Przepływ ściśliwego czynnika termodynamicznego

W termodynamice zakłada się, że przepływ jest jednowymiarowy, tj. parametry płynu zmieniają się tylko w kierunku przepływu. Przemiana płynu w układzie o przepływie ustalonym jest zbiorem stanów ustalonych w kolejnych przekrojach kanału przepływowego. Przekroje prostopadłe do ogólnego kierunku przepływu są oznaczane liczbami arabskimi, a wielkości z nimi związane są zaopatrzone w odpowiednie indeksy dolne. Podczas przepływu ustalonego parametry intensywne w dowolnych punktach płynu oraz działania na granicach układu nie zmieniają się.

średnie masowe natężenie przepływu (wydatek masowy):

stosunek przepływającej masy do czasu t, w którym ta masa przepłynęła

[kg/s]

objętościowe natężenie przepływu (wydatek objętościowy)

stosunek objętości płynu V do czasu t, w którym ta objętość przepłynęła

[m³/s]

gdzie: A - pole powierzchni przekroju prostopadłego do kierunku przepływu

[m²],

w - prędkość przepływu [m/s]

Równanie zachowania masy (równanie ciągłości) -w każdym przekroju układu charakteryzującego się przepływem ustalonym i jedną drogą przepływu masowe i objętościowe natężenie przepływu jest stałe

praktycznie: A₁w₁ = A₂w₂ lub A₁w₁ ρ₁ = A₂w₂ ρ₂

Model strugi płynu z dwoma przekrojami obliczeniowymi 1-1 i 2-2

strumień pędu (ilość ruchu) - iloczyn masowego natężenia i prędkości

przepływu: SP =
[kg m/s²]

równanie zachowania pędu - przyrost strumienia pędu między przekrojami

jest równy wypadkowej F wszystkich sił zewnętrznych działających na

płyn zawarty między tymi przekrojami

równanie bilansu energetycznego dla układu o przepływie ustalonym

lub

gdzie: g - miejscowe przyspieszenie siły ciężkości

h - wysokość środka ciężkości przekroju przepływowego ponad umowny

poziom odniesienia PO

L_{e 1,2} - praca efektywna układu

Ciepło tarcia wewnętrznego i praca na pokonanie sił tarcia występujące po obydwu stronach znaku równości powyższego równania znoszą się (Q_w1,2=L_w1,2)

Dla gazów i par można praktycznie pominąć zmiany energii potencjalnej Mgh, a energię kinetyczną uwzględnia się przy prędkościach w>=40 m/s.

Jeżeli założymy, że brak jest wymiany ciepła i pracy z otoczeniem (przepływ adiabatyczny), wówczas powyższe równania można zapisać w następującej formie:

= const

= const

uogólnione równanie Bernoulliego

prędkość dźwięku dla gazów doskonałych

liczba Macha - stosunek prędkości płynu do miejscowej prędkości dźwięku

Parametry spoczynkowe strumienia płynu, który został wyhamowany do prędkości równej zeru bez wykonywania pracy efektywnej (przemiana

izentropowo-adiabatyczna). Oznaczamy je indeksem dolnym 0:

entalpia spiętrzenia

stanowi sumę entalpii statycznej oraz przyrostu entalpii dynamicznej przy założeniu, że całkowita energia kinetyczna zostanie zamieniona tylko w ciepło.

Dla przepływu energetycznie odosobnionego entalpia spiętrzenia jest wielkością

stałą (i₀=const).

temperatura spiętrzenia dla gazów doskonałych

ciśnienie spiętrzenia dla płynu nieściśliwego

Prędkość przepływu płynu nieściśliwego jest równa:

Pomiary dokonuje się za pomocą rurki Prandtla mierząc manometrem różnicowym różnicę ciśnień spiętrzenia p₀ i statycznego p

Schemat pomiaru prędkości przy pomocy rurki Prandtla

Przekrój, w którym prędkość przepływu staje się równa miejscowej prędkości dźwięku. Parametry określające stan gazu w tym przekroju są nazywane parametrami krytycznymi i oznaczane wskaźnikiem * (indeks górny).

