy w jednostkach kątowych (stopniach lub radianach).

Jeżeli fala biegnie w kierunku osi x wówczas kolejne punkty ośrodka pobudzane są do drgań i osiągają tę samą fazę z pewnym opóźnieniem. Prędkość przesuwania się wychylenia o stałej fazie jest prędkością rozchodzenia się fali.

Wychylenie y dowolnej cząstki w chwili t, w odległości x od źródła drgań opisane jest funkcją falową:

(2)

gdzie:
-częstość kołowa,
-liczba falowa,
-długość fali,
-faza w punkcie x = 0 i w chwili t = 0.

Równanie fali jest podwójnie okresowe: względem czasu i przestrzeni. Przy ustalonej wartości x opisuje ono drgania cząstki wokół położenia równowagi - drgania te są periodyczne z okresem T. Ustalając w równaniu (2) czas otrzymujemy zależność wychylenia cząsteczek od ich położenia w określonej chwili - zależność ta przedstawia kształt fali. Odległości między najbliższymi punktami posiadającymi tę samą fazę nazywamy długością fali .

Związek między okresem i długością fali znajdziemy rozpatrując ruch wychylenia o stałej fazie. Stałość fazy opisujemy równaniem:

(3)

Aby obliczyć prędkość przesuwania się stałej fazy znajdujemy pochodną położenia względem czasu:

(4)

Wstawiając definicyjne określenie w miejsce
i k oraz oznaczając
otrzymujemy związek między prędkością v, okresem T i długością fali:

(5)

Zatem długość fali jest drogą przebywaną przez falę w czasie jednego okresu.

Fale akustyczne mogą się rozchodzić w ciałach stałych, cieczach i gazach. Fale akustyczne, których częstotliwość zawarta jest w przedziale 20 Hz do 20 000 Hz nazywamy falami słyszalnymi, gdyż wywołują one w mózgu człowieka wrażenia słuchowe.

Źródłem fali słyszalnych są drgające struny (np. skrzypce, ludzkie struny głosowe), drgające słupy powietrza (np. piszczałki, organy, klarnet) oraz drgające płyty i membrany (np. bęben, głośnik). Te drgające przedmioty na przemian zagęszczają i rozrzedzają otaczające powietrze powodując ruch cząsteczek do przodu i do tyłu. Powietrze przenosi to zaburzenie od źródła w przestrzeń.

Wrażenie odbieranego dźwięku określone jest przez jego natężenie, wysokość i barwę. Wymienione cechy dźwięku zależą od odpowiednich parametrów falowych - amplitudy, częstotliwości, oraz zawartości drgań harmonicznych.

2. Prędkość fali w powietrzu.

Ogólne wyrażenie określające prędkość rozchodzenia się fal podłużnych w ośrodku ciągłym ma postać:

(6)

gdzie: E - oznacza moduł Younga ośrodka,
- jego gęstość.

Przekształcając podstawową postać prawa Hook'a, możemy napisać:

(7)

gdzie: dp i dV oznaczają odpowiednio różniczkowe zmiany ciśnienia i objętości gazu o objętości V.

Drgania dźwiękowe zachodzą tak szybko, że ściskania i rozrzedzanie gazu można uważać za procesy adiabatyczne, wobec czego zmiana stanu gazu zachodzi zgodnie ze wzorem Poissona:

(8)

gdzie: k jest stosunkiem ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego przy stałej objętości.

Różniczkując wzór Poissona, otrzymujemy:

(9)

Podstawiając uzyskaną wartość do równania (7), a następnie uwzględniając otrzymaną w ten sposób postać modułu Younga w równaniu (6), wyrażamy prędkość fali podłużnej wzorem:

(10)

Aby wyeliminować gęstości
bierzemy definicję tej wielkości i mnożymy licznik i mianownik przez p, ciśnienie gazu. Zauważmy, że w mianowniku utworzył się iloczyn pV, który możemy zastąpić przez nRT na podstawie równania stanu gazu:

(11)

gdzie: n - liczba moli gazu, R - stała gazowa, T - temperatura.

Liczbę moli n można wyrazić jako stosunek całej masy gazu (m) do masy 1 mola (
):
. Uwzględniając powyższe w równaniu (11), wstawiamy wartość
do równania (10) i otrzymujemy wzór określający prędkość dźwięku w zależności od rodzaju gazu i temperatury:

(12)

3. Zasada pomiaru.

Na jednym z końców poziomej ławy ustawiamy głośnik połączony z generatorem drgań elektrycznych pełniący funkcję żródła fal.

Do ich odbioru używamy mikrofonu przesuwanego na ruchomym wózku wzdłuż ławy.

