Wahadło

1. Opis zjawiska. Wahadłem nazywamy ciężarek, zawieszony na nitce. Wychylony ze swojego normalnego położenia porusza się po łuku koła. Ciężar Mg rozkładamy na dwie składowe Mg_x (styczną do toru) i Mg_y (prostopadłą do toru). Siła Mg_y powoduje tylko napięcie nitki, na ruch wpływa tylko składowa Mg_x::
   
   

2. Wyprowadzenie równania stanu. Założenie: znak kąta
   dodatni przy wychyleniu w prawą stronę (zero kąta, jeżeli ciężarek wahadła jest na samym dole). Występujące w poniższych wzorach
   , to droga wzdłuż kołowego toru ruchu ciężarka, zero drogi występuje przy dolnym położeniu ciężarka, znak drogi taki sam, jak znak kąta. Innymi słowy, używamy pewnej modyfikacji współrzędnych biegunowych zamiast współrzędnych kartezjańskich. Przyspieszenie styczne do toru ma zwrot składowej siły ciężkości stycznej do toru, czyli:
   
   
   Znak minus oznacza, że dla dodatnich kątów
   przyspieszenie (siła) ma znak przeciwny (sprawia, że
   zmniejsza się). Między
   a
   zachodzi związek:
   , czyli:
   .
   A więc:
   
   To jest podstawowe równanie ruchu wahadła bez tarcia. (1)
   Dygresja:
   Często stosuje się przybliżone rozwiązanie tego problemu. Dla małych kątów
   , zachodzi przybliżenie
   . W związku z tym można zapisać:
   
   To jest przybliżone równanie ruchu wahadła bez tarcia. (2)
   Tak się składa, że przybliżone równanie (2) jest łatwo rozwiązać (wyznaczyć
   w funkcji czasu), a równanie dokładne (1) - nie za bardzo. Dla przybliżonego równania (2) rozwiązanie ma postać:
   
   
   A oraz
   zależą od warunków początkowych, tzn. wstępnego wychylenia
   i wstępnej prędkości kątowej
   . Gdy nie nadajemy wahadłu wstępnego rozpędu, to
   i równanie ruchu ma postać:
   
   (3)
   Koniec dygresji.
   Nie uciekając się do tego przybliżonego rozwiązania można sformułować równania stanu:
   
   , czyli:
   
   

E

α

---