Dla gazu doskonałego prędkość dźwięku jest największa, gdy w=0 (gaz

nieruchomy). Wynosi ona wtedy:
. Prędkość dźwięku jest równa

zeru (a=0) przy rozprężaniu gazu aż do próżni (p=0, T=0, i=0).

Prędkość gazu osiąga wówczas wartość maksymalną równą:

W przypadku gazów doskonałych:

gdzie:
dla jednoatomowych α=1,118, dla dwuatomowych α=1,08,

da pary wodnej przegrzanej α=1,063

Prędkość krytyczna w gazach doskonałych:

Dla liczby Macha Ma<1 przepływ jest poddźwiękowy (w<a - podkrytyczny).

Dla Ma=1 (w=a) przepływ jest krytyczny. Dla Ma>1 (w>a) przepływ jest naddźwiękowy (nadkrytyczny). Jeżeli Ma<0,6, to na ogół gazy można traktować

jako nieściśliwe.

Temperatura krytyczna dla gazów doskonałych:

lub

dla gazów jednoatomowych θ_k = 0,75 (κ=1,667), dla dwuatomowych

θ_k = 0,833 (κ=1,4), dla pary wodnej przegrzanej θ_k = 0,87 (κ=1,3)

Ciśnienie krytyczne dla gazów doskonałych:

lub

dla gazów jednoatomowych β_k = 0,482 (κ=1,667), dla dwuatomowych

β_k = 0,528 (κ=1,4), dla pary wodnej przegrzanej β_k = 0,546 (κ=1,3)

Gęstość krytyczna:

lub

dla gazów jednoatomowych γ_k = 0,65 (κ=1,667), dla dwuatomowych

γ_k = 0,62 (κ=1,4), dla pary wodnej przegrzanej γ_k = 0,63 (κ=1,3)

Współczynnik prędkości (liczba Lavala) - stosunek prędkości przepływu do

prędkości krytycznej:

dla gazów doskonałych:

Przepływ adiabatyczny bez wykonywania pracy efektywnej płynu nielepkiego i nieprzewodzącego jest przepływem izentropowym, w którym

Q_{z 1,2} = 0, L_{e 1,2} = 0, Q_{w 1,2} = 0 i S = const.

Zależność różniczkowa między polem przekroju kanału przepływowego

a prędkością przepływu dla gazów doskonałych ma postać:

Wyprowadzenie:

Po zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu równania ciągłości przepływu otrzymujemy:

Z kolei z postaci różniczkowej równania Bernoulliego wynika, że:

skąd
a więc

Po podstawieniu otrzymujemy:

Z równania izentropy mamy:
. Po podstawieniu i odpowiednich

przekształceniach otrzymamy wzór wyjściowy.

Dyszą nazywamy kanał przepływowy, w którym wzrasta prędkość (dw>0).

Kanał o zmiennym przekroju pracuje jako dysza, jeżeli jego przekrój zmniejsza

się w kierunku przepływu (dA<0) w zakresie prędkości poddźwiękowych (Ma<1), a zwiększa się (dA>0) w zakresie prędkości naddźwiękowych.

Wartość Ma=1 może być osiągnięta tylko w przekroju minimalnym dyszy (dA=0), który staje się wówczas przekrojem krytycznym.

Prędkość w wzrasta kosztem spadku ciśnienia (dw>0,dp<0). Prędkości wlotowe są mniejsze od prędkości dźwięku w<a, wobec czego a²-w²>0 i prawa strona równania ma znak ujemny. Znak dA będzie zgodny ze znakiem prawej strony, czyli dA<0. Oznacza to, że przy prędkościach poddźwiękowych przepływu dysza powinna być zbieżna. W miarę wzrostu prędkości w zbieżnym kanale dochodzimy do przekroju, w którym prędkość osiąga wartość prędkości dźwięku (a=w,Ma=1). Jeżeli spadek ciśnienia dp będzie dostatecznie duży (dalsze rozprężanie gazu), wówczas dla uzyskania prędkości większej od dźwięku, na podstawie równania musi być spełniony warunek zmiany kształtu na rozbieżny (dA>0

Bardzo istotny jest fakt zachowania wielkości kąta rozwarcia kanału w granicach ϕ = 8^o - 12^o. Gdy kąt ten przekracza 12^o, następuje zerwanie strugi,

zaś kąty mniejsze od 6^o powodują znaczny wzrost oporów tarcia podczas

przepływu strumienia przez kanał. Spadek lokalnej wartości dźwięku podczas

przepływu przez kanał jest spowodowany maleniem temperatury gazu w miarę

rozprężania izentropowego.