Napięcie głośnika przykładamy do płytek X oscyloskopu, a napięcie z mikrofonu podajemy na płytki Y. Oba napięcia są zmienne w czasie i odzwierciedlają ruch drgający cząsteczek powietrza. Na ekranie oscyloskopu otrzymamy obraz, który jest wynikiem nałożenia dwóch drgań harmonicznych wzajemnie prostopadłych. Ma on postać tzw. figur Lissajous, których kształt zależy od stosunku częstotliwości oraz różnicy faz drgań składowych. W naszym ćwiczeniu częstości obu drgań są równe, więc o kształcie figur Lissajous decyduje różnica faz głośnika i mikrofonu.

Różnica faz zmienia się o
przy przesunięciu mikrofonu o
. Kształt figury Lissajous jest periodyczną (o okresie
) funkcją różnicy faz, stąd będzie on taki sam dla wszystkich położeń mikrofonu różniących się o całkowitą wielokrotność długości fali.

Tę ostatnią właściwość wykorzystujemy do pomiaru długości fali dźwiękowej. W tym celu wyznaczamy odległość między sąsiednimi położeniami mikrofonu, przy których otrzymujemy ten sam kształt figury Lissajous. Najdokładniejsze wyniki otrzymuje się, gdy figura ta jest linią prostą. Znając długość fali oraz częstotliwość, obliczamy prędkość dźwięku ze wzoru:

(13)

4. Przebieg ćwiczenia:

• Połączyć układ elektryczny wg schematu.

• Posługując się instrukcją uruchomić generator akustyczny, nastawić wybraną częstotliwość.

• Uruchomić oscyloskop.

• Potencjometrami wzmocnienia X i Y oscyloskopu ustawić obraz o wielkości ok. 1/2 wielkości ekranu.

• Zmieniając odległość mikrofonu od głośnika, znaleźć położenia, w których obraz na ekranie jest linią prostą o takim samym znaku współczynnika nachylenia.

• Obliczyć długość fali dla kilku położeń mikrofonu.

• Dla obliczonej długości fali obliczyć prędkość dźwięku.

• Obliczyć prędkość dźwięku dla kilku innych częstotliwości.

• Obliczyć średnią prędkość dźwięku oraz odchylenie standardowe średniej.

• Obliczyć prędkość dźwięku na podstawie równania teoretycznego. Porównać wyniki.

5. Obliczenia.

Błędy:

[Hz]

[cm]=0,02[m]

Pomiary:

Lp	f [Hz]	x1 [cm]	x2 [cm]	x3 [cm]	=x2-x1 [m]	=x3-x2 [m]	Średnia [m]:	[m/s]	[m/s]
1	2000	15,0	32,4	49,8	0,174	0,174	0,174	348	48,7
2	2500	33,7	59,4	85,1	0,257	0,257	0,257	642,5	62,85
3	3000	23,8	40,1	56,6	0,163	0,165	0,164	492	68,2
4	3500	9,8	21,8	34,2	0,120	0,124	0,122	427	76,1
5	4000	16,6	26,8	37,4	0,102	0,106	0,104	416	85,2
6	4500	14,7	23,2	32,3	0,085	0,091	0,088	396	94,4

Obliczam średnią prędkość dźwięku v i średni błąd
, wykluczając z obliczeń prędkość dla 2500 Hz, gdyż wartość jest tyle większa od innych, że wnioskować można, iż wystąpił błąd gruby.

Obliczam prędkość dźwięku ze wzoru:

Temperatura powietrza: 23,5

6. Wnioski.

Prędkości dźwięku jaką otrzymałem w wyniku przeprowadzonego doświadczenia wynosi:
. Prędkość dźwięku otrzymana po podstawieniu danych do wzoru wyniosła:
. Różnica jest dość duża ale mieści się w granicy błędu. Błąd jest bardzo duży. Wynika on w znacznej mierze z tego, iż nie była odczytywana dokładna wartość częstotliwości z generatora, a w wyniku tego:
[Hz]. Duży wpływ na błąd miała także dokładność odczytu odległości, ponieważ linia prosta na oscyloskopie znajdowała się średnio na odległości 1 cm. i odczyt był dość trudny (w szczególności dla wyższych częstotliwości). A przecież na błąd odczytu odległości wpływ miały jeszcze: dokładność przyrządu i „czynnik ludzki”. W trakcie przeprowadzania doświadczenia musiała mieć miejsce jakaś pomyłka (odczytu, ustawienia przyrządu bądź wada samego przyrządu), gdyż znalazłem w pomiarach błąd gruby. Wnioskuję tak, gdyż wartość prędkości dźwięku znacznie odbiegała od innych. Błąd gruby przy obliczeniach odrzuciłem!

---