Dyfuzorem nazywamy kanał przepływowy, w którym maleje prędkość (dw<0).

Kanał o zmiennym przekroju pracuje jako dyfuzor, jeżeli jego przekrój wzrasta

(dA>0) w kierunku przepływu w zakresie prędkości poddźwiękowych (Ma<1),

a maleje (dA<0) w zakresie prędkości naddźwiękowych (Ma>1)

Przy ujemnym przyroście prędkości (dw<0) następuje wzrost ciśnienia (dp>0),

co przy prędkościach poddźwiękowych (w<a) daje w wyniku wartość dodatnią

prawej strony równania a co za tym idzie również wartość dodatnią lewej

strony czyli dA>0. Dyfuzor poddźwiękowy musi być kanałem rozbieżnym.

Optymalny kąt rozbieżności nie powinien przekraczać 12^o (zazwyczaj 6^o - 7^o).

Na poniższym rysunku zostały przedstawione kształty dysz i dyfuzorów dla

przepływu izentropowego energetycznie odosobnionego.

	dw>0 Dysza dp<0 dρ<0	dw<0 Dyfuzor dp>0 dρ<0
Ma<1 w<a
Ma>1 w>a

Kształty dysz i dyfuzorów dla przepływu izentropowego energetycznie

odosobnionego

Dysza zbieżna (Bendemana) o polu przekroju malejącym w kierunku przepływu (przepływ beztarciowy, izentropowo-adiabatyczny). Warunki pracy dyszy zależą od ciśnienia ośrodka za dyszą.

ciśnienie p_a za dyszą jest większe od ciśnienia krytycznego p^* (p_a > p^*)

Prędkość wypływu z dyszy

a dla gazów doskonałych

równanie Saint Vananta

Masowe natężenie wypływu z dyszy:

[kg/s]

a dla gazów doskonałych

[kg/s]

ciśnienie za dyszą p_a jest równe lub mniejsze od ciśnienia krytycznego p^*

(p₂ = p^* ≥ p_a). Prędkość wypływu jest prędkością krytyczną (wzór podany

wcześniej.

Masowe natężenie wypływu:

[kg/s]

dla gazów doskonałych

[kg/s]

Przebieg ciśnień czynnika w różnych przypadkach przepływu przez

dyszę zbieżną.

Jeżeli ciśnienie ośrodka za dyszą jest niższe od ciśnienia krytycznego (p_a<p^*),

wówczas strumień płynu wypływającego z dyszy gwałtownie się rozpręża.

Początkowo jego ciśnienie spada poniżej ciśnienia otoczenia, a następnie jest

on sprężany przez ciśnienie otoczenia. Zjawisko to powtarza się okresowo

wywołując efekt akustyczny.

Dysza naddźwiękowa (de Lavala) zbieżno-rozbieżna. Kąt rozwarcia części zbieżnej dyszy wynosi 6^o÷12^° i nie ma większego wpływu na pracę dyszy. Kąt rozwarcia części rozbieżnej dyszy zależy od przeznaczenia dyszy i wynosi np. 8÷12° - dla dysz turbin parowych, 25÷30° - dla dysz silników rakietowych. Zwiększenie tego kąta sprzyja odrywaniu się strumienia od ścianek dyszy i powstawaniu dużych strat przepływu. Przy przepływie izentropowym energetycznie odosobnionym przekrojem krytycznym jest przekrój minimalny dyszy de Lavala. Maksymalne masowe natężenie wypływu jest równe wówczas:

a dla gazów doskonałych

gdzie:
dla gazów jednoatomowych ψ=0,731, dla dwuatomowych ψ=0,683, dla pary wodnej przegrzanej ψ=1,063

Stosunek pola przekroju minimalnego do pola przekroju wylotowego:

Przebieg ciśnienia w dyszy de Lavala.

Przy ustalonym przepływie izentropowym zakładamy stałe ciśnienia otoczenia p₁ w przekroju wlotowym 1-1 i p₂ w przekroju wylotowym 2-2. Dla zadanych ciśnień p₁ i p₂ wyznaczamy p^*=β_k p₁, a następnie sprawdzamy czy p₂>p^*. Jeżeli tak, to mamy do czynienia z dyszą poddźwiękową. Jeżeli p₂<p^*, to mamy do czynienia z dyszą naddźwiekową.

Dysza poddźwiękowa

Przy znanych parametrach dolotowych i wylotowych określa się entalpię oraz

wylicza się prędkość wypływu w₂ ze wzoru:

lub
[m/s]

ze wzoru na ciągłość strugi przy znanym natężeniu przepływu
jest liczony

przekrój i średnica otworu wylotowego:

Dysza naddźwiękowa

przy znanych parametrach wlotowych (p₁, ρ₁, T₁) i znanym natężeniu

przepływu
ze wzoru (51) obliczamy powierzchnię i średnicę minimalną:

następnie obliczamy prędkość krytyczną w^* i temperaturę krytyczną T^*

następnie obliczamy gęstość krytyczną wg wzoru:

z kolei obliczamy prędkość wylotową w₂ przy pomocy wzoru:

obliczamy gęstość gazu czynnika w przekroju wylotowym:

obliczamy przekrój wylotowy F₂ i średnica wylotowa d₂ dyszy:

i

obliczamy długość części rozbieżnej dyszy ze wzoru:

przy czym kąt rozwarcia α=4°-6°

Niewłaściwy dobór dysz wiąże się ze znacznymi stratami i uniemożliwia

uzyskanie obliczeniowej prędkości wypływu

Zastosowano dyszę poddźwiękową, gdy warunki panują dla dyszy naddźwiękowej tj. ciśnienie u wylotu jest mniejsze od krytycznego p₂ < p^*_. Nie zachowano właściwego kształtu - W części zbieżnej ustalą się parametry krytyczne a nadwyżka ciśnienia (strugi wobec otoczenia) będzie tracona na poprzeczne rozprężanie gazu bez wzrostu prędkości jego w kierunku wypływu.

Zastosowano dyszę naddźwiękową, gdy warunki panujące są dla dyszy poddźwiękowej p₂>p^*. Nie ma wtedy możliwości osiągnięcia prędkości krytycznej w najmniejszym przekroju, a w takim przypadku rozwarta część dyszy spełnia funkcję dyfuzora poddźwiękowego sprężającego. Tego typu dyszy są wykorzystywane przy pomiarze wydatku (dysza Venturiego), gdy chodzi nam o możliwie mały spadek ciśnienia czynnika.

Uwzględnienie tarcia przy przepływie

Przepływ rzeczywistego czynnika lepkiego w dyszy bez wymiany ciepła

z otoczeniem traktujemy jako adiabatyczny (κ=const), ale nie izentropowy

(s≠const), ponieważ wskutek występowania tarcia o ścianki podczas przepływu

następuje podwyższenie temperatury, entalpii i entropii (praca tarcia zamienia

się w ciepło pochłaniane przez gaz. Przykładowe wykresy rozprężania w dyszy

i sprężania w dyfuzorze zostały przedstawione poniżej w układzie współrzędnych i-s.

Wykresy i-s dla rozprężania w dyszy i sprężania w dyfuzorze

Na wykresie o współrzędnych i-s przyrosty energii kinetycznej właściwej dla

przepływu energetycznie odosobnionego lub izentropowego, bez wykonywania

pracy, są równe odpowiednim spadkom entalpii właściwej.

Prędkość wypływu z kanału energetycznie odosobnionego:

gdzie:

Posługując się stosunkiem temperatur, sprawność dyszy można wyrazić wzorem:
, zaś sprawność dyfuzora:

Przepływ adiabatyczny z wykonywaniem pracy

Zależność różniczkowa pomiędzy pracą efektywną a prędkością przepływu dla gazów doskonałych:

Wykonanie pracy efektywnej dl_e>0 przez strumień poddźwiękowy Ma<1

powoduje wzrost prędkości dw>0, przy jednoczesnym spadku gęstości dρ<0

i temperatury dT<0. Liczba Macha wzrasta do jedności. Dla prędkości naddźwiękowych Ma>1 wzrost prędkości osiąga się przez doprowadzenie pracy

czyli dl_e<0.

Praca efektywna właściwa przepływu adiabatycznego jest równa spadkowi

entalpii właściwej spiętrzenia:

dla gazów doskonałych o stałym cieple właściwym

dla przepływu adiabatycznego izentropowego

Jeżeli prędkości przepływu są małe, to można przejść z parametrów spiętrzenia

na parametry spoczynkowe. W takim przypadku praca efektywna staje się

równa zewnętrznej pracy technicznej (zmniejszonej o pracę na pokonanie

sił tarcia wewnętrznego).

Praca techniczna właściwa przepływu adiabatycznego politropowego

właściwa zewnętrzna praca techniczna

praca właściwa zużyta na pokonanie sił tarcia wewnętrznego

Ponieważ l_{w 1,3}>0 więc w przypadku rozprężania jest m>κ, a w przypadku prężania m<κ. Temperatura końca przemiany adiabatycznej politropowej jest wyższa od temperatury końca przemiany izentropowej o tym samym stanie początkowym i ciśnieniu końcowym, zarówno w przypadku rozprężania jak

i sprężania.

Rys. 8. Wykresy p-v i T-s dla przepływu adiabatycznego uwzględniającego

wykonywanie pracy

W przypadku sprężania adiabatycznego nie tylko brak jest odzyskiwania ciepła

tarcia lecz przeciwnie - bezwzględna wartość zewnętrznej pracy technicznej wzrasta na skutek przebiegu sprężania przy większych objętościach niż przy

braku tarcia.

Przepływ z wymianą ciepła

Zależność różniczkowa pomiędzy ciepłem wymienianym z otoczeniem

a prędkością przepływu gazów doskonałych

Doprowadzenie ciepła dq_z>0 wywołuje wzrost prędkości dw>0 strumienia

poddźwiękowego Ma<1, a spadek prędkości dw<0 - strumienia naddźwiękowego Ma>1. Przy przepływie przyspieszonym gazu doskonałego

temperatura początkowo wzrasta, aż do osiągnięcia przez strumień liczby Macha
, a następnie maleje. Ciepło doprowadzone do strumienia

nie wykonującego pracy jest równe przyrostowi entalpii spiętrzenia

Maksymalna ilość ciepła, jaka może być doprowadzona do strumienia

gazu doskonałego przepływającego przez kanał o stałym polu przekroju

bez wykonywania pracy wynosi:

a wtedy zarówno strumień poddźwiękowy jak i naddźwiękowy osiąga

prędkość dźwięku Ma₂=1.

Z równania zachowania pędu i równania zachowania masy dla przepływu przez kanał o stałym polu przekroju wynika:

Przy stałych wartościach masowego natężenia przepływu na jednostkę pola

powierzchni
otrzymujemy równanie Rayleigha. Linia Rayleigha określa

stany przepływu przez kanał o stałym polu przekroju bez wykonywania pracy.

Zjawisko rozprężania przy małym spadku ciśnień jest wykorzystywane w praktyce do pomiaru natężenia przepływu w urządzeniach zwanych zwężkami pomiarowymi. Podstawowe typy stosowanych zwężek pomiarowych zostały

pokazane na rysunku.

a) dysza pomiarowa

b) kryza

c) dysza Venturiego

W wyniku całkowania równania Bernoulliego przy założeniu, że ρ₁=ρ₂=const otrzymujemy wyrażenie:

gdzie: Δp=p₂-p₁

Jeżeli spadek ciśnienia Δp został wywołany zwężeniem przekroju przepływu

z wartości A₁ do A₂, to może ono być scharakteryzowane wielkością m

zwaną przewężeniem:

gdzie: d₁ i d₂ oznaczają średnice przekrojów 1 i 2.

Z równania ciągłości przy ρ=const wynika, że:

skąd:

Podstawiając tę wartość do wcześniejszych równań otrzymujemy:

skąd:

Natężenie przepływu jest równe:

Najtańsza i najprostsza jest kryza, ale daje największe straty ciśnienia.

Pozostałe rozwiązania nie dają dużych strat, są jednak droższe i trudniejsze

w wykonaniu. Największą dokładność wyników osiąga się przy zastosowaniu

zwężki Venturiego.

34

17

---